I radicali
I RADICALI
L’insieme R e le radici
Semplificazioni di espressioni con i radicali
1
I RADICALI
Aritmetici
Algebrici
Positivi
Negativi
Proprietà
Invariantiva
dei Radicali
Semplificazione
2
Riduzione
I radicali
DEFINIZIONI
3

Si definisce radice n-esima aritmetica di un numero reale positivo a, quel
numero sempre positivo la cui potenza n-esima è uguale ad a.
Radice n-esima di N
Indice
Esponente
n
a
m
Radicando
Non esiste radice con indice 0

Elevando un radicale ad una potenza uguale all’indice, si ottiene solo il
radicando (PROPRIETÀ FONDAMENTALE).
I radicali
RADICALI ARITMETICI
• Non esiste radice con indice 0
Esempio:
0
a  NON ESISTE
• Se il numero dell’indice è uguale a quello
dell’esponente, si semplificano sia l’indice che
l’esponente e si avrà come risultato soltanto il
radicando.
Esempio:
3
a a
3
I radicali
4
RADICALI ARITMETICI: i casi
a>0 4
n è pari
n
a<0
a
16
4
x yx y
- 16
 2  2
4
4
non si può fare
3
 8  3 (2)3  2
3
8  3 ( 2) 3  2
n è dispari a Є R
2
si può fare
x4 y  x2 y
I radicali
5
Proprietà invariantiva dei radicali
6

Dato un radicale aritmetico il suo valore non cambia se si
moltiplicano o si dividono per uno stesso numero diverso
da 0 l’indice della radice e l’esponente del radicando
n
a 
m
n P
a
m P
oppure
riduzione di più radicali
allo stesso indice
n
a 
m
nP
a
m P
semplificazione di un radicale
I radicali
ESEMPI DI
SEMPLIFICAZIONE
a 
m
n
nP
a
m P
Un radicale è riducibile se l’indice e l’esponente hanno un divisore in comune
che li possa dividere.
4
64 x 8 y 2  42 822 x 82 y 22  8 x 4 y ( RIDUCIBILE )
10
2 
5
105
2
55
 2 ( RIDUCIBILE )
Un radicale è irriducibile quando l’indice e l’esponente non hanno
nessun divisore in comune che li possa dividere.
23  54  (IRRIDUCIBI LE )
10 9
2  ( IRRIDUCIBI LE )
7
I radicali
7
ESEMPI DI RIDUZIONE
n
a 
m
nP
a
m P
Bisogna fare il minimo comune multiplo tra gli indici di ciascun radicale e poi
dividere il risultato con l’indice del radicando; la soluzione verrà moltiplicata
con l’esponente del radicando.
3
3
4
4a ;
6
27a ; a  b  2 a ; 3 a ;
3
5 ; 10  5 ; 10
4
4
6
12
4
12
8
6
3
3
6
a  b
3
3
I radicali
8
ESEMPI DI RADICANDO POSITIVO
3
a a
3
In questo esempio il risultato è a, perché ha
l’indice 3 che è un numero dispari e quindi non ha
bisogno di valore assoluto
Invece in questi due esempi l’indice
è pari e quindi i radicandi hanno
bisogno del valore assoluto
a a
4
4
(a  b)  a  b
2
I radicali
9
ESEMPI CON RADICANDO NEGATIVO
4
 2  NON ESISTE
6
 3  NON ESISTE
 25  NON ESISTE
I radicali
10
Operazioni con i radicali
11
- Moltiplicazione di 2 o più radicali avente lo stesso indice
- Divisione di due o più radicali aventi lo stesso indice
- Trasporto fuori il segno di radice di 1 o più fattori
- Trasporto dentro al segno di radice di 1 o più fattori
- Potenza di radicali
- Radice di radice
- Potenze ad esponente frazionario
- Radicali simili
- Razionalizzazione
- Equazioni
- Metodo di Cramer
- Radicali doppi
I radicali
Moltiplicazione di 2 o più
radicali aventi lo stesso indice
Si riduce ad un solo radicale avente il medesimo indice e per radicando
il prodotto dei radicandi.
ESEMPI:
4
4
a  b  a b
4
xy  4
4
3 2
x 
2
4
3 3
x y
2
NOTA: se i radicali non hanno lo stesso indice
prima di eseguire la moltiplicazione bisogna
ridurre tutti i radicali allo stesso indice (m.c.m.) e
poi eseguire la moltiplicazione.
12
I radicali
Divisione di 2 radicali aventi
lo stesso indice
Si riduce ad un solo radicale avente il medesimo indice e per
radicando il quoziente dei radicandi.
ESEMPIO:
4
a
4
b 
4
a
b
NOTA: se i radicali non hanno lo stesso indice
prima di eseguire la divisione bisogna ridurre
tutti i radicali allo stesso indice (m.c.m.) e poi
eseguire la divisione.
13
I radicali
TRASPORTO FUORI DAL SEGNO DI RADICE
DI 1 O PIÙ RADICALI
Questa operazione si può eseguire solo se nel
radicando si presentano fattori che hanno
esponenti uguali all’indice oppure multiplo
dell’indice.
3
14
8x y  2 x y  2 y
6
2
3
3
6
2
I radicali
23
y
2
TRASPORTO DENTRO AL SEGNO DI
RADICE DI UNO O PIÚ FATTORI
Uno o più fattori positivi si possono trasportare
dentro il segno di radice elevandoli a potenza
uguale all’ indice.
a b  a b
n
n
n
ESEMPI:
2x
23
y  2 x y
2
3
3
6
2
3
32 2
 x 8 xy   2 x  4  2 xy   18 x 3 y
2
2
15
I radicali
POTENZA DI RADICALI
 a
n
m
 a
n
m
Se vi è un radicando elevato a potenza, bisogna moltiplicare l’esponente del
radicando per la potenza.
ESEMPIO:
2
2
 3 2 
3
9
2

2
1

2
4 2
5
5
5

  2x y 
x
y
x
y
 2

2
4


16
I radicali
RADICE DI RADICE
Per eseguire la radice di un’ altra radice si moltiplicano gli indici
delle due radici e si scrive il radicando.
n m
3
17
5
3x 
a 
325
n m
a
3x  3x
30
I radicali
POTENZE AD ESPONENTE
FRAZIONARIO
n
a
m
a
m
n
Un radicale si può trasformare a potenza con esponente frazionario
moltiplicando l’esponente del radicando per il reciproco dell’indice.
3
2 2
1
3
1
6
6
18
3x 5
3 x

2
2
y
y6
I radicali
5
6
RADICALI
SIMILI
L’ addizione e la sottrazione si esegue solo con i radicali simili. Due o
più radicali si dicono simili se hanno lo stesso radicale e possono
differire solo per fattori esterni
x3 y y x 3  NON SONO SIMILI
3 2 7 2 - 5 2  SIMILI
3  7  5
5 2
2
2 2  18 - 8
50 
2 2 3 2 -2 2 5 2 
(3  5) 2 
8 2
19
I radicali
RAZIONALIZZAZIONE
1° CASO:
Se al denominatore c’è una radice
quadrata, si moltiplica sia il
denominatore che il numeratore per
la radice quadrata
3
3
2 3 2 3 2




2
2
2
2 2
2
Se al denominatore c’è una radice
con indice che va dal 3 in poi,
bisogna moltiplicare sia il
1
numeratore che denominatore
per un radicale che ha per indice 4 a
lo stesso indice e per radicando
quello ottenuto sottraendo l’indice
con l’esponente
2°CASO:
1 4 a 41
1 4 a3 4 a3
4 
4


a
a 4 a 41
a 4 a3
3°CASO:
Se invece al denominatore ci sono due radicali quadratici, bisogna
moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per il coniugato del
denominatore

 
   
 
3
3
2 5 3 2 5 3 2 5 3 2 5


 2


2
25
3
2 5 2 5 2 5
2  5
20
I radicali

EQUAZIONI
2x 
2
x
2
2 2
x
2
x2
21
8
8
2

x 3 2 x 3

x  3  2x  2 3
x  2x   3  2 3
x 3
x 3
I radicali
METODO DI CRAMER

 2x  3 y  0


x  y  3  2
D
2
3
1
1
2
Dy 
3 2
x
y
Dx 
0
3
3- 2
0
1
22
 2 3
1


 0  32  6  3  6
 6  22  0  6  2
 3  6 2  3  3 2  18  12  3 3  3 2  3 3  3 2  2 3  3




 3
2
2
23
1
2 3 2 3
2  3
6  2 2  3 12  18  2 2  2 3 2 3  3 2  2 2  2 3  2




 2
2
2
23
1
2 3 2 3
2  3
I radicali
RADICALI
DOPPI
a b
oppure
a b
RADICALI DOPPI
Da non confondere con
a  b = radice di radice
a b 
a  a2  b

2
a  a2  b
2
ESEMPI:
4 7 
10  51 
23
4  16  7
4  16  7


2
2
4 9
4 9
43
43
7
1





2
2
2
2
2
2
10  100  51
10  100  51
10  49
10  49
10  7
10  7
17
3







2
2
2
2
2
2
2
2
I radicali