Incatenare il tempo
Problemi matematici, soluzioni storiche ed errori
“Tempo, tempo, cos’è il tempo?
In Svizzera si fabbrica, in Francia è fermo, in Italia lo sprecano,
in America dicono che è denaro e in India non esiste.
Per me il tempo è una truffa.”
Camilla Pellegri, 4G
Lavoro di maturità in matematica
Prof. Lehmann e Simona
2007
Liceo Lugano 2
Immagine di copertina
Orologio in disuso sul muro di una vecchia casa, Origlio (fotografia dell’autrice)
Citazione
dalla sceneggiatura del film Beat the Devil (Il tesoro dell’Africa, 1954) di John Huston,
dialoghi di Truman Capote
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
Indice
pagina
1. Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. Il problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.1. Ma che cos’è il tempo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Tempo psicologico, biologico, scientifico
3.2. Il problema astronomico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Anno siderale, anomalistico, tropico
3.3. Il problema matematico: approssimazioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Teoremi, dimostrazioni, applicazioni, teorema di Hurwitz
4. Le origini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1. Il calendario, questo sconosciuto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Giorni, ore, minuti, secondi, settimane, mesi, anno zero
4.2. Quando l’uomo iniziò a misurare il tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chi sceglie la Luna… e chi il Sole
4.3. Una soluzione: il calendario giuliano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Un calendario arbitrario, l’anno bisestile, malintesi e limiti
5. L’ultima miglioria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1. Calendario gregoriano: dieci giorni scompaiono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Una rivoluzione attesa, e i nostri dieci giorni?, la diffusione in Europa
5.2. Calcolare la data della Pasqua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Che cos’è la Pasqua, calendario giuliano e gregoriano, la formula di Gauss
4.4. Calcolare con le classi di resto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Classi di residui, campi e numeri primi
5.3. Determinare il giorno della settimana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Significato delle variabili, formula, spiegazione, esempi
6. Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7. Appendici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A. Altri tentativi di riforma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Il calendario repubblicano, diversi progetti
B. Gli strumenti di misurazione: dalle meridiane agli orologi atomici. . . . . . . . . 47
La meridiana, le clessidre, gli orologi a candela, monumentali, meccanici, atomici
C. Percepire il tempo e il calendario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Lo strano caso della signora J., i “savants”
8. Bibliografia, fonti delle immagini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
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Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
1. Abstract
Il calendario ha una storia complessa che, partendo da una questione astronomica, fa sorgere
diverse difficoltà matematiche e curiosità storiche. Il problema principale sta nel fatto che
un’intera rivoluzione della Terra intorno al Sole non è composta di 365 giorni esatti, bensì di “365
giorni e un po’”. Ignoriamo se questo numero sia razionale o irrazionale, ma in ogni caso si tratta
di una frazione molto scomoda. Si pone quindi il problema dell’approssimazione. La difficoltà di
approssimare utilizzando frazioni dal denominatore ragionevolmente semplice è stato spesso
affrontato in matematica. Sono quindi disponibili diversi teoremi che permettono di valutare la
precisione delle frazioni che approssimano questa cifra “scomoda”. Il fatto è che spesso le frazioni
con una precisione maggiore non sono adeguate all’applicazione nella vita di una società. Ad
esempio, invece di aggiungere un giorno bisestile ogni quattro anni, cosa piuttosto imprecisa,
sarebbe il caso di aggiungerne 242 ogni 1000. Ma questa proposta sarebbe innegabilmente
ridicola, poiché l’aggiunta di otto mesi ogni millennio causerebbe problemi evidenti. La genesi del
calendario occidentale parte così da approssimazioni a bassa precisione per poi raffinarle nel corso
della storia. Analizzando le componenti del nostro calendario come mesi, settimane e ore,
scopriamo che provengono da culture diverse e da tempi diversi. La settimana, ad esempio, è una
creazione babilonese; la divisione dei giorni in 24 ore è un’idea proveniente dalle antiche civiltà
mesopotamiche; mentre i mesi così come li conosciamo sono un prodotto dei Romani sotto Cesare
e poi sotto Augusto.
Il problema del calendario ha quindi molteplici aspetti. Questo lavoro di maturità ha lo scopo di
dare un’idea della complessità della vicenda legata al calendario, un oggetto che tutti usiamo ma
su cui capita raramente di soffermarsi.
Un primo approccio astronomico vuole considerare i moti principali del nostro pianeta, cioè la
rivoluzione attorno al Sole e la rotazione su sé stesso, e del suo satellite, la Luna. I fenomeni
naturali causati da questi moti, come le stagioni o le fasi lunari, sono sempre stati facilmente
osservabili e da questi è nata l’idea stessa di calendario.
L’approccio matematico è volto ad esaminare i diversi modi di approssimare il numero non intero,
causa di tanti problemi. Tramite l’approfondimento e la dimostrazione di alcuni teoremi è possibile
analizzare a fondo la precisione e la sensatezza del calendario in vigore e persino di formularne
alcune alternative.
Infine, un approccio più storico ha lo scopo di fornire un quadro sintetico della nascita del
calendario occidentale, partendo dagli antichi Egizi, passando per Giulio Cesare e papa Gregorio
Magno per poi terminare nelle idee un po’ strampalate dei rivoluzionari francesi.
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Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
2. Introduzione
L’angoscia del tempo che passa ci fa parlare del tempo che fa,
recitano sorridendo i personaggi del film “Il favoloso mondo di
Amelie”. Nulla di più vero. Il tempo scandisce la nostra vita, il
ritmo delle nostre giornate, l’organizzazione dei nostri
appuntamenti, ma non l’abbiamo mai compreso veramente. Da
sempre abbiamo tentato di imprigionarlo nei calendari e di legarlo
a nomi come “minuti”, “mesi”, “secoli”. Ma da quando l’umanità
ha preso a incidere tacche in ossi animali per regolare le stagioni, il
tempo si è rifiutato di lasciarsi classificare, causandoci non pochi
grattacapi.
Abbiamo l’impressione che il cosmo si comporti come un enorme
orologio, regolato e costruito da precise norme matematiche. Non
1. È possibile raffigurare il tempo?
è solo ottimismo o semplicismo. Osservando il semicerchio di un
arcobaleno, la doppia elica del DNA o le ordinate cellette esagonali di un alveare, la regolarità e la
bellezza matematica della natura ci sorprendono non poco. Tuttavia, se in alcuni ambiti le leggi di
natura possono essere descritte da formule semplici ed eleganti, in altre questa regolarità è solo
apparente. Un esempio sono i tre grandi fenomeni naturali legati al nostro pianeta: la rivoluzione
attorno al Sole, la rotazione su se stesso e le fasi del suo satellite. Si presentano in apparenza
precisi e belli ordinati. Abbiamo due enormi luci nel cielo, guarda un po’ di medesima grandezza
apparente (il Sole è circa quattrocento volte più grande della Luna ma è anche quattrocento volte
più distante) che si danno il cambio al crepuscolo e all’alba. Una inoltre cresce e decresce quattro
volte per stagione. Tutto chiaro, esclamiamo allora, l’universo ha un ordine intrinseco
stupefacente. Il creatore di tutto ciò deve essere per forza un esperto matematico! Poi, andando
ad esaminare più da vicino questa presunta regolarità, scopriamo che quattro stagioni non
formano un numero intero di giorni. Anzi, un anno è composto da 365 giorni, 5 ore, 48 minuti e
ben 48 secondi. Per non parlare dei 12 cicli completi delle fasi lunari, che sommati danno circa 354
giorni. Altro che ordine!
E così l’umanità, nella costruzione di un calendario sensato, semplice da usare e sufficientemente
preciso, si è ritrovata a lottare con una natura che si rifiuta ostinatamente di essere incatenata in
semplici schemi numerici. La calendaristica ha una storia affascinante e lunghissima, fatta di
inciampi, di correzioni, di nuove idee. Esprime la volontà dell’uomo di capire e di definire il proprio
mondo. Da una parte gli impone regole rigorose che talvolta non bastano a comprendere la
complessità di ciò che lo circonda, dall’altra non si accontenta mai, si sforza sempre di migliorare la
propria conoscenza. Giungendo persino a cancellare, per decreto, una decina di giorni.
Il bello di questa storia? Che non è ancora finita.
3
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
3. Il problema
3.1. Ma che cos’è il tempo?
Se nessuno me lo chiede lo so, ma se qualcuno me lo chiede non lo so.
Agostino, Confessioni, libro XI
Ne parliamo, ci riferiamo ad esso, vi siamo confrontati tutti i giorni, ci capita anche di maledire il
suo scorrere ininterrotto. Ma cos’è realmente il tempo? Pensiamoci in astratto, senza collegarlo ad
avvenimenti o ad appuntamenti. Non abbiamo nessun organo di senso che possa percepire lo
scorrere del tempo. Come dunque definirlo? Come creare una scala temporale su cui basarsi?
A tutti è già capitato di guardare l’orologio durante una lezione noiosa e riguardarlo dopo un
tempo apparentemente interminabile per scoprire che sono passati solo cinque minuti, mentre
capita di fare tardi ad una festa perché semplicemente non ci si è accorti del tempo che passa. E
non è una semplice scusa. Il tempo che percepiamo, e che potremmo
chiamare tempo psicologico, è soggettivo e dipende da moltissimi
fattori: la nostra organizzazione mentale, la nostra età, l’attività che
stiamo svolgendo in quel momento e così via. I processi che segnano la
nostra evoluzione sono una successione di emozioni, di esperienze, di
percezioni. L’essere umano ha la capacità di classificare questi
avvenimenti in un ordine ben preciso, cioè secondo una scala di tempo
che sia loro propria e che noi immaginiamo razionale. Si tratta invece
di una scala intuitiva, soggettiva e strettamente personale. È presente
2. “Sono in ritardo!”
dell’adolescente o dell’adulto, mentre esiste appena nel bambino, che
ha un passato troppo breve. Negli anni Quaranta uno psicologo mostrò che il tempo intuitivo può
ad esempio essere proporzionale al lavoro svolto (più fatica = periodo più lungo) chiedendo a un
bambino:
-
Quanto ci metti da scuola a casa?
Dieci minuti.
E se corri, vai più o meno veloce?
Più veloce.
Allora ci metti più o meno tempo?
Più tempo.
Quanto?
1
Più di dieci minuti.
Il tempo psicologico non è quindi una scala temporale universale e non può costituire la base per
una società.
Un’altra nozione di tempo che potremmo prendere in considerazione e che pare più “scientifica”,
è il cosiddetto tempo fisiologico. Gli organismi possiedono molti orologi biologici che regolano i
loro bioritmi: la temperatura, il sonno, l’appetito, la riproduzione, il livello ormonale. Nell’uomo
sono regolati e coordinati nel talamo, la parte più profonda del cervello, ma in altri organismi sono
situati altrove, ad esempio nella retina per gli insetti. Esiste inoltre un ben definito tempo
fisiologico: si basa sulle modifiche organiche che conducono un essere umano dallo stato di
1
Da MAIELLO Francesco, Storia del calendario, p. 8
4
Lavoro di maturità in matematica 2007
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neonato a un’età adulta e in seguito anziana. I segni d’invecchiamento, pur essendo evidenti, sono
però difficili da quantificare. Spesso vengono considerati alcuni parametri come la cicatrizzazione
delle piaghe cutanee o la crescita delle cellule nel plasma. Ma questi fattori cambiano al variare
dell’età. È stato dimostrato che le ferite si cicatrizzano molto più rapidamente in un organismo
giovane, così come il formarsi delle cellule sanguigne rallenta con l’età. Ciò mostra che la curva del
tempo di un individuo subisce variazioni non indifferenti in funzione delle sue condizioni di vita. E
stiamo ancora parlando di individuo, di una scala temporale
soggettiva. Dobbiamo scartare quindi questa idea e passare oltre
nella ricerca di un concetto di tempo uguale per tutti. Passiamo
dunque al tempo scientifico. Questa scala di tempo ha la
caratteristica di essere uniforme e ripetibile, in modo da garantire
che un intervallo misurato ora sia identico allo stesso intervallo
misurato in un qualsiasi altro momento; di essere universale, cioè
uguale per tutti; di essere più precisa possibile, nei limiti degli
strumenti di misura. Il modo più semplice di definirlo è dire che si
tratta del tempo misurato e fornito da un orologio. Questo è dire
tutto e niente, visto che le domande che sorgono sono numerose:
Da dove viene questo tempo standardizzato, questa convenzione
3. Orologio del palazzo civico di
tra uomini? E chi ha deciso che dev’essere proprio così? In questo
Praga (1490). Indica le ore, il moto
lavoro verrà analizzato un prodotto di questa concezione di
del Sole e della Luna, i mesi, i segni
tempo: il calendario. Non si tratta di definire ore e secondi bensì
zodiacali. Mostra anche immagini
simboliche e allegoriche.
mesi e anni, ma l’idea di fondo resta la stessa.
Nella storia sono stati seguiti metodi diversi per definire un’unità standard e di conseguenza tutte
le unità temporali derivanti da essa. Nulla di strano, vista la necessità di una sempre maggior
precisione. Se le ore romane erano basate sul crepuscolo piuttosto che sul canto del gallo, o se il
giorno degli antichi cinesi era diviso in cento parti misurate da orologi ad acqua, ora questo non è
più pensabile. Provate a fissare un appuntamento con un uomo d'affari dicendo che vi
incontrerete tra il “canto del gallo” e lo “schiarirsi del giorno”! La definizione di un campione di
tempo dipende strettamente dai dati tratti dall’osservazione e risente dei loro errori. Con lo
svilupparsi della tecnica e il raffinarsi degli strumenti di misura si è giunti a una precisione sempre
più grande. Attualmente, l’unità standard del secondo è definita con l’ausilio della fisica atomica.
Si considera l’irradiamento elettromagnetico emesso o assorbito da un atomo al suo passaggio da
un livello energetico a un altro. La lunghezza d’onda corrispondente è estremamente stabile e può
quindi venir assunta come base per calcolare la durata di un secondo e di tutte le altre unità2.
L’idea di tempo è però molto più ampia della semplice ricerca di una scala universale e abbraccia
gli ambiti più disparati. Apriremmo ad esempio un capitolo enorme se prendessimo in
considerazione la concezione del tempo in senso filosofico e il modo in cui è cambiata nella storia.
Ma senza avventurarci in questi problemi, basti pensare al tempo inteso in senso meteorologico o
in senso musicale!
2
Per approfondimenti: http://it.wikipedia.org/wiki/Orologio_atomico
5
Lavoro di maturità in matematica 2007
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3.2. Il problema astronomico
Sono i ritmi astronomici come il variare delle stagioni e l’alternarsi della notte e del giorno che
diedero origine alla ricerca di una scala di tempo che tenesse conto di questi fenomeni e alla
nascita dell’idea di calendario.
Nessun problema, quindi? Dai moti degli astri e della Terra si può ricavare un’organizzazione del
tempo di cui è poi sufficiente migliorare la precisione raffinando gli strumenti di misurazione? Non
è proprio così. L’astronomia, infatti, ci riserva non poche sorprese. La genesi di un calendario che
fosse coerente sia ai bisogni sociali e civili sia ai ritmi degli astri è stata infatti lunga e complessa.
Come premessa, è utile illustrare velocemente
il funzionamento del sistema Terra-Sole. Il
nostro pianeta orbita intorno al Sole ruotando
in contemporanea su se stesso. L’orbita è a
forma di ellisse (ma molto simile a una
circonferenza) di cui il Sole occupa uno dei
fuochi. Gli assi dei due moti della Terra
(attorno al Sole e su se stessa) sono inclinati
tra loro di 23°27’ e di conseguenza dello stesso
angolo sono inclinati i piani dell’equatore e
4. Sistema Terra-Sole
dell’orbita terrestre, detta eclittica. Questa
inclinazione causa, tra l’altro, il succedersi
delle stagioni. Ci sono infatti dei momenti nell’anno in cui il Sole illumina e riscalda maggiormente
l’emisfero nord e altri in cui è quello sud a ricevere più luce e calore. Per questo al sud è inverno
quando al nord è estate e viceversa.
I due fenomeni principali del sistema Terra-Sole sono la rotazione e la rivoluzione terrestre. La
prima designa un giro completo della Terra su sé stessa. Un “giorno”, insomma. La seconda è
invece l’orbita che il nostro pianeta percorre attorno al Sole. Per compiere un’intera rivoluzione,
impieghiamo un “anno”. Ora, il fatto che ha causato così tanti problemi nella definizione del
calendario è il seguente: una rivoluzione non si compone di un numero intero di rotazioni. Detto in
parole comuni, un anno non è composto da esattamente 365 giorni, bensì da “365 giorni e un
po’”. Ed è questo “po’” ad essere così problematico.
1 anno
≠
365 giorni
Per cominciare a creare un calendario sensato bisogna innanzitutto definire quanto duri
esattamente una rotazione della Terra attorno al Sole. Cosa non evidente, visto che dobbiamo
rilevare una misura non dall’esterno, bensì dall’interno del sistema stesso. Per far ciò abbiamo a
disposizione diversi principi.
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Lavoro di maturità in matematica 2007
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L’ANNO SIDERALE
Questa misurazione prende come riferimento le stelle. Sono così distanti da poter essere
considerate “ferme” rispetto al sistema solare e come fisse sulla volta celeste, concetto ormai
sorpassato, ma utile per la nostra misurazione. Viene quindi scelta una stella qualsiasi allineata con
l’eclittica. Non appena il Sole vi passa davanti, oscurandola, viene fatto partire un immaginario
cronometro. Lo si ferma quando, dopo un giro intero, il nostro astro vi ripassa davanti e quindi la
Terra è nuovamente allineata con il Sole e con la stella scelta. Il risultato della misurazione è il
seguente:
1 anno
365 giorni, 6 ore, 9 minuti e 9 secondi
365,25636 giorni
La strategia necessaria a mettere in atto questa misurazione è un po’ più complicata della sua
descrizione teorica. Dato che un osservatore sulla Terra non può vedere il Sole e le stelle nello
stesso momento, c'è bisogno di un piccolo chiarimento. Osservando il cielo ad est ad ogni alba, si
nota che le ultime stelle che appaiono non sono sempre le stesse, ma c’è un continuo
allontanamento dall’orizzonte. Nelle albe di luglio, ad esempio, nell'emisfero boreale non si può
vedere la costellazione di Orione, ma in agosto comincia a essere visibile. Nell'arco di un anno,
tutte le costellazioni ruotano quindi attraverso l'intero cielo ed è possibile stabilire una stella
precisa a cui “allinearsi”.
L’ANNO ANOMALISTICO
Un altro modo di misurare l’anno, senza servirsi delle
stelle, è fissare un punto preciso sull’orbita terrestre e
cronometrare il tempo trascorso tra un passaggio da
quel punto e il successivo. Il punto utilizzato è il
perielio, cioè il punto in cui la Terra è più vicina al Sole.
Da qui l’aggettivo anomalistico, proveniente da
anomalia, che designa l’angolo tra Sole, Terra e perielio
in un dato momento. Il risultato di questa misurazione
è:
5. Posizione del perielio e dell’afelio
1 anno
365 giorni, 6 ore, 13 minuti e 53 secondi
=
365,259635 giorni
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Lavoro di maturità in matematica 2007
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Qui abbiamo già una sorpresa. Se l’anno è semplicemente una
rivoluzione attorno al Sole, allora perché le due misurazioni danno
risultati diversi? L’anno anomalistico supera quello siderale di 4
minuti e 44 secondi. Non è molto, ma è una differenza da
considerare. È dovuta a un fenomeno che in astronomia viene
chiamato “precessione del perielio”. Per effetto delle interazioni
6. La precessione del perielio
gravitazionali tra i pianeti del sistema solare, le loro orbite non
(fortemente esagerata)
formano ellissi fisse e immutabili come vengono spesso considerate,
ma cambiano forma. In particolare, l’asse dell’ellisse ruota lungo il piano dell’orbita in modo che il
perielio si sposti lentamente. Il punto che noi assumiamo come fisso nella misurazione dell’anno è
invece in moto rispetto alle stelle, cosa che ci permette di capire come mai i due rilevamenti non
danno lo stesso risultato.
L’ANNO TROPICO
Ora, assumiamo un altro punto di vista. Come sappiamo, il piano in cui giace l’equatore terrestre è
inclinato di circa 23°27’ rispetto all’eclittica (il piano dell’orbita del pianeta). I due piani sono
secanti e quindi si incontrano in due punti ben precisi dell’orbita, detti equinozi. L’etimologia
stessa della parola ci comunica un’informazione sulla caratteristica principale di questi due punti:
la durata del giorno è uguale a quella della notte in entrambi gli emisferi. Da quel momento in poi,
la situazione degli emisferi si inverte e uno si avvia verso l’inverno mentre l’altro va verso l’estate.
Questa situazione capita due volte all’anno, all’inizio della primavera e dell’autunno.
Quindi ecco una nuova idea per calcolare la durata dell’anno. Basta far partire il cronometro
quando ci si trova in uno dei due equinozi e fermarlo quando vi si ritorna. Calcolare quando la
Terra si trova in uno degli equinozi è infatti possibile, essendo ciò correlato alla durata del giorno e
della notte, fenomeni relativamente facili da monitorare.
Risultato di questa terza osservazione:
1 anno
365 giorni, 5 ore, 48 minuti e 48 secondi
365,24222 giorni
Il risultato è, accidenti, ancora differente!
La variazione dell’anno tropico rispetto a
quello siderale (assumiamo questo termine
di paragone essendo l’unica misura presa
con punti di riferimento esterni al sistema
solare) è dovuta a un altro fenomeno
astronomico, detto precessione degli
equinozi. Ciò definisce la traiettoria
7. La precessione degli equinozi
8
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dell’asse di rotazione terrestre, che cambia lentamente ma di continuo il suo orientamento
rispetto alla sfera ideale delle stelle fisse. L’asse ruota infatti attorno alla verticale con movimento
simile a quello di una trottola.
Perciò di fatto quando la Terra avrà compiuto un giro intero attorno al Sole (un anno siderale), il
piano dell’equatore, che è per definizione la perpendicolare all’asse di rotazione, si sarà spostato.
Ciò vuol dire che non taglierà il piano dell’eclittica nello stesso momento, ma lo attraverserà con
un certo anticipo sulla fine dell’anno siderale. A loro volta gli equinozi saranno un po’ anticipati
sulla volta precedente, causando lo scarto esistente tra anno tropico e anno siderale.
I motivi della precessione sono una combinazione di fattori. Essenzialmente, la Terra non è una
sfera perfetta, ma è uno sferoide leggermente schiacciato ai poli. Questo rende asimmetriche le
attrazioni gravitazionali esercitate su di essa dai vari astri, cioè soprattutto la Luna e il Sole. La
prima è piccola ma molto vicina, mentre il secondo è lontano ma molto grande. Sotto l’influenza di
queste attrazioni, l’asse terrestre descrive approssimativamente un cono, il cui vertice è il centro
della Terra, in circa 25 800 anni.
Questo cono non è però regolare. La sua superficie presenta delle ondulazioni causate
dall’influenza della Luna, e precisamente dello spostamento della sua orbita. Questo fenomeno è
detto nutazione ma non vi ci soffermeremo, è qui solo accennato per far comprendere l’ampiezza
e la complessità del problema.3
LA SCELTA
Eccoci al momento della verità: qual è la durata dell’anno da considerare? Le diverse misurazioni
astronomiche ci hanno detto tutto e niente, visto che sono tutt’e tre corrette ma danno risultati
differenti. Quale dunque usare?
Da un punto di vista pratico, la risposta è inequivocabile: l’anno tropico. Si fonda infatti sulle
stagioni, d’interesse pratico molto alto per la vita degli abitanti della Terra. Sapere esattamente la
posizione delle stelle che vediamo in cielo o il punto preciso in cui ci troviamo più vicini al Sole non
regge il confronto con la conoscenza del cammino delle stagioni.
3
Per approfondimenti: LEONE Antonio, I moti dei corpi celesti, Franco Muzzio Editore, Padova, 1982, pp 63-66
9
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3.3. Approssimazioni razionali
Come abbiamo visto, il problema principale nella definizione di un calendario sta nel fatto che
l’anno tropico dura 365,24222 … giorni. Non sappiamo se questo numero sia irrazionale, se dopo
quello “0,24222 …” si nascondano ancora molte cifre e quali. Anche se ciò non fosse, se
365,24222 … fosse semplicemente 365 365 , non cambierebbe un granchè.
Infatti la frazione sommata a 365 rappresenta la correzione necessaria perchè l’anno civile
corrisponda all’anno tropico. Se l’anno durasse ad esempio 365,3333 … 365 giorni,
sapremmo che dovremmo aggiungere un giorno ogni tre anni. Così però non è. La questione sta
quindi nel trasformare la nostra frazione scomoda in una somma di frazioni che crei un sistema di
aggiunte preciso e funzionale. Si potrebbe ad esempio ipotizzare la seguente approssimazione:
365,24222 … 365 365 365,24233 che quindi aggiunga un
giorno ogni tre anni, ne tolga uno ogni dieci, ne aggiunga uno ogni cento e così via. Formulare delle
ipotesi tuttavia non basta: bisogna anche e soprattutto verificarne la validità.
Lo strumento matematico necessario è quindi il modo per giudicare la precisione di
un’approssimazione razionale in frazioni con denominatore ragionevolmente piccolo o semplice.
In matematica ci sono per questo diversi teoremi d’esistenza. Non forniscono una soluzione al
problema di trovare la frazione (o la somma di frazioni) più idonea ad approssimare 365,24222 …,
che sta a noi scoprire; garantisce che esiste. Questi teoremi possono però anche venir utilizzati,
come sarà fatto in questo capitolo, come misuratori di precisione una volta data la frazione
approssimante. L’obiettivo di questo approfondimento matematico è quindi di valutare la
precisione del calendario in auge e di eventuali alternative. Per questo vengono proposti qui di
seguito quattro teoremi con le relative dimostrazioni. L’idea di base è sempre la stessa ma i teoremi
misurano una precisione sempre più alta.
TEOREMA 1
sia un numero irrazionale
sia un numero intero positivo
Allora esiste una frazione
COMMENTO
con tale che Il teorema significa che un irrazionale è approssimabile con
con uno scarto inferiore di
.
Come detto nell’introduzione, l’utilità del teorema è la misurazione dell’entità dello scarto, quindi
dell’errore. Il limite del teorema è che non fornisce ma ci assicura semplicemente che esiste. Sta a
noi quindi trovare per poterne testare la precisione. Se invece (non siamo sicuri che
365,24222 … sia irrazionale), il teorema è valido ma deve essere leggermente modificato. La
disuguaglianza stretta diventa: 10
Lavoro di maturità in matematica 2007
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DIMOSTRAZIONE
Indichiamo con !" la parte intera di !, per tutte le ! # 0. Chiaramente !" ! conseguenza ! !" è un numero compreso tra 0 e 1.
!" 1, e di
Anche per vale 0 " 1 e vale pure 0 % %" 1 per ogni % &
Assegnando a % i valori % 1,2,3, … , abbiamo differenti numeri % %", tutti compresi
nell’intervallo "0,1 . ' (; *" se + ,
Consideriamo le suddivisioni di lunghezza
nell’intervallo:
-0, ., - , ., … , /
,1.
0
1
2
…
1
1
Ora, la distribuzione degli numeri % %" in questi intervalli può essere solo di due tipi:
a. Ognuno degli intervalli contiene esattamente uno degli numeri % %".
Esaminiamo ad esempio l’intervallo -0, . , che contiene dunque uno di questi numeri.
Quindi:
0 % %" per un certo valore di % 11,2, … , 2.
(( 3+ 3+" Perciò:
0 % %" 0 % 56"
5
56"
5
*
4
5
se + )
con 1 % 5
%" è un numero intero &7 : denominiamolo 8
%
è un numero intero &7 : denominiamolo . Inoltre 11,2, … 2, cioè Abbiamo così trovato:
1
8
9 9 :
*
;
'9+ 9 => + ,
<4
<
b. Un intervallo non contiene nessuno dei numeri % %" e quindi esiste un intervallo
che ne contiene almeno due
Poniamo che l’intervallo -0, . contenga 2 numeri del tipo % %"
Denominiamoli ? ?" e @ @".
Ci sono quindi 2 numeri interi ? e @ con 0 @ ? per i quali vale:
|'? ?", '@ @",| 11
(con % ).
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
Infatti la differenza tra due numeri compresi nell’intervallo sarà sempre minore della
lunghezza dell’intervallo stesso!
Ne segue:
|'? @, ' ?" @",| Ora poniamo: '? @, e ' ?" @", 8 (entrambi numeri interi e 1 )
Abbiamo quindi: | 8| . Da ciò, moltiplicando da ambo le parti per , troviamo:
1
8
9 9 :
;
Analogamente, per + varrà+ <
*
<4
12
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
ESEMPI E APPLICAZIONI 1.
Torniamo al nostro anno formato da 365,24222… giorni, cioè 365 giorni. Avendo scartato,
con l’uso del semplice buonsenso, l’opzione di aggiungere 24222 giorni ogni 100 000 anni, vediamo
se si riesce a risolvere il problema altrimenti. Altra soluzione, già più accettabile:
Questo significa aggiungere 1 giorno ogni 5 anni (cosa che assomiglia al nostro anno bisestile!)
1 giorno ogni 25 anni
1 giorno ogni 500 anni
1 giorno ogni 5000 anni
e 1 giorno ogni 50000 anni.
Per questioni di comodità togliamo le due ultime correzioni. L’anno di un tale calendario risulta
formato in media da 365 365,242 B
giorni.
Ora, il teorema appena dimostrato garantisce che ci sono una o più frazioni che soddisfino la
disequazione precisione della frazione
. Vogliamo ora utilizzare questo teorema d’esistenza per testare la
B
. In breve, vediamo se e per quali questa frazione corrisponde alla
nostra frazione con i requisiti che conosciamo.
9 1
8
9
con 365242
1
1000
1000 C 1
0,2422 … 1000 C 1
1
4545,45 …
1000 C 365,2422 … D
4
Il risultato contraddice la condizione del teorema per cui . Ciò significa che
B
non
approssima con la precisione promessa dal teorema. Il problema di questi teoremi d’esistenza è,
come già detto, che si limitano a dirci che esistono frazioni con i requisiti dati senza fornire un
modo per trovarle. Sappiamo quindi ora che esistono frazioni migliori di
B
, ma non quali.
Un sistema di aggiunte comodo come quello proposto sopra si è quindi rivelato poco preciso dal
punto di vista matematico. Questa è una conferma del fatto che far quadrare la perfetta
correttezza matematica e le esigenze della vita civile non è affatto facile.
13
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
Nella tabella seguente è presente il test per trovare le frazioni migliori che approssimano lo scarto
di E 0,24222. È stato scelto 1000 e 2 1000.
Come si può leggere, la frazione che approssima 0,24222 con una precisione di meno di
FG
è
FG
. Questo vuol dire che dovremmo aggiungere 179 giorni ogni 739 anni, cosa
FG
assolutamente improponibile nell’ambito di una riforma del calendario.
k
c*k
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
…
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
…
994
995
996
997
998
999
1000
0.48444
0.72666
0.96888
1.2111
1.45332
1.69554
1.93776
2.17998
2.4222
2.66442
2.90664
3.14886
3.39108
3.6333
…
177.78948
178.0317
178.27392
178.51614
178.75836
179.00058
179.2428
179.48502
179.72724
179.96946
180.21168
180.4539
…
240.76668
241.0089
241.25112
241.49334
241.73556
241.97778
242.22
h
h/k
0
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
…
178
178
178
179
179
179
179
179
180
180
180
180
…
241
241
241
241
242
242
242
0
0.3333333
0.25
0.2
0.1666667
0.2857143
0.25
0.2222222
0.2
0.2727273
0.25
0.2307692
0.2142857
0.2666667
…
0.2425068
0.2421769
0.2418478
0.2428765
0.2425474
0.2422192
0.2418919
0.2415655
0.2425876
0.2422611
0.2419355
0.2416107
…
0.2424547
0.2422111
0.2419679
0.2417252
0.242485
0.2422422
0.242
assoluto(c-h/k) 1/(k*N)
test
0.24222
0.0005
FALSO
0.091113333
0.000333333
FALSO
0.00778
0.00025
FALSO
0.04222
0.0002
FALSO
0.075553333
0.000166667
FALSO
0.043494286
0.000142857
FALSO
0.00778
0.000125
FALSO
0.019997778
0.000111111
FALSO
0.04222
0.0001
FALSO
0.030507273
9.09091E-05
FALSO
0.00778
8.33333E-05
FALSO
0.011450769
7.69231E-05
FALSO
0.027934286
7.14286E-05
FALSO
0.024446667
6.66667E-05
FALSO
…
…
FALSO
0.000286812
1.3624E-06
FALSO
4.31293E-05
1.36054E-06
FALSO
0.000372174
1.3587E-06
FALSO
0.000656526
1.35685E-06
FALSO
0.000327425
1.35501E-06
FALSO
7.84844E-07
1.35318E-06
VERO
0.000328108
1.35135E-06
FALSO
0.000654548
1.34953E-06
FALSO
0.000367601
1.34771E-06
FALSO
4.11036E-05
1.3459E-06
FALSO
0.000284516
1.34409E-06
FALSO
0.000609262
1.34228E-06
FALSO
…
…
FALSO
0.000234728
1.00604E-06
FALSO
8.94472E-06
1.00503E-06
FALSO
0.000252129
1.00402E-06
FALSO
0.000494824
1.00301E-06
FALSO
0.00026497
1.002E-06
FALSO
2.22422E-05
1.001E-06
FALSO
0.00022
0.000001
FALSO
14
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
ESEMPI E APPLICAZIONI 2.
Come nell’esempio precedente, utilizziamo il teorema d’esistenza dimostrato come uno strumento
per verificare una precisione. Ricordiamo come procediamo: dalla nostra formula
sappiamo che esiste una frazione che approssimi a meno di
, con dato. Nel
nostro caso, è la durata dell’anno tropico, mentre è la durata dell’anno bisestile, cioè 365,25
giorni. Vogliamo vedere se esiste una che soddisfi la condizione del teorema: Dopo ciò, testiamo la precisione dell’aggiunta di 1 giorno ogni 4 anni, cioè dell’anno bisestile.
9 1
8
9
con 8
36525 1461
365,25 4
100
1
1461
9
C4
4
1
|0,00778 …| C4
1
1
128,5 …
C4
9365,24222 … 32
4
!
Quindi la frazione ha una buona approssimazione. Per un’approssimazione ancora migliore si
dovrebbe togliere un giorno ogni 128 anni, cosa che effettivamente viene fatta omettendo
l’eventuale giorno bisestile all’inizio di ogni secolo (cfr cap.4.1)!
15
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
TEOREMA 2
sia un numero irrazionale
sia un numero positivo intero
Allora esiste una frazione
COMMENTO
con tale che 'K,
L’utilità e i limiti di questo teorema sono simili a quelli del Teorema 1, con la differenza che qui si
assicura l’esistenza di una frazione che approssimi con una precisione non solo di
,
'K,
bensì di
di una frazione quindi più precisa. È necessario ricordare che in queste dimostrazioni è un
numero irrazionale, mentre nel caso del calendario potrebbe anche non esserlo. Per è quindi
più appropriata la seconda dimostrazione (cfr p. 18).
PRIMA DIMOSTRAZIONE
Sappiamo dal teorema 1 che % %" sono numeri compresi tra 0 e 1. Sappiamo inoltre che
0 % %" . Vogliamo dimostrare che 0 % %" K
Facendo variare % 1,2,3, … , otteniamo differenti numeri compresi tra 0 e 1. Aggiungendo
poi gli stessi 0 e 1, risultano 2 numeri. Denominiamo ! 0, ! " , ! 2 2",
… , ! ", !K 1
Ora, la somma delle differenze irrazionali !5K !5 (con % 0,1,2,3, … , , 1) è 1.
Infatti abbiamo:
!5K !5 con % 0,1,2,3, … , , 1 significa
'!K ! , '! !/ , '!/ !/ , … '!/K !/ ,
!K L4 L4 L4/* L4/* L4/M … L4/4K* !/
dove gli elementi in grassetto si annullano tra di loro.
Abbiamo quindi
!K !/ = !K ! 1 0 1
Sapendo questo possiamo dire che esiste almeno una differenza !5K !5 K . Infatti
abbiamo 1 numeri nell’intervallo 1,0" che possono esservi distribuiti in due modi. O
esattamente equidistanti fra loro, oppure non equidistanti. Nel primo caso, impossibile essendo irrazionale, avremo una differenza costante di
ad una distanza maggiore di
K
. Nel secondo caso, anche con un solo numero
K
, dovremo comunque avere una differenza !5K !5 K .
Appurato questo, è semplice arrivare alla forma 0 !5K !5 K ;
0 % %" K ;
Quindi, con %" 8 e % , abbiamo:
9 1
8
9
' 1,
16
.
'K,
56"
:
5
5'K,
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
SECONDA DIMOSTRAZIONE
Frazioni e sequenze di Farey
Quest’altra dimostrazione usa le sequenze di Farey. A lato un
breve inciso su cosa siano queste curiose sequenze
matematiche.
Sia 0; 1"
Sia N la sequenza di Farey di ordine in 0; 1". Essendo irrazionale, O N .
P
R
giace tra 2 frazioni consecutive e appartenenti a N :
Q
E
?
T
@
S
P R
P
Consideriamo il %UTV?WXU - , .. Sappiamo che Q S
Q
Quindi abbiamo due possibilità:
•
PKR
QKS
•
P
PKR
QKS
R
S
PKR
QKS
Q
PKR
R
S
QKS
P
consecutive. Quindi @ T # 1. Infatti se il denominatore
(ridotto) appartenesse a [1, ], la frazione farebbe parte della
sequenza di Farey. Sapendo questi fatti possiamo modificare
le due disequazioni come segue:
•
PKR
P
QR/PS
0 Q QKS Q Q'QKS, Q'QKS, Q'K,
P
Dunque 0 Q Q'K,
•
0Y
R
PKR
R
Y QKS S
S
R
PKR
QR/PS
R
Dunque 0 S S'K,
Siccome
Q
P
Q
e
R
S
due frazioni di Farey
P
consecutive con Q
2.
R
S
. Abbiamo:
@T # W1
e
E@ ?T 1
Dato un qualsiasi numero reale x
c’è sempre una frazione
P
in
Q
Na tale che
1
?
! @
@'W 1,
a
Ad esempio per una frazione con @ Y
P
! b
Q
c
'aK,
bc db
c
ac Ka
e S appartengono a N , sono frazioni irriducibili.
Inoltre @ U T . Abbiamo quindi trovato
1
8
9
con :
' 1,
17
ac
Il mediante delle frazioni di Farey
P e
R
9 Siano
0 S S QKS S'QKS, S'QKS, S'K,
P
Proprietà delle sequenze di Farey
1.
l’errore di approssimazione è limitato da
moltiplicando per (-1) risulta:
R
Generazione delle sequenze di Farey:
! 0 , Z ! 1 , Z W
0 1
, ,?
1 W
Z W
L<KM \
] !K !
ZK
Z W
^<KM \
] ZK Z
ZK
con _?`= parte intera di ?
R
non appartiene a N , visto che giace tra Q e S, che sono
P
Per un qualsiasi W Y 0 dato, si ordinano
in 0; 1" tutte le frazioni ridotte con
denominatore positivo W in ordine di
grandezza crescente. La successione
risultante è detta successione di Farey di
ordine W.
es: W 3 nell’intervallo [0,1]
0 1 1 2 1
N , , , ,
1 3 2 3 1
Si definisce: %UTV?WXU - , . g
P e
Q f
P e
PKe
QKf
Il mediante- , . giace tra , . Ogni
Q f
Q f
termine in una serie di Farey è il
mediante dei suoi vicini. Inoltre il
mediante di qualsiasi due termini è
contenuto nella serie stessa, a meno
che il denominatore (ridotto) non superi
l’ordine n della serie.
cfr SCHROEDER M.R., La teoria dei
numeri, pp.121-124
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
Con qualche accorgimento, possiamo considerare valido il Teorema 2. anche per .
Chiamiamo la frazione irriducibile
P R
h
5
con % Y . giace tra le due frazioni di Farey
possibile che %UTV?WXU - , . Q S
PKR
QKS
P
. Per definizione, infatti, vale ammetterebbe la stretta disuguaglianza del Teorema 2.
Q
Avremmo quindi un teorema simile ma non identico:
sia un numero razionale
sia un positivo intero
h
sia 5 con 'i, %, 1 e % Y Allora esiste una frazione irriducibile
con denominatore in modo che
9 1
8
9
' 1,
18
PKR
QKS
R
P
Q
R
e S ed è
. Questo non
S
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
TEOREMA 3.
sia un numero irrazionale
Allora esistono infinite frazioni irriducibili
COMMENTO
tali che c
Ecco quindi un ulteriore raffinazione della precisione: non più un’approssimazione a meno di
di
'K,
bensì a meno di
c
né
. Anche qui bisogna ricordarsi che potrebbe non essere irrazionale.
Siccome la dimostrazione usa le sequenze di Farey, sono valide le stesse considerazioni di p. 18 che
portano a concludere che, per , esistono infinite frazioni irriducibili
tali che c
.
DIMOSTRAZIONE
Sia N una sequenza di Farey di ordine Y 1.
P
R
appartenenti a N :
?
E
@
T
Possiamo dimostrare il teorema provando che almeno una delle equazioni
giace tra 2 frazioni consecutive Q e
P
Q
S
R
Qc
Sc
S
è vera.
Dimostriamo la fondatezza di queste disequazioni mostrando che non è possibile il contrario
(dimostrazione per assurdo). Se non fossero vere, dovremmo avere
R
La somma di P
Q
QRKPS
QS
#
QS
R
P
Q
con
R
S
S
P
Q
#
Q c
# Sc
(1)
(2)
darà sempre un risultato maggiore di Qc Sc . Dunque:
-S . # Qc Sc
# Qc Sc
Q c KSc
Q c Sc
Q c Sc
@T Qc KSc
@T '@ T , 2@ T @ T 2@T
@ 2@T T 0
'@ T, 0
IMPOSSIBILE!
Abbiamo quindi dimostrato che almeno una delle disequazioni Indicando con quella tra le due frazioni
P
R
Q
Q c
e
R
S
Sc
è vera.
per cui vale quanto sopra, giungiamo alla forma
1
8
9 9 :
2 Q
e
P
S
19
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
TEOREMA 4. (TEOREMA DI HURWITZ4)
sia un numero irrazionale
sia E un numero reale positivo tale che E √5
Allora esistono infinite frazioni tali che COMMENTO
R c
.
Questo ultimo teorema è quello che attesta l’esistenza di una frazione che approssimi con una
precisione ancora maggiore: se prima era a meno di
c
, ora è a meno di
R c
. Per è necessario
modificare i segni di disequazione (cfr p.18). Il teorema ammette quindi l’esistenza di frazioni tali
che R c
.
DIMOSTRAZIONE
Sia N una sequenza di Farey con Y 1 e siano
k
k.
k
e
k
due termini successivi di N tali che
Possiamo dire che
n√5 1o
n√5 1o
o m 2
2
Infatti, se questo non valesse, dovrebbe essere che
o m Y
'1, m #
Da '1, abbiamo che:
m #
n√/o
m # #
m #
n√/oK
√K
m
m
m √K
m K√K
m # grande tra U m .
n√Ko
#
n√Ko
Unendo (1) e (2) risulta che m #
'2,
Da '2, abbiamo che:
n√/o
m #
m
n√5 1o
n√5 1o
e m 2
2
#
m
n√Ko
m
√K
n√Ko
m %?! ', m ,, dove per %?! ', m , si intende il più
4
Adolf Hurwitz (1859-1919) fu un matematico tedesco considerato come una delle più importanti figure nella
matematica del XIX secolo. Si interessò di algebra, di teoria dei numeri e di vari altri settori della matematica.
20
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
Ciò vuol dire che le due disequazioni (1) e (2) si possono riassumere in una sola disequazione,
n√Ko
m Y
n√Ko5
%m Y
%?! ', m , . Se sostituiamo m con %m e %?! ', m , con % troviamo che
. Notiamo che è identica alla prima disequazione che dovevamo dimostrare.
Possiamo dunque rimpiazzare N con Nq di ordine r m . Inoltre possiamo sostituire una
delle frazioni o
k
k
con il mediante
Kk
K k
. Verifichiamo che si tratta di una sequenza di Farey
P
R
provando la seguente proprietà (si veda il riquadro a p. 17): se Q S sono due frazioni consecutive
in una sequenza di Farey, deve valere E@ ?T 1.
k
•
Kk
Y K k : ' m ,8m '8 8m , m 8m 8 m 1
k
•
k
Kk
K k : '8 8m , 8' m , 8m 8 m 1
e sono infatti due termini della successione N per cui vale la proprietà sopra descritta.
k
Riassumendo, possiamo affermare che le due disequazioni m Y
n√Ko
e m n√/o
sono
valide per un numero infinito di sequenze di Farey. Se una sequenza di Farey N non soddisfacesse
queste condizioni, basterebbe sostituirla con un’altra sequenza Nq , sempre di Farey, modificata in
modo che soddisfi questi vincoli.
Ora, sostituiamo la frazione
k
con s.
Le due disequazioni che abbiamo appena dimostrato:
o m Y
diventano:
o
n√5 1o
n√5 1o
o m 2
2
sY
√5 1
2
o
In entrambi i casi possiamo affermare che vale
1
Infatti:
√
√
√
1
1
Y √5
s
s
1 tc Y √5 t
-1 tc. Y t
-1 tc. t Y 0
u-1 tc . u-
√
√t c
t c K
tc
.
√
v
t
√t
v
tc
s
Y0
Y0
ws √5s 1x Y 0
21
√5 1
2
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
Fattorizzando il contenuto delle quadre otteniamo:
-s √t c
√K
. -s
√/
.
Y0
Questo è valido per entrambe le disequazioni. Se s Y
entrambi positivi. Se invece s √/
,
√
tc
Y √5 diventa
-1 t
tc
.Y
√ c
-1 tc
tc
Y √5 t è vera, procediamo con il ragionamento.
t
Moltiplichiamo ambo le parti per
i contenuti delle parentesi saranno
saranno entrambi negativi e moltiplicati daranno un numero
positivo. Ora che abbiamo provato che 1 1
√K
,
.Y
c
:
ct
k
Esaminiamo la prima parte della disequazione sostituendo s √ c
-1 tc . √
y c zkc
c c
z
{
-
√ c
kc . √ c
La seconda parte della disequazione diventa invece
Riunendo le due parti otteniamo
√
c √ kc
Y
k
ct
√ kc
zk
c
z
e da qui
k :
.
k
k k .
√ c
Possiamo dire che uno dei due intervalli
8 8
1
8m
1
8m
| , }oy , m{
√5 ~ √5 m Y
k
k
√ kc
.
k
contiene . Infatti si trova, come abbiamo detto all’inizio, tra e m. I due intervalli di lunghezza
√ c
rispettivamente
√ kc
k
non copriranno esattamente metà intervallo - , k . ognuno, ma si
intersecheranno. si troverà dunque per forza all’interno di uno di essi. Possiamo quindi scrivere
che √ c
rispettivamente k
k
9 OSSERVAZIONE
√ kc
. Dunque
1
8
9
E con E √5
Come già detto, se E √5, esistono infinite frazioni tali che allora R c
R c
. Se invece E Y √5,
vale solo per un numero finito di frazioni . √5 è infatti il valore limite per cui
esistono infinite approssimazioni . Per E Y √5 la lunghezza degli intervalli considerati diminuirà e
non sarà più possibile affermare ciò. Esisteranno ancora delle frazioni che approssimeranno con
un errore minore di R c ma si può dimostrare che sono di numero finito5.
5
cfr CHANDRASEKHARAN K., Introduction to Analytic Number Theory, pp 24-25
22
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
4. Le origini
4.1. Il calendario, questo sconosciuto
Prima di passare alle controversie legate alla sua evoluzione,
osserviamo il calendario attuale, quello che usiamo tutti i
giorni. Non capita spesso di pensarci, ma quest’oggetto è il
prodotto di secoli di discussioni e l’affascinante miscuglio delle
culture più disparate. Dire che ci troviamo alle ore otto di
mercoledì 26 settembre 2007 ha un’infinità di premesse di cui
non ci rendiamo conto. Esistono periodi regolati dai moti della
Terra, ma la loro suddivisione è assolutamente arbitraria. Chi
ci impedirebbe di dividere un giorno in dieci ore di cento
minuti ognuna? O di raggruppare i giorni in “tredicimane”?
8. Calendario con icone in legno
e argento, 1865 ca.
IL GIORNO E LA NOTTE
Il giorno alternato alla notte è un’unità temporale naturale, che ritma la vita vegetale, animale e
umana. La parola latina per “giorno” è “dies”, da cui deriva “dì” (usato anche come suffisso nei
giorni della settimana: lunedì, martedì…). Si pensa che “dies” possa derivare da “dividere” poiché
separa la luce dalle tenebre. I Greci antichi rappresentavano spesso il giorno come un gallo
appollaiato sulla mano di Apollo, perché il grido di quest’animale annunciava la luce ogni mattina.
ORE, MINUTI E SECONDI
La divisione del giorno in ventiquattro ore di sessanta minuti ognuna nasce dal sistema
sessagesimale di origine mesopotamica, per la precisione del popolo Sumero. I primi documenti di
questa civiltà risalgono attorno al 3500 a.C. Le tavolette d’argilla ritrovate che hanno dato origine
alla storia d’Oriente sono ricoperte di segni cuneiformi rappresentanti i numeri. Questi appaiono
già come un mezzo di comprensione e di spiegazione della realtà, sono usati in modo razionale per
prevedere fenomeni astronomici e anticipano in un certo senso gli straordinari apporti in questo
campo della civiltà greca. I Sumeri usavano la base 60 per la loro numerazione (da cui i 60 minuti e i
60 secondi), in cui il numero 10 appare solo come unità secondaria. L’origine di questa
numerazione sessagesimale è ancora incerta. Ci sono diverse ipotesi: che il numero 60 fosse stato
scelto perché minimo comune multiplo di 1,2,3,4,5 e 6; 6 che il motivo sia da ricercare nella
divisione del cerchio in 360°, suddiviso a sua volta in sei parti mediante una semplice corda; che la
divisione del cerchio in 360° sia a sua volta dovuta al movimento della Terra che impiega circa 360
6
Teone di Alessandria (335?-405 ca), filosofo e matematico greco, commentatore di diverse opere matematiche e
scientifiche tra cui gli scritti di Tolomeo.
23
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
giorni a ritornare nello stesso punto della sfera celeste;… Per quanto riguarda le 24 ore, anche se
inserite armoniosamente in mezzo a tutti questi multipli di 6, non sono presenti che alcune ipotesi
incerte. Una di queste, probabilmente nata dal fatto che i Sumeri avevano già diviso il cielo in 12
settori corrispondenti ad altrettante costellazioni, vede l’origine delle 12 ore diurne e delle 12
notturne nei 12 segni dello zodiaco. Etimologicamente, il termine “ora” proviene dal dio egizio
Horus, padre del Tempo. I “minuti”, (da “minuti primi”) prendono il loro nome dal fatto che sono
piccoli, e i “secondi” dalla troncatura dell’espressione “minuti secondi”.
LA SETTIMANA
Il raggruppamento dei giorni in settimane è di provenienza
babilonese e fu poi adottato anche dalla tradizione ebraica. La
parola “settimana” viene dal latino “septem”, cioè sette, e
“matutinum (tempus)”, cioè (tempo) mattutino. Presso i popoli
babilonesi il numero sette aveva un carattere sacro, poiché
approssimava le fasi lunari. Gli Ebrei attribuirono ancora più
importanza a questa divisione del tempo associando i momenti
della Creazione del mondo ai sette giorni della settimana e
9. Ordine dei giorni della settimana,
celebrando il culto di Dio al settimo giorno. Questa idea venne
leggibili partendo dalla Luna
in seguito ripresa dalla Chiesa. Anche l’associazione dei pianeti
ai giorni della settimana risale ai babilonesi. La sequenza degli astri Luna, Marte, Mercurio, Giove,
Venere è legata strettamente ai nomi dei primi cinque giorni, mentre gli ultimi due, che in inglese o
in tedesco mantengono il nome di un corpo celeste (Saturday/Samstag, Sunday/Sonntag), nella
cultura giudaico-cristiana diventarono Sabato, dalla festività ebraica dello Shabbath, e Domenica,
cioè “giorno del Signore”. La Chiesa cercò di rimpiazzare la denominazione pagana con nomi
analoghi ma di origine cristiana, come Luminis dies (giorno della luce) per lunedì, o Martyrum dies
(giorno dei martiri) per martedì, ma il tentativo non ebbe successo.
I MESI
La suddivisione dell’anno in mesi è un'altra vicenda complessa. Il primo calendario romano,
introdotto dal mitico fondatore Romolo, ne aveva probabilmente solo dieci, numerati dal primo al
decimo (ne rimangono delle tracce nei nomi di settembre, ottobre, novembre e dicembre: vi siete
mai interrogati sul motivo per cui il nono mese dell’anno si chiami settembre?). In seguito i primi
mesi cambiarono nome e divennero marzo (in onore di Marte), aprile (da aprilis, l’apertura delle
gemme), maggio (dal dio maggiore, Giove) e giugno (dalla sua consorte Giunone). Viene attribuita a
Numa Pompilio 7 l’aggiunta di due mesi all’inizio dell’anno, dedicati al dio bifronte Giano,
considerato “portinaio del cielo” e al dio dei morti Febro; si raggiunse così la durata di 355 giorni
l’anno. Fu nello stesso periodo che il capodanno fu spostato dalla primavera al primo giorno di
gennaio. Per raggiungere la durata annua di 365 giorni, Giulio Cesare aggiunse altri dieci giorni
7
Numa Pompilio (754 a.C. - 674 a.C.) fu il secondo re di Roma, storicamente esistito ma di cui ci sono pervenute
informazioni leggendarie. A lui sono attribuite diverse riforme e istituzioni, tra cui quella del calendario. Per sottolineare
il carattere sacrale di questa decisione, la leggenda vuole che, in questo difficile compito, fosse consigliato da una ninfa.
24
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
distribuiti a diversi mesi, cosa che determinò l’alternanza dei mesi lunghi e corti e che diede in
seguito il via ai più diversi metodi per ricordare la giusta successione. Chi non conosce la filastrocca:
Trenta giorni ha novembre con april, giugno e settembre, di ventotto ce n’è uno, tutti gli altri ne han
trentuno! Per premio, gli venne dedicato il mese di luglio, mentre Augusto si riservò, per motivi che
vedremo in seguito, agosto.
L’ANNO ZERO
Questa è una faccenda molto spinosa. Esistono molti anni zero diversi: 3761 a.C. per gli ebrei, 660
a. C. per i giapponesi, 552 d.C. per gli armeni, 622 d. C. per i musulmani, 632 d.C. per i persiani, e
così via. Ma senza soffermarsi sulle altre culture, anche definire l’anno zero per i cristiani, che si
diffuse poi in tutto il mondo e che dovrebbe corrispondere alla nascita di Gesù Cristo, non è
compito facile. Fu un monaco sciita del V sec, Dionigi detto il Piccolo, a introdurre l’idea di era
cristiana e a postulare che Cristo fosse nato nel nuovo anno 1, cioè il 753esimo dalla fondazione di
Roma. La discussione sul giorno della Natività fu già motivo di
contrasto tra Chiesa d’Occidente e Chiesa d’Oriente. I primi
preferirono il 25 dicembre, originariamente festa tradizionale
pagana legata al culto di Mitra, un dio persiano. I secondi
invece scelsero il 6 gennaio, che andò a rimpiazzare un’altra
cerimonia già esistente in onore di Osiride. La differenza
persiste tuttora. Il giorno di Natale venne inoltre diffusamente
utilizzato durante il Medioevo europeo come inizio dell’anno
civile, anche se non vi erano indicazioni ufficiali al riguardo. Il 1°
gennaio tornò ad essere il primo giorno dell’anno civile con la
10. Adorazione dei magi (Giotto,1303);
riforma gregoriana del XVI secolo, dopo aver già svolto questa
in alto, la stella cometa
funzione durante l’impero romano.
Sappiamo inoltre che la scelta dell’anno 1 fu errata. Molti studiosi hanno analizzato i Vangeli alla
ricerca di indicazioni temporali: il censimento sotto l'impero di Augusto, le date del regno di Erode,
l’età di Cristo al suo battesimo (sotto il regno di Tiberio), l’età approssimativa il giorno della sua
morte, l’avvistamento di un astro particolarmente luminoso da parte dei re magi. Da ciò, ipotesi
avvalorate permettono di determinare che Cristo è nato attorno al 7 “a.C.”.
Benvenuti nel 2014!
25
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
4.2. Quando l’uomo iniziò a misurare il tempo
Da quando esiste, l’uomo ha tentato di misurare il tempo.
Souviens-toi que le Temps est un joueur avide
Per far ciò si è affidato alle osservazioni della realtà che lo qui gagne sans tricher, à tout coup! c’est la loi.
Baudelaire
circondava e dei fenomeni astronomici. Il Sole e la Luna
sono sempre stati identificati come enormi orologi che regolavano – e regolano – la vita del mondo
e dell’uomo. Questa idea di base si può leggere in innumerevoli documenti, primi fra tutti i testi
sacri. Nella Bibbia sta scritto: Dio disse: “Ci siano luci nel firmamento del cielo, per distinguere il
giorno dalla notte; servano da segni per le stagioni, per i giorni e per gli anni, e servano da luci nel
firmamento del cielo per illuminare la terra”. E così avvenne: Dio fece le due luci grandi, la luce
maggiore per regolare il giorno e la luce minore per regolare la notte8. Ma la tradizione ebrea e in
seguito cristiana non era certamente l’unica ad avere questo concetto. Nel Corano, infatti,
possiamo trovare quasi la stessa cosa: Lui ha dato al Sole il suo splendore e alla Luna la sua luce,
ordinando le sue fasi in modo che tu possa imparare a calcolare le stagioni e gli anni. Dio li ha creati
solo per manifestare la verità. Egli rivela i suoi insegnamenti agli uomini di scienza9. Agli albori della
civiltà, restava all’uomo da scegliere l’orologio “preferito” su cui basarsi. Sole o Luna?
CHI SCEGLIE LA LUNA…
Ci troviamo nell’attuale villaggio di Le Placard, in Dordogna, nella
Francia di circa 13.000 anni fa. I ghiacci ancora ricoprono queste
regioni, che ricordano più la Groenlandia che l’odierna Francia. Una
persona presumibilmente coperta di pelli animali osserva la Luna e
prende a incidere tacche su un osso di aquila. Sono corte linee diritte
accompagnate da piccole diagonali incise nella parte inferiore, che le
fanno assomigliare al simbolo λ. Sono raggruppate in simboli simili tra
loro e che mutano secondo schemi regolari. Tredici millenni dopo, gli
antropologi affermeranno che è possibile che si tratti di uno dei primi
calendari lunari. I gruppi di tacche contengono infatti sette segni
ciascuno, una vicina approssimazione alla progressione delle fasi
11. Venere di Laussel
lunari. Sebbene i più scettici ritengano che queste tacche non siano
altro che incisioni casuali, l’ipotesi degli antropologi è stata rinforzata da ritrovamenti archeologici
dell’età della pietra che presentano schemi simili. L’effigie, riportata a lato, detta “Venere di
Laussel” (27.000 anni fa) mostra una donna incinta che regge un corno sul quale sono incisi tredici
segni: le fasi lunari? Non si saprà forse mai con certezza se queste ipotesi siano fondate o meno.
Tuttavia questi calendari primitivi e il nostro hanno alcuni punti in comune. Entrambi
rappresentano sforzi per organizzare il tempo in un sistema di misura e di riprodurlo in forma
scritta, ed entrambi usano a questo proposito i fenomeni astronomici. Noi abbiamo come base il
Sole, loro la Luna. E non è un caso. Per un popolo di cacciatori le informazioni riguardo alla Luna
erano preziose: era utile per esempio sapere quando la notte era luminosa o meno, o saper
8
9
Genesi, capitolo 1, versetti 14-16
Sura 10, versetto 5
26
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
calcolare eventi futuri come il numero di lune piene tra una migrazione delle mandrie e l’altra, o tra
le gelate autunnali e il disgelo. Le fasi lunari erano alla base di importanti cerimonie religiose.
Inoltre, le lunazioni sono relativamente semplici da osservare e approssimare. A prima vista la Luna
sembra un pratico orologio, che circa ogni 29 giorni passa attraverso le sue fasi. Non è poi difficile
osservare che dodici di questi periodi corrispondano più o meno a un ciclo completo di stagioni,
dunque ad un anno.
Con un balzo temporale e spaziale giungiamo nella Grecia del V
Considera l’arco della vita di un
sec a. C. Lo storico Erodoto, nella sua “Istoriai” (Storie), accenna
uomo di 70 anni. Essi contengono
alla complessità dell’antico calendario del Peloponneso ancora
25.200 giorni, senza contare i mesi
supplementari. Aggiungi un mese un
in auge. Non è certo l’unico ad accorgersi della sua scarsa
anno si e uno no, in modo che le
praticità. Già due secoli prima, il poeta Esiodo ne aveva fatto il
stagioni giungano con la dovuta
protagonista del suo poemetto “Le opere e i giorni”, una guida
regolarità. […] Così il totale dei giorni
pratica all’organizzazione del tempo contenente anche appelli
dei tuoi 70 anni sarà pari a 26.250, e
morali a seguire le antiche regole del dovere e del lavoro.
nessuno di loro è uguale al
successivo. Da ciò puoi vedere come
Andando oltre gli elementi etici e superstiziosi, ricaviamo da
sia cosa incerta la vita.
quest’opera la struttura del calendario greco. L’anno era
(Erodoto, Storie, libro I)
suddiviso in 12 mesi lunari di circa 29 giorni e mezzo e durava
quindi mediamente 354 giorni.
La Luna non fu un astro importante solo nell’antica Grecia, ma ebbe un peso notevole dalle culture
ancestrali cinesi alle antiche tribù dell’Arizona. Nel Neolitico, mentre la gente incominciava a
costruire città, a organizzare la vita sociale, ad istituire governi, fecero capolino un po’ dappertutto
variazioni sul modello dell’anno di 354 giorni. Tuttavia, man mano che il tempo passava, ci si iniziò
ad accorgere che la dipendenza dalla Luna non era una grande trovata bensì una pista fasulla.
L’anno lunare, con i suoi 354,3672 giorni, è infatti inconciliabile con l’anno tropico, che come ben
sappiamo, conta 365,2422 giorni. Gli undici giorni di scarto portavano ad invertire la data
dell’equinozio di primavera con quella dell’equinozio autunnale in soli 15 anni! Questo gettava nello
scompiglio il calendario e i suoi rapporti con le stagioni. Pensate poi in società che cercavano nel
calendario soprattutto una guida per seminare o raccogliere, per venerare gli dei o per portare le
mandrie al pascolo!
Vennero così escogitati diversi metodi per cercare di conciliare l’anno lunare con i cicli delle
stagioni. I Greci svilupparono un metodo di inserimento che prevedeva l’aggiunta di 90 giorni ogni 8
anni. Nel riquadro a lato, Erodoto riferisce un'altra modalità di inserimento. Non vi era infatti un
programma preciso e poteva accadere che i mesi intercalari venissero aggiunti addirittura a caso. I
Babilonesi, esperti astronomi, trovarono invece un compromesso con il Sole in quello che è stato
denominato anno “lunisolare”, e in seguito “ciclo di Metone”, dal nome dell’astronomo greco che
lo introdusse ad Atene. Nel V secolo a.C. scoprirono che 235 mesi lunari (7 anni di 13 mesi seguiti
da 12 anni di 12 mesi) equivalevano a 19 anni solari. Anche questo complesso ciclo di 19 anni non è
perfettamente esatto perché crea un certo anticipo sull’anno solare, ma il problema principale non
era questo bensì la sua poca praticità nell’uso quotidiano. Il calendario ebraico inserisce un mese
ogni tre anni, ma ogni tanto, per supplire al graduale spostamento, è necessario aggiungere un altro
mese.
27
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
…E CHI IL SOLE
Gli Egizi furono la prima civiltà antica a scegliere il Sole come
base per il calendario. Pur non essendo rinomati per
conoscenze astronomiche, come i Babilonesi, o matematiche,
come i Greci, riuscirono già attorno al 4000 a.C. a stabilire che
l’anno solare si compone di 365 giorni. Si giunse così a un
calendario di 12 mesi di 30 giorni l’uno, più 5 giorni di festa
annui in cui si celebravano i compleanni delle divinità maggiori.
Come ci siano riusciti, resta un mistero. L’ipotesi più avvalorata
è collegata al Nilo. L’Egitto fu definito “dono del Nilo”, perché
con le sue inondazioni annue portava il limo necessario al
prosperare dell’agricoltura nell’arido paese. Il secondo fiume
12. Parte di un calendario egizio che
segnala
le feste religiose, le principali
più lungo del mondo non è soltanto portatore di vita, ma anche
inondazioni del Nilo e alcuni fenomeni
un enorme orologio. I contadini potevano usare il “nilometro”
astronomici
per stabilire quando era passato esattamente un anno solare
misurando il livello massimo dell’inondazione e contando i giorni fino al punto massimo
dell’inondazione successiva. Queste dipendevano infatti dalle stagioni e non dalla Luna. Per
migliorare la precisione, gli astronomi egizi integrarono il nilometro con un’altra scoperta: Sirio, la
stella più luminosa, esattamente una volta l’anno ascende nel cielo dell’alba parallelamente al Sole
che sorge. Quest’apparizione coincideva con l’annuale inondazione del Nilo. In questo giorno venne
fatto incominciare l’anno. Inoltre gli Egizi misurarono l’esatto giorno degli equinozi mediante la
lunghezza delle ombre delle loro gigantesche piramidi. Un’ulteriore scoperta degli strabilianti Egizi
fu che all’anno solare così misurato mancavano 6 ore; questo 2000 anni prima che Giulio Cesare
adottasse per Roma il calendario di 365 giorni e 6 ore. Nonostante questa conoscenza
all’avanguardia, il conservatorismo delle caste sacerdotali si oppose alla modifica del calendario
finché, nel 30 a.C., l’Egitto divenne provincia romana e fu costretta ad adottare il calendario
giuliano.
Anche altri popoli scelsero di adottare il ciclo delle stagioni e l’anno solare come base per un
calendario. Un esempio sono le popolazioni precolombiane del Sudamerica: i Maya e gli Aztechi,
con le loro vaste conoscenze astronomiche, possedevano un calendario civile di 365 giorni. Un altro
esempio sono gli antichi Britanni, i costruttori di Stonhenge. Su questa costruzione ormai in rovina
sono state formulate più diverse ipotesi. Si suppone che, grazie ad essa, si potesse conoscere anche
l’esatta durata dell’anno solare.10
È sul calendario egizio che siamo entrati nei dettagli per un motivo ben preciso: la sua storia ha
influito di molto sulla genesi del calendario occidentale. Ciò avvenne in bizzarre condizioni, quando
le sorti del popolo egizio si mescolarono con un Impero che governava ormai metà del mondo
conosciuto. Fu per via di un conquistatore, che rimase affascinato dalla scienza dell’antico popolo
del Nilo… o da una donna leggendaria, la loro regina.
10
Per approfondimenti: AVENI Anthony, Scale fino alle stelle, Corbaccio, Milano, 2000, cap. 3 (L’astronomia megalitica e
le popolazioni dell’antica Gran Bretagna) e cap. 4 (L’astronomia e il culto di Venere degli antichi Maya).
28
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
4.3. Una soluzione: il calendario giuliano
UN CALENDARIO ARBITRARIO
All’inizio del I sec. a.C. gli organizzatissimi Romani avevano una data ben
precisa per gli equinozi: il 25 marzo e il 24 settembre. A metà di quel secolo,
tuttavia, la data era in anticipo di ben tre mesi rispetto al ciclo delle
stagioni! Marzo, primo mese di primavera, si trovava addirittura all’inizio
dell’inverno. Questo era dovuto al fatto che il calendario romano era lunare,
e la ventina di giorni che avrebbe dovuto esser stata aggiunta di tanto in
tanto per sincronizzarlo con quello solare era stata spesso dimenticata o
addirittura manipolata. Si sapeva che il collegio dei sacerdoti, che avevano
un peso notevole in politica, allungava la durata dell’anno quando erano in
13. Giulio Cesare
carica senatori graditi e accorciava invece il tempo in cui governavano dei
rivali, oppure sfruttavano questa incertezza per motivi economici, aumentando o diminuendo le
tasse e gli affitti. Prendendo atto di questa confusione, Giulio Cesare, ispirato dalla campagna
d’Egitto da cui era appena tornato, decise di porre fine a questo libero arbitrio e mise in atto una
riforma del calendario basandosi sugli studi di un astronomo alessandrino, Sosigene.
L’ANNO BISESTILE
Innanzitutto era necessario rimettere in fase la data civile con le stagioni. Per far ciò Cesare
aggiunse 90 giorni al 708 a.U.c. (ab Urbe condita, cioè dalla fondazione di Roma: corrisponde al
nostro 46 a.C.), che divenne un anno di 445 giorni. Non a caso passò alla storia come “l’anno della
confusione”. Oltre all’enorme cambiamento nelle abitudini del vasto impero romano, le
controversie burocratiche e politiche furono innumerevoli. Ci furono governatori che pretesero il
pagamento delle tasse anche per i due mesi supplementari. Cicerone, avversario politico di Cesare,
lo accusò di non voler solo dominare la terra ma anche le stelle.
E non parliamo della distribuzione dei salari, del
Le ripartizioni nei mesi romani:
pagamento degli affitti, dei giorni lavorativi o delle
Calende (dal latino calare, cioè convocare):
il 1° giorno del mese
vacanze! Per formare l’anno che ora doveva contare
None (9° giorno prima delle idi): il 5° o il 7°
365,25 giorni, Cesare riorganizzò la durata dei mesi. Vi
giorno, a dipendenza del mese
erano così cinque mesi di 30 giorni, sei di 31 e uno –
Idi (dall’etrusco iduare, cioè dividere):il 13°
febbraio – di 29. Inoltre, per via di quel 0,25, inserì un ciclo
o il 15° giorno.
ripetuto ogni quattro anni: i primi tre sono “comuni” e
Da notare che i giorni importanti sono tutti
dispari. I Romani infatti avevano un timore
contano 365 giorni, mentre il quarto è “bisestile” e ne
superstizioso dei giorni pari.
conta uno in più. Essendo 100 divisibile per 4 ne risultò
La comodità di questo sistema, per altri
che tutti gli anni secolari erano anche bisestili. Questo
versi complicato, è che rimane invariato
giorno aggiuntivo veniva posto subito dopo il 25 febbraio,
per tutti i mesi. La nostra settimana, al
e non aveva numero ma era semplicemente indicato come
contrario, non essendo multiplo esatto dei
mesi, fa sì che ogni mese incominci e
“bis”, cioè come ripetizione del giorno precedente.
finisca in un giorno della settimana
Siccome il nostro 25 febbraio era allora indicato come
qualsiasi, più difficile da prevedere.
“dies sextus ante kalendas martias”, cioè come il sesto
29
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
giorno prima delle calende di marzo, nacque il termine bis-sextius, da cui bisestile. Questo
aggiustava le cose e sincronizzava, anche se non in modo perfetto, il calendario denominato
chiaramente giuliano e il ciclo delle stagioni. Il 45 a.C. il popolo dell’impero romano si svegliò con un
nuovo calendario, allora uno dei più precisi al mondo.
MALINTESI E LIMITI
Gli errori non erano tuttavia finiti. Dopo la morte di Cesare, a cui fortunatamente il calendario
giuliano sopravvisse, per alcuni decenni l’anno bisestile venne proclamato ogni tre anni anziché
ogni quattro. Questo era dovuto al modo di contare tipico dei romani. Il loro computo era inclusivo,
per cui proclamavano l’anno bisestile quattro anni dopo il precedente, comprendendo però i due
anni bisestili stessi! In 33 anni 12 di essi furono bisestili anziché i 9 previsti. Fu Cesare Augusto ad
accorgersene e a correre ai ripari, eliminando tre anni bisestili
Chi vuol essere un mese?
sotto il suo impero e risistemando la giusta durata dell’anno Cesare diede nome a luglio. Augusto
entro l’8 d.C. Non potendo essere da meno al suo predecessore,
si dedicò il mese di agosto. Giunse
addirittura a togliere un giorno a
a cui per i suoi meriti era stato dedicato il mese di Julius,
febbraio e portarlo ad agosto
diventato poi luglio, Augusto si aggiudicò il mese di agosto.
perché non fosse più corto di quello
Il calendario giuliano, pur avendo una notevole precisione,
di Cesare!
aveva dei limiti. L’approssimazione dell’anno tropico con 365,25
Ma non fu certo l’ultimo nella corsa
giorni si distanziava dalla realtà con uno scarto, minimo ma
per la denominazione dei mesi.
presente, di circa
di giorno ogni secolo. Malgrado ciò, il
Nella storia vi furono parecchi
calendari encomiastici con il nome
dei parenti di re o imperatori,
Nerone tentò, così come Claudio, di
impossessarsi un mese. Solo il
saggio Tiberio si chiese: e quando
arriverà il tredicesimo Cesare?
calendario giuliano nella sua struttura di calende, idi e none
aveva il vantaggio di essere perpetuo, cioè di essere sempre
uguale, anche negli anni bisestili. Nel 321, sotto la crescente
influenza della Chiesa cattolica, l’imperatore Costantino
introdusse la settimana, con il conseguente riposo settimanale
dedicato a Dio. Di origine ebraica, la settimana non era usata né dai Romani né dai Greci, ed era
utilizzata per scopi liturgici nei primi secoli di tradizione cristiana. Il passaggio dal sistema delle
calende e idi alla settimana sfasò l’ordine del calendario giuliano per quanto riguardava la divisione
dei mesi. Il periodo di 365 C 3 366 C 1, cioè 1461 giorni ogni 4 anni, non era composto da un
numero intero di settimane bensì da 208 settimane e 5 giorni. La settimana non è infatti, come già
detto, strettamente legata ai mesi: la loro durata non è quasi mai divisibile per 7. Dovevano passare
così ben sette anni perché una data tornasse a corrispondere a un certo giorno della settimana.
30
Lavoro di maturità in matematica 2007
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5. L’ultima miglioria
5.1. Il calendario gregoriano: dieci giorni scompaiono
UNA RIVOLUZIONE ATTESA
Stringo i denti, ma
la mia mente è
sempre dieci giorni
avanti oppure dieci
giorni indietro.
Montaigne, Essays
Il calendario giuliano, adottato dalla Chiesa fin dai primi secoli e impostosi
gradualmente anche nel mondo civile, aveva, come abbiamo detto, dei limiti.
Lo scarto di 0,00778 giorni rispetto all’anno tropico corrispondeva a una
differenza di 11 minuti e 12 secondi ogni anno, cioè a 0,78 giorni ogni secolo e a 3 giorni in 4 secoli.
Questi piccoli scarti accumulati nel tempo acquistavano una rilevanza non indifferente,
ammontando nel Quattrocento ad una decina di giorni. In questo periodo matematici e astronomi
iniziarono a calcolare la durata esatta dell’anno tropico e a proporre diversi metodi di intercalazione
per rendere il calendario più preciso. Questo cambiamento si fece però attendere. Fin dal XIII
secolo sorsero trattati e discussioni sul tema, iniziarono a pervenire suggerimenti ai Padri della
Chiesa e l’argomento fu discusso in vari concili (da Basilea fino a Trento). Soltanto due secoli dopo
lo spostamento degli equinozi aveva raggiunto proporzioni tali da sconvolgere la data della Pasqua,
come vedremo nel capitolo seguente, e a preoccupare seriamente la Chiesa. Grazie alla
determinazione di papa Gregorio XIII, fu quindi introdotta la tanto attesa riforma. All’inizio del suo
pontificato riunì in un’apposita commissione astronomi e matematici europei tra i più esperti sul
campo. Ricordiamo i nomi del calabrese Luigi Lilio, che scrisse un opuscolo sul quale venne basata la
riforma ma che morì prima che fosse effettuata, e del gesuita tedesco Cristoforo Clavio, che portò
avanti il lavoro dell’ingegnoso italiano.
Finalmente, il 24 febbraio 1582, il papa proclamò la bolla “Inter gravissimas”, di cui riportiamo
qualche breve passaggio.
Affinchè l’equinozio […] sia ricollocato nella stessa posizione, ordiniamo che nel mese di ottobre 1582 siano
soppressi 10 giorni, a partire dal 3° giorno delle none (5 ottobre) fino alla veglia delle idi (14 ottobre). […]
Affinchè in futuro l’equinozio non retroceda più, decretiamo che il bisesto debba essere mantenuto ogni 4 anni,
come è consuetudine, a eccezione degli anni secolari; nonostante questi anni siano sempre stati in precedenza
bisestili […] stabiliamo tuttavia che gli anni che verranno dopo di questi non siano tutti bisestili, ma che, per
11
ogni periodo di 400 anni, i primi 3 anni non siano bisestili e il 4° anno, secolare, sia bisestile.
Questo ci permette di vedere che la riforma gregoriana si articolava su due punti principali:
•
11
Raccordare il calendario dell’epoca a quello tropico, cioè riportare la data dell’equinozio di
primavera al 21 marzo. Nel 1582 era caduto l’11 marzo, quindi era necessario eliminare 10
giorni dal calendario civile. Fu quindi stabilito che il giorno successivo a giovedì 4 ottobre
sarebbe stato venerdì 15 ottobre.
cit. in BIÉMONT Émile, Ritmi del tempo. Astronomia e calendari, pp. 209-210
31
Lavoro di maturità in matematica 2007
•
Camilla Pellegri, 4G
Evitare che l’errore si ripetesse in futuro, cioè modificare leggermente la regola
dell’intercalazione del bisesto secondo Giulio Cesare. Questa fu quindi la principale
innovazione promossa da papa Gregorio Magno. Nel calendario gregoriano l’anno bisestile
cade ogni 4 anni, ma, nonostante 100 sia divisibile per 4, è bisestile solo un anno secolare
su 4: il 1600, il 2000, il 2400 eccetera. Tutti gli altri sono anni normali formati da 365 giorni.
L’omissione di tre bisestili ogni 400 anni è detta equazione solare.
L’anno gregoriano è così composto di 365,2425 giorni e supera quindi l’anno tropico di 0,0003
giorni. Ciò significa che tra 10 000 anni gli equinozi saranno spostati di 3 giorni. Per ovviare a questa
imperfezione, è stata adottata una regola che rende comuni (e non bisestili) gli anni il cui millesimo
è divisibile per 4000: il 4000, l’8000, eccetera.
DOVE SONO FINITI DIECI GIORNI?
Le campane suonavano a distesa in quasi tutta Europa, il 4
ottobre 1582, per segnalare un evento eccezionale che non si era
mai verificato in tutta la storia del calendario. Il giorno dopo,
infatti, i paesi che si erano conformati alla bolla papale si
svegliarono scoprendo che non era il 5 bensì il 15 del mese. Ciò
provocò effetti inaspettati. “Questo aggiustamento riguarda
coloro che non sono ancora nati”, scrisse Montaigne nei suoi
Essays (1588). Santa Teresa d’Avila, morta il 4 ottobre, dai
documenti ufficiali non risultò seppellita due giorni dopo bensì
dodici. A Francoforte la folla si rivoltò contro il papa e i
matematici che avevano permesso e pianificato questa truffa.
Ovunque la gente era irritata e preoccupata per i motivi più
disparati. Alcuni temevano che i santi non avrebbero più
ascoltato le loro preghiere, espresse nel giorno “sbagliato”. Altri,
14. Il calendario gregoriano
più terreni, si preoccupavano della mancata riscossione delle
tasse, dei salari non guadagnati, del calcolo difficoltoso degli interessi di banca. Cambiavano le date
di nascita e i compleanni, gli anniversari di nozze, le cerimonie civili, le feste locali.
Nella tradizione popolare, rimangono alcuni ricordi del calendario giuliano. L’unica traccia nelle
festività europee relativa a questo spostamento è la festa di San Silvestro il 13 gennaio nel canton
Appenzello! Oltre a ciò abbiamo proverbi e i detti, talmente ancorati nella memoria collettiva che
cambiano a fatica. Qualche esempio:
À la Saint Barnabé (11 giugno)
Le jour le plus long de l’année.
(Normandia)
Santa Lucia (13 dicembre), il
giorno più corto che ci sia.
(Italia)
32
San Zaccaria, (10 giugno), la
giornata più lunga che ci sia.
(Italia)
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
LA DIFFUSIONE IN EUROPA
Se il papa avesse proclamato lo stesso editto solo un secolo prima, la diffusione europea della
riforma del calendario avrebbe riscosso un’obbedienza se non immediata, almeno più rapida. Il
Cinquecento, tuttavia, non era il periodo ideale per una riforma universale imposta dal Vaticano.
L’Europa era un insieme instabile di cattolici e protestanti, di regni che prendevano le parti di Roma,
che le si opponevano o che cercavano una difficile via di mezzo. Era il secolo dell’Inquisizione, del
massacro di San Bartolomeo voluto dal papa Gregorio contro i protestanti, del terrorismo degli
inglesi anglicani contro i cattolici d’Irlanda, delle battaglie di religione tra città e stati protestanti in
Svizzera, Germania ed Europa centrale. Sebbene la riforma fosse stata pensata in modo laico e non
avesse lo scopo di provocare le Chiese protestanti o ortodosse, i fedeli di queste Chiese la vedevano
come un editto immorale, pur se scientificamente corretto, di un papa nel quale non si
riconoscevano.
Gli stati cattolici si adeguarono alla bolla papale. Alcuni (come Italia, Spagna e Portogallo)
immediatamente, altri con qualche mese o anno di ritardo. Il problema principale stava in stati di
doppio credo, come Svizzera, Germania o Austria. Le provincie che seguivano Roma si adeguarono
all’editto, mentre quelle protestanti si rifiutarono. “Preferiscono essere in disaccordo con il Sole
piuttosto che accordarsi con Roma”, scriveva Voltaire. E in questa frase ironica sintetizza
efficacemente le tensioni esistenti tra cattolici e riformati. In Vallese il calendario venne modificato
nel 1655, mentre nelle regioni di Berna, Basilea, Ginevra e Zurigo il cambiamento avvenne solo nel
1700.
Svezia, Norvegia, Danimarca, Inghilterra e Irlanda si adeguarono faticosamente al calendario
gregoriano nella prima metà del Settecento. In Giappone si dovette aspettare fino al 1873 e in Cina
fino al 1912. Nei paesi ortodossi, la riforma prese piede soltanto nel XX secolo. L’URSS, la Bulgaria e
i paesi baltici acquisirono il nuovo calendario tra il 1916 e il ’18, mentre la Turchia vi approdò solo
nel 1926. Sino alla fine del secolo scorso, i documenti ufficiali provenienti dalla Russia presentavano
due date, quella giuliana e quella gregoriana. A tal punto è radicato l’uso del calendario nelle
abitudini della gente!12
12
Gli studiosi non sono sempre concordi sulle date menzionate. Sono quindi da considerare come date indicative.
33
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
5.2. Calcolare la data della Pasqua
Si dice che la confusione
fosse tale che la Pasqua
veniva talvolta celebrata
due volte nello stesso anno
Beda, 731 d.C.
Perché mai dovrebbe interessarci la data della Pasqua, vi chiederete.
Ebbene, se oggi è il 12 ottobre e non il 2, lo dobbiamo proprio a questa
festività. Ai tempi della riforma gregoriana, infatti, lo spostamento degli
equinozi preoccupava non poco le autorità ecclesiastiche: questo sconvolgeva la data della Pasqua
e quindi tutto il sistema di feste mobili basate su di esse. Da questa preoccupazione puramente
religiosa nacque una riforma laica e scientifica di proporzioni mondiali.
CHE COS’È LA PASQUA
La Pasqua riveste un ruolo centrale nel calendario cattolico, sia in senso simbolico che per il
computo delle feste religiose. Di origini ebraiche, questa festa commemorava la liberazione dalla
schiavitù d’Egitto (il termine Pasqua viene dall’ebraico Pesach, che significa passaggio). Per
tradizione, gli ebrei in quel giorno immolavano un agnello. Con l’avvento del cristianesimo, il
significato cambiò. L’agnello immolato diventò il simbolo del Cristo messo in croce e la Pasqua iniziò
a commemorare la sua resurrezione, momento centrale dell’anno liturgico. La data della Pasqua è
collegata alla lunazioni. Nel calendario ebraico, si svolgeva tra il 15 e il 22 Nisan (un mese che
corrisponde al nostro aprile). La data della Pasqua cristiana venne stabilita con precisione nel 325,
durante il concilio di Nicea come la domenica che segue il quattordicesimo giorno della Luna,
corrispondente al 21 marzo o a giorni immediatamente successivi. Detto altrimenti, si tratta della
domenica dopo il primo plenilunio di primavera.
IL COMPUTO DELLA PASQUA
Trovare un algoritmo generale che definisca la data della Pasqua non è compito facile. Può variare
tra il 22 marzo e il 25 aprile, a dipendenza del primo plenilunio di primavera e del giorno della
settimana. Se questo cade il 21 marzo ed è un
sabato, allora la Pasqua sarà celebrata il 22
marzo. Se invece cade appena un giorno
prima, il primo plenilunio di primavera sarà il
18 aprile. Inoltre, se questo giorno è una
domenica, per festeggiare la Pasqua bisognerà
aspettare ancora una settimana, giungendo
così al 25 aprile. Nel calendario gregoriano, il
periodo necessario perché una data (giorno
del mese e giorno della settimana) si ripeta è
di ben 57 000 000 anni! Questa cifra è stata
trovata tramite calcoli molto complessi che
15. Distribuzione della data della Pasqua in
non starò a ripercorrere13.
un ciclo di 57 000 000 anni
13
Per approfondimenti: TEMPESTI Piero, Il calendario e l’orologio, pp 108-118
34
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
NEL CALENDARIO GIULIANO…
Per comprendere come funziona il computo della Pasqua, dobbiamo per prima cosa esaminare
come funzionava nel calendario giuliano. La regola valida per esso fu elaborata dal monaco Dionigi
il Piccolo attorno al 532.
Il calendario giuliano è lunare. È quindi valido il ciclo di Metone (cfr p.24), in cui 235 mesi lunari
corrispondono a 19 anni solari. A 19 anni solari si fanno quindi corrispondere 12 anni di 12 mesi
lunari seguiti da 7 anni di 13 mesi. Di conseguenza i giorni in cui cadono i noviluni e i pleniluni si
ripetono regolarmente secondo un ciclo di 19 anni. Stabilito un anno iniziale, ogni anno nel ciclo
metonico può essere individuato con un numero progressivo da 1 a 19, detto numero d’oro14 (N).
Matematicamente, N corrisponde quindi al resto che si ottiene dividendo per 19 il numero
dell’anno e aggiungendo 1. Quindi: ?WW 19 C 
Paa‚
G
ƒ 1. Il numero d’oro 1 è stato
assegnato convenzionalmente all’ 1 a.C.
Conoscendo la data del plenilunio pasquale nell’anno N=1, N=2, N=3,… N=19 possiamo conoscere
quindi tutte le date dei pleniluni. Sapendo quindi quando cadono le domeniche immediatamente
successive, si ha la data della Pasqua. Per la data della domenica ci si serviva della cosiddetta lettera
domenicale. Al primo giorno dell’anno veniva abbinata la lettera A, al secondo la B e così via fino
alla G. Tutti i giorni del calendario erano contrassegnati dalla relativa lettera. Conoscendo quindi la
lettera domenicale di un anno, ad esempio la E, si andava a cercare la prima E successiva al primo
plenilunio di primavera. In caso di anni bisestili, c’erano due lettere domenicali: una valida prima
del 29 febbraio e l’altra per il periodo successivo.
Calcoliamo in questo modo la data della Pasqua nel 2001: a quest’anno corrisponde un numero
d’oro 2001 19 C 
G
ƒ 1 7. In tutti gli anni con N=7 il plenilunio pasquale cade l’8
aprile15. Inoltre la lettera domenicale è G. La domenica successiva, cioè il primo giorno dopo l’8
aprile contrassegnato con la G, è il 15 aprile. La Pasqua del 2001 era infatti il 15 aprile.
Nel calendario giuliano la corrispondenza tra data e giorno settimanale si ripete con un periodo di
28 anni (minimo comune multiplo tra 7, cioè il periodo in cui si ripeterebbe se non ci fossero gli anni
bisestili, e 4, cioè il periodo dell’anno bisestile stesso). Siccome ci sono 19 valori possibili per il
numero d’oro e 28 è il periodo della lettera domenicale, la Pasqua si ripete ogni 19 C 28 532
anni in un ciclo perpetuo.
… E IN QUELLO GREGORIANO
Fin qui tutto filava liscio. Tuttavia con la riforma gregoriana, come abbiamo visto, venivano
soppressi tre giorni bisestili ogni 400 anni (equazione solare). Questo scombussolava tutto il
sistema, che non era più definibile come perpetuo. Saltando un anno bisestile, il numero d’oro non
variava ma i giorni in cui cadevano i pleniluni sì. Inoltre Lilio aveva apportato alcune migliorie al
ciclo metonico, che come detto era impreciso, stabilendo di anticipare le date dei pleniluni di un
giorno ogni 300 o 400 anni (equazione lunare). Cadeva così la corrispondenza tra numero d’oro e
14
Pare che questa denominazione nacque dall’entusiasmo provocato dalla scoperta del ciclo di Metone: fu tale che la
regola e il numero corrispondente ad ogni anno venissero scritti a lettere d’oro sui principali edifici pubblici di Atene.
15
cfr Tavola attuale dei pleniluni, TEMPESTI Piero, Il calendario e l’orologio, p.111
35
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
giorno della Pasqua. Era tuttavia ancora necessario saper calcolare esattamente la data di questa
festività. Il sistema venne quindi cambiato basandolo sul calcolo dell’epatta, definita come l’età
della Luna il 1° gennaio diminuita di un’unità. Corrisponde dunque al numero di giorni trascorsi
dall’ultima Luna nuova alla prima Luna nuova dell’anno civile. L’epatta può variare da 0 a XXIX; 0,
solitamente indicato con un asterisco (*), corrisponde all’età della Luna nel giorno del novilunio.
Conoscendo l’epatta di un anno e la lettera domenicale, era quindi facile calcolare la data della
Pasqua. Ma come si faceva a conoscere l’epatta? Per praticità, Lilio, che aveva trovato una relazione
tra N, epatta ed equazioni solari e lunari, aveva costruito un’apposita tavola che forniva le epatte
per qualsiasi anno passato o futuro.
Nel calendario giuliano vi erano 19 epatte possibili (anche se per il computo della Pasqua non
venivano utilizzate poiché bastava il numero d’oro). Aumentavano di 11 giorni ogni anno; quando si
raggiungeva il 29 si sottraeva 30, visto che il sistema non era altro che una classe di residui %T 30
(cfr p. 28) che andava da 0 a 29. Nel calendario gregoriano la serie delle 19 epatte cambiava a
dipendenza delle equazioni lunari o solari. Vi erano così serie differenti che erano valide tra
un’equazione e l’altra. Non bastava quindi più essere a conoscenza del numero d’oro e della lettera
domenicale. Bisognava sapere anche il periodo a cui apparteneva l’anno considerato, per poter
trovare l’epatta corrispondente. Un esempio: nel 2007 la serie di epatte in vigore è la seguente:
N
1
2 3 4 5
6
7 8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
E XXIX X XXI II XIII XXIV V XVI XXVII VIII XIX * XI XXII III XIV XXV VI XVII
Il numero d’oro di quest’anno è: 2007 19 
F
G
ƒ 1 13. L’epatta del 2007 è quindi XI, a
cui corrisponde il novilunio 20 marzo e quindi il plenilunio 3 aprile. La lettera domenicale è la G, da
cui si ricava che la prima domenica dopo il 3 aprile è l’8 aprile. E questa è proprio la data della
Pasqua. Per la serie delle epatte e per la lettera domenicale sono state usate delle apposite
tabelle16. Usando questi metodi, il computo della Pasqua è quindi complesso e necessita di varie
tavole. Proprio per questo sono stati cercati diversi algoritmi per calcolare la data della Pasqua
senza dover farne uso. Ecco un esempio.
LA FORMULA DI GAUSS17
Sia Y il numero dell’anno in questione. Eseguiamo le seguenti operazioni:
? „ '%T 19,
@ „ '%T 4,
E „ '%T 7,
16
TEMPESTI Piero, Il calendario e l’orologio, p.172, tab. A1 e pp. 176-177, tab. A4
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), astronomo, matematico e fisico tedesco. Apportò fondamentali contributi in queste
discipline e viene considerato uno dei più grandi matematici della storia. La sua formula per la Pasqua apparve in due
articoli sulla “Monatliche Korrispondenz” (1800 e 1802) e in un terzo sul “Braunschweigisches Magazin” (1807).
17
36
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
Consideriamo inoltre i valori r e . Non rappresentano nessuna grandezza legata al calendario ma
sono necessari alla riuscita del calcolo. Nel sistema giuliano questi numeri sono delle costanti:
r 15 e 6. Nel calendario gregoriano invece variano e possono venir determinati da una
complessa formula che, per semplicità, non è qui riportata. Usiamo perciò la seguente
corrispondenza18:
anni
1583-1699
1700-1799
1800-1899
1900-2099
2100-2199
2200-2299
2300-2399
2400-2499
M
22
23
23
24
24
25
26
25
N
2
3
4
5
6
0
1
1
Costruiamo ora i numeri:
T '19? r, '%T 30,
U '2@ 4E 6T , '%T 7,
La data cercata è … 22 T U
con i giorni contati a partire dal 1° marzo. Se … 31 si tratta di marzo, se invece … Y 31 si sottrae
31 e ci troviamo in aprile.
La formula soffre tuttavia di due eccezioni. È possibile che il valore di P sia 57, per cui la Pasqua
risulterebbe cadere il 26 aprile. Come sappiamo questo non è possibile, visto che il valore massimo
per questa data è il 25 aprile. Si prende quindi come data la domenica precedente, cioè il 19 aprile.
Inoltre se la data risultante è il 25 aprile e contemporaneamente T 28, U 6 e ? Y 10, la Pasqua
cadrà la domenica precedente, cioè il 18 aprile. La seconda eccezione serve ad evitare che nello
stesso ciclo diciannovenale di Metone possano verificarsi due pleniluni pasquali con la medesima
data, cosa che contrasterebbe la logica stessa del ciclo.
Esempio: troviamo la data della Pasqua nel 2007:
„ 2007, r 24, 5
? 2007 '%T 19, 12
@ 2007 '%T 4, 3
E 2007 '%T 7, 5
T '19 C 12 24,'%T 30, 12
U '2 C 3 4 C 5 6 C 12 5, '%T 7, 5
… 22 12 5 39
La Pasqua cade quindi il 39 31 8 di aprile.
18
cfr. TEMPESTI Piero, Il calendario e l’orologio, p.173
37
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
5.3. Calcolare con le classi di resto
Se lo guardiamo sotto un altro punto di vista, l’inghippo che si cela nel calendario è la difficoltà nel
saper gestire i “resti” dell’anno tropico. Possiamo vedere quei famosi 365,24222 giorni come 365
giorni più di giorno meno
B
di giorno e così via.
Quindi 4 anni danno resto 1 giorno, 60 anni danno resto -1 eccetera.
Questo ci permette di fare un breve excursus sui calcoli con le classi di resto, chiamati anche
congruenze lineari. Le congruenze lineari sono un tipo particolare di aritmetica che prende in
considerazione soltanto i resti della divisione “modulo” (cioè “rispetto”) un certo numero.
LE CONGRUENZE LINEARI
Dividiamo un numero intero E per un numero intero %. Il resto verrà chiamato @. Questo concetto
viene formalizzato così:
(si legge “E congruo a @ modulo %”)
E † @ '%T %,
Esempio: 11 † 1 '%T 5,. Infatti 11 e 1 hanno lo stesso significato in un sistema pensato in base a
multipli di 5: entrambi sono un multiplo di 5 sommato a 1.
Si può scrivere anche
‡%|'E @,
(si legge “% divide E @”)
‡
Esempio: 5|'11 1, infatti ‡5|10 perché 10 5 C 2
La relazione di congruenza è una relazione di equivalenza, infatti è
riflessiva: ? † ? '%T %,
simmetrica: ? † @ '%T %, implica @ † ? '%T %,
transitiva: se ? † @ '%T %, e @ † E '%T %, , allora a† E '%T %,
La congruenza “ † '%T %,” divide i numeri interi in diverse classi di equivalenza. Due interi sono
congruenti se e solo se appartengono alla stessa classe, chiamata classe di residui modulo m e
denominata ˆ3 . Chiaramente gli interi 0,1,2, … , % 1 sono tutti in diverse classi di residui. Se un
intero qualsiasi W può essere scritto come W ‰ C % Š con 0 Š % 1 , allora sarà
congruente %T % a uno degli interi 0,1,2, … , % 1. Ci sono quindi esattamente % classi di
residui %T %, di cui gli interi 0,1,2, … , % 1 sono i rappresentanti.
Esempio: consideriamo le classi di residui %T 4. Come detto prima, ci saranno esattamente
4 classi, rappresentate da 0,1,2 e 3. Prendendo un qualsiasi numero intero, ci accorgiamo infatti
che è congruente a 0, a 1, a 2 o a 3.
6 4C12
perciò 6 † 2 '%T 4,
7 4 C '2, 1 perciò 7 † 1 '%T 4,
344 4 C 86 0 perciò 344 † 0 '%T 4,
38
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
LE PROPRIETÀ DELLE CLASSI DI RESIDUI
•
Addizione, sottrazione e moltiplicazione
Come le equazioni, le congruenze possono essere addizionate, sottratte e moltiplicate. Se
? † @ '%T %, e E † T '%T %,, allora vale:
? E † @ T '%T %,
? E † @ T '%T %,
?E † @T '%T %,
Scritto altrimenti, se ‡%|'? @, e ‡%|'E T,, allora vale: ‡%|1'? @, ‹ 'E T,2
Inoltre, se ‡%|'? @,E, cioè ?E † @E , e se ‡%|'E T,@, cioè @E † @T, allora per la transitività della
congruenza abbiamo ?E † @T '%T %,.
Esempio:
4 † 1 '%T 3, e 6 † 0 '%T 3)
Addizione:
4 6 † 1 0 '%T 3,; 10 † 1 '%T 3, per cui ‡3|'10 1,. Infatti ‡3|9
Sottrazione:
4 6 † 1 0 '%T 3,; 2 † 1 '%T 3, per cui ‡3|'2 1,. Infatti ‡3|'3,
Moltiplicazione:
4 C 6 † 1 C 0 '%T 3,; 24 † 0 '%T 3, per cui ‡3|'24 0,. Infatti ‡3|24
•
Divisione
In generale non si possono dividere le congruenze lineari. Controesempio: 2 † 12 '%T 10, ma
1 Π6 '%T 10,.
•
Semplificazione
Come le equazioni, anche le congruenze possono essere semplificate.
Se ? † @ '%T %, e il minimo comun divisore (MCD) di ?, @ e % è , allora possiamo scrivere che
P
Ž
Q
† Ž '%T
5
Ž
,
(1)
Inoltre, se W? † W@ '%T %, e il MCD di % e W è , allora
? † @ '%T
5
Ž
,
(2)
Esempio: 28 † 4 '%T 6, non implica soltanto 14 † 2 '%T 3, (1) ma anche 7 † 1 '%T 3, (2).
Infatti 28 † 4 '%T 6,
4 C 7 † 4 C 1 '%T 6,
MCD'6,4, 2
B
7 † 1 '%T ,
7 † 1 '%T 3,
L’insieme di residui modulo un certo numero possono formare un campo, cioè un insieme in cui
valgono addizione e moltiplicazione, in cui esistono l’elemento neutro e quello inverso di entrambe
le operazioni e in cui valgono associatività, commutatività e distributività della moltiplicazione
rispetto alla somma. Non è però sempre così: un insieme di residui può anche non formare un
campo. Vediamo ora due casi.
39
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
Esaminiamo le classi di residui modulo 5.
ˆ : 10,1,2,3,42
moltiplicazione
addizione
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
0
1
2
0
2
4
1
3
0
1
2
3
0
3
1
4
2
1
2
3
4
0
4
3
2
1
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
3
4
3
3
4
4
4
0
elemento neutro: c’è (1)
elemento inverso: c’è (per esempio: 2/ 3)
elemento neutro: c’è (0)
elemento inverso: c’è (per esempio: 2 3)
Esaminiamo invece ora le classi di residui modulo 4.
ˆ‘ : 10,1,2,32
addizione
moltiplicazione
0
1
2
3
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
1
2
3
0
1
0
1
2
3
2
2
3
0
1
2
0
2
0
2
3
3
0
1
2
3
0
3
2
1
elemento neutro: c’è (0)
elemento inverso: c’è (per esempio: 2 2)
elemento neutro: c’è (1)
elemento inverso: non sempre c’è (per esempio: 2/ =’)!
Si può vedere che nel caso di ˆ il sistema delle classi di residui forma un campo, mentre nel
secondo caso, ˆ‘ , manca l’elemento inverso per la moltiplicazione.
Il seguente teorema risponde alla domanda: quali classi di residui formano un campo?
40
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
TEOREMA
Il sistema formato dalle classi di residui %T % forma un
campo solo nel caso in cui % è un numero primo.
DIMOSTRAZIONE
Campo
Struttura algebrica formata da un
insieme di elementi e da due
operazioni: somma e prodotto.
Valgono:
commutatività (! C Z Z C !)
associatività (! C 'Z, '!Z, C )
distributività (! C 'Z , ! C
Z ! C )
Esistono:
l’elemento neutro per addizione e
moltiplicazione (sommato/
moltiplicato per qualsiasi numero lo
lascia invariato)
l’elemento inverso per addizione e
moltiplicazione (per tutti tranne
che per lo 0; sommato/moltiplicato
per un qualsiasi numero dà
l’elemento neutro)
Provando a costruire campi %T % scegliendo % qualsiasi, ci
accorgiamo che a dare problemi è sempre l’elemento inverso
per la moltiplicazione. Questo è un elemento che moltiplicato
per un qualsiasi numero dà sempre come risultato 1.
Un esempio: 3 C 3 9 † 1 (%T 4) quindi 3/ 3 (%T 4)
Formiamo una classe di residui %T W con W non primo. Ciò
significa che W ? C @ con ?, @ “ 1. Se W fosse primo, l’unico
modo per trovare ? e @ sarebbe ? 1 e @ W o viceversa.
Siccome ? C @ W, vale ? C @ † W '%T W, e quindi
? C @ † 0 '%T W,.
Ora, ? moltiplicato per il suo inverso ?/ deve dare 1. Lo stesso
possiamo dire di @ con @ /. Per questo motivo deve valere
'? C ?/ ,' @ C @ / , 1 C 1 † 1. Sappiamo che l’associatività è valida, perciò possiamo scrivere:
'? C @,'?/ C @ / , † 1. Ciò è però contraddittorio, perché sappiamo che ? C @ † 0 e nessun
numero moltiplicato per 0 dà un risultato “ 0. Infatti 0 C 'i i, C i C i C 0 :
Abbiamo perciò dimostrato che una classe di resti %T W con W non primo non è un campo. Per
completezza possiamo aggiungere che forma un anello commutativo, che è un sistema numerico
con le stesse proprietà del campo fatta eccezione per l’elemento neutro rispetto alla
moltiplicazione.
Ora dimostriamo che una classe di resti %T W con W primo forma un campo.
Osserviamo la tabella della moltiplicazione riportata a p. 27. Possiamo vedere che nella tabella
%T 5 troviamo ad ogni riga e ad ogni colonna tutte le 5 cifre delle classi di resto 10,1, … , W 12.
Sono permutate, ossia disposte, ogni volta in modo diverso ma sono tutte presenti. Ciò non
succede per %T 4. Per alcuni numeri manca infatti l’elemento inverso, quindi non è presente l’1.
Questo implica necessariamente la ripetizione di un’altra cifra.
Se ˆ” con W primo non formasse un campo (dimostrazione per assurdo), la
0 E … T
riga di un qualsiasi elemento ? “ 0 avrebbe un numero ! ripetuto, come
0 0 0 0 0
mostra
la
tabella.
Ciò
significherebbe
che
… 0 … … …
? C E † ! e ? C T † ! . Usando il criterio della sottrazione abbiamo
? 0 ! … !
?E ?T † ! ! † 0 cioè ? C 'E T, † W. Siccome W è primo non possono
… 0 … … …
esistere soluzioni che non vedano ? W o 'E T, W. Essendo però sia ?
che 'E T, classi di resto %T W è impossibile che questo accada. :
41
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
5.4. Determinare il giorno della settimana
Che giorno della settimana è oggi? Che domanda banale, si può pensare. Eccone quindi un’altra:
che giorno della settimana sarà tra esattamente un anno? Oppure: in che giorno della settimana
siete nati? Che giorno era quando l’uomo mise piede sulla Luna? Che giorno sarà il 1° gennaio
3000?
Il calcolo sarebbe relativamente facile se non esistessero gli anni bisestili e se 365 fosse divisibile
per sette. In questo caso i giorni della settimana sarebbero strettamente collegati alla data. Tuttavia
non è così. Le aggiunte dei giorni ogni quattro anni (con delle eccezioni!) sfasano la regolarità del
periodo, già complicato dal fatto che 365 diviso per 7 non dà un numero intero. Esiste però una
formula che ci permette di risolvere questo problema.
SIGNIFICATO DELLE VARIABILI
Innanzitutto utilizziamo il simbolo • per indicare il numero associato al giorno della settimana:
0=domenica, 1=lunedì, 2=martedì, … , 6=sabato.
Il simbolo ‰ invece sta a significare il numero del giorno del mese di cui vogliamo trovare il giorno
della settimana (ad esempio 13 marzo).
Vengono poi utilizzati due altri parametri un po’ meno immediati, ? e %. Vengono calcolati tramite
due altre quantità, cioè il numero del mese e il numero dell’anno stesso, e con l’aiuto di un
parametro E 
/5e–e
? ?WW E
% %U—U 12E 2
ƒ che vale sempre 0 oppure 1.19 Troviamo quindi
FORMULA E SPIEGAZIONE
La formula è la seguente:
?
?
?
31%
• ˜‰ ?  ƒ 
ƒ
ƒ\
]™ %T 7
4
100
400
12
Ora che conosciamo il significato delle varie lettere, cerchiamo di capire che cosa significhi la
formula esaminando i suoi termini.
Prima di tutto ci sono 365 giorni in un anno non bisestile. Siccome 365 1 '%T 7,, in generale i
giorni della settimana slittano di un giorno da un anno all’altro. Inoltre, come già sappiamo, un
anno su quattro è bisestile, quindi questi sono divisibili per 4; però gli anni divisibili per 100 ma non
P
P
P
per 400 non sono bisestili. Quindi, se calcoliamo ? ƒ ƒ ƒ, stiamo aggiungendo al
numero dell’anno considerato tutti gli anni bisestili, tranne quelli divisibili per 100 (che,
ricordiamoci i decreti di Gregorio Magno, non lo sono).
19
Promemoria: _!` indica la parte intera di !. Ad esempio _12,456` 12
42
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
Usiamo poi ? e % al posto dei numeri dei mesi e degli anni così come vengono solitamente usati:
questo serve a far cominciare l’anno in marzo (% 1 per marzo, % 2 per aprile…) e spostare
così l’eventuale giorno bisestile alla fine dell’anno.
Infine, poiché non tutti i mesi sono lunghi uguali, dobbiamo prendere in considerazione un ulteriore
spostamento, per cui usiamo il termine 
5
ƒ. Ad esempio, siccome il mese di ottobre ha 31 giorni e
31 4 C 7 3, i giorni della settimana tra ottobre e novembre slittano di 3. Se il 23 ottobre è un
martedì, il 23 novembre cadrà tre giorni più tardi, cioè un venerdì. Questo spostamento equivale
esattamente alla differenza ottenuta tra i valori di 
per ottobre vale
E
ƒ0

ƒ
/
ƒ0
% 11 12 C 0 2 9
Cš
ƒ calcolati per questi due mesi. Verifichiamo:
E
% 10 12 C 0 2 8
5
per novembre vale
/
5
ƒ 20

5
ƒ
CG
ƒ 23
La differenza è quindi 3.
Si può dimostrare che ciò vale sempre; è tuttavia più semplice mostrare empiricamente questa
corrispondenza per ogni coppia di mesi.
ESEMPI
Torniamo alle domande iniziali.
Che giorno sarà il 1° gennaio 3000?
E
/
ƒ1
? 3000 1 2999
% 1 12 C 1 2 11
• ›1 2999 
GGG
Sarà un mercoledì.
GGG
GGG
ƒ  ƒ  ƒ 
C
ƒœ %T 7 3755 %T 7 3
Che giorno era quando l’uomo mise piede sulla Luna (20.7.1969)?
E
/F
ƒ0
? 1969 0 1969
% 7 12 C 0 2 5
• ›20 1969 
GBG
GBG
GBG
ƒ  ƒ  ƒ  ƒœ %T 7 2478 %T 7 0
Era quindi una domenica.
Con la differenza di fuso orario, in Europa era però già la mattina del 21 luglio, un lunedì.
43
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
6. Conclusioni
Trarre le conclusioni dopo un anno di ricerche sul tema del calendario non è facile. In primo luogo
dover affrontare una ricerca bibliografica seria e un’organizzazione a lunga scadenza mi ha
insegnato molto. Se lo scopo di un lavoro di maturità è imparare la gestione di un’attività di ricerca
e di redazione, posso dire che è stato raggiunto. Non è stato inoltre utile solo per futuri studi che
dovrò affrontare; anche l’opportunità di poter lavorare su un tema che mi ha entusiasmato lungo il
corso di un intero anno è stato molto arricchente.
Riferendomi ora maggiormente al tema, ho scoperto principalmente che il calendario, oggetto
umile e comune, è enormemente sottovalutato per quanto riguarda la sua importanza. La
complessità della sua genesi ci dà un indizio non indifferente in proposito.
Il punto di vista matematico-astronomico è stato un approccio che non avrei mai pensato di avere
con il calendario. Conoscere le difficoltà matematiche mi è stato molto utile per capire il perché di
tanti cambiamenti nel corso della storia. In questo lavoro, la matematica e il problema storico si
sono intrecciati in modi diversi. Nella parte più approfondita, ho analizzato dei teoremi che,
utilizzati in modo diverso dal solito, mi hanno aiutato nella misura della precisione del calendario.
La matematica è stata così applicata ad un problema insolito ma ben preciso con lo scopo di
ottenere risultati pertinenti al problema. Altrove, nel caso delle classi di resto, la situazione del
calendario è stato solo uno spunto per addentrarsi in un campo a me sconosciuto e per scoprirne
nuovi aspetti. Inoltre nel mio lavoro ho utilizzato la matematica anche per semplici curiosità o
giochi.
Non sono però solo il percorso storico e le difficoltà matematiche ad attribuire un valore al
calendario. I nostri calendari murali decorati con i motivi più disparati hanno offuscato il suo
contenuto più grandioso: il mistero stesso del tempo che passa. Questo in un oggetto che è anche
un monumento storico, con le sue incongruenze, i suoi difetti e le sue virtù. Scoprire che il
calendario non è un oggetto perfetto ma che sarebbe possibile modificare ulteriormente così come
è già stato fatto in passato mi ha colpito. Rappresenta in un certo senso la messa in discussione di
qualcosa di quotidiano e di talmente radicato nella nostra mentalità da non venir nemmeno
considerato. Da qui si passa poi a chiedersi quali sarebbero gli effetti di un cambiamento
nell’abituale schema di mesi e settimane. Il calendario diventa così anche un fenomeno sociale.
Analizzando con occhi critici l’evoluzione storica, si è confrontati con mutamenti che, nel corso dei
secoli, vanno di pari passo con l’evoluzione stessa del pensiero. Dalle fasi lunari legate
probabilmente a rituali religiosi ai cicli di anni delle popolazioni mesopotamiche, dal tempo delle
città greche ritmate dalle Olimpiadi all’eliminazione di giorni per amore della precisione,
osserviamo come varia la concezione stessa di tempo e di universo.
Il calendario come problema matematico-astronomico, come mistero, come fenomeno sociale,
come frutto dell’evoluzione del pensiero: ecco solo alcuni aspetti con cui mi sono confrontata nella
stesura di questo lavoro di maturità!
Desidero ringraziare i professori di matematica del LiLu2 Ferdinando Lehmann e Michea Simona,
che mi hanno aiutato nella ricerca bibliografica e nello svisceramento di diversi teoremi matematici.
44
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
7. Appendici
A. Altri tentativi di riforma
Il tempo è il maggior innovatore.
Francis Bacon
La strada del calendario è, come abbiamo visto, lunga e tortuosa.
Non mancarono, nel corso della storia, tentativi di riformare l’organizzazione del tempo, spesso a
scopi propagandistici. Un esempio è il calendario che i rivoluzionari della Francia settecentesca
cercarono di promulgare. Ma la storia delle riforme non è terminata. Il calendario gregoriano in
auge non è perfetto e la domanda rimane: è possibile migliorarlo?
IL CALENDARIO DELLA RIVOLUZIONE FRANCESE
La necessità di un nuovo calendario va ricercata nel processo di laicizzazione
e di razionalizzazione della società voluta dai rivoluzionari francesi nel secolo
dei Lumi. Erano in atto cambiamenti enormi, l’intera struttura sociale
crollava e veniva rimpiazzata con ideali nuovi. Un oggetto comune come il
calendario, non poteva quindi restare il simbolo della religione cattolica e di
un sistema considerato arcaico, superato. Sull’onda dell’entusiasmo dei
primi anni dopo il 1789, la Convenzione Nazionale decise di introdurre un
nuovo “annuario” d’orientamento puramente civile, sopprimendo ad
16. Vendemmiaio
esempio le feste religiose. Non era la prima volta che le denominazioni del
calendario cambiavano. Linneo, per esempio, aveva pensato di abbinare ad ogni giorno non un
santo ma un fiore che sbocciava in quella data, o un’informazione relativa alle migrazioni di volatili,
a lavori agricoli, eccetera. Tuttavia durante la rivoluzione veniva concepito, per la prima volta nella
storia, un calendario a fini meramente ideologici, evidenti nei decreti della Convenzione Nazionale.
Il 22 settembre, “primo giorno della Repubblica”, il Sole ha raggiunto l’equinozio […]. Nel momento in cui in
cielo veniva stabilita l’uguaglianza dei giorni e delle notti, i rappresentanti del popolo francese proclamavano
20
l’uguaglianza civile e morale come fondamento sacro del proprio governo.
Così il 22 settembre 1792 iniziò l’anno I. Si conservarono i 12 mesi, di esattamente 30 giorni l’uno.
Non erano divisi in settimane ma in tre decadi. Avanzavano così, come nell’antico calendario egizio,
5 giorni dedicati alla celebrazione della Virtù, del Genio, del Lavoro, dell’Opinione e delle
Ricompense. Ne era previsto anche un sesto per gli anni bisestili. I mesi assunsero nuovi nomi
ispirati al mondo naturale, come Brumaio, Nevoso, Ventoso, Fiorile, Fruttidoro e così via. Che
durata di vita ebbe questo calendario? Fino al 1799 personaggi influenti come Robespierre
continuarono ad usarlo, e così il popolo. Ma il 18 Brumaio dell’anno VIII (18 novembre 1799) un
certo Napoleone Bonaparte attuò un colpo di stato e prese il potere. La Repubblica finì. Il
calendario restò ma incominciò a venir guardato con sospetto, come una stravaganza da
rivoluzionari. Cinque anni più tardi, al 10 Nevoso XIV successe anche in Francia il 1° gennaio 1806, e
il calendario repubblicano si trasformò in un ricordo.
20
cit. in: BIÉMONT Émile, Ritmi del tempo. Astronomia e calendari, p. 309
45
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
IL PERCHÉ DI UN’ALTRA RIFORMA
Il calendario gregoriano è una buona soluzione per quanto riguarda la sua corrispondenza con i
moti del nostro pianeta. Nessuno si sogna di cambiare il numero dei giorni dell’anno o la frequenza
degli anni bisestili. Il suo problema è la ripartizione interna di questi 365 o 366 giorni. È il prodotto
di secoli di storia e siamo abituati e in un certo senso affezionati ad esso, ma potrebbe avere
un’organizzazione migliore. I mesi hanno da 28 a 31 giorni, le giornate lavorative variano da 24 a 27,
le feste religiose sono mobili e possono cadere in mezzo alla settimana complicando
l’organizzazione del lavoro. Ciò interferisce con il commercio, l’industria, il pagamento degli
stipendi. Inoltre le date degli avvenimenti periodici legati al giorno del mese, o al giorno della
settimana, non possono essere previste con facilità. Tutto ciò fa riflettere sull’esigenza di una messa
a punto di un nuovo calendario.
IL PROGETTO DI AUGUSTE COMTE21
Nel 1853 Auguste Comte avanzò una proposta di riforma, con lo scopo di cancellare la storia
precedente in nome della tolleranza e della laicità. Nel suo calendario vi sarebbero stati 13 mesi di
28 giorni ripartiti in 4 settimane. Il 365° giorno sarebbe stato consacrato ai morti, e il giorno
supplementare dell’anno bisestile sarebbe stato festivo. I mesi e i giorni sarebbero stati dedicati a
grandi uomini come Mosè, Omero, Aristotele, Carlo Magno, Shakespeare... Questo calendario, pur
se efficace per quanto riguarda i mesi e i giorni della settimana, non ebbe successo. Il cambiamento
era infatti troppo radicale; gli avvenimenti mensili si ripetevano una volta in più; il numero 13 non
era una scelta felice, sia per le superstizioni legate ad esso, sia perché le scienze da sempre
preferiscono il 12, divisibile per 2,3,4 e 6 ad uno scomodo numero primo.
IL PROGETTO DI ARMELIN
Nel 1884 venne bandito un concorso dalla rivista francese “L’Astronomie”. Il primo premio venne
attribuito a G. Armelin, secondo cui ogni trimestre di 91 giorni (13 settimane) avrebbe dovuto avere
un mese di 31 giorni e due di 30. Così ogni trimestre sarebbe incominciato di lunedì e terminato di
domenica. L’anno sarebbe stato composto così di 364 giorni. Il 365° giorno sarebbe stato
Capodanno, senza data né settimana. Il 366° giorno degli anni bisestili sarebbe coinciso con il 31
dicembre, e non sarebbe appartenuto a nessuna settimana.
I PROGETTI DELLA SOCIETÀ DELLE NAZIONI
Nel 1927 la Società delle Nazioni condusse un'inchiesta sul problema del calendario e accolse due
possibili progetti di riforma. Il primo è un calendario fisso simile a quello di Comte, di 13 mesi
formati da 4 settimane. Il 29 dicembre è Capodanno e giorno festivo. Il giorno in più ogni 4 anni è il
29 giugno. Questo calendario, apportava però modifiche troppo radicali. Il secondo è un calendario
detto universale, simile a quello di Armelin. È suddiviso in 4 trimestri di 91 giorni con un mese di 31
e due di 30. Il 365° giorno (31 dicembre) è festivo e fuori dalla settimana. La Pasqua diventa fissa (8
aprile) e il numero di giorni lavorativi è sempre lo stesso. Nessuno di questi progetti venne tuttavia
concretizzato.
21
Isidore Marie Auguste François Xavier Comte (1798-1857), filosofo e sociologo francese padre del Positivismo
46
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
B. Gli strumenti di misurazione: dalle meridiane agli orologi atomici
Lo scorrere del tempo non viene determinato solo dal calendario. Anche strumenti di misurazione
per periodi di tempo più brevi come ore, minuti e secondi hanno avuto una notevole evoluzione nel
corso della storia. Le difficoltà in questo caso concernono la tecnica più che l’astronomia e la
matematica; tuttavia è interessante notare anche in questo campo i progressi compiuti nel
tentativo di legare il tempo che passa ad una scala di misurazione sempre più precisa, esattamente
come è successo nel caso della calendario.
LA MERIDIANA
La meridiana primitiva (o gnomone) è probabilmente il più antico strumento usato per misurare il
tempo. È costituito da un’asta verticale che proietta la sua ombra su una superficie orizzontale.
Siccome la Terra gira, i raggi solari arriveranno con diverse inclinazioni nei diversi momenti della
giornata, e l’ombra avrà lunghezze e direzioni diverse. È possibile considerare queste variazioni per
suddividere la giornata in archi di tempo. Per una maggior accuratezza bisogna anche tener conto
della stagione e del luogo (nelle prossimità dell’equatore o meno) in cui ci si trova. L’uso dello
gnomone è attestato in diverse civiltà antiche: dai Cinesi ai Babilonesi, dalle civiltà precolombiane ai
Greci. Ci sono diversi tipi di meridiana. Quella appena descritta viene anche chiamata quadrante ad
altezza, perché si basa sull’altezza del Sole nel cielo. Le altre meridiane si differenziano da questa
per inclinazione del piano su cui viene proiettata l’ombra o per la posizione dell’asta.
LA CLESSIDRA AD ACQUA
Accanto allo gnomone, strumento utilizzabile solo di giorno, gli Egizi introdussero le clessidre ad
acqua che avevano il pregio di non dipendere dalla luce solare. Lo strumento più antico di questo
tipo è stato trovato nelle rovine del tempo di
Tebe e risale probabilmente al XIV sec. a. C.
Queste clessidre erano costituite da una
bacinella piena d’acqua, con iscritta una scala
oraria, e da un’apertura sul fondo per
consentire l’uscita del liquido. Per favorire lo
scorrimento dell’acqua, la clessidra aveva una
forma svasata verso l’alto. I matematici egizi
non riuscirono tuttavia a correggere la
diminuzione del flusso dovuta all’abbassamento
della pressione man mano che la bacinella si
svuotava. Questa idea si diffuse rapidamente in
17. Progetto per un orologio ad acqua
Grecia, nell’impero romano, nel mondo arabo e,
(manoscritto arabo, 1203)
in seguito, in tutto l’Occidente cristiano. Fu
utilizzata anche nell’antica Cina. Ad Atene e a Roma veniva usata per limitare gli interventi degli
oratori troppo prolissi, nei monasteri regolava le preghiere dei monaci.
47
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
Lo scienziato Galileo Galilei la usava per cronometrare i suoi esperimenti:
Quanto poi alla misura del tempo, si teneva una gran secchia piena d’acqua, attaccata in alto, la quale per un
sottil cannellino, saldatogli nel fondo, versava un sottil filo d’acqua, che s’andava ricevendo con un piccol
22
bicchiero per tutto ‘l tempo.
Queste clessidre vennero realizzate ed utilizzate fino al Settecento.
GLI OROLOGI A CANDELA
Gli orologi basati sulla combustione hanno un’origine molto antica. L’introduzione dell’orologio a
candela in Europa viene attribuita a un re anglosassone del IX secolo, che usava questo
procedimento per dividere la giornata in ore di lavoro, di sonno o di preghiera. L’idea di usare la
combustione di una candela per cronometrare le ore è attestata anche in diversi monasteri. Ancora
oggi esistono ceri pasquali graduati per segnare le ore.
LA CLESSIDRA
Tutti conoscono la clessidra, usata ancora oggi ad esempio per cronometrare i turni di alcuni giochi
di società. È composta da due ampolle di vetro collegate da un collo stretto. Vi è contenuta sabbia o
polvere. Grazie alla gravità il contenuto dell’ampolla superiore cade in quella sottostante passando
per la strettoia. L’invenzione della clessidra a sabbia è controversa. Alcuni sostengono che veniva
già usata presso gli antichi Egizi, altri sostengono che apparve solo nel XIV secolo. La sua presenza in
Occidente è documentata negli inventari di Carlo Magno e in alcuni affreschi, come quelli di
Lorenzetti a Siena. Certo è che venne largamente usata. All’inizio dell’era industriale veniva usata
nelle fabbriche, fu installata nelle imbarcazioni, sostituì la clessidra ad acqua nei monasteri. I
predicatori protestanti, su suggerimento dello stesso Lutero, la usavano per limitare la durata dei
sermoni.
GLI OROLOGI MONUMENTALI E MECCANICI
Non si conosce l’inventore del primo orologio a
funzionamento meccanico. Alcuni fanno risalire la
sua invenzione al X secolo, tuttavia le prime
descrizioni che illustrano con esattezza il suo
funzionamento risalgono all’inizio del XIV sec. I
primi orologi erano posti alla sommità delle torri
delle cattedrali ed erano veri e propri capolavori
artistici. Uno dei più famosi orologi monumentali è
quello della torre del palazzo di Westminster a
Londra, conosciuto con il nome di Big Ben. I suoi
18. Il Big Ben
quadranti sono posti a 55 metri d’altezza, la
lancetta dei minuti pesa ben 102 chili e ha una lunghezza di 4 metri.
22
dai Discorsi sopra i due massimi sistemi di Galileo Galilei, cit. in: Antologia filosofica, a cura di Vanni Rovighi Sofia, La
Scuola, Brescia, pp. 119-129
48
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
L’orologio ha subito diverse modifiche, ma in sostanza i suoi elementi principali sono i seguenti:
• Un organo fonte di energia motrice che
può essere una molla o un peso
• Un organo di trasmissione (cioè i vari
meccanismi come le ruote dentate
dell’illustrazione a lato)
• Il dispositivo di scappamento che genera
ulteriore forza motrice
• L’oscillatore che fornisce la base del
tempo (per esempio un pendolo)
• Un sistema di visualizzazione del tempo
19. Interno di un orologio a molla
(quadranti e lancette)
• Il dispositivo di ricarica, che rinnova l’energia motrice
GLI OROLOGI DA POLSO: DISPOSITIVI AL QUARZO E DISPOSITIVI ATOMICI
Il primo orologio da polso, a funzionamento meccanico, è stato
fabbricato da un fabbro di Norimberga nel Cinquecento. Oggi, dopo
l’invenzione di altri tipo di orologi, i dispositivi meccanici sono
considerati superati. Realizzato nel 1928, il primo meccanismo a
cristalli di quarzo si rivelò straordinariamente preciso (errore di un
millesimo di secondo al giorno). Si basa sulla capacità di alcuni cristalli
elettricamente neutri di acquisire una polarizzazione elettrica. Il
quarzo viene quindi tagliato in lamine sottilissime secondo direzioni
20. Orologio atomico dalle
ben precise. Viene poi ricoperto di elettrodi metallici ai quali è
dimensioni di un microchip
applicata una tensione elettrica alternata per ottenere un’oscillazione.
La creazione dell’orologio al quarzo con lancette risale al 1967, mentre quattro anni più tardi venne
inventato l’orologio numerico, che forniva l’ora direttamente in cifre. Il dispositivo al quarzo è stato
migliorato con la messa a punto dell’orologio atomico: questo si basa su oscillazioni ancora più
microscopiche: le transizioni quantistiche delle molecole. Nel 1955 venne testata la precisione del
primi orologi atomici. L’errore misurato era di un secondo ogni 300 anni.
49
Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
C. Percepire il tempo e il calendario
Vola il tempo lo sai che vola e va, forse non ce
ne accorgiamo, ma più ancora del tempo che
non ha età siamo noi che ce ne andiamo.
De André
In neurologia sono conosciute e studiate molte
anomalie della percezione dello spazio, ma le disfunzioni
del senso del tempo sono più rare. Anche per questo è più difficile stabilire con esattezza il
funzionamento della percezione del tempo nel nostro cervello. I disturbi come la difficoltà di
valutare lo scorrimento del tempo o l’incapacità di ordinare cronologicamente alcuni avvenimenti,
erano generalmente collegati a lesioni di una parte del cervello detta talamo. Questo è un ammasso
di neuroni nella profondità di ciascun emisfero collegato praticamente con tutto il tessuto corticale,
cioè con la superficie del cervello. Una sorta di collegamento centro-periferia. I neurologi hanno
quindi formulato una teoria che si basa sugli impulsi elettrici che passano dal talamo alla corteccia
cerebrale. Sono molto regolari, ogni ciclo di andata-ritorno impiega circa 200 millesimi di secondo.
Questo ritmo regola poi altri numerosissimi “cronometri” cerebrali, ed è letto da una zona del lobo
frontale. Si suppone quindi che sia questo complicato meccanismo la base del senso del tempo.
LO STRANO CASO DELLA SIGNORA J.23
La paziente J. è un’anziana signora settantacinquenne. Ha studiato ragioneria
e ha amministrato diverse proprietà insieme al marito fino alla sua morte. In
seguito ha riorganizzato la sua vita circondandosi di vicine, assumendo un
aiuto in casa. Tutto regolare, se non che un giorno, ritornando a casa, si
lamenta di non trovare il marito ad attenderla. Quando le si ricorda che
l’uomo è morto non dà segni di sgomento, anzi afferma che lo sa già e che si
reca spesso al cimitero. Tuttavia questo non le impedisce di partire alla sua
ricerca presso diversi conoscenti, quando non lo trova a casa. Viene
21. L’assurda clessidra
sottoposta a diversi test. La salute mentale e la memoria della signora J.
della nostra percezione
appaiono buone, sembra però persa nel tempo. È incapace di dire che giorno
sia, di stimare il tempo trascorso. Per lei cinque minuti e due giorni hanno la stessa durata. Ricorda
perfettamente tutti gli avvenimenti della sua vita, come la sua laurea, la nascita del primo figlio o la
morte del marito, ma è incapace di dirne la data o stimarne il periodo. Sottoposta ad un test in cui
deve ordinare dieci eventi importanti della sua esistenza, pone la morte del marito prima del suo
pensionamento. Inoltre i medici, allibiti, scoprono che la signora J. è riuscita a laurearsi prima di
entrare all’università, dopodiché ha sostenuto gli esami di licenza media. Inoltre nella sua testa
l’assassinio di Kennedy avviene subito dopo la guerra del Golfo. Un mondo surreale! Passato un
mese, la signora J. inizia a orientarsi meglio nel corso della giornata e gli avvenimenti della sua vita
ritornano al loro posto. Gli esami medici avevano rilevato lesioni a livello del talamo; inoltre, la
stessa lesione aveva provocato il funzionamento ridotto del lobo frontale e del lobo parietale
destro. Guarda caso, due di queste zone sono strettamente legate al senso del tempo. Dopo poco,
riprendendosi dall’episodio cerebrale, ha ritrovato la percezione del tempo.
23
da VERSTICHEL Patrick, Lo strano tempo della signora J., pp.54-57
50
Lavoro di maturità in matematica 2007
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I “SAVANTS”
La classificazione dell’intelligenza umana è un’impresa difficile, e la miglior dimostrazione
dell’indipendenza degli attributi mentali è lo sbalorditivo fenomeno dei “savants”, chiamati in
precedenza con il poco simpatico attributo di “idiots savants”. Queste sono persone spesso
autistiche24, per la maggior parte di sesso maschile e complessivamente ritardate ma dotate di
capacità altissime in un campo ben delimitato. Alcuni savants sono per esempio incapaci di
relazionarsi in modo normale e hanno abitudini e rituali a cui non riescono a rinunciare, ma sanno
recitare l’elenco del telefono a memoria. Celebri le prodezze del savant impersonato da Dustin
Hoffman nel film Rain Man, che sa dire in pochi secondi il numero di fiammiferi caduti da una
scatola. Sono documentati casi clamorosi, come quello dell’americano Leslie Lemker: era cieco e
non prese mai lezioni di pianoforte, tuttavia un giorno si mise alla tastiera e suonò, senza alcun
errore, il concerto per pianoforte numero 1 di Tschaikowsky, sentito alla radio poco prima.
Come funziona la mente di queste persone? È una domanda a cui è difficile rispondere. Le capacità
di quasi tutti i savants sono matematiche, astratte, musicali o di calcolo, tutte attività regolate in
gran parte dall’emisfero destro del nostro cervello. Inoltre, nell’85% dei casi studiati vi erano
danneggiamenti dell’emisfero sinistro. Si teorizzò così che l’emisfero destro compensasse i deficit
nella parte sinistra del cervello. Inoltre l’attenzione degli autistici non integra percezione,
cognizione e ragionamenti, ma si concentra in informazioni minime e scollegate tra loro. Davanti al
disegno di un letto, un savant potrebbe ad esempio dire: “Questa è una coperta, questa è la
testiera e questo è un raviolo”. Il cuscino ha infatti, visto fuori dal contesto, la forma di un raviolo.
Secondo Beate Hermelin25, la rigorosa, seppur complessa, struttura del calendario affascina molti
autistici. Sono conosciuti casi in cui un savant era in grado di fornire, il giorno della settimana di una
qualsiasi data del ventesimo secolo; di elencare gli anni, passati o futuri, in cui una particolare data
cadeva in un certo giorno della settimana (ad esempio in cui il 10 febbraio era un venerdì); e di
predire date in cui, ad esempio, il quarto lunedì del mese cadrà il 22.
Un altro esempio è la domanda posta ad un ragazzo autistico a proposito del numero 28, che
corrisponde ad un ciclo completo di anni nel calendario giuliano senza considerare le omissioni
degli anni bisestili (cfr p. 37). La risposta apparentemente insensata è stata: “Cinque settimane”.
Ma in questa enigmatica risposta si cela il seguente calcolo. Un anno ha 52 settimane più un giorno
(o due per i bisestili). Quando il numero dei giorni in più è divisibile per sette, allora il calendario di
quell’anno è uguale al quello dell’anno di riferimento. Contando i giorni aggiunti, anno dopo anno,
si scopre sono divisibili per 7 alcuni intervalli di anni variabili; ma che arrivati a 28 ogni cosa
funziona perfettamente perché questo periodo contiene esattamente 7 anni bisestili. Oltre a
questi, ogni intervallo di 28 anni contiene anche 28 giorni aggiuntivi citati prima. Perciò aumenta
esattamente di 35 giorni (5 settimane). Incapace di usare una regola aritmetica, questo ragazzo
aveva trovato così in modo autonomo che il calendario si doveva ripetere ogni 28 anni. Insomma,
“cinque settimane”.
24
Autismo :
“Incapacità di prendere contatto con altre persone” (Kanner),
“Percezione del mondo come minaccia e caos incontrollabile” (Hermelin)
25
Professoressa di psicologia all’università di Londra e una delle prime ricercatrici interessata all’autismo e ai savants
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Lavoro di maturità in matematica 2007
Camilla Pellegri, 4G
8. Bibliografia e fonti delle immagini
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