Elaborazione numerica del suono
Elaborazione numerica del suono
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Campionamento
 Campionare un segnale elettrico significa determinare il suo
valore ad intervalli prefissati di tempo.
 La frequenza di campionamento (fc) è il numero di campioni
ottenuti in 1 secondo
 Inoltre il valore ottenuto è noto solo con precisione finita, causa
il “numero di bit” del convertitore, che è limitato (tipicamente
compreso fra 16 e 24)
 Conseguentemente, su un piano ampiezzatempo, la forma d’onda analogica è approssimata
da una serie di punti giacenti sui nodi di un
reticolo
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Discretizzazione in ampiezza e nel tempo
DV
Dt
Segnale analogico
Segnale digitale (campionato)
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Puo’ il segnale campionato rappresentare
“fedelmente” quello originale?
 Sì, ma solo se si rispetta il teorema di Shannon:
“La frequenza di campionamento deve essere
almeno doppia della frequenza del segnale
analogico che viene campionato”
La frequenza pari a metà di fc viene detta “frequenza di
Nyquist” – onde evitare che segnali a frequenza maggiore
di essa siano presenti all’ingresso del campionatore,
occorre un filtro analogico passa-basso che elimini ogni
segnale al di sopra della frequenza di Nyquist. Tale filtro
viene detto “anti Aliasing”.
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ESEMPI
 CD audio – fc = 44.1 kHz – risoluzione 16 bit
La frequenza di Nyquist è dunque pari a 22.05 kHz, ed il filtro
anti-aliasing comincia a tagliare attorno ai 20 kHz, affinchè a
22.05 kHz il segnale sia attenuato di un’ottantina di dB.
 Registratore DAT – fc = 48 kHz – risoluzione 16 bit
La frequenza di Nyquist è dunque pari a 24 kHz, ed il filtro antialiasing comincia a tagliare sempre attorno ai 20 kHz, affinchè a
24 kHz il segnale sia attenuato di un’ottantina di dB.
 DVD Audio – fc = 96 kHz – risoluzione 24 bit
La frequenza di Nyquist è dunque pari a 48 kHz, ma il filtro antialiasing comincia a tagliare attorno ai 24 kHz, affinchè a 48 kHz
il segnale sia attenuato di oltre 120 dB. Un filtro siffatto è molto
meno ripido di quello del CD o del DAT, e conseguentemente è
molto più “corto” nel tempo e non distorce la forma d’onda.
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Risposta all’impulso
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Un semplice sistema lineare
Sistema fisico (un ingresso, una uscita)
Lettore CD
Amplificatore
Altoparlante
Microfono
Analizzatore
Sistema
Schema a blocchi
x(t)
h(t)
y(t)
Input signal
System’s Impulse
Response
(Transfer function)
Output signal
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Filtraggio FIR (Finite Impulse Response)
x ( t )  x ( i  Dt )
h( t)  h (i  Dt)
y( t)  y(i  Dt)
L’effetto del sistema lineare h sul segnale x è descrivibile
tramite l’operazione di convoluzione discretizzata:
N 1
y(i)   x i  j  h j
j0
Tale operazione si chiama anche filtraggio FIR – quindi
qualunque sistema fisico che opera linearmente (senza
distorsione) è in realtà un filtro FIR. In notazione compatta:
y(i)  xi   h j
Operatore “convoluzione”
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Filtraggio IIR (Infinite Impulse Response)
x ( t )  x ( i  Dt )
a ( j) 


b( j) 
y( t)  y(i  Dt)
L’effetto del sistema lineare sul segnale x è descrivibile
alternativamente anche tramite un filtraggio “ricorsivo”:
y( i ) 
N 1
N 1
j0
j1
 x i  j  a  j   yi  j  b j
In pratica, quindi, il segnale y, già filtrato agli istanti precedenti
viene usato per calcolare il nuovo campione del segnale filtrato.
In molti casi pratici questo consente di rappresentare
fedelmente un sistema (un filtro) con un ridotto numero di
coefficienti A e B, mentre con il filtraggio FIR, per effettuare un
identico filtraggio, sarebbero occorsi migliaia di coefficienti.
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L’algoritmo FFT
 La trasformata veloce di Fourier è molto impiegata in acustica.
Gli scopi sono principalmente due:
o Analsi spettrale in banda costante
o Filtraggio FIR veloce
 L’FFT consente il passaggio fra un segnale nel tempo (“forma
d’onda”) e la sua rappresentazione in frequenza (“spettro”), con
risoluzione a bande costanti da 0 Hz (DC) alla frequenza di
Nyquist (metà della frequenza di campionamento)
 Maggiore è la lunghezza del segnale nel tempo analizzato,
migliore sarà la risoluzione in frequenza dello spettro ottenuto:
[N punti campionati nel tempo] => [N/2+1 bande in frequenza]
(il +1 rappresenta la risposta alla frequenza 0, cioè la componente
continua del segnale, che in acustica si assume per definizione
nulla, in quanto la pressione atmosferica viene sottratta)
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L’algoritmo FFT
Il numero di punti processati e deve essere sempre una potenza di
2, ad esempio 4096, 8192, 16384, etc.
Segnale nel tempo (64 punti)
IFFT
FFT
E’ anche possibile la trasformata inversa
(da spettro a segnale nel tempo)
Spettro in frequenza
(32 bande + DC)
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Spettro complesso, autospettro
 L’FFT produce uno spettro complesso, a ciascuna frequenza si ottiene un
valore costituito da parte reale o immaginaria (Pr, Pi), o, in modo
equivalente, da modulo e fase
 In molti casi la fase e’ considerata priva di importanza, e si visualizza solo
lo spettro del modulo quadrato del segnale, nella scala in dB:
{p1, p2 , p3 , p4 ,..., p N }  [ FFT]  {P0 , P1, P2 ,...PN / 2 }
 Pr f 2  Pi f 2 
 Pf   P' f 
Lp f   10  log 10 
  10  log 10 

2
2
po
 po



 La seconda forma dell’espressione contiene il cosiddetto AUTOSPETTRO
del segnale, ottenuto moltiplicando, a ciascuna frequenza il valore
complesso P(f) per il suo complesso coniugato P’(f)
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Spettro complesso, autospettro
 In altri casi invece è
importante anche
l’informazione di
fase (soprattutto
quando si fa l’FFT di
una risposta
all’impulso, e non di
un semplice segnale
di pressione).
 Essa viene
presentata in un
diagramma
apposito.
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Il “leakage” e le finestre (“window”)
 Una delle premesse dell’analisi di Fourier è che il segnale analizzato
deve essere un periodo esatto di una forma d’onda periodica
 Questo in generale non è vero. Il mancato raccordo fra ultimo campione
del blocco analizzato e primo campione del blocco idealmente
successivo (identico a quello analizzato, visto che il segnale è assunto
periodico), causa un “click”, che si traduce in uno spettro contaminato
da rumore a larga banda (“leakage”):
Leakage
Spettro teorico
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Il “leakage” e le finestre (“window”)
 Per analizzare una arbitraria forma d’onda non avente periodo
coincidente con il numero di campioni N, o un segnale assolutamente
aperiodico, occorre dunque “finestrare” il segnale contenuto nel blocco,
portandolo gradatamente a zero agli estremi
 Si usano a questo scopo varie “window”, aventi strani nomi tipo
“Hanning”, “Hamming”, “Blackmann”, “Kaizer”, “Bartlett”, “Parzen”, etc.
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L’overlap
 Il problema dell’uso delle Window è che tendono a non analizzare il
segnale che capita vicino al punto di giunto fra due blocchi di FFT
 Onde evitare questa perdita di informazioni, occorre procedere
analizzando non blocchi di N campioni consecutivi, ma blocchi
parzialmente overlappati, perlomeno al 50%, e idealmente anche al 75%
Block 1
Window
FFT
Block 2
Window
FFT
Block 3
Window
FFT
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Media, waterfall, spettrogramma
 Ottenuta una sequenza di spettri FFT nel tempo, si possono fare
medie esponenziali (Fast, Slow) o lineari (Leq)
 Oppure si può visualizzare l’evolvere dello spettro nel tempo
secondo le modalità grafiche dette “waterfall” e “spettrogramma”
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