Calcolo combinatorio
Probabilità classica
E = evento
P(E)=probabilità dell’evento E
Nf = numero casi favorevoli
Np= numero casi possibili
Nf
P( E ) 
Np
0  P( E )  1
Calcoliamo la probabilità…
Un po’ di esempi….
Un’urna contiene 4 palline azzurre, 5 rosse e 3
nere. Qual è la probabilità di estrarre una pallina
azzurra? E una pallina rossa? E una nera?
Qual è la probabilità di fare 13 nel giocare la
schedina del totocalcio?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
Possibilità per ogni casella : 1 X 2
Tre possibilità per casella…
13
Quindi quanti casi possibili? 3

3

3

3

...

3

3


Quanti casi favorevoli?
1
P ( E )  13
3
13 volte
Valutare la probabilità che nel gioco del
lotto risulti vincente la terna che abbiamo
giocato.
Quanti sono i casi favorevoli?
Quanti sono i casi possibili?
23
45
12
?
?
?
P( E ) 
?
Il problema è, dunque, CONTARE!
Vediamo come si conta!
Esempio 1
Una macchina da scrivere stampa
solo le lettere a, b, c
Quante parole di due lettere puoi
scrivere avendo a disposizione le tre
lettere?
aa
ab
bb
3 possibilità
ba
cc
ac
ca cb
3 possibilità
bc
3 3  9
Generalizziamo il problema
In quanti modi puoi scegliere k elementi da un
insieme di n elementi (ammettendo di
poterli ripetere)?
n
n
n
n
n
n
1 2 3 4 5 .. .. k
Per ogni elemento abbiamo n possibilità, quindi un totale di
k
n 
n 
n
 n
 ....

n

n
possibilità!

k volte
In questo caso si parla di
DISPOSIZIONI semplici (con ripetizione)
Esempio 2
Un sacchetto contiene le lettere a, b, c.
Quante parole di due lettere è possibile
creare estraendo una lettera per volta (senza
reinserirla nel sacchetto)?
ab
ac
3 possibilità
ba
bc
ca
cb
2 possibilità
3 2  6
Generalizziamo il problema
In quanti modi puoi scegliere k elementi da un
insieme di n elementi senza ripetizione?
n n-1 n-2 n-3
1
2
3
4
n-k+1= n-(k-1)
..
..
..
k
Per ogni elemento abbiamo una possibilità in meno
rispetto all’elemento precedente quindi un totale di
n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  ....  (n  k  1) possibilità!

k
volte
In questo caso si parla di DISPOSIZIONI senza ripetizione
Esempio 3
Quante parole lunghe n si possono scrivere
con un sacchetto che contiene n lettere
distinte ?
n n-1 n-2 n-3
1
2
3
4
3
..
..
2
..
1
n
n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  ....  3  2  1  n!
Questo calcolo si chiama fattoriale
In questo caso si parla di PERMUTAZIONI
Esempi
1. In un club che ha 100 soci, in quanti modi
diversi si possono scegliere 3 membri per
le nomine di presidente, segretario e
tesoriere?
2. In quanti modi, alla seconda prova scritta di
maturità, si possono disporre gli studenti di 5 BS
sui banchi presenti in aula?
3. Quanti numeri di telefono di 7 cifre si possono
scrivere avendo a disposizione i numeri dallo 0
al 9 ?
Esempio 4
Cinque persone (A-B-C-D-E) salgono su un
autobus. I posti a sedere sono tutti occupati
tranne tre. In quanti modi si possono
scegliere, tra le cinque persone, le tre che
occuperanno i tre posti a sedere?
Si tratta di disposizioni?
Se sì la risposta sarebbe: 5*4*3=60
Cominciamo a contare:
ABC ABD ABE
ACD ACE
BCD BCE
BCA BDA …
Se le contiamo come disposizioni ogni tripletta è contata troppe
volte! Ma quante?
Considero una disposizione
B C E
Possono ottenere altre disposizioni da questa permutando tra loro
B,C ed E
EBC
BEC
CEB
CBE
ECB
In quanti modi posso creare i gruppi che contengono le tre
persone B,C ed E scelte? In 3! modi
Ma in questo caso l’ordine non è rilevante perciò i tutti i gruppi
contenenti le persone B,C,E vanno contati una volta sola.
B C E
BEC
EBC
CEB
CBE
ECB
Allora per contare i gruppi di 3 che si
possono sedere dividiamo per 3! il
numero delle disposizioni.
B
C
E
5 43 5 43

 10
3!
3 2
Generalizziamo il problema
In quanti modi si possono scegliere k elementi
da un insieme di n elementi senza
ripetizione e senza tener conto dell’ordine?
Contiamo le disposizioni n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  ....  (n  k  1)
Poi dividiamo per k!
n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  ....  (n  k  1)  n 
  
k!
k 
In questo caso si parla di COMBINAZIONI
Problemi
1. Uno studente deve rispondere a 8 domande
su 10 di un test. In quanti modi può
scegliere le domande?
2. Valutare la probabilità che nel gioco del
lotto risulti vincente la terna che abbiamo
giocato.
Numero casi possibili:
Numero casi favorevoli:
?
23
?
?
45
12
?
?
?
?
I casi possibili sono le combinazioni di 5 elementi su 90
I casi favorevoli sono le combinazioni di 2 elementi su 87
Quindi la probabilità è data da
 87 
 
2
 90 
 
5
DISPOSIZIONI e COMBINAZIONI
(allineamenti di n elementi presi k a k)
Quanti raggruppamenti (o allineamenti)
diversi di k elementi si possono fare
scegliendo i k elementi da un insieme di n
elementi.
(In quanti modi diversi si possono scegliere
k elementi da un insieme di n elementi)
Il problema è il significato che diamo alla
parola diversi attribuito ai raggruppamenti.
Bisogna considerare:
• Se è significativo o meno l’ordine
• Se i raggruppamenti si possono fare con o senza
ripetizione di uno stesso elemento
 Se l’ordine è significativo  Disposizioni
Con ripetizione
macchina da scrivere
Senza ripetizione
sacchetto contenente lettere
 Se l’ordine non è significativo Combinazioni
Disposizioni semplici (con ripetizione)
Le disposizioni di k elementi su n elementi sono i
possibili allineamenti di k elementi scelti tra gli n
oggetti ammettendo che questi possano essere ripetuti,
allineamenti che si differenziano o per gli elementi che
raccolgono o per l’ordine col quale sono indicati.
Il numero delle disposizioni con ripetizione è:
k
n 
n 
n
 n
 ....

n

n


k volte
Disposizioni senza ripetizione
Le disposizioni semplici di k elementi su n elementi sono i
possibili allineamenti di k elementi scelti tra gli n oggetti senza
essere ripetuti, allineamenti che si differenziano o per gli
elementi che raccolgono o per l’ordine col quale sono indicati.
Il numero delle disposizioni senza ripetizione viene
indicato con D n , k e corrisponde al prodotto di k
numeri naturali in ordine decrescente cominciando da n.
Dn ,k  n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  ....  (n  k  1)
Esempio: in quanti modi si possono formare parole di tre lettere
avendone a disposizione cinque, senza ripetizione?
A, B,C,D,E  n=5, k=3
D5,3  5  4  3
Permutazioni
Le permutazioni di n elementi sono allineamenti di n elementi,
non ripetuti, che si distinguono esclusivamente per l’ordine col
quale sono registrati.
Il numero delle permutazioni si indica con Pn e corrisponde al
prodotto dei primi n numeri naturali, ovvero al fattoriale di n.
Pn  n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  ....  3  2  1  n!
Esempio: in quanti modi si possono formare parole di cinque lettere
avendone a disposizione cinque, senza ripetizione?
A, B,C,D,E  n=5
P5  5  4  3  2  1
Combinazioni senza ripetizione
Le combinazioni semplici di k elementi su n sono gli allineamenti
possibili di k elementi distinti presi da n oggetti senza essere
ripetuti, allineamenti che si distinguono esclusivamente per gli
elementi che raccolgono e non per l’ordine.
Il numero delle combinazioni semplici si indica con C n ,k e
corrisponde al numero
Cn , k
n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  ....  (n  k  1)  n 

  
k  (k  1)  (k  2)  ...  2 1
k 
Vediamo come si può riscrivere tale rapporto:
Cn , k 
Dn,k
Pn,k
n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  ....  (n  k  1)

k!
Moltiplicando e dividendo per (n-k)!
n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  ....  (n  k  1) (n  k )!



k!
(n  k )!
n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  ....  (n  k  1) (n  k )  (n  k  1)  ...  2 1



k!
(n  k )!
n
n!

  
k!(n  k )!  k 
Coefficiente binomiale