Il piano fattoriale a due fattori
• Esempio di piano fattoriale: il caso della
progettazione robusta di batterie
Temperatura (°F)
Tipo di
Materiale
1
2
3
15
130
Durata Batterie 70
155
34
125
40
20
70
74
180
80
75
82
58
150
188
136
122
25
70
159
126
106
115
58
45
138
110
174
120
96
104
168
160
150
139
82
60
1. Che effetti hanno il tipo di materiale e la temperatura sulla durata delle batterie?
2. C’è una scelta di materiale suscettibile di dare una durata elevata,
indipendentemente dalla temperatura (batteria robusta al D temperatura)
Il piano fattoriale a due fattori
• Piano completamente causalizzato
1
Fattore B
2
…
…
y111, y112 ,..., y11n
y211, y212 ,..., y21n
...
y121, y122 ,..., y12n
y221, y222 ,..., y22n
...
...
...
...
y1b1 , y1b 2 ,..., y1bn
y2 b1 , y2 b 2 ,..., y2 bn
...
a
ya11, ya12 ,..., ya1n
ya 21, ya 22 ,..., ya 2 n ...
yab1 , yab2 ,..., yabn
Fattore A
1
2
Osservazione generica alla k-esima replicazione: yijk
i  i  esimo livello Fattore A
j  j  esimo livello Fattore B
k  k  esima replicazio ne
b
Il piano fattoriale a due fattori
• Piano completamente causalizzato
1
Fattore B
2
…
…
y111, y112 ,..., y11n
y211, y212 ,..., y21n
...
y121, y122 ,..., y12n
y221, y222 ,..., y22n
...
...
...
...
y1b1 , y1b 2 ,..., y1bn
y2 b1 , y2 b 2 ,..., y2 bn
...
a
ya11, ya12 ,..., ya1n
ya 21, ya 22 ,..., ya 2 n ...
yab1 , yab2 ,..., yabn
Fattore A
1
2
Modello a fattori fissi con effetti dei trattamenti
definiti come scarti dalla media generale:
b
Yijk     i   j   i j   ijk  ij   ijk ,
dove ij     i   j   i j
  effetto medio generale
 i  effetto dell' i  esimo livello del Fattore di riga A
 j  effetto del j  esimo livello del Fattore di colonna B
 i  j  effetto dell' interazion e tra fattori di riga e colonna
  0
  0
      
a
i 1 i
b
j 1
j
a
i 1
b
ij
j 1
ij
0
Il piano fattoriale a due fattori
• L’interesse è rivolto a valutare ipotesi
sull’eguaglianza di effetti di riga, colonna e
di interazione
Effetto di riga :
H 0 :  1   2  ...   a  0
H1 : almeno un  i  0
Effetto di colonna :
H 0 : 1   2  ...   a  0
H0 = Nessun Effetto
H1 : almeno un  i  0
H1 = Presenza Effetto
Interazion e :
H 0 : ( )ij  0,  i,j
H1 : almeno un ( )ij  0
Il piano fattoriale a due fattori
yi ..  totale delle osservazio ni effettuate col livello i - esimo del fattore A
y.j.  totale delle osservazio ni effettuate col livello j - esimo del fattore B
yij.  totale delle osservazio ni nella cella ij - esima
y...  totale generale di tutte le osservazio ni
con le rispettive medie : yi .. , y.j., yij., y...
Espresso matematica mente :
Yi ..
, i  1,2,..., a
bn
Y. j .
a
n
Y. j .  i 1 k 1Yijk ; Y. j . 
, j  1,2,..., b
an
Yij. i  1,2,..., a
n
Yij.  k 1Yijk ; Yij. 
,
j  1,2,..., b
n
Yi ..   j 1 k 1Yijk ; Yi .. 
b
n
Y...  i 1  j 1 k 1Yijk ; Y... 
a
b
n
Y...
abn
Il piano fattoriale a due fattori
• La somma dei quadrati totale corretta può
Riarrangiando
essere scritta come:
2




Y

Y

Y

Y


2
a
b
n
a
b
n  i ..
...
. j.
...
i1  j1 k 1 Yijk  Y...   i1  j1 k 1 Y  Y  Y  Y   Y  Y  

ij.
i ..
. j.
...
ijk
ij.

 bn i 1 Yi ..  Y...   an  j 1 Y. j .  Y...   n i 1  j 1 Yij.  Yi ..  Y. j .  Y...  
a
b
2
2
a
b
2
 i 1  j 1 k 1 Yijk  Yij. 
a
b
n
2
Giacché i sei prodotti incrociati che provengono dallo sviluppo del lato destro
sono nulli, si noti che la somma dei quadrati totale è stata scomposta in una
somma dei quadrati dovuta alle sole righe, alle sole colonne, all’interazione
tra i fattori A e B e all’errore:
SST  SS A  SSB  SS AB  SSE
Il piano fattoriale a due fattori
• Il numero di gradi di libertà associati a ciascuna
somma dei quadrati è:
Effetto
A
Gradi di libertà
a 1
B
Interazion e AB
b 1
a  1b  1
Errore
Totale
abn  1
abn  1
I gradi di libertà dei fattori sono pari al numero di livello meno 1. I gradi di libertà delle
interazioni sono dati dal numero delle celle – 1 a cui vanno sottratti i gradi di libertà
dei singoli fattori. Infine, il grado di libertà dell’errore è dato dal grado di libertà di
ciascuna casella del piano sperimentale, cioè n-1, moltiplicato il numero di caselle ab.
Il piano fattoriale a due fattori
• Ciascuna somma dei quadrati divisa per i propri gradi di
libertà è un quadrato medio con valore atteso E(MS)
dato da (D.C. Montgomery, Progettazione ed Analisi degli Esperimenti, pp. 74-79):
Termini pari a 0 solo in
caso di validità
dell’ipotesi nulla H0,
cioè in caso di assenza
di effetti di riga, colonna
e incrociati
bn i 1 i
 SS A 
2
E ( MS A )  E 
  
a 1
 a 1
a
 SS 
E ( MS B )  E  B    2 
 b 1
2
an  j 1  2j
b
b 1


SS AB
E ( MS AB )  E 
   2 
 a  1b  1 
 SS E 
E ( MS E )  E 
   2
 abn  1 
n i 1  j 1  ij
a
b
2
a  1b  1
Dimostrazione esemplificativa
Il piano fattoriale a due fattori
 SS E 
   2
E ( MS E )  E 
 abn  1 
Per definizion e : SS E  i 1  j 1 k 1 Yijk  Yij.  , da cui :
a
b
2
n
2
b
n
 a

 i 1  j 1 k 1 Yijk  Yij.  
1
a
b
n
E ( MS E )  E 
E i 1  j 1 k 1 Yijk2  2YijkYij.  Yij2.

abn  1

 abn  1


Yij. i  1,2,..., a
n
Tenendo però presente che : Yij.  k 1 Yijk ; Yij. 
,
j  1,2,..., b
n

E ( MS E ) 




1
a
b
n
a
b
a
b
E i 1  j 1 k 1 Yijk2  2 / ni 1  j 1 Yij2.  1 / ni 1  j 1 Yij2. , e quindi :
abn  1
1
1 a
b
n
b
 a

E  i 1  j 1 k 1 Yijk2  i 1  j 1 Yij2. 
abn  1 
n

Sostituend o, poi, il modello : Yijk     i   j   i j   ijk
E ( MS E ) 
E ( MS E ) 


1
1 a
b
n
b
 a
2
E  i 1  j 1 k 1    i   j   i j   ijk  i 1  j 1
abn  1 
n
     
n
k 1
i
j   i j   ijk
Elevando al quadrato, calcolando il valore atteso delle quantità, tenendo presente che il termine  ijk
2
 
2

  essendo stato
2
assunto nullo il valore atteso dell' errore ed, infine, che i doppi prodotti che contengono  ijk hanno valore atteso nullo si ha :
E ( MS E )   2
Similmente si opera per i trattamen ti!
Il piano fattoriale a due fattori
• Per verificare la significatività di entrambi
i fattori e della loro interazione è sufficiente
dividere il corrispondente quadrato medio
per il quadrato medio dell’errore.
• Valori elevati di tale rapporto stanno ad
indicare che i dati non confermano l’ipotesi
nulla H0 e che quindi vige l’ipotesi H1
Il piano fattoriale a due fattori
• Se i termini di errore ijk sono distribuiti
normalmente ed indipendentemente con varianza
costante 2:
Origine della
variabilità
Somma dei
quadrati
Gradi di
libertà
Media dei Quadrati
F0
A trattamenti
SSA
a-1
MSA= SSA/(a-1)
MSA/MSE
B trattamenti
SSB
b-1
MSB= SSB/(b-1)
MSB/MSE
Interazione
SSAB
(a-1)(b-1)
MSAB= SSAB/(a-1)(b-1)
MSAB/MSE
Errore
SSE
ab(n-1)
MSE= SSE/(ab(n-1))
Totale
SST
abn-1
Il piano fattoriale a due fattori
• Le somme dei quadrati possono essere anche
calcolate manualmente, comunque si
suggerisce l’uso di un calcolatore
Y...2
SST  i 1  j 1 k 1Yijk 
abn
a
1
Y...2
2
SS A 
 Y 
bn i 1 i .. abn
b
1
Y...2
2
SS B 
 Y 
an j 1 . j . abn
b
1 a
Y...2
2
SS AB  i 1  j 1Yij . 
 SS A  SS B
n
abn
SS E  SST  SS A  SS B  SS AB
a
b
n
2
SSSubtotali
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Main Effects Plot (fitted means) for Risposta
Materiale
150
Temperatura
140
Mean of Risposta
130
120
110
100
90
80
70
60
1
2
3
15
70
125
Progettazione batteria
SST  i 1  j 1 k 1Yijk2 
a
b
n
Y...2
abn
a
1
Y...2
2
Y


bn i 1 i .. abn
b
1
Y...2
2
SS B 
Y


an j 1 j .. abn
a
b
Y2
SS AB  i 1  j 1Yij2.  ...  SS A  SS B
abn
SS E  SST  SS A  SS B  SS AB
SS A 
Progettazione batteria
SST  i 1  j 1 k 1Yijk2 
a
b
n
Y...2
abn
a
1
Y...2
2
Y


bn i 1 i .. abn
b
1
Y...2
2
SS B 
Y


an j 1 j .. abn
a
b
Y2
SS AB  i 1  j 1Yij2.  ...  SS A  SS B
abn
SS E  SST  SS A  SS B  SS AB
SS A 
Progettazione batteria
Y...2
SST  i 1  j 1 k 1Yijk 
abn
2
a
1
Y
SS A 
Y 2  ...

i 1 i ..
bn
abn
b
1
Y...2
2
SS B 
 Y 
an j 1 j .. abn
a
b
Y2
SS AB  i 1  j 1Yij2.  ...  SS A  SS B
abn
SS E  SST  SS A  SS B  SS AB
a
b
n
2
Progettazione batteria
SST  i 1  j 1 k 1Yijk2 
a
b
n
Y...2
abn
a
1
Y...2
2
Y


bn i 1 i .. abn
b
1
Y...2
2
SS B 
Y


an j 1 j .. abn
a
b
Y2
SS AB  i 1  j 1Yij2.  ...  SS A  SS B
abn
SS E  SST  SS A  SS B  SS AB
SS A 
Progettazione batteria
Y...2
SST  i 1  j 1 k 1Yijk 
abn
2
a
1
Y
SS A 
Y 2  ...

i 1 i ..
bn
abn
b
1
Y...2
2
SS B 
 Y 
an j 1 j .. abn
a
b
Y2
SS AB  i 1  j 1Yij2.  ...  SS A  SS B
abn
SS E  SST  SS A  SS B  SS AB
a
b
n
2
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Y...2
SST  i 1  j 1 k 1Yijk 
abn
2
a
1
Y
SS A 
Y 2  ...

i 1 i ..
bn
abn
b
1
Y...2
2
SS B 
 Y 
an j 1 j .. abn
a
b
Y2
SS AB  i 1  j 1Yij2.  ...  SS A  SS B
abn
SS E  SST  SS A  SS B  SS AB
a
b
n
2
Progettazione batteria
SST  i 1  j 1 k 1Yijk2 
a
b
n
Y...2
abn
a
1
Y...2
2
Y


bn i 1 i .. abn
b
1
Y...2
2
SS B 
Y


an j 1 j .. abn
a
b
Y2
SS AB  i 1  j 1Yij2.  ...  SS A  SS B
abn
SS E  SST  SS A  SS B  SS AB
SS A 
Progettazione batteria
Y...2
SST  i 1  j 1 k 1Yijk 
abn
2
a
1
Y
SS A 
Y 2  ...

i 1 i ..
bn
abn
b
1
Y...2
2
SS B 
 Y 
an j 1 j .. abn
a
b
Y2
SS AB  i 1  j 1Yij2.  ...  SS A  SS B
abn
SS E  SST  SS A  SS B  SS AB
a
b
n
2
Progettazione batteria