CORSO DI
MODELLI DI SISTEMI
BIOLOGICI
LAUREA IN
INGEGNERIA CLINICA E BIOMEDICA
MODELLI DI DINAMICA CELLULARE.
Il ciclo cellulare è una sequenza ordinata di eventi che
termina con la suddivisione della cellula madre nelle due
S
cellule figlie (mitosi). Il ciclo cellulare si può G1
schematicamente considerare suddiviso in quattro fasi:
una fase preparatoria di attesa (G1) in cui si ha la sintesi
dell’RNA e delle proteine, la fase di duplicazione del DNA M
G2
(fase S), una seconda fase di attesa (G2) e la fase di
mitosi (M). Le cellule possono anche trovarsi in uno stato
quiescente nel quale non si dividono per lunghi periodi
pur conservando la capacità di proliferare.
Nella modellistica cellulare tale stato è stato considerato in alcuni casi un
prolungamento della fase G1, mentre in altri modelli è stato considerato come
un vero e proprio stato al di fuori del ciclo.
Considerando una popolazione di cellule, la velocità di proliferazione dipende da
vari fattori, fra questi i più importanti sono il tempo di ciclo, cioè il tempo che una
cellula impiega a percorrere il ciclo cellulare e che in genere è una variabile
stocastica, la frazione di cellule quiescenti e tutti i fenomeni di perdita
cellulare, naturali o dovuti all’azione di farmaci. Tutti questi aspetti sono alla base
degli studi di cinetica cellulare che hanno infatti lo scopo di analizzare le
caratteristiche del ciclo e la capacità di proliferazione delle popolazioni cellulari.
MODELLI DI PURA CRESCITA.
Nei primi modelli sviluppati si supponeva di osservare la fase della mitosi: si
considerava quindi solo l’evoluzione del numero di cellule a partire da una
condizione iniziale. A causa della variabilità dei tempi di ciclo il numero di cellule
presenti nella popolazione all’istante t è una variabile aleatoria e quindi la sua
dinamica può essere descritta in termini della distribuzione {P(n,t);n=0,1,…..} dove
P(n,t) rappresenta la probabilità che in t il numero di cellule della popolazione sia
pari ad n.
Un semplice modello stocastico in cui non viene considerata la perdita cellulare è il
processo di pura crescita che si basa sulle seguenti ipotesi: se n è il numero di
cellule nella popolazione all’istante t allora detta l·Dt la probabilità che la cellula
abbia una suddivisione nell’intervallo Dt e o(Dt) la probabilità che una cellula
subisca più di una suddivisione nell’intervallo Dt, allora la probabilità che in Dt la
popolazione passi da n-1 cellule a n cellule può essere espressa dall’equazione:
P(n,t+Dt) = P(n,t)·(1-n·l·Dt )+ P(n-1,t)·(n-1)· l·Dt +o(Dt)
Per Dt0 si ottiene quindi la seguente equazione differenziale:
dP(n,t)/dt = l·(n-1)·P(n-1,t) - l·n·P(n,t)
n1
MODELLI DI PURA CRESCITA.
Se in t=0 si ha una sola cellula si ha P(1,0)=1 e P(i,0)=0 per i>1, la soluzione
dell’equazione è data da:
P(n,t) = e-lt·(1 - e-lt)(n-1)
n1
Il valore atteso di questa distribuzione è dato da N(t)= elt. Tale valore atteso si può
considerare soluzione dell’equazione dN(t)/dt=lN(t) con N(0)=1. Tale equazione
rappresenta un semplice modello deterministico di dinamica cellulare. La crescita
esponenziale per il valore atteso della popolazione rappresenta con buona
approssimazione i dati sperimentali in un intervallo significativo della proliferazione di
cellule in coltura. Se si indica con pT(t) la densità di probabilità del tempo di ciclo questa
può essere ricavata considerando che la probabilità che sia T>t è pari a:
P( 1,t ) 
ciò implica che sia:


t
pT (  )d  e -lt
pT(t)=l·e-lt
t 0
Questa distribuzione di probabilità esponenziale è invece un’approssimazione
grossolane delle distribuzioni rilevate sperimentalmente, in cui si osserva un
valore modale diverso da zero.
MODELLI DI PURA CRESCITA.
Il ciclo cellulare è stato anche rappresentato come un numero finito di eventi aleatori
successivi e quindi come il passaggio attraverso una sequenza di k stadi in cui la transizione
da uno stadio al successivo avvenga con una probabilità l e in cui l’uscita dall’ultimo stadio
corrisponda alla mitosi. Si ha così un processo di pura crescita che può essere rappresentato
con un modello a compartimenti. Tale modello fornisce le probabilità relative sia del numero
totale di cellule nella popolazione all’istante t, sia la loro distribuzione nei vari stadi.
Tuttavia la soluzione dell’equazione stocastica associata a tale modello spesso non è
direttamente calcolabile, per cui in generale ci si limita a considerare l’equazione relativa ai
valori attesi:
dN(t)/dt=A·N(t)
1
con
A=
- l
l

 .

 .
 .

 .
 .

 0
0
.................... 0
- l .................... 0
. .................... .
.
.
....................
....................
.
.
.
.
0
.................... .
.................... .
.................... l
l
l
2
l
N
2l
2l 
0 
. 

. 
. 

. 
. 

- 2l 
e con una condizione iniziale che rappresenta la distribuzione delle cellule nei k
compartimenti in t=0.
MODELLI DI PURA CRESCITA.
Si può notare che per t  la popolazione cresce esponenzialmente con velocità di
crescita pari al massimo autovalore di A uguale a (21/k-1)·l. In questo caso poiché le
distribuzioni di probabilità dei tempi di permanenza nei singoli compartimenti sono
esponenziali con parametro l, il tempo di ciclo, che è pari alla somma dei tempi di
permanenza, seguirà una distribuzione gamma:
pT ( t ) 
lk
( k - 1 )!
 t k -1e -lt
t0
con valore atteso pari a k/l che fornisce un’approssimazione migliore delle
distribuzioni sperimentali.
RAPPRESENTAZIONE DELLA FASE G0
 - l1
( 1 -  )l
1


0
A
0


0

0

0
0
0
0
- l2
0
0
0
l2
- l3
0
0
0
- l4
0
0
l3
( 1 -  )l3
l4
- l5
0
0
0
l5
( 2 -  )l6 
l 6 

0

0


0

- 2l6 

1-
G1
2-
S
1-
Q1

G2
M

Q2
Perd
La presenza di cellule in una fase quiescente può essere tenuta in conto, in modelli
del tipo di quelli già considerati, con l’introduzione di un compartimento
rappresentante la fase G0. Un modello di tale tipo è rappresentato in Figura. In
questo modello si hanno due punti del ciclo in cui può avvenire la transizione verso
la fase quiescente: dopo la mitosi, e dopo il completamento della fase S. In tale
modello si assume inoltre che la perdita cellulare si possa avere soltanto dal
compartimento quiescente Q1 da cui le cellule possono rientrare nel ciclo oppure
andare in un compartimento di cellule perdute. Le cellule possono quindi seguire
vari percorsi alternativi (G1SG2M, Q1G1SG2M, etc.) con certe probabilità, tuttavia i
meccanismi che sottendono a questi comportamenti non sono rappresentati nel
modello. Anche in questo caso la crescita ( o il decremento) asintotico della
popolazione è esponenziale con il massimo autovalore della matrice A.
RAPPRESENTAZIONE DELLA FASE G0
Un altro modello che tiene conto della fase G0 parte dall’ipotesi che il tempo di ciclo di ogni cellula sia
composto da un periodo di attesa di lunghezza temporale variabile da cui si esce con probabilità lA per
entrare in un processo di durata pressoché costante che conduce alla mitosi (Vedi Figura). Ciò è
suggerito dal fatto che sperimentalmente spesso la variabilità del tempo di ciclo è da attribuire
prevalentemente alla fase G1. Le equazioni relative ai valori attesi delle popolazioni nelle fasi A e B del
modello sono:
dN A
 -(lA   )N A (t )  2lAe - TB N A (t - TB )
dt
dN B
 lA N A (t ) - N B (t ) - 2lAe - TB N A (t - TB )
dt
Tali equazioni ammettono una soluzione
asintotica esponenziale con una velocità di
crescita a che è soluzione dell’equazione:
a  -( l A   )  2l A e -(  a )T
B
Perd
.


A
lA
B
RAPPRESENTAZIONE DELLA FASE G0
La funzione di distribuzione del tempo di ciclo ( FT(t)) è, in assenza di perdite cellulari, uguale
a zero per tTB e uguale a 1-e-lA (t-TB) per t>TB..
Graficando il ln(1-FT(t)) in funzione del tempo si ottiene curva di Figura che riproduce
abbastanza bene l’andamento ottenuto sperimentalmente, tranne che nella zona t=TB che
nei dati sperimentali ha un andamento più arrotondato. Supponendo che la fase B, pur
avendo uguale durata in cellule sorelle, sia opportunamente distribuita nella popolazione, il
modello fornisce una curva con l’arrotondamento mostrato nei dati sperimentali.
TB
t
lA
ln(1-FT(t))
VOLUME CELLULARE
È stato messo in evidenza che esiste un’interazione tra la crescita della cellula in
volume e l’inizio della sintesi del DNA e della mitosi. In particolare si è evidenziato
sperimentalmente come cellule grandi alla nascita abbiano mediamente un tempo di
ciclo minore e viceversa: ciò in modo da evitare che si generino cellule troppo
piccole o troppo grandi all’interno della popolazione. Un primo modello in cui si tiene
conto dell’accoppiamento tra crescita in volume e ciclo DNA-divisione è dovuto a
Bell e Anderson. In tale modello la popolazione è rappresentata da una funzione
n(t,a,V), tale che n(t,a,V)dadV è il numero atteso di cellule che all’istante t hanno età
dalla nascita compresa tra a e a+da e volume V compreso tra V e V+dV.
Considerando il numero di cellule che hanno età compresa tra a e a+da e volume
compreso tra V e V+dV nell’istante t+Dt si ottiene:
n(t+Dt,a,V) Da DV=n(t,a-Dt,V) DaDV + F(a,V)n(t,a,V) DtDa+F(a,V+DV)n(t,a,V+DV) DtDa+
- L(a,V)n(t,a,V) DtDaDV
dove F(a,V) Dt è la crescita del volume cellulare e L(a,V) Dt è la probabilità di divisione
nell’intervallo Dt di una cellula di età a e volume V. Passando al limite per Da0, DV0 e
Dt0 si ottiene:
n n ( Fn )
 
 - Ln
t a
V
con condizione al contorno

n( t ,0,V )  2 L( a ,2V )n( t , a ,2V )da
0
Lo studio di quest’equazione è molto complesso e non si conoscono condizioni generali per le funzioni F
e L che assicurino una crescita esponenziale asintotica della popolazione.
VOLUME CELLULARE
Un modello matematico differente fa riferimento al livello delle proteine (P) e dei ribosomi
(R), essendo le prime legate alla crescita in volume e i secondi al ciclo sintesi DNA-volume.
Si è ipotizzato che tali variabili obbediscano a una cinetica lineare espressa dalle seguenti
equazioni:
 1
-  R
dR  1

dt

1
 k1 ( rP - R ) -  R
1

dP
1
 k2 R P
dt
2
, se
rP - R  0
P
Pm
se
rP - R  0
Ps
G1
S
G2
M
Con k1, k2, 1 e 2 : costanti di sintesi e di degradazione di ribosomi e proteine e r: costante
caratteristica della cellula che specifica le condizioni per la sintesi dei ribosomi. Se k2·r1>
1/2 P cresce esponenzialmente da un valore iniziale P0 a un valore 2P0 a cui avviene la
divisione cellulare. La durata del ciclo è quindi definita dai parametri biochimici sopra
indicati. Si suppone poi che esistano due valori di soglia PS e PM (PM>PS) relativi all’inizio
della fase S e della fase M cosicché a seconda dei loro valori rispetto a P0 e della durata della
fase S si possono avere differenti lunghezze delle fasi G1 e G2 fino alla scomparsa di una di
queste fasi.