Università degli Studi di Roma Tre
Facoltà di Ingegneria
Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07
LEZIONE N° 8 – IL CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
•
LE CADUTE DI TENSIONE
– INTRODUZIONE
– CLS
• Fenomeno del Creep
• Fenomeno del Ritiro
– ACCIAIO
• Rilassamento
• Inetrazione tra rilassamento e creep e ritiro
– Esempio: calcolo cadute di tensione in un tirante in c.a.p.
•
LE PERDITE DI TENSIONE
– Precompressione a cavi post-tesi
• Perdite per attrito, perdite all’ancoraggio, perdite martinetto
– Precompressione a fili pre-tesi
• Perdite per accorciamento elastico dell’elemento di cls
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Il cemento armato precompresso
CADUTE E PERDITE DI TENSIONE
La forza di precompressione non è costante, in quanto è spesso applicata in fasi successive
ed inoltre è influenzata dai seguenti fenomeni:
• perdite di tensione instantanee nel CLS (c.a.p. a cavi pretesi)
• perdite di tensione istantanee per attrito lungo i cavi (c.a.p. a cavi post-tesi)
• cadute di tensione differite nel tempo a causa dei fenomeni lenti che si verificano nel CLS
(viscosità e ritiro) e nell’acciaio (rilassamento del cavo di precompressione)
Nelle slide successive verranno trattati prima i fenomeni lenti e successivamente le perdite di
tensione differenziate per sistemi a cavi pre-tesi e post-tesi
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Il cemento armato precompresso
CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : VISCOSITA’
il fenomeno del Creep si manifesta in una variazione di lunghezza a tensione costante. Per
livelli di tensione bassi è lecito assumere che tali deformazioni siano proporzionali alle
tensioni; si parla così di viscoelasticità lineare. Detta c la tensione iniziale nel cls (t=t0) si ha
 c ( t )   el   v 
c
Ec

c
Ec
( t, t 0 ) t  t 0
Funzione di viscosità
v
el
N=cost
el+ v
All’istante inziale t0 il provino si deforma
elasticamente ( el ). Successivamente, a
carico
costante,
si
manifesta
la
deformazione viscosa v il cui andamento
nel tempo è legato alla funzione di
viscosità che dipende sia dall’istante
iniziale in cui viene applicato il carico che
dall’istante nel quale si calcola la
deformazione
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Il cemento armato precompresso
CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : VISCOSITA’
La teoria lineare permette l’applicazione del principio di sovrapposzione degli effetti. Se
dunque agli istanti t1 e t2>t1 si applicano due carichi differenti 1 e 2 la deformazione totale
(elastica+viscosa) sarà la somma delle due deformazioni singole:
Se al tempo t2 sussiste lo scarico ossia 2=-1 la precedente, ancora somma delle singole
deformazioni, diventa
t=
A tempo infinito permane una
deformazione non più recuperabile
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Il cemento armato precompresso
CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : VISCOSITA’
La normativa italiana (D.M. 14.09.05) fornisce i valori della funzione di viscosità a tempo
infinito (t, t0) per un valore della tensione al più pari a 0.3 RckJ dove j è il il tempo della
messa in carico t0=j (ipotesi di viscosità lineare)
(t, t0)
I valori dipendono anche
dalla
geometria
identificata mediante il
parametro ho = 2A/p che
rappresenta il rapporto tra
il doppio dell’area di
calcestruzzo esposto e il
perimetro
che
confina
l’area stessa.
Per valori intermedi di
deve
utilizzare
una
interpolazione lineare tra i
valori forniti.
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CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : funzione di viscosità nel tempo
Volendo calcolare il valore della funzione di viscosità ad un tempo finito t il D.M. 14.09.05
fornisce la seguente formula:
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CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : funzione di viscosità nel tempo
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CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : funzione di viscosità nel tempo
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Il cemento armato precompresso
CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : VISCOSITA’
Il calcolo della caduta di tensione dovuta al creep si ottiene semplicemente
calcolando la deformazione elastica nel calcestruzzo a livello dell’armatura di
precompressione, moltiplicando successivamente per il modulo elastico
dell’armatura precompressa(te,lat0funzione
di viscosità fornita dalla normativa:
)
 v  t0 ,   E p c ,el  t0 ,   E p
 c ,el
Ec
 t0 ,   n c ,el
La variazione di tensione si può calcolare anche più semplicemente con
riferimento alla tensione elastica nel calcestruzzo c,el e al coefficiente di
omogenizzazione n= Es/Ec
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Il cemento armato precompresso
CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : RITIRO
Nel progetto delle strutture in c.a. e c.a.p. occorre tener conto della diminuzione del volume
del calcestruzzo nel tempo a causa della continua perdita d’acqua non combinata con il
cemento. Tale fenomeno che va sotto il nome di ritiro dipende in genere dalla composizione
del calcestruzzo (essenzialmente rapporto acqua/cemento), dalla geometria dell’elemento
strutturale e dall’umidità e dalla temperatura ambientale. Il ritiro di manifesta
essenzialmente in una deformazione che può essere determinata con una legge del tipo:
 r (t )   r 0  t, t 0 
dove r0 è la deformazione (di ritiro) dipendente dal
materiale e dalle condizioni ambientali, mentre la
funzione  è la funzione che regola il fenomeno nel
tempo e che dipende da
t0=istante iniziale a partire dal quale si tiene
conto del ritiro
t = età del cls
h0 = dimensione caratteristica della struttura
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Il cemento armato precompresso
CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : RITIRO (D.M. 14.09.05)
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CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : RITIRO (D.M. 14.09.05)
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CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : RITIRO (D.M. 14.09.05)
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Il cemento armato precompresso
CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : RITIRO (D.M. 09.01.96)
Nel caso del c.a.p. la precedente normativa semplificava il calcolo della
deformazione del calcestruzzo dovuta al ritiro e stabilisce che (p. 4.4.4.8 a )
• per strutture per le quali l’applicazione della forza di precompressione avviene
dopo 14 giorni dal getto il valore della deformazione viscosa rit può essere
assunta pari al 0.25°/°°
• per strutture precompresse prima di 14 giorni dalla data del getto la
deformazione a tempo infinito v può essere assunta pari al 0.3°/°°
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Il cemento armato precompresso
CADUTE DI TENSIONE NEL CLS : RITIRO
La caduta di tensione nell’armatura di precompressione dovuta al ritiro è infine
valutabile semplicemente moltiplicando la deformazione da ritiro fornita dalla
normativa per il modulo elastico dell’armatura di precompressione ipotizzando
che tale deformazione sia uniformemente distribuita
 rit  E p rit
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Il cemento armato precompresso
CADUTE DI TENSIONE NEL ACCIAIO : RILASSAMENTO
Un fenomeno duale di quello del Creep nel Cls è il fenomeno del rilassamento che si
manifesta nell’acciaio in una diminuzione della tensione nell’acciaio sottoposto a
deformazione costante. Questo fenomeno assume particolare rilevanza negli acciai da
precompresso per i quali una diminuzione di tensione al loro interno produce una
diminuzione del grado di precompressione nella struttura precompressa.
La legge con cui varia nel tempo la tensione a deformazione costante nell’acciaio ha
qualitativamente l’andamento indicato in figura.
1
2
0
t1  0
t2  
1   2
La tensione inizialmente variabile linearmente con la
deformazione, diminuisce successivamente con andamento
non-lineare e in particolare la tensione massima si attesta a
tempo infinito su un valore 10-20% inferiore di quello iniziale.
L’andamento nel tempo si assume in genere come logaritmico.
Il fenomeno si manifesta per tensioni elevate mentre per
valori molto bassi di tensioni il fenomeno è praticamente
assente. Le temperature elevate aumentano il fenomeno del
rilassamento. E’ per questo che nel caso di contenitori nucleari
precompressi si deve porre particolare attenzione al fenomeno
del rilassamento per la presenza di temperature di 100-120°.
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CADUTE DI TENSIONE NEL ACCIAIO : RILASSAMENTO
La normativa italiana fissa i valori a tempo infinito della variazione di tensione per
rilassamento che dipendono essenzialmente dalla tipologia di acciaio utilizzato (barre, trecce,
trefoli etc..). In particolare per una tensione iniziale spi=0.75 fptk dove fptk è la tensione
caratteristica a rottura dell’acciaio da
precompresso. Si ammette inoltre che al
variare della tensione iniziale la variazione di
tensione per rilassamento vari con la
seguente legge parabolica:
 ril,
Valori della variazione di tensione a tempo
infinito dovuta al fenomeno del rilassamento in
funzione della tipologia di acciaio da
precompresso
 spi / f ptk
0.50
0.75
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CADUTE DI TENSIONE NEL ACCIAIO : RILASSAMENTO
Nel cemento armato precompresso il fenomeno del rilassamento non si manifesta a rigore in
condizioni ideali di deformazione costante, ma poiché intervengono il creep e il ritiro a
variare le condizioni di deformazione iniziale occorre tener conto anche della loro influenza
nel calcolo della deformazioni da rilassamento. IL D.M. 14.09.05 stabilisce la legge
d’interdipendenza tra rilassamento creep e ritiro:
 2.5 rit   v  

 ril   ril, 1 


 spi


dove rit e v sono rispettivamente le variazioni di tensione nell’acciaio precompresso
dovute rispettivamente al ritiro e alla viscosità, mentre spi è la tensione iniziale al tiro.
ril, è la caduta di tensione per rilassamento a deformazione costante. Il termine tra
parentesi rappresenta ovviamente una termine < 1
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CADUTE DI TENSIONE NEL ACCIAIO
L’effetto combinato del rilassamento dell’acciaio, del creep e del ritiro determina
una caduta di tensione totale:
 tot
 2.5t 0 ,   n c,el  E p rit  

 t 0 ,   n c,el  E p rit   ril, 1 


 spi


Di tale termine si deve tener conto all’atto della precompressione maggiorando
eventualmente lo sforzo di precompressione stesso per evitare ad esempio che,
nel caso si utilizzi la precompressione totale, la sezione risulti interamente
compressa o nel caso di precompressione limitata che la tensione massima di
trazione nel cls sia inferiore alla resistenza del cls.
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PERDITE DI TENSIONE NEL ACCIAIO
Oltre alla cadute di tensione che sono, come visto, differite nel tempo, esistono
altre cause che all’atto della precompressione diminuiscono il tiro inizialmente
imposto. Esse sono le così dette perdite di tensione che si manifestano in
maniera diversa in travi a cavi post-tesi e travi a cavi pre-tesi.
Nel caso si travi a cavi post-tesi il fenomeno delle perdite di tensione è dovuto
essenzialmente all’attrito tra guaina e il cavo, al rientro degli ancoraggi dei cavi e
alle perdite al martinetto. Queste ultime due cause vengono in genere trascurate.
Nelle travi a cavi pre-tesi le perdite di tensione sono si manifestano all’atto del
taglio delle armature dopo la maturazione del getto per l’accorciamento elastico
del calcestruzzo.
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PERDITE DI TENSIONE NEL ACCIAIO
TRAVI A CAVI POST-TESI - PERDITE PER ATTRITO
Tale perdita si manifesta per la presenza di attrito tra la guaina nella quale l’armatura di
precompressione viene inserita per il tesaggio e l’armatura stessa. Per effetto della curvatura
del cavo, su di esso agisce una pressione p pari al rapporto tra lo sforzo normale N e il raggio
di curvatura R in generale variabile lungo il cavo:
p

N1
d
p
A
ds
pt
N2
B
N
R
Quando la differenza tra lo sforzo normale nel
cavo tra due punti del cavo N1-N2 supera la
resistenza di attrito pt il cavo scorre. In tali
condizioni la variazione di sforzo nomale in
un tratto infinitesimo di cavo, dato il
coefficiente d’attrito guaina-cavo fc, vale
dN  f c p ds  f c
N
Rd   f c Nd
R
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PERDITE DI TENSIONE NEL ACCIAIO
TRAVI A CAVI POST-TESI - PERDITE PER ATTRITO
Integrando la precedente nel tratto di cavo A-B si ottiene la seguente legge esponenziale che
regola la variazione dello sforzo normale dovuta all’attrito

Valori di fc per l’EC2
N 2  N1e f c
Come era logico aspettarsi, la variazione di N
dipende unicamente dal coefficiente d’attrito
guaina-cavo e dalla variazione angolare  che
si ha passando dall’estremo A all’estremo B
del cavo. La variazione di tensione nel cavo
dovuto all’attrito è quindi data da
   1 (1  efc )
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PERDITE DI TENSIONE NEL ACCIAIO
TRAVI A CAVI POST-TESI - PERDITE PER ATTRITO
Nei tratti rettilinei non essendoci alcuna variazione angolare si dovrebbe assumere in teoria
una perdita per attrito nulla. La normativa però considera anche per tali tratti una variazione
di tensione che dipende però oltre che dal coefficiente d’attrito fl, ovviamente diverso dal
valore adottato per il caso di cavi curvi, anche dalla lunghezza L del tratto considerato:
N  N ( 1  e   k L )
Il termine k è la variazione angolare espressa
per unità di lunghezza del cavo ed è
generalmente compresa nell’intervallo
0.005 < k < 0.01 rad/m
L
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PERDITE DI TENSIONE NEL ACCIAIO
TRAVI A CAVI PRE-TESI - PERDITE PER DEFORMAZIONE ELASTICA DEL CLS
Nel caso di travi a cavi pre-tesi non sussistono ne perdite per attrito ne tanto meno perdite
per rientro degli ancoraggi. Le uniche perdite sono dovute all’accorciamento elastico del cls
all’atto del taglio dei cavi ad avvenuta maturazione del cls.
In fatti quando i fili vengono tagliati in corrispondenza delle sezioni terminali della trave, la
trave stessa viene assoggetta ad una sistema di forze normali che ne determinano
l’accorciamento. L’accorciamento della trave che tra l’altro permette l’instaurarsi della
collaborazione tra acciaio da precompressione e trave in cls è a sua volta la causa di una
perdita di tensione.
Tale perdita dipende dunque dal livello della tensione iniziale nei fili
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PERDITE DI TENSIONE NEL ACCIAIO
TRAVI A CAVI PRE-TESI - PERDITE PER DEFORMAZIONE ELASTICA DEL CLS
Per valutare l’entità di tale perdita si consideri la trave in figura. Il cavo sia disposto con una
eccentricità e rispetto al baricentro. Detta p0 la deformazione subita dal cavo all’atto del tiro,
c la deformazione del calcestruzzo al livello
dell’armatura di precompressione e G la
deformazione della fibra baricentrica della trave
l’equilibrio tra la risultante di compressione nel csl
e la trazione nell’acciaio comporta che
Asse baricentrico
e
p0
  c E p A p   G E c A c
Dove
Ap
è
l’area
dell’armatura
da
precompressione, Ac è l’area di calcestruzzo.
Essendo lo stato di coazione una pressoflessione
la relazione tra c ed G è semplicemente
c
G

J = momento d’inerzia
baricentrico
 e2


 c   G 1  A c    G k
J


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PERDITE DI TENSIONE NEL ACCIAIO
TRAVI A CAVI PRE-TESI - PERDITE PER DEFORMAZIONE ELASTICA DEL CLS
Sostituendo il valore di G nell’equazione di equilibrio precedente si può esprimere la
deformazione del cls a livello dell’armatura di precompressione c in funzione della
deformazione iniziale del cavo:
1
 c   po
Ac
1
nA p k
Asse baricentrico
e
c
G
In definitiva la perdita di tensione nell’armatura di
precompressione si determina semplicemente in
funzione del tiro iniziale nel cavo No del modulo
elastico
dell’acciaio
e
delle
caratteristiche
geometriche della sezione
 p 
N0
Ac
Ap 
nk