TORSIONE ELASTICA NON CIRCOLARE
y
x
O
z
y
 zy
P
C
z
 zx
O
Mt=C
x
TORSIONE ELASTICA NON CIRCOLARE
Ipotesi di base
1) Le sezioni s’ingobbano, cioè non restano piane
2) Le sezioni ruotano intorno al centro di torsione di un
angolo proporzionale alla distanza dalla sezione di
riferimento     z
3) Lo stato di sforzo consiste solo di una  z di
componenti  zx e  zy
4) Esiste una funzione di sforzo  ( x, y )
tale che
 zx 


; zy  
x
y
Proprietà della funzione

1)  ( x, y ) ha un valore costante lungo linee alle quali è
tangente  z
2) In particolare  ( x, y ) è costante lungo il contorno
della sezione
3) Le linee di livello di  ( x, y ) individuano le direzioni di
z
4) Il modulo del gradiente della funzione  è uguale al
modulo di  z
 z  grad ( )
5)
Il doppio del “volume” di  uguaglia il momento
torcente Mt
M t  2 dA
A

c  0
  cost
z
( x, y)
y
x
"Volume" di

Ulteriori considerazioni
1) Per sezioni con più di un contorno, ad es. le sezioni
cave, la funzione  risulta avere valore costante su
ciascun contorno, ma non uguale.
2) Sul contorno più esterno può porsi   0
3) Per sezioni cave la relazione M t  2 dA è ancora
A
valida purchè l’integrale si estenda a tutta l’area
racchiusa dal contorno più esterno. Il valore di
 sulla parte cava si deve assumere uguale al valore
sul contorno interno.
4) Vale in ogni caso lungo una linea chiusa della
sezione resistente la relazione    dl  2A dove Al è
z
l
l’area racchiusa dalla linea l.
l
Ulteriori considerazioni
AL VOLUME SOPRA L'AREA RESISTENTE VA SOMMATO QUELLO SOPRA LA CAVITA'
AREA RESISTENTE
LINEA CHIUSA LUNGO CUI CALCOLARE

l
z
 dl
Caso elastico – sezione piena
Nel caso di comportamento elastico del materiale si ha:
 2  2

 2G
x 2 y 2
Integrando questa equazione differenziale con la condizione al
contorno
 ( xc , y c )   c
E con la condizione integrale
2 dA  M t
A
Si può ottenere la funzione φ(x,y) e quindi le tensioni τzx e τzy
Soluzione in forma chiusa
Sezione ellittica
x2 y 2
 ( x, y)  0 (1  2  2 )
a b
y
 zx
b
 zy
a
2
Eq. del contorno
x
y2
 2 1
2
a
b
x
Soluzione in serie
Sezione rettangolare
 max
A
 zx
 zyB
a
B
b
 max 
Mt
a
; zyB   max
2
b
K2a b
b/a
1.0
1.2
1.5
2.0
2.5
3
4
5
10
K1
0.141
0.166
0.196
0.229
0.249
0.263
0.281
0.291
0.312
K2
0.208
0.219
0.231
0.246
0.258
0.267
0.282
0.291
0.312

Mt
K1Ga3b
Sezione rettangolare stretta
 max
b
y
a
Mt
 max
3M t
4ab
4 0
3M t
 max 

b
ab 2
4 0
3M t
 

Gb 2
Gab 3
0 
x
4y2
  0 (1  2 )
b
Sezione rettangolare stretta
y
a
b
x
Mt
 zx
Sezione a L (scomposta in 2 rettangoli)
a2
a1
b2
b1
Mt
a1
b1
1
Mt1
Mt = Mt1 + Mt2
  
1
a2 M
t2
2
2
b2
Sezione a L
•
Relazioni fondamentali:
 1  3M t
 2  1
G1b1
3
3
G1a1b1  G2 a2b2
G2b2
G1b1
  1   2 
3M t
3
3
4(G1a1b1  G2 a2b2 )
Per sezione omogenea, cioè per G1=G2= G
1 
3M t b1
3
3
a1b1  a2b2
 2  1
b2
b1
N.B. le caratteristiche della sezione
non dipendono dalla disposizione dei
rettangoli componenti
Sezione a L
Ne consegue che la τ è maggiore dove lo spessore è maggiore.
Se inoltre b1=b2=b
1   2 

3M t
( a1  a2 )b 2
3M t
4G ( a1  a2 )b 3
Il termine
4
(a1  a2 )b 3
3
può essere considerato come Ip*, cioè come
momento d’inerzia polare equivalente, per cui

Mt
GI *p
Sezioni chiuse a parete sottile
Rappresentazione della funzione
 ( x, y )
0
( x, y)
sezione resistente
c  0

È costituita da una superficie rigata che unisce il contorno esterno
al contorno interno
Sezioni chiuse sottili a comportamento elastico
area media
linea media
h

Mt
2 Am h

Mt
dl
2

4 Am G lm h

N.B. si ha il valore maggiore di dove lo spessore h è minore
Sezioni chiuse composte da più strati sottili
l1
l2


M  2 (   ) A   A
t
1 2 1m
2 2m
  (   ) / h ;   / h
1
1 2 1 2
2 2
 l  2G A ; l  2G A
11
1 1m 2 2
2 2m
h2 h1
2
1
A1m
A2m
sezione di

1 
Mt
l1G2 A2 m
;



2
1
h2l1G2 A22m
l2G1 A1m
2h1 A1m (1 
)
h1l2G1 A12m

M t l1
h2l1G2 A22m
2
4h1 A1mG1 (1 
)
h1l2G1 A12m