Marta Pinto
Stefania Serra
Valentina Paravidino
TEORIA DELLE MISURE
1.
Di queste cinque persone si conoscono le seguenti informazioni:
-
MARCO: ligure, 30 anni, sposato, scarsa empatia.
SOFIA: campana, 20 anni, nubile, buona empatia.
CHIARA: emiliana, 33 anni, divorziata, buona empatia.
GIOVANNI: toscano, 18 anni, celibe, buona empatia.
MATTEO: trentino, 25 anni, celibe, media empatia.
(a) Per ciascuna delle seguenti proprietà si individui una scala di
misura adeguata:
1.
Sesso
2.
Provenienza (nord, centro, sud)
3.
Grado di empatia
4.
Stato civile
5.
Età
(b) Per ciascuna di esse si costruisca un adeguato sistema relazionale
empirico e si trovino almeno due scale di misura equivalenti e la
trasformazione ammissibile che le unisce.
• Sesso
- Sistema empirico: classificatorio
- Scala: nominale
- Trasformazioni permissibili: corrispondenze biunivoche
- E’ una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva (EQUIVALENZA)
Marco
Marco
Sofia
Chiara
~
Sofia
~
~
Chiara
~
~
Giovanni
Matteo
~
~
Giovanni
~
~
~
Matteo
~
~
~
SISTEMA RELAZIONALE EMPIRICO E
NUMERICO
0
Marco
Sofia
Chiara
Giovanni
Matteo
1
2
3
4
5
Valori assegnati:
f (Marco) = 2 (uomo)
f (Sofia) = 4 (donna)
f (Chiara) = 4 (donna)
f (Giovanni) = 2 (uomo)
f (Matteo) = 2 (uomo)
SCALE DI MISURA EQUIVALENTI
0
2
4
6
Marco
Sofia
Chiara
Giovanni
Matteo
0
2
4
6
• Provenienza
- Sistema empirico: classificatorio
- Tipo di Scala: nominale
- Trasformazioni permissibili: corrispondenze biunivoche
- E’ una relazione simmetrica, transitiva e riflessiva (EQUIVALENZA)
Marco
Marco
Sofia
Chiara
Giovanni
~
Sofia
~
~
Chiara
~
~
Giovanni
~
~
Matteo
Matteo
~
~
SISTEMA RELAZIONALE EMPIRICO E
NUMERICO
0
Marco
Sofia
Chiara
Giovanni
Matteo
2
4
6
Valori assegnati:
f (Marco) = 6 (nord)
f (Sofia) = 2 (sud)
f (Chiara) = 4 (centro)
f (Giovanni) = 4 (centro)
f (Matteo) = 6 (nord)
SCALE DI MISURA EQUIVALENTI
0
1
2
4
3
5
6
Marco
Sofia
Chiara
Giovanni
Matteo
0
1
2
3
4
5
6
• Grado di empatia
- Sistema empirico: ordinato
- Scala: ordinale
- Trasformazioni permissibili: monotona crescente in senso stretto
- E’ una relazione riflessiva, transitiva e connessa (RELAZIONE
D’ORDINE LARGO TOTALE)
Marco
Sofia
Chiara
Giovanni
Sofia
~
~
~
Chiara
~
~
~
Giovanni
~
~
~
Marco
Matteo
Matteo
~
~
RELAZIONE D’ORDINE
Marco
Matteo
Sofia
~
Chiara
~
Giovanni
SISTEMA RELAZIONALE EMPIRICO E
NUMERICO
0
Marco
Sofia
Chiara
Giovanni
Matteo
1
2
3
4
5
6
Valori assegnati:
f (Marco) = 1 (scarsa)
f (Sofia) = 3 (buona)
f (Chiara) = 3 (buona)
f (Giovanni) = 3 (buona)
f (Matteo) = 2 (media)
SCALE DI MISURA EQUIVALENTI
0
1
2
4
3
5
6
Marco
Sofia
Chiara
Giovanni
Matteo
0
1
2
3
4
5
6
• Stato civile
- Sistema empirico: classificatorio
- Scala: nominale
- Trasformazioni permissibili: corrispondenze biunivoche
- E’ una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva (EQUIVALENZA)
Marco
Marco
Sofia
Sofia
Chiara
Giovanni
Matteo
~
~
~
~
Chiara
~
Giovanni
~
Matteo
~
~
~
SISTEMA RELAZIONALE EMPIRICO
E NUMERICO
0
Marco
Sofia
Chiara
Giovanni
Matteo
1
2
3
4
5
6
Valori assegnati:
f (Marco) = 1 (sposato)
f (Sofia) = 3 (nubile)
f (Chiara) = 5 (divorziata)
f (Giovanni) = 3 (celibe)
f (Matteo) = 3 (celibe)
SCALE DI MISURA EQUIVALENTI
0
1
2
4
3
5
6
Marco
Sofia
Chiara
Giovanni
Matteo
0
1
2
3
4
5
6
• Età
- Sistema empirico: additivo
- Scala: a rapporto
- Trasformazioni permissibili: dilazioni
- E’ relazione riflessiva, connessa e transitiva (RELAZIONE
D’ORDINE LARGO TOTALE)
Marco
Marco
Sofia
Chiara
Giovanni
Matteo
Sofia
Chiara
Giovanni
Matteo
~
~
~
~
~
SISTEMA REAZIONALE EMPIRICO
E NUMERICO
0
36
40
50
60
66
Marco (30)
Sofia (20)
Chiara (33)
Giovanni (18)
y = 2x
Matteo (25)
SCALE DI MISURA EQUIVALENTI
0
36
40
50
60
66
y=2x
Marco
Sofia
Chiara
Giovanni
y=3x
Matteo
0
54
60
75
90
99
INDICI DESCRITTIVI
•
Sia X una raccolta di dati su scala a intervalli con i seguenti
elementi:
X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17}
(a)
(b)
(c)
Compilare la tabella delle frequenze
Calcolare tutte le statistiche significanti su tale scala (tra cui il 23
ed il 77 percentile)
trasformare i valori di x in punti z
La frequenza indica quante volte si presenta un
dato elemento dell’insieme.
X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17}
Frequenze
f
1
1
3
3
5
1
7
4
10
1
12
1
13
1
15
1
17
1
TOTALE
14
La proporzione è il rapporto tra la frequenza di
una classe e il numero totale di elementi misurati.
P=
f
n
Frequenze
f
Proporzioni
P
1
1
0,07
3
3
0,21
5
1
0,07
7
4
0,29
10
1
0,07
12
1
0,07
13
1
0,07
15
1
0,07
17
1
0,07
TOTALE
14
1
La frequenza percentuale è la proporzione
moltiplicata per 100.
f%=
f
· 100
n
Frequenze
f
Proporzioni
P
Frequenze
percentuali
f%
1
1
0,07
7%
3
3
0,21
21%
5
1
0,07
7%
7
4
0,29
29%
10
1
0,07
7%
12
1
0,07
7%
13
1
0,07
7%
15
1
0,07
7%
17
1
0,07
7%
TOTALE
14
1
100%
Le frequenze cumulative riportano in ogni dato la
somma delle frequenze fino a quel momento
riscontrate, comprese quelle del dato stesso.
Frequenze
f
Proporzioni
P
Frequenze
percentuali
f%
Frequenze
cumulative
f. C.
1
1
0,07
7%
1
3
3
0,21
21%
4
5
1
0,07
7%
5
7
4
0,29
29%
9
10
1
0,07
7%
10
12
1
0,07
7%
11
13
1
0,07
7%
12
15
1
0,07
7%
13
17
1
0,07
7%
14
TOTALE
14
1
100%
Le frequenze cumulative percentuali sono le
frequenze cumulative moltiplicate per 100.
f . c. % =
f. c.
n
· 100
Frequenze
f
Proporzioni Frequenze
percentuali
P
f%
Frequenze
cumulative
C
Frequenze
cumulative
percentuali
fc%
1
1
0,07
7%
1
7%
3
3
0,21
21%
4
28%
5
1
0,07
7%
5
36%
7
4
0,29
29%
9
64%
10
1
0,07
7%
10
71%
12
1
0,07
7%
11
79%
13
1
0,07
7%
12
86%
15
1
0,07
7%
13
93%
17
1
0,07
7%
14
100%
TOTALE
14
1
100%
CALCOLO DELLE STATISTICHE
SIGNIFICANTI
Dato l’insieme
X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17}
esso è una scala di misura a rapporti e intervalli, perciò tutte le
statistiche da noi analizzate sono significanti.
1. Moda (Mo)
La moda è quel valore che compare con la massima frequenza, è il
dato più comune.
E’ un indice della tendenza centrale.
Dato l’insieme
X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17}
la moda è 7.
2. Mediana (Mdn)
La mediana corrisponde a quel valore che occupa la posizione centrale
in un insieme di dati disposti in ordine crescente.
E’ un indice della tendenza centrale.
Dato l’insieme
X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17}
la mediana è 7
3. Media (X)
La media è il numero che si ottiene sommando tutti i dati e dividendo il
totale per il numero stesso dei dati.
E’ un indice della tendenza centrale.
Dato l’insieme
X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17}
1+3(3)+5+7(4)+10+12+13+15+17
14
la media è 7,86.
= 7,86
4. Quartili (Q)
Dividono la distribuzione dei dati in 4 parti uguali.
Sono indici di posizione.
- Il primo quartile ha il 25% delle frequenze dei valori al di sotto della
sua posizione.
- Il secondo quartile coincide con la mediana se n è dispari, nel caso
in cui n sia pari corrisponde al numero immediatamente inferiore a
½ (n + 1)
(50%).
- Il terzo quartile ha al di sotto i ¾ dei dati della distribuzione (75%).
- Il quarto quartile è situato al di sopra della totalità delle frequenze
(100%).
Frequenze
f
Proporzioni Frequenze
percentuali
P
f%
Frequenze
cumulative
C
Frequenze
cumulative
percentuali
fc%
1
1
0,07
7%
1
7%
3
3
0,21
21%
4
28%
5
1
0,07
7%
5
36%
7
4
0,29
29%
9
64%
10
1
0,07
7%
10
71%
12
1
0,07
7%
11
79%
13
1
0,07
7%
12
86%
15
1
0,07
7%
13
93%
17
1
0,07
7%
14
100%
TOTALE
14
1
100%
(a) Differenza interquartilica (D.I.)
La differenza interquartilica è la differenza tra il terzo e il
primo quartile, ossia:
D.I. = Q3 – Q1
Dato l’insieme
X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17}
Q3 = 12 Q1 = 3
12 – 3 = 9
(b) Semidifferenza interquartilica (S.I.)
La semidifferenza interquartilica è la metà della differenza
interquartilica.
S.I. =
Q3 – Q1
2
Quindi :
12 – 3 = 4,5
2
5. Gamma (G)
La gamma descrive la distanza tra il valore minimo e il valore massimo
di un dato insieme.
E’ un indice di dispersione o di variabilità.
Dato l’insieme
X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17}
la gamma è 17 – 1 = 16
6. Percentili (P)
I percentili dividono la distribuzione in cento parti.
Sono indici di posizione.
P=
Dato l’insieme
n·m
100
X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17}
Il 23 percentile è il valore numerico al di sotto del quale sta il 23%
dei dati, quindi
14 · 23 = 3,22
P
23
= 3 (ossia il dato in terza posizione)
100
Il 77 percentile è 14 · 77 = 10,78
100
P77 = 10
7. Punti z o Punti Standard
I Punti Z sono indici di posizione.
xi – X
Z= s
per calcolare s si utilizza la formula
S = √∑
n
2
(xi – X)
i= 1
n
Prendiamo come esempio il primo numero: 1
2
(1 – 7,86) = 3,36
14
2
xi
X
xi - X
(xi – X)
1
7,86
- 6,86
47,06
3
7,86
- 4,86
23,62
5
7,86
- 2,86
8,18
7
7,86
- 0,86
0,74
10
7,86
2,14
4,58
12
7,86
4,14
17,14
13
7,86
5,14
26,47
15
7,86
7,14
50,98
17
7,86
9,14
83,54
0
311,77
TOT.
3 volte
4 volte
2
Avendo trovato s (varianza) ora calcoliamo s (deviazione standard)
prima dividendo per n e poi calcolando la radice del risultato ottenuto.
√311,77 / 14 = 4,72
Abbiamo così trovato s.
Avendo tutti i dati possiamo calcolare Z.
Z=
xi – X
s
xi
1
3
5
7
10
12
13
15
17
X
7,86
7,86
7,86
7,86
7,86
7,86
7,86
7,86
7,86
xi - X
- 6,86
- 4,86
- 2,86
- 0,86
2,14
4,14
5,14
7,14
9,14
S
4,72
4,72
4,72
4,72
4,72
4,72
4,72
4,72
4,72
Z
- 1,45
- 1,03
- 0,61
- 0,18
0,45
0,88
1,09
1,51
1,94
… GRAZIE
x la vostra attenzione!!
