Le trasformazioni del piano
A cura della Prof.ssa Maddalena
Dominijanni
Le Trasformazioni
Geometriche
Vogliamo conoscere le relazioni che
sussistono tra gli oggetti geometrici
quando subiscono trasformazioni
Si chiama trasformazione geometrica
una corrispondenza biunivoca fra i punti di
un piano
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La trasformazione identica o identità è quella
che associa ad ogni punto se stesso
Si dice involutoria una trasformazione che, applicata
due volte, coincide con la trasformazione identica
Si chiamano invarianti le caratteristiche che
rimangono inalterate
Varianti le caratteristiche che si modificano
Elementi uniti gli elementi che hanno per trasformati
se stessi
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Gioco del Tangram:
In questo antico gioco cinese, si realizzano
trasformazioni spezzettando una figura geometrica.
Due figure diverse ottenute con il Tangram si
scompongono negli stessi pezzi (equiscomponibili) e
quindi hanno come elemento invariato l’area.
Che scomposto può
essere visto così
E trasformarsi
così e così via
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Invarianti
Le principali caratteristiche che una
trasformazione può lasciare invariate sono:
La Lunghezza dei segmenti
L’ampiezza degli angoli
Il parallelismo
Le direzioni
Il rapporto tra i segmenti
L’orientamento dei punti del piano
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Trasformazioni geometriche
Si possono suddividere in tre categorie:
 Trasformazioni che si ottengono mediante
deformazioni (esempio: disegno su tela
elastica)
 Trasformazioni che si ottengono per
proiezioni (esempio: ombra di un oggetto)
Trasformazioni che si ottengono mediante
movimenti (esempio: immagine riflessa)
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Trasformazioni geometriche: LE ISOMETRIE
Sono trasformazioni geometriche nelle quali la
figura trasformata rimane congruente alla
figura iniziale, conservandone sia la forma e
sia la dimensione.
Le trasformazioni isometriche si ottengono
mediante movimenti rigidi delle figure, che
cambiano unicamente la loro posizione nel
piano.
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Le isometrie
Le principali isometrie sono:

Traslazioni
 Rotazioni
 Simmetria assiale
 Simmetria centrale
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La traslazione
F’
F
r
La figura F con un lato
appoggiato sulla retta r è stata
spostata con un movimento
rigido ottenendo F’.
Destro  destro
Il movimento che ha portato F in F’ è una traslazione:
ogni punto di F si è spostato della stessa lunghezza
(6 cm), nella stessa direzione (parallelo ad r) e nello
stesso verso ( a destra) dando origine ad F’.
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Gli elementi che caratterizzano la
traslazione sono quindi tre:
1. La sua lunghezza (6 cm)
2. La sua direzione (parallela ad r)
3. Il suo verso (da sinistra a destra)
Queste tre caratteristiche definiscono un
segmento orientato, chiamato vettore,
indicato con v o con AB
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Per individuare un vettore occorre indicare:
La sua direzione, cioè la retta a cui appartiene
Il suo verso, che indica il senso di percorrenza
La sua intensità o modulo, che rappresenta la
lunghezza del segmento AB
Teorema: la traslazione è un’isometria
Con questo teorema affermiamo che
due figure che si corrispondono in una
traslazione sono congruenti.
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Inoltre la traslazione ha come caratteristiche
invarianti:
L’allineamento dei punti (collineazione)
La lunghezza dei segmenti
L’ampiezza degli angoli
Il parallelismo
Le direzioni
Il rapporto tra segmenti
L’orientamento dei punti del piano
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La rotazione
Un’altra trasformazione che mantiene
invariate tutte le misure lineari e
angolari è la rotazione attorno ad un
punto.
Per definire una rotazione è necessario
che siano dati:
2.
Un punto, detto centro di rotazione
L’ampiezza dell’angolo di rotazione
3.
Il verso di rotazione (orario o antiorario)
1.
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Teorema: la rotazione è un’isometria
La rotazione quindi ha le proprietà delle
isometrie ed in particolare trasforma una
figura in un’altra ad essa congruente.
Valgono le seguenti proprietà:
Il solo punto unito è il centro di rotazione
Non esistono rette unite se non quelle che si
corrispondono in una rotazione pari ad un angolo
piatto
La rotazione di ampiezza pari ad un angolo giro
coincide con la trasformazione identità
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La rotazione ha come caratteristiche invarianti:
L’allineamento dei punti (collineazione)
La lunghezza dei segmenti
Il parallelismo
L’ampiezza degli angoli
Il rapporto tra segmenti
L’orientamento dei punti del piano
E’ una trasformazione involutoria
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Una Rotazione Particolare:
La Simmetria Centrale
Una rotazione di 180° attorno ad un punto C è
una simmetria centrale.
Il centro di simmetria è il centro della rotazione
Destro va in destro
Teorema: la simmetria centrale è un’isometria
Questo teorema garantisce che due figure
simmetriche rispetto ad un punto sono congruenti
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Ogni retta passante per il centro è una retta unita,
ma non fissa perché cambia l’ordinamento dei suoi
punti
Come in ogni rotazione l’unico punto fisso è il
centro
Due segmenti, o rette che si corrispondono in una
simmetria centrale sono paralleli
La simmetria centrale è involutoria
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Il Ribaltamento:
La Simmetria Assiale
Esistono situazioni in cui le figure mantengono le loro
misure, ma si ‘ribaltano’ generando figure simmetriche
rispetto ad un asse.
Definizione: si dice simmetria assiale la trasformazione
che, data una retta r, associa ad un punto P il suo
simmetrico P’ rispetto ad r.
La retta r prende il nome di asse di simmetria.
P'
r
M
P
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Segmenti corrispondenti sono uguali
Si conservano gli angoli
Triangoli corrispondenti sono congruenti
Sinistro  destro
Teorema: la simmetria assiale è un’isometria
Questo teorema ci permette di dire che due figure che
si corrispondono in una simmetria assiale sono
congruenti.
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Una retta a perpendicolare all’asse di
simmetria ha per trasformata se stessa ed è
quindi una retta unita;
Attenzione però: non è una retta di punti uniti
perché ciascun punto della retta non ha come
trasformato se stesso.
Una retta a // all’asse di simmetria ha per
trasformata una retta a’ ancora // all’asse e
quindi a a stessa.

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Se A’ è il trasformato di A nella simmetria di
asse r, il trasformato di A’ è ancora A e quindi la
trasformazione è involutoria;
 Se i vertici del triangolo ABC si susseguono in
senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ si
susseguono in senso antiorario e quindi
l’ordinamento dei punti non è un’invariante;

(Mostrare la proprietà descritta in cabrì)
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Un angolo ha come asse di simmetria la sua bisettrice
Un triangolo ha un asse di simmetria solo se è isoscele
Il rombo ha due assi di simmetria (diagonali)
Il cerchio infiniti assi di simmetria
Gli invarianti della simmetria assiale sono:
L’allineamento dei punti (collineazione)
La lunghezza dei segmenti
Il parallelismo
Il rapporto tra segmenti
L’orientamento dei punti del piano
 È un’isometria invertente
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Due riflessioni con assi incidenti
producono una … rotazione
Con due riflessioni….
…si ottiene una traslazione
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Trasformazioni composte: scheda di lavoro
Sia s una simmetria rispetto ad una retta a.
1.
Disegna ABC e la retta a; costruisci A'B'C' usando SIMMETRIA assiale con
asse a;
poi usa SIMMETRIA su A'B'C' rispetto ad a.
Cosa ottieni? Cosa puoi concludere?
2.
Disegna ABC e due rette parallele a,b. Opera su ABC con
simmetria assiale asse a ottenendo A'B'C'; opera su A'B'C' con simmetria
assiale asse b ottenendo
A"B"C".
Quale trasformazione associa A"B "C" ad ABC?
Cerca le caratteristiche di tale trasformazione:
• Congiungi i vertici corrispondenti e misura i segmenti
ottenuti; cosa osservi?
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3.
Disegna ABC e due rette a,b incidenti in O. Opera su ABC
con simmetria assiale asse a ottenendo A'B'C' e poi su A'B'C' con
ssimmetria assiale asse b ottenendo
A"B"C".
Quale trasformazione associa A"B "C" ad ABC?
•Cerca le caratteristiche di tale trasformazione
• Congiungi i vertici dei due triangoli con il punto O e
misura gli angoli AOA”, B0B”, COC”.
• Misura l'angolo tra le rette a, b.
• Cerca il legame tra le misure fatte.
4.
Disegna un poligono P a tuo piacere con POLIGONO e
due rette a, b tra loro perpendicolari in O. Opera su P
con simmetria asse a, ottenendo P', poi su P' con simmetria asse b
ottenendo P".
Quale trasformazione associa P” a P?
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