CONVEZIONE FORZATA
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE
• Regime stazionario;
• r, cp costanti;
• fluido incomprimibile;
• assenza di generazione interna di calore;
u >> v
u
u v v

, ,
y
x y x
• approssimazione di strato limite.
T
T

y
x
equazione di continuità:
u v

0
x y
quantità di moto lungo x:
u
T
T
 
T  1  
u 


v
 a   H   



M
x
y y 
y  c p y 
y 
equazione dell’energia
u
u
u
1 p  
u 
v

    M  
x
y
 x y 
y 
per y = 0
u = v = 0 T = Tp(x)
per y = d
u = u
Condizioni
al contorno:
u
0
y
per y = dt
T = T(x)
per x = x0
u = u0(y)
T
0
y
T = T0(y)
VISCOSITA’ TURBOLENTA E PROFILO DI VELOCITA’ 1/3
L’ipotesi di PRANDTL (1875-1903) e VON KARMAN (1888-1963)
 M  f  s , y,  ,  
velocità di attrito
alla parete
ovvero
M
 f y  

con

y 
y

v 
*
y s


Da evidenze sperimentali emerge una variazione lineare del
coefficiente eM con y, mentre, in prossimità della parete,
l’effetto smorzante tende ad annullare le fluttuazioni.
VISCOSITA’ TURBOLENTA E PROFILO DI VELOCITA’ 2/3
La relazione proposta da Van Driest è la seguente:
y

2 
M 1

1  4 K 2 y  1  e A


2


2

 1

2

dove K = 0,40 (costante di Von Karman) e A = 0,25 (per moto su lastra piana o nei tubi)
Si distinguono 3 distinte zone in funzione della distanza dalla parete:
y+ ≤
5:
sottostrato viscoso
 M  K 2
4
y
 
2
A
5 < y+ < 40: stato di transizione
eM confrontabile con n
y+  40:
 M  Ky   
strato logaritimico
VISCOSITA’ TURBOLENTA E PROFILO DI VELOCITA’ 3/3
Su lastra piana, con gradiente di pressione nullo nel senso della corrente, si ha:
 x, y      M 
u
  s x 
y
u 


y
In forma adimensionale:
Dall’integrazione di questa
equazione con l’equazione
di Van Driest e la condizione
al contorno di scorrimento
nullo alla parete (u+ = 0 per
y+ = 0) si ottiene il profilo di
velocità:
(definizione di sforzo tangenziale)
y

u 
Il calcolo si ottiene per
vie numeriche, con i
risultati del grafico di
seguito riportato:

0
1

1 M

dy 
1
M

con
u 
u
v*
DIFFUSIVITA’ TURBOLENTA E PROFILO DI TEMPERATURA 1/2
Le osservazioni di REYNOLDS (1842-1912) mettono in luce che le
fluttuazioni turbolente originano trasporto di calore e di quantità di
moto, evidenziando la similitudine tra i due processi:
M  H
e definendo
M
Prt 
H
l’analogia
di
Reynolds diventa:
Dati sperimentali mostrano che in realtà:
Con questa relazione e con la
u
Prt  0,9   H 
Prt  1
M
0,9
u
u
1 p  
u 
v

    M  
x
y
 x y 
y 
si ricava il profilo di temperatura turbolento
Lo sforzo tangenziale alla parete risulta praticamente
Con le ipotesi di:
• modesti gradienti di pressione; costante;
• termini convettivi trascurabili. ciò implica che nella regione vicina alla parete risulti
costante anche il flusso termico (equazione dell’energia).
DIFFUSIVITA’ TURBOLENTA E PROFILO DI TEMPERATURA 2/2
La costanza del flusso termico si traduce nella:
dT
dT
q  q p  k  c p  H 
  c p a   H 
dy
dy
Separando le variabili ed integrando:

y y
Introducendo poi:
T  Tp  T 

c p v
qp
y
*


0
v*

T  Tp  
a   Pr
qp
y
dy
c p 0 a   H
H 
M
si ottiene:
Prt
dy 
1 M 1

Pr  Prt
L’integrazione numerica dell’equazione
attraverso la formula di Van Driest e la
relazione Prt = 0,9, è graficata nella
figura seguente:
 M  Ky   T  
 M  
Prt
ln y   APr 
K
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Lastra piana con deflusso parallelo - Moto laminare 1/6
• Regime stazionario;
• fluido incomprimibile e di proprietà costanti;
• dissipazione viscosa trascurabile;
• assenza di generazione interna di calore.
u v

0
x y
u
u
 2u
u v
 2
x
y
y
T
T
 2T
u
v
a 2
x
y
y
Con le prime 2 equazioni si ricava il campo di moto che, introdotto
nella III relazione, fornisce il campo termico.
La soluzione analitica proposta da BLASIUS introduce la funzione di
corrente ψ(x,y) definita dalle relazioni:

u
y

v
x
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Lastra piana con deflusso parallelo - Moto laminare 2/6
Con la funzione di corrente, l’eq. di continuità è automaticamente soddisfatta;
  2   2
 3

 3
2
y xy x y
y
l’equazione della quantità di moto diventa:
Si opera un cambio di variabili:
u
y 
x
Ottenendo le espressioni seguenti per u e v:
v
u
f   
  x, y 
x
u
u
VARIABILE DI
SIMILITUDINE
  
x df u 
df

 u
 u
y
 y
u  d x
d



x df u 
  1 u  
df
 1 u   df


  u 

f


2
x

f



f


 d
 2
x
u
dx
2
u
x
x
dx
2
x





 

trasformando l’equaz. della q.d.m. in un’equaz. differenziale
ordinaria, del III ordine, non lineare:
d3 f
d2 f
2 3 f
0
2
d
d
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Lastra piana con deflusso parallelo - Moto laminare 3/6
Le condizioni al contorno si scrivono:
ovvero:
ux,0  vx,0  0
ux,   u
 df 

  f 0  0
 d  0
 df 


1
d


 
La soluzione si ottiene attraverso metodi numerici.
Lo spessore dello strato limite d (dove u/u = 0,99) si ottiene per h = 4,92 ed è pari a:

4,92
u
x
4,92 x

Re x
mentre il gradiente di veolcità trasversale è:
u d 2 f
u
 u
y
x d 2
u
da cui si ottiene l’espressione dello sforzo tangenziale alla parete:  s  
y
quindi
 s  0,332u 
u

x
e il coefficiente di
attrito locale:
C f ,x 
 u 
y 0
s
u 2

2

u d 2 f
x d 2
0,664
Re x
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Lastra piana con deflusso parallelo - Moto laminare 4/6
EQUAZIONE DELL’ENERGIA

Introducendo la variabile adimensionale:
Si ipotizza una soluzione del tipo:
d 2  Pr d

f
0
2 d
d 2
Confrontandola con la
   
T  TP
T  T p
e si sostituisce nell’equazione dell’energia
con le condizioni al contorno
d3 f
d2 f
2 3 f
0
2
d
d
 u
df 



le equazioni risultino identiche 
u
d

 

0  0
e
  1
si evidenzia come per Pr  1
gas, vapore acqueo, acqua liquida ad elevate T e P
Nel caso più generale (Pr ≠ 1) si può ricavare il gradiente di temperatura alla parete:
d
 0,332 Pr 3
d  0
1
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Lastra piana con deflusso parallelo - Moto laminare 5/6
Dal gradiente di temperatura si ricava il coefficiente locale di scambio termico:

T  Tp  d
q
hx 
 k
Tp  T
Tp  T dy
1
y 0
u
 k  0,332 Pr 3
x
Attraverso I valori locali dello sforzo tangenziale:
si può ottenere il valore medio
dello sforzo su una estensione L:
il coefficiente di attrito medio:
 s,L
C f ,L 
Il coefficiente di scambio
termico medio:
 s  0,332u 
u

x
L
2

u
2

 1,328 Re L
1
2
1
k
 u 
h
dx

0
,
332
Pr
 
x

L0
L
 
L
hL 
quindi
1
u
   S dx  0,664u 
L0
L
 s,L

2
1
3
1
hx
Nu x  x  0,332 Re x3 Pr 3
k
1
2 L

dx
0
x
1
2
 h L  2h x  L
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Lastra piana con deflusso parallelo - Moto laminare 6/6
Si può esprimere una relazione che leghi i coefficienti di attrito e di scambio termico:
C f ,x
2

 0,332 Re x
1
2
x
1
2
Nu x  0,332 Re Pr
St x 
Definendo il numero di Stanton:

risulta:
1
2
St x  0,332 Re x Pr
2
3
St x  Pr 
C f ,x

2
3
1
3
hx
Nu x

c p u  Re x Pr
ovvero:
(analogia di Reynolds-Colburn)
2
Dalla misura del coefficiente di attrito si risale al coefficiente di scambio termico.
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Lastra piana con deflusso parallelo - Moto turbolento 1/2
Il moto su lastra piana assume caratteristiche diverse in funzione del numero di Reynolds:
Re x  5  10 5
Moto laminare
5  10  Re x  4  10
5
Re x  4 106
u
6

  0,37  x  Re x
transizione

C f , x  0,0592 Re x
Moto turbolento
u
1
5
u
u
turbolento
laminare
transizione
1
5
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Lastra piana con deflusso parallelo - Moto turbolento 2/2
Rispetto al moto laminare, lo strato limite turbolento cresce più rapidamente:
 turb  x
4
5
 lam
1
4,92 x

 x2
Re x
C f , x,turb  x
Il coefficiente di attrito decresce più gradualmente:

1
5
C f , x ,lam  x
Attraverso l’analogia di Reynolds si ricava l’espressione dello scambio termico:
4
5
x
Nu x  0,0296 Re Pr
1
3
I coefficienti di convezione risultano più elevati rispetto al moto laminare
1
1


 Nu x  0,332 Re x2 Pr 3 





1
2
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Deflusso trasversale su superfici cilindriche 1/4
Il parametro guida è il numero di Reynolds definito come:
Re 
VD

Per Re > 5 avviene la separazione dello stato limite con distacco e formazione di vortici:
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Deflusso trasversale su superfici cilindriche 2/4
Partendo dal punto di ristagno, la pressione diminuisce nella parte frontale del cilindro,
per poi aumentare nella parte posteriore.
Parallelamente, la velocità subisce un incremento nella zona anteriore, per poi rallentare
quando la pressione cresce: in questa fase può avvenire che il gradiente di velocità
lungo y si annulli, ed è proprio qui che avviene il distacco.
Successivamente si verifica anche un flusso invertito: il moto diventa vorticoso e con
una forte componente di casualità.
u
y
0
y 0
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Deflusso trasversale su superfici cilindriche 3/4
La complessità del fenomeno suggerisce un approccio sperimentale per ciò che
concerne l’analisi dello scambio termico:
• Per bassi valori di Re (i primi due) il moto si
mantiene laminare fino al distacco (q = 80°);
successivamente il coefficiente cresce per
l’instaurarsi di moti vorticosi.
Cilindro investito da aria
• Al crescere di Re le curve presentano due
minimi:
 uno per il passaggio da moto laminare a
turbolento;
 l’altro in corrispondenza della separazione
(q = 140°).
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Deflusso trasversale su superfici cilindriche 4/4
Il valore medio del coefficiente di scambio termico sull’area complessiva del
cilindro soddisfa la relazione:
qs  hDLTs  T 
con Ts temperatura della superficie del cilindro
Un espressione di tale coefficiente è stata ottenuta da Whitaker:
2
1
 0, 4   
hD 
3 
2
Nu D 
  0,4 Re D  0,06 Re D  Pr 
k
 s


Valida per:
0,67  Pr  300
10  Re D  10 5
0,25 

 5,2
s



1
4
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Deflusso trasversale su banchi di tubi 1/4
BANCO DI TUBI ALLINEATI
Passo longitudinale
Passo trasversale
Tale configurazione dà origine a flussi termici non troppo elevati e a modeste
cadute di pressione;
u  ST
u
D
max
u max 
con
il numero di Reynolds significativo è: Re 

ST  D
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Deflusso trasversale su banchi di tubi 2/4
BANCO DI TUBI SFALSATI
Passo diagonale
Passo trasversale
Passo longitudinale
Tale configurazione dà origine a flussi termici molto elevati e ad altrettanto elevate
cadute di pressione;
u D
con
il numero di Reynolds significativo è:
Re  max
u max
u ST

2S D  D 
se
SD 
ST  D 
2

altrimenti vale la relazione dei tubi allineati.
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Deflusso trasversale su banchi di tubi 3/4
Il coefficiente di scambio termico per tali configurazioni è definito dalla relazione di
Zukauskas:
Nu D  C Re Pr
m
D
0 , 36
 Pr

 PrS



n
valida per un numero di schiere N > 10, per 1000 < ReD < 2x106 e per 0,7 < Pr < 500.
n = 0 per i gas e 0,25 per I liquidi; C ed m variano come segue:
Tubi allineati
Tubi sfalsati
m  0,6
100  Re D  2  10 5
Re D  2 105
m  0,63
C  0,27
m  0,84
C  0,021
100  Re D  2  10 5
Re D  2 105
S
C  0,35 T
 SL
C  0,4
m  0,84
C  0,022



0, 2
se S T  2S L
se S T  2 S L
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Deflusso trasversale su banchi di tubi 4/4
La caduta totale di pressione si può valutare attraverso una correlazione sperimentale,
proposta sempre da Zukauskas:
2
u max
p  fN
Z
2
in cui f è il fattore d’attrito e Z è un fattore di correzione che dipende dalla
configurazione della schiera:
Tubi allineati
Tubi sfalsati
CONVEZIONE FORZATA ALL’ESTERNO DI SUPERFICI
Deflusso parallelo a banchi di tubi
Risultati sperimentali suggeriscono la valutazione del coefficiente di scambio termico
come segue:
NuD  C Re 0D,8 Pr 0, 4
in cui C risulta pari a:
Tubi allineati
(SL= ST)
SL
C  0,042  0,024
D
Tubi sfalsati
(configurazione triangolare con interasse pari a SD)
SD
C  0,026
 0,006
D
CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTI
Valgono considerazioni simili al deflusso esterno alle superfici, considerando
semplicemente che vi sono frontiere che condizionano lo sviluppo dello strato limite.
Dopo una regione di ingresso in cui avviene l’accrescimento dello strato limite, il moto
nel resto del condotto diventa completamente sviluppato.
Nel moto laminare c.s., ricordando l’equazione della q.d.m. in coordinate cilindriche:
u
T
u u
1 p   u
u



(r )
x
x r
 x r r r
Con le condizioni di strato limite sviluppato:
1 d  du  1 dp
r  
r dr  dr   dx
Integrando due volte rispetto ad r:
 1 dp  2
r  C1 ln r  C2
u  
 4 dx 
CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTI
Le condizioni al contorno per il calcolo delle due costanti:
u r R
0
 du 
  0
 dr  r 0
Si ottiene dunque:
Con velocità massima per r=0:
aderenza alla parete
simmetria della velocità rispetto all’asse
2
R 2  dp    r  
u
  1    
4  dx    R  
u max
R 2  dp 

 
4  dx 
La velocità massima pari al doppio della velocità media:
Quindi:
  r 2 
u
 21    
um
  R  
u max  2u m
CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTI
 dp 
  D
dx
f   2
u
 m
2
Introducendo il fattore di attrito f:
si ottiene:
64
f 
Re D
Il caso di maggior interesse per la maggioranza delle applicazioni pratiche è
comunque il moto turbolento.
Nei condotti la transizione da moto laminare a turbolento si ha per ReD > 2000.
Per ReD > 10000 il moto è completamente turbolento.
C’è una zona di ingresso in cui lo strato limite è ancora laminare, la sua estensione è:
10 
x
 60
D
CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTI
Si utilizzano i risultati della geometria piana, con gli stessi coefficienti del moto laminare:
Cf 
s
1 2
u m
2
 v*
 2
 um
u m 
con:
um
v*
2

2
 
u m

Nu 
 
2
hD
k
h
q
Tp  Tm
v* velocità di attrito alla parete; Tm temperatura di miscela
La distribuzione di velocità (moto turbolento) è:


u  2,5 ln y  5,0
con
y 
y s
y
 v*
 

y è la distanza dalla parete del condotto.
R
u  2,5 ln 


*
m
u *m
s
Cf


  1,75 e poichè


2

 Ru m C f 
  1,75  2,5 ln Re D C f  0,85
 2,5 ln 
2 
 
s



CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTI
1
 4,07 log Re C  0,6
Sostituendo nell’espressione di C si ottiene:
C
f
f
f
f  4C f
e ricordando che nei tubi il fattore di attrito è:
si ottiene, per tubi lisci:
1
f


 2,035 log Re f  0,91
f 
0,184
Re 0, 2
forma semplificata
L’effetto della rugosità si riassume con la scabrezza assoluta e, che modifica
l’espressione del fattore d’attrito come segue (COLEBROOK):
1
f
1
f
 



2
,
51

 2,0 log  D 
 3,7 Re f 




1,11
  
6,9 
 1,8 log 
 

3
,
7
D
Re


D 

DIAGRAMMA DI MOODY
HAALAND
formulazione esplicita, errore dell’1,5%
CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTI
DIAGRAMMA DI MOODY
CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTI
SCAMBI TERMICI
Nel moto laminare vale la relazione:
2
3
St x Pr 
C f ,x
2
Tale relazione si può applicare anche al moto turbolento, infatti:
 tot
u
    M 

y
SFORZO TANGENZIALE
q tot
T
 a   H 
c P
y
  M
q tot
 


FLUSSO TERMICO
c P
 Pr Prt
 T

 y
con:
Prt 
M
H
Se Pr = Prt = 1 le due equazioni sono analoghe a dal loro sviluppo si deduce:
2
3
C
St Pr  f
2
Ipotizzando valida questa relazione anche per
f 
Sostituendo l’espressione di COLEBROOK semplificata:
2
3
St Pr  0,023 Re
0, 2
ovvero
Nu  0,023 Re
0 ,8
Pr
1
3
2
3
Pr  1
0,184
Re 0 , 2
St Pr 
si ottiene
(COLBURN)
f
8
CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTI
SCAMBI TERMICI
Per tenere conto del differente comportamento delle caratteristiche del fluido in
riscaldamento ed in raffreddamento:
Nu  0,023 Re 0,8 Pr n
con:
DITTUS - BOELTER
0,4
per TP > Tm (riscaldamento)
0,3
per TP < Tm (raffreddamento)
n
Se la viscosità varia considerevolmente con la temperatura:
 m 
0 ,8

Nu  0,027 Re Pr 
 
 p
1
3
0 ,14
SIEDER E TATE
CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTI
SCAMBI TERMICI
Le precedenti relazioni valgono per tubi lisci; per condotti rugosi si utilizza la :
f 
n
  Re Pr


8
 m 
Nu 


2
f  3   p 
1,07  12,7  Pr  1
8

con:
n
0,11
per riscaldamento
0,25
per rarreddamento
0
PETUKHOV
flusso termico uniforme alla parete
Lo scambio termico nella zona di ingresso, quando cioè il moto non è completamente
sviluppato, è descritto dalla:
D
Nu  0,036 Re 0,8 Pr  
L
1
3
0 , 055
NUSSELT
CONVEZIONE FORZATA NEI CONDOTTI
CONDOTTI A SEZIONE NON CIRCOLARE
Valgono tutte le correlazioni viste finore a patto che si sotituisca il diametro D del
condotto con il diametro idraulico:
4A c
Dh 
p
con:
Ac = sezione trasversale del condotto
p = perimetro bagnato del condotto