Calcolo combinatorio 2:
combinazioni e potenze del binomio
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1
Nella realtà
Quante combinazioni?
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Quante squadre in campo?
2
Attenzione al linguaggio
Nel linguaggio comune
Combinazione di una serratura
1844 apre
ma 8441 NON apre
Anche 73 68 26 75 76
86
è vincente
In matematica
DISPOSIZIONE
Raggruppamento
ordinato
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COMBINAZIONE
Raggruppamento
NON ordinato
3
Contare le combinazioni
Un esempio
Calcolo il numero C5,3 di combinazioni
delle 5 cifre dispari 3 a 3
D5,3  P3  C5,3
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4
Contare le combinazioni
In generale
Numero delle
disposizioni di
n oggetti k a k
Numero delle
permutazioni
di k oggetti
Numero delle
combinazioni di
n oggetti k a k
Dn,k  Pk  C n,k
C n,k

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1
 Dn,k 
Pk
5
Calcolare il numero di combinazioni
In generale
1 
C n,k  Dn,k  
Pk

n! 
n!
Dn,k 
 C n,k 
k!n  k !
n  k ! 

Pk  k!
Formula valida per

 qualunque coppia n, k con
n≥k
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6
Contare il numero di combinazioni
Esempi
12 giocatrici di calcetto decidono
di partecipare ad una partita con
una squadra di 8 persone (5
giocatrici e 3 riserve). Quante
squadre possono organizzare?
12!
C12,8 
 495
8!12  8!
Per scriverle tutte, ognuna su una
riga, riempio circa 17 pagine!
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7
Contare il numero di combinazioni
Esempi
Quante combinazioni
dei 90 numeri del
SuperEnalotto 6 a 6?
90!
C90,6 
6!90  6!
oppure
D90,6 90 89 88 87 86 85
C90,6 


6!
6!
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8
Contare il numero di combinazioni
Attenzione ai calcoli con la calcolatrice tascabile!
90!
 622 614 630
6!84!
Perché la calcolatrice dà
un risultato approssimato?

Invece non dà problemi alla
calcolatrice la formula
Perché 90! e 84! sono
numeri con troppe cifre; la
calcolatrice mostra solo 11
cifre e passa alla notazione
esponenziale.
90 89 88 87 86 85
C90,6 
6!
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9
Contare il numero di combinazioni
Attenzione al risultato molto grande
90!
 622 614 630
6!84!

Per scrivere tutte le combinazioni, ognuna su una riga,
riempirei circa 20 753 821 pagine. Tutte queste pagine
peserebbero quanto una grande nave a pieno carico.
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10
Attenzione al linguaggio
n
n!
  
k!n  k ! k 
NON c’è la linea
di frazione
Si legge
‘n sopra k’

COEFFICIENTE BINOMIALE
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Applicare il coefficiente binomiale
Per contare le combinazioni di n oggetti k a k
Esempio: squadre di calcetto di 8 giocatrici scelte fra 12
12
12!
C12,8 
  
8!12  8! 8 
E anche
Per contare le permutazioni di n oggetti, di cui k
 fra loro e anche i restanti (n – k) uguali fra
uguali
loro, ma diversi dai primi k.
Esempio: permutazioni delle lettere della parola NONNO
5
5!
P5,3,2 
  
3!5  3! 3
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12
Coefficiente binomiale e potenza del binomio
ESEMPIO
(a + b)5 = (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b)
Elenco i monomi che ottengo con la moltiplicazione
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13
Potenza del binomio
ESEMPIO
5
4
3 2
2 3
4
5
a

b

a

5a
b
10a
b
10a
b

5ab

b


5
che proviene dallo sviluppo di
5 4 1 5 3 2 5 2 3 5  1 4
a  b  1 a    a b    a b    a b    a b 1 b 5
1 
2
3
4 
5
5
La formula suggerisce un completamento
5  5!
1
 
5  5!0!
5  5!
1
 
0  0!5!
Così si procede verso una formula generale

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14
Potenza del binomio
ESEMPIO
5 50 0 5 51 1
5  1 4 5 0 50
a  b    a b    a b  ...   a b    a b
0
1 
4 
5
5
IN GENERALE
n n0 0 n n1 1
 n  1 n1 n 0 n0
a  b    a b    a b  ...   a b    a b
0
1 
n 1
n
n
n  nk k
a  b    a b
k
k0  
k n
n
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FORMULA PER SVILUPPARE
LA POTENZA DEL BINOMIO
Spiega l’origine del nome
‘coefficiente binomiale’.
15
Potenza del binomio e triangolo di Tartaglia
(a+b)0 = 1
1
(a+b)1 = 1a+1b
1
(a+b)2 = 1a2+2ab+1b2
1
(a+b)3 = 1a3+3a2b+3ab2+1b3
(a+b)4 = 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
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1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
16
Triangolo di Tartaglia:
come si costruisce
Video ‘Mozart and math’
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17
Triangolo di Tartaglia: come si costruisce
a  b  a 5  5a 4 b  10a 3b 2  10a 2b 3  5ab4  b 5
5
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18
Coefficienti binomiali e triangolo di Tartaglia
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19
Triangolo di Tartaglia:
uno sguardo alla storia
Il triangolo era conosciuto in Cina da Chia Hsien, nel 1100 circa, e
da Yang Hui nel 1260
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20
Triangolo di Tartaglia:
uno sguardo alla storia
Il triangolo fu studiato in Europa da molti
matematici rinascimentali, fra i quali:
Tartaglia, Stiefel, Cardano, Pascal.
Tartaglia 15001557
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Stiefel
1487-1567
Cardano
1501-1576
Pascal
1623 -1662
21
Attività 1
Il lavoro di gruppo è dedicato a esplorare
combinazioni, potenza del binomio e
triangolo di Tartaglia.
Ecco un video per cominciare a riflettere.
Video ‘Quanti cin – cin?’
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22
Attività 1
Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone;
ogni gruppo avrà una scheda di
lavoro da completare.
Avete 20 minuti di tempo
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23
Che cosa abbiamo ottenuto
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24
Sulle combinazioni
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25
Proprietà dei coefficienti binomiali
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26
Proprietà dei coefficienti binomiali
n=5
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k=3
27
Potenza del binomio
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28
Triangolo di Tartaglia e potenze di 11
Costruisco le potenze successive di 11 e trovo:
110 =
111 =
112 =
113 =
114 =
1
11
121
1331
14641
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1