L. G. Laboratorio di Storia delle Matematiche
Testo IX delle tavolette di Susa
cambiamento di variabile
Traduzione
Io sommo la superficie, la lunghezza e la
larghezza: fa 1
Prendo 3 volte la lunghezza e 4 volte la
larghezza, aggiungo la sua 17a parte alla
lunghezza: ottengo 0;30
Tu: Prendi 0;30 17 volte, tu troverai 8;30.
A 17 volte la larghezza aggiungi 4 volte
la larghezza, tu troverai 21: poni 21 come
coefficiente della larghezza ; 3, il triplo
della lunghezza, come coefficiente della
lunghezza: qual è il significato di 8;30?
È la somma di 3 volte la lunghezza e di
21 volte la larghezza.
Aggiungi 1 alla lunghezza e 1 alla
larghezza e fai la moltiplicazione.
Tu hai aggiunto 1 alla somma della
superficie, lunghezza e larghezza, e tu
trovi la superficie 2
Da: Textes mathematiques
de Suse, 1961
Interpretazione
xy + x + y = 1
y + 1/17(3x + 4y) = 0 ;30 (1/2)
Si introducono le incognite ausiliarie
X = x+1
Y = y+1
Come ho moltiplicato la lunghezza e la
larghezza della superficie 2 e 1;20 la
larghezza … 1 la costante additiva della
lunghezza e 1 quella della larghezza, … la
somma: 2, tu trovi 32;30.
Ecco ciò che stai cercando: 3 volte la
lunghezza addizionata a 21 volte la
larghezza, moltiplica 3 volte la lunghezza
per 21 volte la larghezza e moltiplica
ancora per 2, la superficie, tu trovi 2,6
Fraziona in due 32;30 della somma, tu
trovi 16;15, fai il quadrato di questa metà,
tu trovi 4.24;3.45; sottrai 2;6 da
4.24;3.45, tu trovi 2.18;3.45.
La radice quadrata è 11;45. Somma 11;45
a 16;15, tu troverai 28.
In secondo luogo sottrai (16;15-11;45); tu
troverai 4;30
Fai l’inverso del triplo della lunghezza,
trovi 20. 20 a 4;30 … Porta 20 a 4;30 e
ottieni 1;30
1;30 è la lunghezza di 2 volte la superficie
... 21 volte la larghezza che dà 28 per
prodotto. 1;20 è la larghezza di due volte
la superficie.
Sottrai 1 a 1;30, trovi 0;30. Sottrai di
nuovo 1 da 1;20 e ottieni 0;20.
Riduzione a forma normale
3X·21Y = 3·21·2 = 2,6 ( = 126)
3X + 21Y = 32 ;30
Riduzione
a forma
normale
Calcola
le 2 radici
positive
Testo IX delle tavolette di Susa
Soluzione
Traduzione
Io sommo la superficie, la lunghezza e la
larghezza: fa 1
Prendo 3 volte la lunghezza e 4 volte la
larghezza, aggiungo la sua 17a parte alla
lunghezza: ottengo 0;30
Tu: Prendi 0;30 17 volte, tu troverai 8;30.
A 17 volte la larghezza aggiungi 4 volte
la larghezza, tu troverai 21: poni 21 come
coefficiente della larghezza ; 3, il triplo
della lunghezza, come coefficiente della
lunghezza: qual è il significato di 8;30?
È la somma di 3 volte la lunghezza e di
21 volte la larghezza.
Aggiungi 1 alla lunghezza e 1 alla
larghezza e fai la moltiplicazione.
Tu hai aggiunto 1 alla somma della
superficie, lunghezza e larghezza, e tu
trovi la superficie 2
Interpretazione
xy + x + y = 1
y + 1/17(3x + 4y) = 0 ;30 (1/2)
17y +3x +4y = 0;30  17 = 8;30
(8+1/2)
(17 +4) y + 3x = 21y + 3x = 8;30
Si introducono le incognite ausiliarie
X = x+1
Y = y+1
XY = (x+1)(y+1) =
xy + y + x + 1 =1+1
XY= 2
Come ho moltiplicato la lunghezza e la
larghezza della superficie 2 e 1;20 la
larghezza … 1 la costante additiva della
lunghezza e 1 quella della larghezza, … la
somma: 2, tu trovi 32;30.
Ecco ciò che stai cercando: 3 volte la
lunghezza addizionata a 21 volte la
larghezza, moltiplica 3 volte la lunghezza
per 21 volte la larghezza e moltiplica
ancora per 2, la superficie, tu trovi 2,6
Fraziona in due 32;30 della somma, tu
trovi 16;15, fai il quadrato di questa metà,
tu trovi 4.24;3.45; sottrai 2;6 da
4.24;3.45, tu trovi 2.18;3.45.
La radice quadrata è 11;45. Somma 11;45
a 16;15, tu troverai 28.
In secondo luogo sottrai (16;15-11;45); tu
troverai 4;30
Fai l’inverso del triplo della lunghezza,
trovi 20. 20 a 4;30 … Porta 20 a 4;30 e
ottieni 1;30
1;30 è la lunghezza di 2 volte la superficie
... 21 volte la larghezza che dà 28 per
prodotto. 1;20 è la larghezza di due volte
la superficie.
Sottrai 1 a 1;30, trovi 0;30. Sottrai di
nuovo 1 da 1;20 e ottieni 0;20.
21y+21 +3x+3 = 8 ;30 +24
21Y +3X = 32;30
Riduzione a forma normale
3X·21Y = 3·21·2 = 2,6 ( = 126)
3X + 21Y = 32 ;30
Z2 – 32 ;30Z + 2,6 = 0
2
Z = 1/2·32;30 ±
 32;30 

  2,6
 2 
Riduzione
a forma
normale
Z1=16;15 + 11;45 =28=21Y
Z2=16;15 - 11;45 = 4 ;30 =3X
3X = 4 ;30
(1/3) ·4;30 =1;30 = x+1
21Y = 28
Y = 1 ;20 = y + 1
x =1 ;30 – 1 = 0 ;30
y = 1 ;20 – 1 = 0 ;20
Calcola
le 2 radici
positive
Euclide, Elementi, Prop. VI.27
Si veda il testo di Euclide nel Dossier
“Di tutti i parallelogrammi applicati ad una stessa retta e che
siano mancanti di parallelogrammi simili e similmente disposti
rispetto a quello descritto sulla metà della retta, è massimo il
parallelogramma che è applicato alla metà della retta ed è simile
al parallelogramma mancante”.
D
F
F
A
C
K
B
A
Questa proposizione ha un significato “algebrico” importante. Riferiamoci
per semplicità al caso in cui (AD) sia un quadrato.
Se indichiamo con S l’area del rettangolo (AF) la VI.27 ci dice quale è
il valore massimo di S e stabilisce la separazione fra i casi in cui
è possibile e quelli in cui è impossibile risolvere il problema che si traduce
nell’equazione x 2  ax  S  0
a
2
D
Fra tutti i rettangoli (AF)
costruiti su AB e mancanti
di un quadrato,
quello massimo è il quadrato
costruito su AC.
F
A
S
C
x
x
B
a
Area del rettangolo (AF) : S  (a  x) x
 x 2  ax  S  0
2
a
   S
2
Il problema si può
risolvere se S non supera
il quadrato costruito
sulla metà di AB.
2
a
si hanno soluzioni reali se    S  0
2
a
cioè S   
2
2
Leonardo Pisano, Liber Abaci,
Cap. 12, p. 318
doppia falsa posizione
…
1C  100 Rotoli
1L  20Soldi 1S  12Denari
Le posizioni x’ e x”
sono minori della soluzione x
Le posizioni x’ e x”
sono maggiori della soluzione x
Le posizioni x’ e x”
sono rispettivamente maggiore e minore
della soluzione x
1C  100 Rotoli
1L  20Soldi 1S  12Denari
Soluzione
1C vale 13L
1R quanto vale?
poniamo che 1 R valga x'  1 soldo
1C  100R vale 100S  5L per cui l'errore è
e'  ( 13  5) L  8L
poniamo che 1 R valga x"  2 soldi
1C  100 R vale 200S  10 L per cui l'errore è
e"  ( 13  10) L  3L
x " x '  1S  12 D
e ' e "  5L
Che cosa devo aggiungere ad x" per avere x? x"+? = x
e ' e "
e"
x " x '
x-x"
(e ' e ") : ( x " x ')  e ": ( x - x ") da cui x  x " 
12 D  3L 36
1

D   7D
5L
5
5
1
x  2S  (  7 D) In questo caso le posizioni sono state minori della soluzione
5
…
Omar Al Khayyam
Da: O. Al Khayyam, L’oeuvre algébrique,
etablie, traduite et analysée par
R. Rashed et A. Djebbar, Paris 1979
L’equazione trinomia del I tipo x3  bx  c ,
viene scritta come
2
2
x3  p 2 x  p 2q con b = p e c = p q per il principio di omogeneità
dimensionale.
Si veda il testo di Al
La risoluzione si ottiene per intersezione
Khayyam nel Dossier
della circonferenza x2 + y2 = q x
e della parabola y = x2 /p.
L’ascissa QS del punto
P di intersezione delle
curve rappresentate in
figura è la radice cercata.
Al-Khayyam non scrive
equazioni, ma usa
le proporzioni
C(0, q/2)
Al-Khayyam dà una dimostrazione di tipo sintetico utilizzando la teoria delle
proporzioni.
Applica la proprietà della parabola data Apollonio:
x
p

PS x
(1)
Considera ora il triangolo rettangolo QPR, la sua altezza PS è media
proporzionale fra QS e RS:
x
PS

PS q  x
Uguagliando le espressioni precedenti ricava:
p
PS

x qx
(2)
D’altra parte dalla (1) PS = x2/p che sostituito
nella (2) fornisce l’equazione
x3  p 2 x  p 2 q