Onde evanescenti
Helmholtz’s equations

2



E
2
2
 E   2  k E
t

2



B
2
2
 B   2  k B
t
2 2
 n
2
k  2
c
Plane waves
  i ( k xk z t )
x
z
E  Eoe
2
2

 2  2n 
2
k  k x ,0, k z 
k  2 n 

c
  
k  kx  kz
2
2
2
kz , kx 
k 0 k 0
2
z
2n

2
x

n
c
Angular decomposition
1,0
1,0
Electric field (arb.units)
Electric field (arb.units)
0,8
0,8
0,6
0,4
0,6
0,4
0,2
0,0
0,2
-0,2
0,0
-3,0
-0,4
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
-35 -30 -25 -20 -15 -10
x (arb. units)
-5
0
5
k (arb. units))
k x x  0.5
10
15
20
25
30
35
Angular decomposition
1,0
1,0
0,8
Electric field (arb.units)
Electric field (arb.units)
0,8
0,6
0,4
0,6
0,4
0,2
0,0
0,2
-0,2
0,0
-3,0
-0,4
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
-35 -30 -25 -20 -15 -10
-5
0
5
k (arb. units))
x (arb. units)
k x x  0.5
10
15
20
25
30
35
Angular decomposition
kx 
2
kx 

2

1,0
1,0
0,8
Electric field (arb.units)
Electric field (arb.units)
0,8
0,6
0,4
0,6
0,4
0,2
0,0
0,2
-0,2
0,0
-3,0
-0,4
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
x (arb. units)
k x x  0.5
2,0
2,5
3,0
-35 -30 -25 -20 -15 -10
-5
0
5
k (arb. units))
0.5
 x 
2
10
15
20
25
30
35
Angular decomposition
kx 
2
kx 

2

1,0
1,0
Electric field (arb.units)
Electric field (arb.units)
0,8
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-3
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-2
-1
0
1
x (arb. units)
k x x  0.5
2
3
-35 -30 -25 -20 -15 -10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
k (arb. units))
0.5
 x 
2
It seems impossible to confine light much below .
Lens diffraction limit
kx 
2

0.5
x 
NA
Angular decomposition
However it is simple to confine light much below .
Metallic aperture
Electric dipole

2
2 2

 E
 n
2
2
2
 E   2  k E
k  2
t
c
  i ( k xk z t )
Plane waves E  Eo e x z

k  k x ,0, k z 
k x , k z  e
 2n 
 2n 
2
k 
  kz  

  
  
2
2
x
2

2
2 2

 E
 n
2
2
2
 E   2  k E
k  2
t
c
  i ( k xk z t )
Plane waves E  Eo e x z

k  k x ,0, k z 
k x , k z  e
 2n 
 2n 
2
k 
  kz  

  
  
2
2
2
x
Evanescent
waves
  i ( k x t )  k z z
E  Eo e x
e
k 0
2
z
 2n 
 2n 
2
k 
  kz  

  
  
2
2
x
2
Point source: need for evanescent waves
 2 
kx  

  2
 2 
2
kx  

  
2
k 0
2
z
k 0
2
z
2
Fields localized below  need
evanescent waves
Riflessione totale
Rifrazione oltre angolo limite
n2
sin   
n1
  
n1  n2
  
(?)
Riflessione totale
y
Riflessione
Et
Er
BC per onda TE
ki , x  k r , x  kt , x

n1
sin  t  sin  i
n2
Ei  Er  Et

1Ei cos i  1Er cos  r  2 Et cos t
t
z
Ei
 Ei  Er  Et

H i, y  H r , y  H t , y
Ei  Er  Et

 H i cos i  H r cos  r   H t cos t
Ht
H  E
y
Riflessione totale
Er
Et=0
BC per onda TE
Ei
sin  t 
n1
sin  i  1
n2
??
 Ei  Er  Et

 1 Ei cos  i  1 Er cos  r   2 Et cos  t
Se Et  0
Ei  Er  0

Ei  Er  0
Ei  0

 Er  0
Soluzione non accettabile
Et≠0
n2  n1
Metodo grafico per rifrazione
i   r  t  



ki , //  k r , //  kt , //
n1 sin i  n2 sin t
kz
 n1
c
 n2
c

 t kt
i
z

ki
k //
Metodo grafico per rifrazione



ki ,//  kr ,//  kt ,//
kz
n1 sin i  n2 sin t
All’ angolo limite
n1  n2
 n1
c
 n2
c

kt
t 
 i ,
Angolo limite
z

2
k //

ki
sin  i ,
n2

n1
Metodo grafico per rifrazione



ki ,//  kr ,//  kt ,//
kz
n1 sin i  n2 sin t
Oltre angolo limite
n2
sin  i 
n1

n2
kt , // 
c
n1  n2
 n1
c
 n2
c

kt
 i   i ,

ki
k //
Rifrazione oltre angolo limite

n1
sin  i
k t , x  k i , x 
n1  n2
c

  n2
 kt 
c

2
2
 2  2
 n2   n1

2
sin  i 
k t , z  k t  k t , x  
 
 c   c


n2
Se sin  i 
n1
kt , z
2
2  2
 kt  ki , x  0
Rifrazione oltre angolo limite
n2
sin  i 
n1
 
2
   n2  n1 sin  i   0
c
2
kt , z
2

n2
kt  ki , x eˆx  j
aeˆz  ki , x eˆx  jeˆz
c
2
 n1

a   sin  i   1
 n2

2
Onda evanescente
 
j ( ki , x x  jz i t )
Et (r , t )  Et e
eˆ
 Et e
j ( ki , x x i t )  z
e
eˆ
n1
n2

ki , //
y
Riflessione totale onda TE
Er
ki , x  k r , x  kt , x
??
z
 Ei  Er  Et


H i, y  H r , y  H t , y

 Ei  Er  Et

 ki , z Ei  k r , z Er  kt , z Et
ki , z   k r , z 

c
cos  i
Ei

1  
H
k E
o
Hy  
1
o
k z Ex
c

n1 cos  i  kt , z

 E r E
E

 r
c i  i

n1 cos  i  kt , z



2n1 cos  i
Ei  t  Ei
 Et 
c

n
cos


k
1
i
t,z


Relazioni di Fresnel TE (pure dielectric) 1  2  1
n1  n2
i   
i   
c

n
cos


k
1
i
t,z

 E r E
n1 cos  i  n2 cos  t

E

 r
c i  i
 Er  n cos   n cos  Ei

n1 cos  i  kt , z

1
i
2
t



2n1 cos  i
E 

Ei
2n1 cos  i
t
E

Ei  t  Ei

n1 cos  i  n2 cos  t
 t
c

n
cos


k
1
i
t,z


c
cos  t  kt , z
n2
kt , z  j
n2
c
a

cos  t  ja
Relazioni di Fresnel TE (pure dielectric) 1  2  1
n1  n2
i   
c

n
cos


k
1
i
t,z

 E r E
 Er 
c i  i

n1 cos  i  kt , z



2n1 cos  i
E

Ei  t  Ei
 t
c

n1 cos  i  kt , z


n1 cos  i  jn2 a

 Er  n cos   jn a Ei  r Ei

1
i
2

 E  2n1 cos  i E  t E
 t n1 cos  i  jn2 a i  i
2
 n1


a   sin  i   1
 n2

2
Relazioni di Fresnel (pure dielectric) 1  2  1
n1  n2
n2
y
Et
Er
n2
y
Er H
t
Ht
t
z
Hr
i   
Et
t
z
Ei
Hi
n1 cos  i  n2 cos  t

E

 r n cos   n cos  Ei

1
i
2
t

2n1 cos  i
E 
Ei
t

n1 cos  i  n2 cos  t
Ei
n2 cos  i  n1 cos  t

 Er  n cos   n cos  Ei

2
i
1
t

2n1 cos  i
E 
Ei
t

n2 cos  i  n1 cos  t
c
cos  t  kt , z
 ja
n2
Relazioni di Fresnel (pure dielectric) 1  2  1
n1  n2
n2
y
Et
Er
n2
y
Er H
t
Ht
t
z
Hr
i   
Et
t
z
Ei
Hi
Ei
n1 cos  i  jn2 a

 Er  n cos   jn a Ei  r Ei

1
i
2

 E  2n1 cos  i E  t E
 t n1 cos  i  jn2 a i  i
kt , z  j
n2 cos  i  jn1a

E

 r n cos   jn a Ei  r// Ei

2
i
1

 E  2n2 cos  i E  t E
 t n2 cos  i  jn1a i // i
n2
c
a
Fresnel oltre angolo limite
n2
y
n2
sin  i 
n1
Ht
t
z
Ei
n2
y
Et
Er
n1  n2
kt , z  j
n2
c
Er H
t
Hr
Et
t
z
a
Hi
Ei
Er 
n1 cos  i  jn2 a
Ei  r Ei  ei  Ei
n1 cos  i  jn2 a
Er 


S r  Si
n2 cos  i  jn1a
Ei  r// Ei  ei // Ei
n2 cos  i  jn1a
Riflessione totale
Riflessione e rifrazione
Riflessione totale
Onda evanescente
Simile a barriera in MQ


S r  Si
Onda evanescente


S r  Si
Contiene energia
elettromagnetica?
Onda evanescente
Atomo, molecola,
centro di scatterning
Onda evanescente
EMISSIONE RIEMESSA
Atomo, molecola,
centro di scatterning
 2
  d E
Si puo’ assorbire energia da
un’onda evanescente
Frustrated total internal reflection
Si puo’ “trasformare” un’onda
evanescente in un’onda
propagante
Simile all’effetto tunnel in MQ
Onda evanescente
?


S r  Si
?
Contiene energia
elettromagnetica
 
 j ( ki ,x x  ki ,z z i t )
Ei (r , t )  Ei e
 
 j ( ki ,x x  ki ,z z it )
H i (r , t )  H i e
 
 j ( kt ,x x i t )  z
Et (r , t )  Et e
e
 
 j ( kt ,x x i t )  z
H t (r , t )  H t e
e
Relazioni di Fresnel
TE
n2
n
1
n1

2 cos  i
Ei  t  Ei eˆx
cos  i  jna

1  
Ht 
kt  Et

Et 
 2
TM

n2
n2
ˆ
Ht 
Et ex 
t // Ei eˆx
2c
 2c

2c 2  
Et  
k  Ht
2 t
n2

kt  kt , x eˆx  jeˆz
 
 
 
Vettore di Poynting
S (r , t )  E (r , t )  H (r , t )
 
* 
 
* 
1  
S (r , t )  E (r , t )  E (r , t )  H (r , t )  H (r , t )
4




 
* 
* 
 
1  
S (r , t ) 
E (r , t )  H (r , t )  E (r , t )  H (r , t )
4

 
 
* 
1
S (r , t )  e E (r , t )  H (r , t )
2


Relazioni di Fresnel
TE

kt  ki , x eˆx  jeˆz

2 cos  i
Ei  t  Ei eˆx
cos  i  jna

1  
Ht 
kt  Et

Et 

n
n
H t  2 Et eˆx  2 t // Ei eˆx
2c
 2c

2c 2  
Et  
k  Ht
2 t
n2
 2
2
2

 
t Ei   2 z
1
St , (r , t )  e
kt  e
2  2

2

 
t Ei
1
St , (r , t )  e
2  2
TM
2
2
2

   2 z
 
t
E
1
//
i
St ,// (r , t )  e
kt  e
2  2

  2 z
ki, xeˆx  jeˆz e

 , //
Onda evanescente  
2

 
1 t Ei
Re St , (r , t )  
2   2

St
2
n2
c
a
2n2

  2 z
 e ki , x eˆx

n 2 sin 2  i  1
 , //
Bilancio energia ?

Sr

St

Si


Si  S r

St  ??
Goos Hanchen shift
Goos Hanchen shift
Goos Hanchen shift

Misura del Goos Hanchen shift
Frustrated total
attenuated reflection
Misura del Goos Hanchen shift
=32.8 mm
A. Haibel et al. Phys. Rev. E 63, 047601 (2001)
Misura del Goos Hanchen shift
=32.8 mm
A. Haibel et al. Phys. Rev. E 63, 047601 (2001)
Applicazione riflessione totale
Rombo di Fresnel
Riflessione e rifrazione
n2
n
1
n1
n2
y
Et
Er
Ht
t
n2
y
Er H
t
Hr
Et
t
z
z
Ei
Hi
Ei
r  e
r//  e
j 
 sin  i  n
tan

2
cos  i

2
2
j //
 sin  i  n
tan

2
2
n cos  i
 //
2
2
Fase dell’onda riflessa totalmente
tan
    //
2
tan


2
1  tan
sin 2  i  n 2

cos  i

2
2
tan
2 
 sin 2  i  n 2
tan

2
n 2 cos  i
 //
 //
2
1
 1


 2  1
2
2
n
 1  sin  i  n
n 2 cos 2  i
cos  i
 sin  i  n
2
sin  i
2
 tan
 //
 sin 2  i  n 2
tan

2
cos  i

Fase dell’onda riflessa totalmente

2
2 cos  i 

   //  2 arctan  sin i  n
2
sin i 

Rombo di Fresnel
   //   0
    //  
    //  

2

4
    //  

2