LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
SCAMBI DI ESPERIENZE TRA COETANEI
ANTOLOGIA DELLE EDIZIONI
1996 - 1998
Edizioni Università di Trieste
COORDINATORE EDITORIALE: LUCIANA ZUCCHERI
COLLABORATORI EDITORIALI: DANIELA LEDER
PUBBLICAZIONE
MINISTERO
AUTORE
E
CINZIA SCHERIANI
REALIZZATA CON CONTRIBUTI DEL
DELL'ISTRUZIONE,
DEL LOGO:
UNIVERSITÀ
E
CONSIGLIO NAZIONALE
RICERCA
DELLE
DAVIDE COMELLI
Piazzale Europa, 1 - 34127 TRIESTE - Italia
tel. + 39-040-5583052 - fax + 39-040-5583777
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I diritti di traduzione, memorizzazione elettronica, di riproduzione
e di adattamento totale o parziale di questa pubblicazione, con qualsiasi mezzo
(compresi i microfilm, le fotocopie o altro) sono riservati per tutti i Paesi
RICERCHE
E DEL
Ricordando con affetto Luciana Balbi,
amica ed entusiasta collaboratrice
con la quale abbiamo condiviso
gli inizi di questa splendida avventura,
le dedichiamo questo volume.
PREMESSA
1996, 1998, 2000, 2002: sono gli anni delle quattro edizioni finora svolte della
manifestazione "La matematica dei ragazzi: scambi di esperienze tra coetanei", il
cui scopo è quello di promuovere lo scambio di conoscenze nel campo della matematica tra ragazzi della scuola primaria e secondaria.
In ognuna di esse, dopo un periodo di preparazione fatto in classe sotto la guida
dei loro insegnanti, che a loro volta hanno elaborato e discusso i loro progetti nell'ambito del Nucleo di Ricerca Didattica del Dipartimento di Scienze Matematiche
dell'Università di Trieste, per due giorni sono stati solo i ragazzi i veri protagonisti di
questo "meeting" di matematica pensato apposta per loro: niente conferenze, nè tribune, ma solo comunicazione interattiva, con lavori di gruppo o presentazione di
poster, tra le quattro mura di un'aula, tra una classe che si improvvisa "docente" ed
un'altra classe visitatrice.
Non si è trattato di mettersi in mostra per far vedere chi è "il più bravo", nè per
quel che riguarda i ragazzi, nè per i loro docenti: è stato invece un tentativo di sottolineare le potenzialità della matematica, sia come linguaggio universale, sia come
incentivo alla collaborazione. Abbiamo quindi fatto nostre le considerazioni che
hanno spinto l'Unesco a patrocinare la proclamazione del 2000 quale Anno Internazionale della Matematica, riportate qui di seguito nella versione in lingua originale:
"The General Conference
- Considering the central importance of mathematics and its applications in
today's world with regard to science, technology, communications, economics
and numerous other fields,
- Aware that mathematics has deep roots in many cultures and that the most outstanding thinkers over several thousand years contributed significantly to their
development, and numerous other fields,
- Aware that the language and the values of mathematics are universal,
thus encouraging and making it ideally suited for international cooperation,
5
PREMESSA
- Stressing the key role of mathematics education, in particular at primary and
secondary school level, both for the understanding of basic mathematical concepts and for the development of rational thinking,
- Welcomes the initiative of the International Mathematical Union (IMU) to
declare the year 2000 the World Mathematical Year and carry out, within this
framework, activities to promote Mathematics at all levels world-wide,..."
(dalla risoluzione dell'UNESCO 29 C/DR126 dell' 11.11.1997)
Dal punto di vista didattico, sia il lavoro di preparazione, sia la partecipazione a
queste due giornate hanno avuto ricadute molto positive, dal punto di vista dell'apprendimento della matematica e da quello formativo, nelle classi che hanno presentato i laboratori. Questa antologia, che contiene i riferimenti per approfondire i
temi dei lavori presentati e le indicazioni per contattare gli autori, è stata pensata
ritenendo che da questa esperienza del Nucleo di Ricerca Didattica di Trieste possano trarre profitto nelle loro classi anche altri insegnanti. Questo primo volume è
dedicato alle edizioni del 1996 e del 1998.
Informazioni su altre attività promosse dal Nucleo di Ricerca Didattica del Dipartimento di Scienze Matematiche dell'Università di Trieste si trovano all'indirizzo:
http://www.nrd.univ.trieste.it.
Ringrazio innanzitutto il Preside, Prof. Marcello Buda, e tutto il personale docente e non della Scuola Media Statale "Divisione Julia" e della Scuola "Codermaz" per
l'ospitalità che ci hanno concesso in tutte le edizioni.
Ringrazio i docenti-ricercatori che hanno partecipato con impegno a questa attività, specialmente quelli del Nucleo di Ricerca Didattica, che da più di tre lustri collaborano sempre con entusiasmo a tutte le iniziative in cui li coinvolgo.
Un ringraziamento particolare va a Daniela Leder ed a Cinzia Scheriani per la
loro preziosa collaborazione alla redazione di questo volume.
Ringrazio infine Davide Comelli, allievo dell'Istituto d'Arte "E. e U.Nordio" di Trieste e promettente artista, che ha disegnato il logo della "Matematica dei ragazzi"
versione 2000 e gli auguro di avere successo in campo artistico e (perchè no?)
anche matematico.
LUCIANA ZUCCHERI
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PRESENTAZIONE
I lavori che abbiamo raccolto nel corso delle varie edizioni de "La Matematica
dei Ragazzi" sono di tipologia diversa.
Per quel che riguarda la prima edizione (1996), riportiamo dei brevi sunti scritti
dagli insegnanti sull'attività svolta nei loro laboratori. Questi sono integrati da due
relazioni di ragazzi di scuola media inferiore, scelte tra le più significative, e dalle
impressioni di una bambina di scuola elementare, rappresentative dei sentimenti
provati anche dagli altri suoi coetanei.
Per la seconda edizione (1998) abbiamo potuto disporre di più materiale. Ogni
docente presenta qui una relazione sulle varie fasi del lavoro svolto, generalmente
integrata da un elaborato dei ragazzi. Alcune di queste sono scritte in stretta collaborazione tra docente ed allievi.
Il volume si conclude con una valutazione del lavoro svolto e con una rassegna
di elaborati raccolti nel 1998, nei quali ragazzi di varie età descrivono impressioni
ed emozioni provate partecipando a questa esperienza.
Daniela Leder, Cinzia Scheriani, Luciana Zuccheri
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PARTE I
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
SCAMBI DI ESPERIENZE TRA COETANEI
- PRIMA EDIZIONE -
(TRIESTE, 11-12 APRILE 1996)
PARTE PRIMA
PROGRAMMA
•
Classe III, Scuola Elementare "J.Kugy" di Trieste, B.Giorgolo:
AVVIO ALLA SIMBOLIZZAZIONE ATTRAVERSO CONSIDERAZIONI SU
AREE E PERIMETRI, CON L'USO DEL TANGRAM
•
Classe III, Scuola Elementare "J.Kugy" di Trieste, B.Giorgolo:
UTILIZZO DEL SIMMETROSCOPIO IN GEOMETRIA E IN ATTIVITÀ INTERDISCIPLINARI
•
Classe V, Scuola Elementare "G.Carducci" di Aurisina (TS), C.Scheriani:
RITMI IN MATEMATICA E IN ALTRE DISCIPLINE
•
Classe IIIC, Scuola Elementare "F.Dardi" di Trieste, A.Iurcotta:
APPROCCIO ALL'INFORMATICA CON ATTIVITÀ INTERDISCIPLINARI
•
Classe IIIC, Scuola Media "Divisione Julia" di Trieste, M.Rocco:
STUDIO DI FIGURE GEOMETRICHE CON STRUMENTI DIDATTICI DI VARIO
TIPO
•
Classe III, Scuola Media "Ai Campi Elisi" di Trieste, M.Della Valle:
NUMERI PRIMI E DIVISIBILITÀ' CON L'UTILIZZO DEL LINGUAGGIO DI
PROGRAMMAZIONE TURBO PASCAL
•
Classe II, Scuola Media l.r. "Collegio Dimesse" di Trieste, L.Baldo:
EQUIESTENSIONE ED EQUIVALENZA DI FIGURE PIANE
•
Classe III, Scuola Media di Mariano del Friuli (GO), G.Candussio:
FOGLI ELETTRONICI E STATISTICA
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SUNTI
DEI LAVORI PRESENTATI
NELLA PRIMA EDIZIONE
(TRIESTE, 11-12 APRILE 1996)
PARTE PRIMA
AVVIO ALLA SIMBOLIZZAZIONE ATTRAVERSO CONSIDERAZIONI
SU AREE E PERIMETRI, CON L’USO DEL TANGRAM
BRUNO GIORGOLO*
Il laboratorio presentato prospettava, in aggiunta al normale utilizzo del
Tangram, di inserire delle attività atte ad introdurre le espressioni letterali ed a sottolineare le differenze intercorrenti tra il concetto di perimetro e quello di area. Data
la non conoscenza dei numeri irrazionali da parte degli alunni, per individuare e calcolare il perimetro di una figura del Tangram, si era obbligati a designarlo con un’espressione, che comprendeva somme e sottrazioni di lati e diagonali di un quadrato.
Il semplificare le espressioni più lunghe costituiva un bisogno istintivo, quasi un
impulso; perciò gli alunni spontaneamente operavano in tale direzione, ed era sufficiente fornire qualche consiglio per ottenere espressioni brevi e corrette. Esempio:
p=14a–3b (dove a indicava il lato del quadrato più piccolo del Tangram e b la sua
diagonale.)
Si è effettuata qualche forzatura rispetto alle regole del Tangram, accettando
che le figure potessero essere formate da un numero di pezzi diverso da sette. Ciò
permetteva di ottenere figure con superficie di differente estensione. Per determinare la loro area, come campione si è preso il triangolo più piccolo del Tangram.
I calcoli relativi all’area ed al perimetro venivano eseguiti sempre insieme e, nel
susseguirsi degli esercizi, per evidenziare la differenza concettuale tra area e perimetro, dopo una figura di data area e di dato perimetro si presentava un’altra di
area minore, ma con un perimetro maggiore o, al contrario, una di area maggiore,
ma con un perimetro minore.
* Scuola Elementare Julius Kugy, Via di Basovizza, 60, I-34100 Trieste
e-mail: [email protected]
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LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
UTILIZZO DEL SIMMETROSCOPIO IN GEOMETRIA
E IN ATTIVITÀ INTERDISCIPLINARI
BRUNO GIORGOLO*
L’utilizzo degli specchi semitrasparenti nell’apprendimento della geometria è
stato dallo scrivente sviluppato a livello di specifica tecnica didattica, progettando
uno strumento specifico che è stato posto in commercio col nome di
Simmetroscopio ed elaborando dei curriculi che investono, in una visione unitaria,
l’ultimo anno della scuola dell’infanzia e la scuola dell’obbligo.
Col simmetroscopio si possono fare interagire immagini reali ed immagini virtuali; queste immagini possono sovrapporsi, fondersi tra loro, ruotare, ribaltarsi e
traslare. Ciò permette un forte impatto operativo e ludico, generato da movimenti,
da manipolazioni, da percezioni tattili, da pregnanti percezioni visive; si prova pure
la sensazione di toccare immagini virtuali. Queste interazioni di immagini sono particolarmente adatte per interpretare gli aspetti più basilari e sostanziali delle trasformazioni del piano in sé, ma anche di altri tipi di trasformazioni, affrontando quasi
tutti gli argomenti della geometria sviluppati nella scuola dell’obbligo.
Le tematiche e gli elaborati prodotti (che erano di pertinenza anche di classi di
livello superiore alla terza classe elementare), sono stati presentati ed illustrati da
sei gruppi di alunni.
* Scuola Elementare Julius Kugy, Via di Basovizza, 60, I-34100 Trieste
e-mail: [email protected]
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PARTE PRIMA
RITMI IN MATEMATICA E IN ALTRE DISCIPLINE
CINZIA SCHERIANI*
Il lavoro presentato è stato programmato ad inizio anno scolastico. La classe
coinvolta era una quinta particolarmente stimolante. I ragazzi già dall'inizio si sono
attivati alla ricerca di argomenti che, legati alla matematica, potessero essere collegati al tema. Così, dopo un lavoro piuttosto lungo, siamo giunti alla scelta delle
varie parti. Il ritmo è stato trattato nei seguenti aspetti:
- in biologia, attraverso il ciclo vitale dei fiori e le scoperte di Linneo;
- in matematica, attraverso lo studio e la creazione di schede perforate per la
discriminazione delle figure geometriche piane, ed il triangolo di Pascal;
- in arte ed in geometria, attraverso l'origami, piegatura simmetrica e ritmata
della carta;
- ancora nell’arte e nelle antiche filosofie indiane, con la coloritura dei Mandala,
disegni di origine mistica creati attraverso ritmi particolari;
- in musica, con l'esecuzione di due danze particolari (una danza africana ed un
ritmo rap) da insegnare a tutti i partecipanti;
- nell'antico Tangram; i ragazzi ne hanno studiato l'origine, hanno costruito i poligoni che lo formano ed alcune delle tante figure che è possibile creare.
L'obiettivo fondamentale era quello di avvicinare i ragazzi all’attività di ricerca di
tipo bibliografico e multimediale, per condurli ad una scelta sensata e all'approfondimento di alcuni argomenti interessanti. La valutazione finale è senza dubbio molto
positiva e l'entusiasmo dei ragazzi lo conferma.
* Sc. Elementare "G.Carducci", Aurisina Cave, 85, I-34100 Duino Aurisina (Trieste)
e-mail: [email protected]
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LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
APPROCCIO ALL’INFORMATICA
CON ATTIVITÀ INTERDISCIPLINARI
ANNAMARIA IURCOTTA*
Il progetto "Informatica nella scuola elementare", qui presentato da gruppi di
lavoro di una classe III, è nato dall’esigenza di condurre i bambini fin dalla prima
classe elementare a conoscere la macchina chiamata "computer", attraverso la programmazione in linguaggio Basic. Nel corso della sperimentazione si è voluto sottolineare che l’Informatica è una disciplina scientifica indipendente dai calcolatori,
che ha forti legami con la matematica e che ha una grande valenza sul piano educativo-metodologico. Essa è stata recepita dagli alunni come un insieme di procedure e di meccanismi per risolvere problemi e fornire modelli.
Le attività proposte sono state realizzate sotto forma di gioco partendo da semplici algoritmi narrativi con struttura spazio-temporale, sequenze ritmico-motorie,
realizzazione di puzzle mono e policromatici, fino all’esecuzione di semplici diagrammi di flusso. Il linguaggio Basic si è reso indispensabile nel momento in cui i
bambini hanno scoperto che potevano colloquiare con la macchina. I primi e semplici programmi sono stati fortemente incentivanti nel processo di auto-apprendimento.
* Sc. Elementare "S.Giusto Martire", Via Trissino, 12, I-34100 Trieste
e-mail: [email protected]
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PARTE PRIMA
STUDIO DI FIGURE GEOMETRICHE
CON STRUMENTI DIDATTICI DI VARIO TIPO
MARINA ROCCO*
1996: l'anno è importante, perché il software Cabri-Géomètre era ancora uno
strumento poco noto tra gli insegnanti della nostra realtà scolastica e di fatto non
utilizzato con le classi, salvo qualche caso isolato. Come ho avuto modo di scrivere altrove, nelle mie classi usavo invece Cabri sistematicamente, a supporto di tutto
il programma di geometria della seconda e di parte di quello di terza, già dal 1992.
La mia classe aveva l'incarico di divulgare le possibilità di Cabri con attività alla
portata della scuola media, che non avrebbero sfigurato (con gli opportuni adattamenti) se proposte alla scuola superiore.
I ragazzi, suddivisi in diverse postazioni, presentavano una sintesi del curriculum con Cabri, dalla replica delle costruzioni di base con riga e compasso, alla composizione di simmetrie assiali. Un alunno aveva sviluppato in modo quasi totalmente autonomo la costruzione di coniche come inviluppi o come luoghi di punti.
Anche tutti gli altri presentavano costruzioni "ideate" da loro stessi: fornisco sempre
le tracce di lavoro sotto forma di problemi da risolvere.
* S.M.S. "Divisione Julia", Viale XX Settembre 26, I-34100 Trieste
e-mail: [email protected]
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LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
NUMERI PRIMI E DIVISIBILITÀ CON L’UTILIZZO
DEL LINGUAGGIO DI PROGRAMMAZIONE TURBO PASCAL
MARINO DELLA VALLE*
L'attività ha riguardato l'illustrazione da parte degli alunni di alcuni semplici quesiti riguardanti la divisibilità e i numeri primi, e la loro relativa soluzione attraverso
delle applicazioni in linguaggio di programmazione Turbo Pascal. Gli argomenti vertevano su numeri naturali e divisibilità, divisori, multipli, numeri primi, numeri composti, M.C.D. e m.c.m., calcolo del M.C.D. mediante l'algoritmo di Euclide, numeri
primi fra loro. Nella costruzione in classe degli algoritmi e dei programmi applicativi
è stata data la priorità alle proposte risolutive e alla logica degli alunni, in alcuni casi
particolarmente intuitiva ed efficace. In particolare è stato seguito il metodo di procedere top-down, partendo da una definizione generale della procedura di risoluzione, per arrivare man mano a definizioni sempre più particolareggiate delle varie parti.
Nell'attività di laboratorio sono stati impiegati, seppure con mansioni diversificate, tutti i quattordici alunni della classe. I ragazzi, servendosi della lavagna e di
tabelle su cui erano riportati i diagrammi di flusso, illustravano ai loro coetanei i concetti ed i quesiti fondamentali della divisibilità, cercando di instaurare una comunicazione reciproca; poi si passava all'esecuzione dei programmi applicativi, lasciando spazio alle prove e alle domande dei singoli.
Alla fine della manifestazione sono emerse da parte degli alunni-autori le
seguenti considerazioni:
- non sempre è facile comunicare agli altri dei messaggi che vengano effettivamente compresi, specie se chi ascolta ha età ed esperienze diverse;
- bisogna conoscere bene la materia ed usare un linguaggio semplice ed esempi appropriati;
- talvolta gli alunni hanno paura di sbagliare e di essere giudicati, anche dal proprio insegnante, la cui presenza e controllo dovrebbe essere rada e discreta.
* S.M.S. "Ai Campi Elisi", Via G.R.Carli, 1/3, I-34100 Trieste
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PARTE PRIMA
EQUIESTENSIONE ED EQUIVALENZA DI FIGURE PIANE
LUCIA BALDO (SUOR FABRIZIA)*
I lavori presentati rispondono ad una precisa scelta di metodo basato sull'operati-
vità, che mira a trasportare la Matematica in una vera attività di laboratorio. Tali lavori, realizzati con i ragazzi durante l'attività scolastica di un trimestre, hanno lo scopo
di rendere "maneggiabile" il concetto di equiestensione ed equivalenza di figure
piane. Si tratta di modelli mobili, che sfruttano movimenti simmetrici di traslazione e
di rotazione attorno ad un punto fisso. Il materiale utilizzato è "comune" e facilmente
reperibile: cartoncino colorato, filo di cotone, filo elasticizzato, ago da lana, fermacampioni, ecc...
I modelli sono accompagnati da relazioni scritte, che raccolgono tutti i dati e le
osservazioni relative. Una prima sezione riguarda la trasformazione di una figura in
un'altra ad essa equivalente, tenendo il rettangolo come figura di riferimento. Si tratta quindi di scomporre in modo opportuno un poligono (parallelogramma, rombo,
triangolo, trapezio), disegnato su una base rigida, di evidenziare con cartoncino colorato le parti da "muovere", di predisporre con filo inestensibile il vettore lungo il quale
operare lo scorrimento, o il perno attorno al quale far avvenire la rotazione.
È possibile così visualizzare la trasformazione di un parallelogramma nel rettangolo equivalente, di un rombo nel rettangolo, e così via. Risulta facile, a questo punto,
ricavare le formule risolutive delle aree dei vari poligoni.
Una seconda sezione comprende diversi modelli pensati per visualizzare famiglie
di parallelogrammi e di triangoli equivalenti, aventi basi ed altezza relativa prefissate.
Una terza sezione riguarda varie dimostrazioni del Teorema di Pitagora, da quella di H. Perigal ad altre cercate insieme su riviste e libri di geometria: si tratta di scomporre in vari poligoni i quadrati costruiti sui cateti di un qualsiasi triangolo rettangolo e
di ricomporli poi, per incastro, nel quadrato costruito sull'ipotenusa.
L'opportunità di partecipare a questa manifestazione è stata davvero unica: i
ragazzi si sono sentiti protagonisti, apprezzati ed ascoltati.
* S.M. l.r. "Collegio Dimesse" I - 33100 Udine, fax n. 0432298686
21
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
FOGLI ELETTRONICI E STATISTICA
GIULIANA CANDUSSIO*
Per consentire a tutti di essere presenti almeno durante una giornata, i ragazzi
sono stati divisi in due gruppi, uno fisso per entrambe le giornate ed uno suddiviso
in due sottogruppi alternantisi.
I ragazzi presentavano due lavori diversi:
- uno studio riguardante la geometria analitica e le funzioni matematiche, attua-
to anche con l'ausilio del foglio di calcolo, ed un gioco didattico per Commodore
64;
- uno studio statistico relativo ad indagini sul campo, con raccolta sistematica di
dati operata dagli stessi studenti (monitoraggio delle condizioni climatiche e
delle piogge acide, ed elaborazione di dati relativi sia a prove di raccolta differenziata dei rifiuti solidi urbani, a casa ed a scuola, con pesate frazionate raccolte, sia a questionari su conoscenze e sensibilizzazione rivolti ad un campione di persone del proprio territorio comunale).
* S.M.S. di Mariano Del Friuli, I-34070 Mariano Del Friuli (GO)
e-mail: [email protected]
22
PARTE PRIMA
IL PUNTO DI VISTA
DEI RAGAZZI
NELLA PRIMA EDIZIONE
(TRIESTE, 11-12 APRILE 1996)
Nota. Riportiamo di seguito, mantenendo tutta la loro spontaneità, alcune relazioni
prodotte dagli allievi delle classi partecipanti alla manifestazione, che descrivono
l'attività svolta. Da esse emergono tutto l'impegno, il forte coinvolgimento personale e le emozioni provate.
Il coinvolgente laboratorio sul ritmo
23
PARTE PRIMA
INCONTRO A TRIESTE: LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
ARIANNA - ANDREA*
Nei giorni 11 e 12 aprile 1996 noi della classe 3a D della scuola Media di Mariano
del Friuli ci siamo recati a Trieste per partecipare al convegno che aveva per tema
la matematica dei ragazzi, cioè fatta dai ragazzi per i ragazzi. Abbiamo lì portato il
nostro lavoro triennale, che consisteva nei molteplici monitoraggi sui cassonetti dei
nostri paesi e sul nostro studio riguardo le piogge acide. Inoltre abbiamo presenta-
to il nostro lavoro sulla geometria analitica attraverso un programma per
Commodore, Algebra Arcade.
L’area del congresso è stata una scuola, le cui classi sono state messe a disposizione di chi veniva ad esporre. Anche noi abbiamo avuto un’aula, dove abbiamo
posto alcuni computer, un PC e due Commodore, e i nostri cartelloni più interessanti. Ogni persona interessata alle nostre attività poteva entrare nell’aula e ivi
ascoltare le spiegazioni che noi fornivamo.
Oltre all’esposizione, abbiamo anche osservato le attività portate da altre scolaresche, molto interessanti. I temi che sono stati portati, in generale, riguardano il
ritmo (della natura, della danza, della geometria), la geometria piana euclidea grazie ad un programma per PC, origami e simili, lavori con uno strumento per disegnare angoli e linee parallele, poligoni e simili. Questo ultimo strumento è stato utilizzato in più aule, anche con scopi diversi. I bambini più piccoli, delle elementari,
insegnavano a disegnare iperboli e parabole, mentre altri di una scuola media inferiore mostravano come costruire poligoni, parallelogrammi, ellissi, ecc. Questo strumento, che ha destato un discreto interesse, è composto da un rettangolo di legno
abbastanza grosso, liscio, su cui è fissato, in posizione verticale, un rettangolo di
plexiglass, che permette di vedere oltre ma presenta la capacità di riflettere le
immagini.
* Allievi della Classe IIID della S.M.S. di Mariano del Friuli (UD).
25
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Questa è stata per noi un’esperienza molto particolare e da certi punti di vista
singolare; abbiamo avuto l’occasione di fare da "insegnanti" a ragazzini delle elementari per cui abbiamo dovuto semplificare e ridurre l’argomento, o ai nostri coetanei a volte anche meno interessati dei più piccoli. Abbiamo acquisito anche nuove
conoscenze partecipando ad originali ed interessanti attività proposte dagli altri
oltre ad avere fatto nuove amicizie.
Talvolta è stato necessario spiegare, specialmente ai bambini delle elementari,
cos’è la media, come funziona il foglio elettronico, come si costruiscono i grafici.
Mentre una mia compagna illustrava il programma su un computer, io ho disegnato sulla lavagna alcune celle, per riprodurre uno schema di foglio di calcolo. È
stata una spiegazione un po’ improvvisata, poiché non credevamo di dover parlare
a ragazzi tanto piccoli. Comunque, unendo i "vecchi metodi", lavagna e gesso, e le
nuove tecnologie, è stato possibile dare una spiegazione completa e, pensiamo,
abbastanza esauriente.
Ecco, in sintesi, le spiegazioni che abbiamo dato.
Il foglio elettronico è un programma per Personal Computer, cioè crea una lista
di istruzioni che il computer deve seguire per poter lavorare. Questo programma
crea, nella memoria dell'elaboratore, un insieme di ordinate ed identiche celle, cioè
rettangolini, identificabili allo stesso modo delle celle nella battaglia navale, con un
numero e con una lettera. In ogni cella si può immagazzinare un numero consi-
stente di dati, caratteri o numero. Quando si richiede, mediante numero e lettera,
una cella, il computer ripresenterà ciò che essa contiene.
Poniamo, per esempio, di scrivere nella cella B3 il numero 5. Poi, nella cella D5
scriviamo il numero 4. Sulla cella F3 scriviamo poi una formula, diversa per ogni
programma (perché ci sono molti programmi simili: Works, Excel, Lotus 1-2-3, Calc
result, …) che, tradotta in italiano, può suonare più o meno così: "su questa cella
scrivere la somma cella B3 + cella D5".
26
PARTE PRIMA
1
2
3
4
5
A
B
C
D
5
E
F
G
H
I
9
4
Ora, il computer richiamerà il valore precedentemente assegnato alle due celle
e lo sommerà, facendolo apparire poi nella cella scelta, F3.
Naturalmente lo stesso procedimento viene applicato anche per altre operazioni, divisioni, sottrazioni, percentuali, calcoli della media, ecc.
Ci sono poi i grafici. Quale miglior forma di un disegno per indicare se un numero è più grande di un altro, oppure la temperatura del mese, oppure la distribuzione delle piogge, dati statistici, e molte altre funzioni ancora.
Ma che laborioso costruire un grafico! E la carta millimetrata, e la penna, la calcolatrice per i rapporti … col computer è molto più semplice! Io gli dico "crea un grafico con queste celle" (naturalmente devono contenere valori numerici!) e lui lo fa.
Posso scegliere il tipo di grafico, i colori, i nomi da dare ad ogni colonna se uso istogrammi, o ad ogni fetta se uso diagrammi a torta.
Inoltre ci sono abbellimenti quali i grafici 3D e avanti di questo passo.
Naturalmente se io digitassi sulla tastiera "crea un grafico con queste celle" il
computer non capirebbe. Perciò devo indicarlo in un altro modo, cioè indicando le
celle che voglio, col metodo della battaglia navale o con dei movimenti del mouse,
e premere virtualmente, scegliere, "cliccare", come si dice, con il mouse su un quadratino sullo schermo, che corrisponde all’"autocomposizione grafico".
27
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Poi, come prima, il computer trova le celle, richiama dalla sua memoria i valori
numerici e, come si farebbe con squadretto e carta millimetrata, ma in pochi secondi, mostra un colorato grafico sullo schermo.
Questo è solo un esempio, è può essere molto interessante "scoprire" tutte le
opportunità e le comodità che un foglio di calcolo abbastanza avanzato propone.
Come scritto prima, talvolta abbiamo dovuto dare una breve spiegazione riguardo ai calcoli statistici che usiamo più frequentemente e che sono indispensabili per
capire il procedimento che noi usiamo quando immagazziniamo ed elaboriamo i dati.
Dunque, la media. Forse la maniera più lineare per spiegarla sarebbe ricorrere
al vecchio trucco: io ho 1 caramella, tu 2 e lui 3. Vogliamo ridistribuircele per averne tutti lo stesso quantitativo; quante caramelle spetterebbero ad ognuno? Ecco la
media: 2. Si può anche pensarla così: ho 3 valori, 1,2,3. Se ne voglio altri 3, la cui
somma sia sempre 6, ma che siano uguali, che numero li rappresenterà?
Istintivamente, 2!!!
Naturalmente la cosa è facile finchè i valori sono pochi e bassi, ma quando questi aumentano, le cose si complicano. Pensate infatti di dover trovare a mente, senza
conoscere un calcolo, ma solo andando a tentativi, la media tra 13, 24, 245, 32, …
Ecco dunque la matematica che ci viene in aiuto, suggerendoci la formula:
Media =
Somma Valori
Numero Valori
Ecco un facile risultato all’impossibile quesito di prima: la media tra 13, 24, 245
e 32. La somma è 314. I valori sono 4.
314:4=78,5
La media è un calcolo che non dice molto, poiché un grosso valore può sballare completamente tutti gli altri. Poniamo il caso che uno studente poco volonteroso
riceva i seguenti voti:
2-2-4-3-9-8-3
Uno studente così, ad occhio, viene classificato sulla media del 3. Però, ci sono
due valori alti, magari (chissà!) dovuti ad un colpo di fortuna. La media risulta 4,5
che pur non essendo un risultato modello, è meglio del tre che si nota ad occhio.
Poi c’è la mediana. Esso è il valore di mezzo tra un gruppo di altri posti in scala
crescente.
28
PARTE PRIMA
Per trovarla si pongono tutti i valori di cui si dispone su una scala in ordine crescente. Si cerca quindi quello che sta in mezzo, contando un egual numero di valori da destra e da sinistra. Se i valori sono pari, basta fare la media dei due trovati.
2-2-3-4-4-4-4-5-5-5-5-5-5-6-6-7-7-7-7-7-8-8-9-9-9-9
La mediana è il valore che si trova tra l’ultimo 5 ed il primo 6, cioè 5,5. Cosa ci
dice la mediana? Ci dice com’è la distribuzione dei valori che si sta esaminando.
Infatti se la mediana è bassa vuol dire che i valori sono almeno fino alla metà della
serie, altrimenti la mediana (ecco perché si trova in mezzo dal punto di vista numerico) sarebbe più equilibrata.
La mediana è un ideale completamento della media. Se so che la media di una
serie è di 5,8, gli estremi della serie sono 2 e 9, non posso sapere se questo 5,8 è
dovuto a tanti numeri vicini al 6 o a molti bassi e pochi molto alti. Con la mediana
scopro invece che il valore di mezzo è 5,5. Vuol dire che non ci sono tanti valori
bassi e, di conseguenza, nemmeno gli alti possono essere tanti. Avvaloro così la
prima ipotesi, che ci siano abbastanza numeri vicino al 6 e che quelli alti compensano quelli bassi.
L’ultimo nostro usuale calcolo è quello della percentuale. Io ho disputato 14 partite a tennis, e ne ho vinte 9. Davide ne ha disputate 8, e ne ha vinte 7. Chi ha vinto
di più? Io, ma ho disputato più partite? E allora? Per evitare questi equivoci, si ricorre alla percentuale. Si fa finta che il totale dei propri valori, delle proprie partite, sia
100. Se tutti hanno disputato lo stesso numero di game, è facile dire chi ne ha vinti
di più.
Si risolve il problema del rapporto con una proporzione:
tot partite: partite vinte = 100: X
14:9=100:X
X= 9*100/14
X= 64% circa
Io ho vinto il 64% di partite. E Davide?
8:7= 100:X
X= 7*100/8
X= 87% circa
29
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Con sorpresa scopro che Davide ha vinto, in proporzione, più di me. Con la coda
tra le gambe abbandono la disputa pensando che la matematica, stavolta, è venuta a farmi danno. Dovrò ancora allenarmi!
Gli appunti che qui ho voluto citare sono solo una riduzione di ben ampi argomenti quali statistica e algebra, ma spero di aver ugualmente chiarito le idee senza
paroloni troppo tediosi, e, perché no? Dato una ripassata a quanto ho appreso in
tre anni di attività collegate e sempre aperte a nuovi orizzonti, che hanno coinvolto
geometria, algebra, informatica e, soprattutto, la nostra immaginazione e la nostra
mente.
30
PARTE PRIMA
RELAZIONE SULLA MOSTRA DI MATEMATICA
GIULIO*
L' 11 e il 12 aprile abbiamo partecipato ad una mostra intitolata "la matematica
dei ragazzi: scambio di esperienze tra coetanei".
Il mio gruppo (io, Barbara e Andrea) si occupava dei luoghi di punti e delle
costruzioni delle coniche con "CABRI", il programma di geometria che usiamo a
scuola; questo programma è stato realizzato dall'Università di Grenoble, ed è l'acronimo di Cahier de Brouillon Interactif, che significa Quaderno di brutta copia interattivo, ed è un nuovo modo di spiegare, capire ed operare nella geometria. Questo
programma è installato su tutti i computer della nostra scuola, e noi lo abbiamo iniziato ad usare in 2a media, per le costruzioni di base, mentre in 3a media lo si utilizza soprattutto per le isometrie, in quanto così si realizzano disegni più precisi con
meno sforzo, e si apprende comunque la geometria, anzi, uno dei migliori vantaggi di "CABRI" è che spostando un punto della figura, gli altri si muovono di conseguenza, e ciò può risultare davvero molto pratico per osservare e capire le isometrie e le proprietà delle figure (comunque tutte le figure realizzate con "CABRI" le
avevamo già disegnate con riga e compasso).
L'approccio con "CABRI" a me non è risultato difficile, in quanto il programma è
interattivo e ogni voce del menù è corredata di relativa spiegazione ed effetto. Uno
dei pochi svantaggi può essere il fatto che all'inizio bisogna far pratica con il mouse,
ma questo è una pecca di poca importanza che col tempo svanisce; invece uno dei
maggiori difetti della versione attuale di "CABRI" (1.7) è il fatto di non poter considerare "oggetti" le linee tracciate mediante la funzione "Luogo di Punti", che permette di tracciare il luogo geometrico di un punto: ma cos'è un luogo di punti? In
geometria con questa definizione si intende una linea formata da punti aventi le
stesse caratteristiche, come per esempio la circonferenza, la cui caratteristica è che
la distanza tra il centro e un punto sulla linea è costante. Esistono anche altri luo* Allievo della Classe IIIC della S.M.S. "Divisione Julia" di Trieste.
31
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
ghi di punti, come per esempio l'ellisse e l'iperbole, che però hanno equazioni più
complicate, però esistono alcuni metodi basati sulle caratteristiche di queste curve,
come il "Metodo del Giardiniere" che sfrutta per l'ellisse il fatto che la somma delle
distanze di un punto dal fuochi deve essere costante, mentre per l'iperbole si basa
sulla caratteristica che la differenza tra le distanze di un punto dai fuochi deve rimanere invariata.
Per far vedere con "CABRI" cos'è un luogo di punti in un modo non troppo banale (senza basarci sempre sulle coniche), abbiamo realizzato una costruzione basata sul concetto di equiestensione fra rettangoli disposti sul piano in modo particolare (vedi figura).
Oltre ai luoghi di punti, come già detto abbiamo anche trattato le curve Coniche,
ovvero sia quelle curve che hanno origine sezionando un doppio cono con altezza
che si immagina infinita:
32
PARTE PRIMA
- se lo sezioniamo perpendicolarmente all'asse di rotazione, otteniamo una circonferenza;
- se parallelamente all'asse di rotazione, una iperbole;
- se invece parallelamente ad una direttrice, si ottiene una parabola;
- se lo si seziona con un qualsiasi taglio differente dai primi, il risultato è comunque un'ellisse.
Noi le abbiamo realizzate tutte queste curve, e con vari metodi: il primo utilizzato è stato quello di trasferire e adattare a "CABRI" le istruzioni che sono state create per il "Simmetroscopio", e che sono state usate dal gruppo di Maria e dal L.I.S.
nella mostra "Oltre lo specchio".
Abbiamo preso in considerazione questo sistema causa l'impossibilità di realizzare costruzioni di iperboli e ellissi mediante "luogo di punti", perchè noi non avevamo le conoscenze necessarie a determinare i punti di tangenza tra le rette del
metodo del "Simmetroscopio" e le curve cercate. Però il risultato ottenuto con questo metodo, anche se inaspettato, è stato egualmente soddisfacente, anzi, abbiamo anche ottenuto un vantaggio, infatti in unico file si trovano iperbole, ellisse e circonferenza. Ciò avviene grazie alla particolare costruzione realizzata:
- si tracci una circonferenza di raggio variabile
- se ne metta in evidenza il centro F e si scelga un punto sul piano F'
- si segnino sulla circonferenza alcuni punti A,B, C, ... (non meno di 20)
- si traccino gli assi tra il punto F' e i punti appartenenti alla circonferenza
- le rette create costituiscono l'inviluppo di una circonferenza (di raggio 1/2 della
circonferenza di partenza) o di un'ellisse, se il punto F' è interno alla circonferenza; se invece F' è esterno alla circonferenza l'inviluppo è una iperbole.
Abbiamo trattato anche la parabola, e per questa curva abbiamo potuto usare
anche la funzione "luogo di punti". Le istruzioni per l'inviluppo sono le seguenti:
- si tracci una retta r
- si segni un punto sul piano F
- si segnino anche sufficienti punti appartenenti alla retta direttrice r
- si traccino gli assi tra il fuoco F e i punti suddetti
- il risultato è un inviluppo di rette che costituisce una parabola.
Seguono le istruzioni per una delle due costruzioni eseguite mediante "luogo di
punti", quella basata sulla proprietà dei punti della parabola di essere equidistanti
dal fuoco e dalla direttrice:
- si tracci una retta r
33
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
- si segni sul piano il fuoco F
- si segni anche un punto Q appartenente alla direttrice r
- si tracci la perpendicolare p ad r per Q
- si tracci l'asse tra F e Q
- si segni l'intersezione P tra l'asse e la retta p
- si tracci il luogo dei punti P muovendo Q
- la linea ottenuta è una parabola
Abbiamo realizzato anche una costruzione tratta dal "manuale dell'utente di
CABRI", basata sull'equazione della parabola y=ax2 sul piano cartesiano, ottenuta
però con "CABRI", quindi in modo geometrico, non con il foglio di calcolo, infatti di
rette e parabole con questo strumento si è occupato il gruppo di Antonio. Le istruzioni sono le seguenti:
- si traccino due rette perpendicolari (X e Y)
- si segni l'intersezione O di X e Y (origine)
- si segni M su X e U su X
- si traccino le due circonferenze di (centro O e) raggio OM e OU
- si segnino le intersezioni tra (la circonferenza di raggio) OU e Y e tra (la circonferenza di raggio) OM e Y, rispettivamente U' e M'
- si tracci la retta r passante per U' e M e la sua parallela r' passante per M'
- si segni l'intersezione tra r' e X, N
- si segni la circonferenza (di centro O e raggio) ON
- si segni l'intersezione N' tra (la circonferenza di raggio) ON e Y
- si tracci la perpendicolare a Y e per N', s
- si tracci la perpendicolare a X per M, t
- si segni l'intersezione P tra s e t
- si tracci il luogo dei punti P muovendo M
- il risultato è una parabola
34
PARTE PRIMA
IMPRESSIONI PERSONALI
DANIELA*
* Allieva della Classe V della Sc.El. "G.Carducci" di Aurisina (TS)
35
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Postazione di lavoro col simmetroscopio
Postazione di lavoro sui numeri primi
36
PARTE II
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
SCAMBI DI ESPERIENZE TRA COETANEI
- SECONDA EDIZIONE -
(TRIESTE, 26-27 MARZO 1998)
PARTE SECONDA
PROGRAMMA
•
Classi IIA e IIB, Sc. El. di Fagagna (UD), M.C.Marceddu:
IL GIOCO DELL'AGENTE SEGRETO
•
Classe III, Sc. El. di Mariano del Friuli (GO), M.Duchi:
IL CONCETTO DI SIMMETRIA IN GEOMETRIA E IN ARITMETICA
•
Classe III, Sc. El. "F.lli Visintini" di Trieste, E.Onofrio e D.Leder:
IL MISTERO DEI LINGUAGGI PERDUTI (LINGUAGGI A CONFRONTO)
•
Classe IV, Sc.El. "G.Carducci" di Aurisina (TS), C.Scheriani:
IL NUMERO, CHE FOLLIA! (DI TUTTO SUI NUMERI INTERI)
•
Classi VB e VC, Sc. El. "D.Rossetti" di Trieste, A.Bergamo:
CALCOLATRICI TASCABILI: ISTRUZIONI PER L’USO
•
Classe V, Sc. El. "J.Kugy" di Trieste, B.Giorgolo:
LA FIABA DELLA GEOMETRIA (GEOMETRIA E SPECCHI SEMITRASPARENTI)
•
Classe VC, Sc. El. "F.Dardi" di Trieste, A.Iurcotta:
DAI TRIANGOLI AI FRATTALI
•
Classe IC, Sc. Media "G.Corsi" di Trieste, P.Pistis:
DA DOVE PROVENIAMO? (SPUNTI PER L'UTILIZZO DI RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE)
•
Classe IIC, Sc. Media "Divisione Julia" di Trieste, M.Rocco:
FIGURE PIANE E CABRI: ALCUNE PROPRIETÀ DI POLIGONI VISTE AL
CALCOLATORE
39
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
•
Classi IID-IIID, Sc. Media di Mariano del Friuli (GO), G.Candussio:
NEL MONDO DELLE CALCOLATRICI E DEI CALCOLATORI
•
Classe IIIC, Sc. Media "Divisione Julia" di Trieste, M.Rocco:
DAL PIANO ALLO SPAZIO
•
Classe ID e IE, Liceo Scientifico "G.Oberdan" di Trieste, F.Rupeni:
ARITMETICA MODULARE
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LAVORI PRESENTATI
NELLA SECONDA EDIZIONE
(TRIESTE, 26-27 MARZO 1998)
PARTE SECONDA
IL GIOCO DELL’AGENTE SEGRETO
MARIA CONCETTA MARCEDDU*
INTRODUZIONE
Presento qui in sintesi un itinerario didattico sulla crittografia attuato in due classi elementari nell’anno scolastico 1997/98. Le caratteristiche degli alunni di queste
classi, particolarmente attivi, curiosi e sempre entusiasti nei confronti di nuove proposte, mi spinsero a ripercorrere questo itinerario, già da me proposto ed attuato
con risultati soddisfacenti in una classe seconda elementare di Trieste, nell’anno
scolastico 1988/89, nell’ambito di una sperimentazione condotta dal Nucleo di
Ricerca Didattica di Trieste (crf. BALBI L. ET ALII 1989, ZUCCHERI L. 1992). Nella prima
fase della sperimentazione allora attuata, si decise di introdurre il lavoro in classe
proponendo ai bambini il "gioco dell’agente segreto". Il percorso didattico da me
programmato per quest’anno scolastico fu invece introdotto all’interno di un contesto interdisciplinare matematico-scientifico, prendendo spunto da alcune tematiche
di educazione ambientale già avviate nel precedente anno scolastico.
La classe seguiva un progetto di educazione ambientale proposto, sostenuto e
sovvenzionato dal Comune di Fagagna. Questo aveva previsto, per l’anno scolastico 1997/98, quattro escursioni negli ambiti naturalistici presenti nel territorio
comunale (zone umide e torbiere), lo studio della cicogna reintrodotta recentemente nella medesima zona, e l’intervento durante le visite di studio di due soci della
Cooperativa "Utopie Concrete" di Venzone in qualità di esperti, animatori e guide
naturalistiche. Questi, presentatisi come "Green Rangers", instaurarono con i bambini un clima di complicità, per incuriosirli e motivarli. Quando questi inviarono alle
due classi dei messaggi enigmatici, il loro entusiasmo era alle stelle. Di conseguenza, il mio invito a rispondere ai Green Rangers utilizzando un codice cifrato fu
immediatamente accolto.
* Scuola Elementare di Fagagna, I - 33100 Fagagna (Udine).
43
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Dai primi di novembre fino a maggio i bambini lavorarono in modo intenso e produttivo, coinvolti in un’attività per loro veramente gratificante.
L'ITINERARIO DIDATTICO SVOLTO IN CLASSE
L’itinerario didattico che ora brevemente espongo è stato così strutturato: una
prima fase introduttiva (durante la quale i bambini ebbero la possibilità di familiarizzare con gli strumenti di lavoro e con il tipo di attività proposto), e quattro unità
didattiche.
Inizialmente effettuai verifiche sull’acquisizione dei prerequisiti, come ad esempio la conoscenza dell’ordine alfabetico e della sequenza dei numeri interi almeno
fino al 30. In seguito predisposi alcune schede ed esercizi di consolidamento e nel
frattempo preparai un cifrario lineare (v. fig. 1); alle 21 lettere nell’ordine alfabetico
feci corrispondere la sequenza dei numeri interi da 1 a 21.
Figura 1
Dopo aver presentato il cifrario ai bambini spiegandone l’uso, chiesi loro di cifrare su di un foglio il proprio nome e cognome e di scambiarlo con quello dei compagni per effettuare le prime decifrazioni. Tra le due sezioni iniziò subito uno scambio
di messaggi da decifrare. I bambini furono lasciati liberi di scegliere se lavorare individualmente, a coppie o in piccoli gruppi. Almeno uno di questi messaggi veniva
ogni volta da me trascritto alla lavagna e decifrato in modo collettivo, per stimolare
i bambini ad effettuare ipotesi e riflessioni sui numeri e stimolare anche i più timidi
ad esporre le loro opinioni (v. protocollo n.1).
44
PARTE SECONDA
Protocollo n. 1
Dal protocollo n. 1 risulta evidente quanto convenuto:
- alla lettera A corrisponde sempre il numero 1 e quindi la cosiddetta chiave è
sempre (A=1);
- si mette sempre un trattino per separare un numero dall’altro e una barra per
distanziare le parole.
Emersero le prime perplessità: come cifrare nomi e parole straniere che contengono lettere non appartenenti al nostro alfabeto? Il cifrario adottato non era adeguato, per cui suggerii loro di costruirne un altro con le 26 lettere dell’alfabeto inglese. Presentai alla classe il "cifrario a rotazione", così come predisposto in: BALBI L.
ET ALII 1989, ZUCCHERI L. 1992, spiegandone il funzionamento, e subito dopo ogni
bambino costruì il proprio cifrario utilizzando materiale fotocopiato (v. fig. 2).
45
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Figura 2
SCANSIONE DEL LAVORO
Fase introduttiva: cifrazione e decifrazione dei nomi e cognomi dei bambini e di
brevi messaggi scambiati tra loro all’interno della propria classe, inviati all’insegnante e ai compagni della classe parallela;
Unità didattica 1: presentazione del cifrario a rotazione, cifrazione e decifrazione di messaggi vari sempre in chiave (A=1), mantenendo gli spazi tra le parole;
Unità didattica 2: cifrazione e decifrazione di brevi messaggi in chiavi diverse da
(A=1), mantenendo gli spazi tra le parole.
Unità didattica 3: cifrazione e decifrazione di messaggi in chiavi diverse da
(A=1), eliminando gli spazi tra le parole.
Unità didattica 4: cifrazione di messaggi in chiavi diverse da (A=1), eliminando
gli spazi tra le parole; nel testo sono presenti termini in lingua inglese.
COMMENTO SULLO SVOLGIMENTO DELLE VARIE UNITÀ DIDATTICHE
Unità didattica 1
Furono preparati e cifrati molti testi il cui contenuto era attinente all’indagine
ambientale in corso. La decifrazione, essendo nota la chiave, non fu certo difficile.
46
PARTE SECONDA
Procedendo però fra ipotesi e verifiche, emersero molte osservazioni: la presenza
di due numeri uguali e vicini suggerì loro la presenza di consonanti doppie, annotarono inoltre che l’ultima lettera di una parola è quasi sempre una vocale e così
pure l’ultima lettera di una frase. Quando verificai che tutti gli alunni decifravano con
facilità e precisione, decisi di passare all’U.D. successiva.
Unità didattica 2
Invitai i bambini a cifrare i messaggi scritti in chiaro in una chiave diversa da
(A=1) potendo scegliere liberamente tra le 26 chiavi diverse. Si convenne di mantenere ancora gli spazi tra le parole. Nelle attività di decrittazione che seguirono, gli
alunni furono inizialmente guidati attraverso esercitazioni collettive alla lavagna ad
effettuare una decrittazione, a scoprire cioè la chiave. Notai un rallentamento nel
lavoro, ma subito dopo le osservazioni precedentemente fatte li guidarono nell’osservazione del testo. Dopo qualche giorno testi abbastanza lunghi venivano decrittati in pochi minuti.
Alcune loro osservazioni:
- la vocale meno usata è la u e raramente può essere finale di parola;
- i numeri 12-13-12 sono quasi sicuramente NON e 13-12-13 (all’interno di una
sequenza) altro non sono che ONO e quindi i numeri 17-13-12-13 rappresentano la parola SONO.
Unità didattica 3
Si introdusse la terza U.D. eliminando le barre tra una parola e l’altra. Quando
trascrissi alla lavagna il primo messaggio cifrato, notai un attimo di perplessità da
parte di un gruppo di bambini, ma subito dopo, seguendo le osservazioni e le riflessioni fatte precedentemente, scoprirono la chiave.
Lo scambio di messaggi era continuo; si registrava il tempo impiegato dal gruppo o dal singolo bambino per scoprire la chiave, divenne una gara.
Per rendere più difficoltoso il lavoro ai compagni, i bambini ricercarono termini
inusuali; alcuni scrissero brevi frasi utilizzando esclusivamente due parole consecutive che terminavano ed iniziavano rispettivamente con la stessa vocale, simulando così una doppia consonante e inducendo i compagni all’errore. Esempi: cicognaamica, lagooscuro, ecc. Scoperto il trucco, si procedette con molta attenzione.
47
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Unità didattica 4
I testi scritti dai bambini, prima in chiaro e poi cifrati, divennero sempre più lunghi ed elaborati. Alcuni di loro introdussero il diversivo di utilizzare all’interno dei
messaggi e come parola finale del testo un termine in lingua inglese. L’osservazione si fece sempre più attenta. Durante la decrittazione, un gruppo di bambini ipotizzò che se un numero compare nel brano "troppe volte" è quasi sicuramente una
vocale. Si posero perciò le basi per uno sviluppo futuro del lavoro nella direzione
della statistica (cfr. ZUCCHERI L. 1992).
Conclusioni
Le implicazioni didattiche che sono emerse durante tutta l’attività sono state molteplici. I contenuti tratti dalle indagini ambientali sono stati deliberatamente utilizzati come argomento fortemente motivante, in stretto legame con le conoscenze
matematiche. Sono inoltre apparsi evidenti, sottolineati ed approfonditi, i nessi con
la lingua italiana in ambito lessicale ed ortografico. Meno scontata e non prevista è
infine emersa l’interdisciplinarietà con la lingua inglese: la necessità di ricercare termini inusuali e con consonanti come finali di parola ha sorpreso, interessato e coinvolto anche l’insegnante di lingua straniera.
La seconda parte di questo itinerario didattico sarà programmata nel prossimo
anno scolastico tenendo ben presente quanto finora osservato.
LA PRESENTAZIONE DEL LAVORO ALLA MANIFESTAZIONE
"LA MATEMATICA DEI RAGAZZI"
La proposta di partecipare alla seconda edizione de "La matematica dei Ragazzi: scambi di esperienze tra i coetanei", rese i bambini entusiasti spronandoli ad
esercitarsi in modo più proficuo. Anche i meno motivati furono coinvolti nella ricerca di vocaboli particolari da inserire nei messaggi cifrati per rallentarne la decifrazione.
I più esperti fecero a gara nel decifrare in un tempo sempre più breve i messaggi
più difficili; quelli più estroversi si esercitarono in classe a ripercorrere mentalmente l’iter lavorativo esponendolo ad alta voce ai compagni della classe che attenti
suggerivano dimenticanze, approvavano o criticavano. L’obiettivo era quello di prepararsi per comunicare in modo efficace e completo il lavoro svolto a tutti coloro che
48
PARTE SECONDA
avrebbero visitato la nostra postazione. I singoli messaggi furono scritti e fotocopiati
per averne un buon numero da distribuire a tutti i partecipanti.
Riporto in appendice la relazione di Emanuele, nella quale si descrive tutto il
lavoro svolto prima, durante e dopo la manifestazione.
BIBLIOGRAFIA
BALBI L., BRAN M., MARCEDDU M.C., ZUCCHERI L. 1989, Alcuni spunti didattici offerti
dalla crittografia, Quaderno Didattico n.2 del Dipartimento di Scienze Matematiche dell'Università di Trieste, pp 9
BERNARDI L., Applicazioni della matematica in problemi di comunicazione (testo
della comunicazione presentata al Convegno Internuclei Scuola Media Inferiore
1989)
SGARRO A. 1986, Crittografia, Muzio ed.
SGARRO A. 1989, Codici segreti, Mondadori ed.
SGARRO A., ZUCCHERI L. 1992, I codici segreti nell'insegnamento della matematica,
Atti del Convegno "Media e metodi III: la matematica tra didattica e cultura"
(Trieste, 6-7 maggio 1992), pp 131-139
ZUCCHERI L. 1992, Crittografia e Statistica nella Scuola Elementare, L'Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, vol. 15, (1), pp 19-38
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LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
APPENDICE
RELAZIONE
DI
EMANUELE*
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* Classe IIA, Scuola Elementare di Fagagna.
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PARTE SECONDA
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PARTE SECONDA
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PARTE SECONDA
IL CONCETTO DI SIMMETRIA
IN GEOMETRIA ED IN ARITMETICA
METILDE DUCHI*
PRESENTAZIONE DEL PERCORSO-BASE
VERSO IL CONCETTO DI SIMMETRIA IN GEOMETRIA
Il percorso si propone come obiettivo la "scoperta" del concetto di simmetria in
geometria e in aritmetica. Attraverso esperienze varie e significative, i bambini, operando concretamente con situazioni di simmetria, pervengono alla scoperta di contenuti matematici. Il percorso prevede più fasi, qui di seguito spiegate.
PRIMA FASE: Introduzione del concetto di "figure direttamente congruenti"
come "figure sovrapponibili".
Una coppia di figure viene inserita all’interno di un racconto fantastico, al termine del quale si invitano i bambini ad analizzare le due figure ricercandone l’eventuale congruenza. Per la verifica di quest’ultima, il ricorso al metodo della sovrapposizione dovrebbe avvenire spontaneamente.
* Scuola Elementare “A. Manzoni” di Mariano del Friuli.
57
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
SECONDA FASE: Introduzione del concetto di "figure inversamente congruenti"
attraverso l’osservazione di figure non sovrapponibili.
Gli alunni vengono invitati a prendere in esame parti del proprio corpo. Esercizio proposto: si appoggiano le mani sul banco, si tiene ferma una mano e l’altra si
fa "strisciare" per sovrapporla alla prima, constatando che le nostre mani non sono
sovrapponibili.
TERZA FASE: Analisi di figure specularmente congruenti.
Viene realizzato il seguente esercizio-gioco: i bambini, ripartiti in coppie, si aiutano a vicenda per costruire le sagome delle loro mani; giocando, scopriranno che
le figure ottenute possono essere sovrapposte solo dopo un ribaltamento.
QUARTA FASE: Introduzione della nozione di "figure specularmente congruenti".
Vengono proposti giochi con lo specchio, per acquisire la nozione di "figure specularmente congruenti". Confrontando le due figure, quella reale e quella riflessa
dallo specchio, i bambini comprendono che si tratta di due figure congruenti, se
"ribaltate". Viene proposto il gioco dei tre Pinocchi.
QUINTA FASE: Prima costruzione di figure speculari.
L’obiettivo di questa fase consiste nell'iniziare a far acquisire ai bambini la capacità di rappresentare graficamente figure simmetriche. Data una figura e stabilito
con una riga sul foglio dove dovrà essere appoggiato lo specchio, i bambini devono costruirne ad occhio quella speculare. Per verificare la correttezza del loro dise58
PARTE SECONDA
gno, si appoggia poi lo specchio sul foglio, perpendicolarmente ad esso: l’immagine riflessa dovrà essere uguale (direttamente congruente) al disegno tracciato del
bambino.
SESTA FASE: Acquisizione del concetto di asse di simmetria (concretizzato con
la piegatura di un foglio di carta).
Vengono proposti in questa fase i seguenti giochi:
1. Macchie di colore
Piegato il foglio, il colore si versa:
- sulla piegatura (asse di simmetria passante per l'interno della figura)
- più o meno lontano dalla piegatura (asse di simmetria esterno alla figura)
2. Costruzione di figure simmetriche con asse di simmetria passante per l'interno della figura:
- ritagli di carta (in questo caso la figura e il buco lasciato dalla stessa hanno la
stessa situazione di simmetria)
- forature con spillo
Durante questi giochi vengono acquisiti concetti e termini nuovi quali: figura simmetrica, asse di simmetria.
Una volta acquisiti i concetti fondamentali su figure semplici, si passa gradatamente a figure via via più complesse, e gli alunni si divertono ad eseguire esercizi
su schede e giochi per scoprire simmetrie nel mondo che ci circonda:
- costruzione di figure simmetriche rispetto a un asse;
- completamento di figure con asse di simmetria passante per l'interno della figura;
- ricerca di assi di simmetria in immagini di oggetti reali;
- ricerca di assi di simmetria nei numeri da zero a nove e nelle lettere dell’alfabeto;
- ritagli di una serie di figure congruenti (sfilze);
- costruzione di biglietti augurali ottenuti sfruttando la simmetria e mettendola in
evidenza alternando i colori;
- gioco di ricerca: trasformazione di parole allo specchio (perché alcune parole
si trasformano in se stesse e altre no?).
Allo scopo di matematizzare ulteriormente le scoperte precedenti, viene introdotta l’attività sul geopiano, che consiste nel realizzare figure simmetriche rispetto
ad un asse (uso di elastici colorati per la costruzione dell’asse di simmetria e di figure simmetriche).
59
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
ULTERIORI SVILUPPI
La ricerca di simmetrie si estende poi anche a temi di aritmetica:
- proprietà commutativa dell’addizione e della moltiplicazione;
- ricerca di simmetrie sulle tabelle dell’addizione e della moltiplicazione.
Il lavoro informatico offre un’altra occasione per compiere ulteriori esperienze e
per giungere al concetto di simmetria in modo più approfondito. Per mantenere un
rapporto di simpatia verso la matematica e per moltiplicare le sue potenzialità creative, si possono costruire figure simmetriche usufruendo del software "IPERLOGO".
Per giungere gradualmente alle procedure che consentano alla tartaruga di IPERLOGO di disegnare figure simmetriche, si deve operare ad uno stadio di astrazione più elevato. Ogni operazione infatti deve essere programmata.
Si può iniziare predisponendo materiali e attività propedeutiche all’uso del computer:
- costruzione delle bandierine con carta e stuzzicadenti (triangolari, rettangolari,
quadrate). Lo scopo di tale attività può servire a favorire l’immagine mentale
della figura la cui costruzione richiederà la messa a punto di precise procedure;
- uso di bandierine;
- simulazioni di rappresentazioni di situazioni isometriche, disponendo le bandierine come si vorrebbero visualizzate sul monitor;
- impostazione delle procedure per far disegnare alla tartaruga le varie bandierine simmetriche;
- definizione della procedura "asse" e della procedura "simmetria".
Componendo le due procedure e dando le dovute indicazioni relativamente
all’inclinazione dell’asse ed alla distanza tre le due bandierine, si ottiene il programma generale da conservare su dischetto e recuperare all’occorrenza.
Il lavoro di sperimentazione e di ricerca che questa attività ha comportato, è
stato molto impegnativo, ma indubbiamente ricco di gratificazioni per i bambini. Sul
piano didattico ha consentito di fissare i concetti acquisiti “giocando” con la macchina.
Ogni fase di questa unità didattica è stata presentata al convegno da coppie di
bambini. Anche tale partecipazione ha contribuito in modo significativo ad arricchire la loro esperienza: ha maturato negli alunni una maggiore consapevolezza delle
loro potenzialità e sviluppato le loro attitudini relazionali.
60
PARTE SECONDA
BIBLIOGRAFIA
FERRARI M., BAZZINI L., PESCI A., REGGIANI M. 1988, Le isometrie piane - mostra di
materiale didattico, Quaderno n.3 del Progetto T.I.D. del C.N.R., pp 181
61
PARTE SECONDA
IL MISTERO DEI LINGUAGGI PERDUTI
(Linguaggi a confronto)
DANIELA LEDER*, EVA ONOFRIO**
INTRODUZIONE
Il lavoro qui esposto ha richiesto l'attività concertata di tutte le insegnanti della
classe III della scuola elementare F.lli Visintini di Trieste, compresa l'insegnante di
sostegno (Leder D., Onofrio, E., Casarin B., Zampino R.) ed è la presentazione di
un percorso esemplificativo di una metodologia didattica adottata fin dalla classe
prima. In questo percorso ci si è posti in un’ottica metacognitiva, in cui l'attenzione
dell'insegnante è stata rivolta a sviluppare nell'alunno la consapevolezza di quello
che sta facendo, del perché lo fa, di quando è opportuno farlo e in quali condizioni.
L'approccio metacognitivo tende a formare la capacità di essere gestori diretti
dei propri processi cognitivi (di memorizzazione, di comprensione, di attenzione,
ecc..) dirigendoli attivamente con proprie valutazioni e indicazioni operative e permettendo così il superamento del nozionismo con l'attivazione di mappe concettuali
trasversali. Anche l'errore in questo modo viene valorizzato e l'apprendimento
diventa significativo. La capacità di gestione dei processi di controllo assume particolare importanza quando l'alunno è impegnato in situazioni in cui deve affrontare
un compito autonomamente.
L'approccio metacognitivo è stato utilizzato in particolar modo per l'insegnamento
della matematica, materia che a scuola è spesso più subita che vissuta consapevolmente. La matematica infatti spesso viene percepita come un insieme di regole di
fronte al quale l'alunno non ha potere d'intervento e che può solo accettare passivamente. Anche le difficoltà nella risoluzione dei problemi possono essere conseguenti
all'interpretazione degli stessi più come un contenitore di dati numerici che non come
un contesto, una "storia" che attribuisce a quei numeri un ben preciso significato.
* Leder D., Sc. El. "G.Foschiatti", Via Benussi 12, I-34100 Trieste, [email protected]
** Onofrio E., Sc. El. "Visintini" , Via Forti 15, I-34100 Trieste, [email protected]
63
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Tra le varie strategie adottate per sviluppare la consapevolezza e il controllo in
questo ambito, ampio spazio è stato dedicato al personaggio fantastico di Matematik: personaggio creato dagli stessi bambini e immaginato come uno scienziato dai
capelli arruffati e l'immancabile camice bianco. Tale personaggio è stato da stimolo
al pensiero divergente e ha coinvolto anche emotivamente i bambini. Matematik
durante le lezioni di matematica, giocava degli "scherzi" atti a indurre prospettive
divergenti e trasversali: esempi di ciò risultano nel lavoro presentato al convegno.
Un altro aspetto che si è creduto importante sviluppare è quello pertinente
all'ambito linguistico; infatti, all'inizio del secondo ciclo della scuola elementare,
quando ci si trova a dover utilizzare la lingua nelle sue molteplici funzioni, emerge
la necessità di approfondire le competenze degli alunni in ambito linguistico in
quanto esse sono fondamentali nelle relazioni comunicative, nella costruzione dell’apprendimento e del pensiero, e quindi trasversali ai vari ambiti disciplinari.
Infatti, l'apprendere da testi scritti è indubbiamente l'attività prevalente degli studenti a partire dal momento in cui sono in grado di servirsi della lettura per conoscere cose nuove. Questo presuppone il possesso di abilità e procedure necessarie per comprendere e ricordare testi, ma anche la capacità di autoregolazione e
controllo a un livello metacognitivo.
Sul processo di comprensione si può intervenire suggerendo alcune strategie di
attenzione, di elaborazione e di organizzazione delle conoscenze, anche se ai fini
di un esito positivo del processo di apprendimento non vanno dimenticate altre
componenti come quelle emotive e di natura affettivo-motivazionale.
Tenendo conto di tutto ciò, la programmazione annuale è stata svolta dando
molto rilievo all’interdisciplinarietà. Infatti, il percorso didattico in ogni ambito è stato
condotto sviluppando e affinando i linguaggi specifici, ma allo stesso tempo ricercando e promuovendo collegamenti orizzontali.
In particolare, poiché durante l'anno scolastico uno degli argomenti trattati dalla
programmazione del lavoro di lingua italiana è stato la fiaba, e visto che tale tema
è un genere gradito ai bambini, è stato possibile elaborare una fiaba "speciale".
Infatti, la fiaba "Lo gnomo Perognolo", costruita dagli alunni stessi rispettando la
morfologia di Propp*, è stata arricchita con l'introduzione dei linguaggi specifici del* Vladimir Jakovlevic Propp (1895 –1970) studioso di antropologia culturale che ha postulato la possibilità di fondare una sorta di grammatica della fiaba che tenesse conto di tutte le situazioni-tipo che vi
ricorrono e delle regole con cui esse si combinano.
64
PARTE SECONDA
l'area logico-matematica, scientifica e antropologica. Ne è risultata una fiaba avvincente emotivamente e allo stesso tempo ricca di informazioni relative ai diversi
ambiti disciplinari. In questo modo è stato possibile esprimere in maniera semplice
e chiara l'importanza di un apprendimento di concetti generali ma allo stesso tempo
definire il valore dei linguaggi specifici.
La partecipazione alla manifestazione “La matematica dei ragazzi” ha avuto
risvolti anche dal punto di vista della maturazione socio-affettiva e relazionale del
gruppo classe.
I bambini hanno potuto sperimentare la costruzione di un progetto cooperativo.
Le fasi di elaborazione e di realizzazione del lavoro hanno richiesto che i ruoli fossero ripartiti, riconosciuti e rispettati da tutti. Inoltre i bambini si sono resi conto che
una certa flessibilità e la capacità di alternarsi o sostituirsi vicendevolmente erano
indispensabili per la migliore riuscita del progetto stesso. I bambini hanno sperimentato le difficoltà nel relazionarsi con interlocutori di età diversa, intuendo la necessità
di adeguare la comunicazione alle capacità di comprensione del ricevente.
Presentiamo di seguito nel dettaglio l'attività svolta del laboratorio.
L’ATTIVITÀ DEL LABORATORIO
Il percorso prevedeva la suddivisione in diverse postazioni gestite da due o tre
bambini che si alternavano nell’esposizione.
- Postazione n. 1. Due alunni presentavano il personaggio di Matematik e consegnavano delle schede-gioco (v. ad es. fig. 1) per divertire ed intrattenere i visitatori più piccoli fintanto che la postazione successiva non si fosse resa libera.
Ai ragazzi più grandi veniva invece data una scheda che proponeva l’invenzione di un acrostico utilizzando come iniziali le lettere della parola "Matematik".
- Postazione n. 2. Due bambini presentavano un cartellone raffigurante una
"macchina" (rappresentazione grafica del meccanismo delle operazioni aritmetiche tramite lo schema: stato iniziale - operatore - stato finale). I partecipanti
dovevano completare appropriatamente lo schema definendo lo stato finale,
oppure l'operatore oppure lo stato iniziale (v. fig. 2).
- Postazione n. 3. Catalogazione di semplici testi (riconoscimento dei linguaggi
specifici delle varie materie). Tre alunni presentavano dei biglietti ognuno dei
quali riportava una frase codificata in un linguaggio specifico (ad esempio la
65
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
frase: "Il ghiaccio fonde e ritorna acqua") e veniva chiesto di collocarli nella
busta che recava scritto il nome della materia appropriata (nell'esempio di prima
il bigliettino andava inserito nella busta "scienze").
In questa prima parte (postazioni 1-3) si sottolineava l'importanza dell'uso dei diversi linguaggi nei vari ambiti disciplinari richiedendo l'abilità di analisi e catalogazione.
Seguiva la seconda parte (postazioni 4-9) in cui si cercava di delineare come è
strutturata la nostra conoscenza e si ribadiva l'importanza di un apprendimento trasversale. Tutti i cartelloni erano stati definti insieme con i bambini con lo scopo,
soprattutto, di farli collaborare per decidere cosa riportare in ognuno.
- Postazione n. 4. Due bambini illustravano mediante un cartellone, raffigurante una enorme testa contenente al suo interno un insieme di "contenitori" tutti
collegati fra loro e provvisti ognuno di una finestrella apribile (v. fig.3), come
avviene l'attività del pensiero all'interno di ognuno di noi: le nostre conoscenze
sono riposte ognuna in un "contenitore definito" il quale fa parte però di una
struttura più ampia organizzata in un complesso reticolo interagente.
- Postazione n. 5. Una bambina leggeva la fiaba, inventata dai bambini stessi,
"Lo gnomo Perognolo" (vedi allegato 1).
Nelle postazioni successive venivano analizzati e decodificati i diversi linguaggi
presenti contemporaneamente nel testo della fiaba "Lo gnomo Perognolo".
- Postazione n. 6 (Analisi della struttura della fiaba da un punto di vista linguistico – lingua italiana). Alcuni bambini presentavano un cartellone raffigurante lo
schema semplificato della struttura della fiaba ed invitavano i partecipanti a completarlo scegliendo i cartellini appropriati fra quelli proposti (v. fig.4).
- Postazione n. 7 (Analisi del problema contenuto nella fiaba – linguaggio matematico). Due bambini presentavano un cartellone raffigurante lo schema della
struttura del problema ed invitavano i partecipanti a completarlo scegliendo i cartellini appropriati fra quelli proposti (v. fig.5).
- Postazione n. 8 (Analisi degli elementi geografici presenti nel testo – linguaggio geografico). Due bambini presentavano un cartellone raffigurante un paesaggio montano ed invitavano i partecipanti a completarlo scegliendo i cartellini
appropriati fra quelli proposti (v. fig.6).
- Postazione n. 9 (Analisi degli elementi botanici e zoologici presenti nel testo
– linguaggio delle scienze naturali). Due bambini presentavano un cartellone raffigurante un bosco ed invitavano i partecipanti a completarlo scegliendo i cartellini appropriati fra quelli proposti (v. fig.7).
66
PARTE SECONDA
Per i bambini del primo ciclo della scuola elementare il percorso veniva semplificato nel modo seguente:
- Postazione n. 6. Due bambini consegnavano ad ogni partecipante una scheda (v. fig. 8) in cui bisognava riconoscere (colorandoli) personaggi ed ambienti
presenti nella fiaba.
- Postazione n. 7. Due bambini spiegavano il problema matematico presente
nella fiaba e poi consegnavano ad ogni partecipante una scheda (v. fig. 9) per
la soluzione del problema attraverso una rappresentazione grafica della struttura moltiplicativa.
- Postazione n. 8. Veniva saltata.
- Postazione n. 9. Venivano proposti solo i cartellini riferiti agli animali.
Riportiamo in appendice una breve relazione di un'allieva della classe coinvolta.
BIBLIOGRAFIA
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CORNOLDI C., CAPONI B., FALCO G., FOCHIATTI R., LUCANGELI D. E TODESCHINI M. 1997,
Matematica e metacognizione: atteggiamenti metacognitivi e processi di controllo, Ed. Centro Studi Erickson
CRAIGHERO G. 1971, Per una didattica psicologica delle operazioni aritmetiche nei
problemi della scuola elementare, Ed. Giunti-Barbèra
FAMIGLIETTI SECCHI M. E FRABBONI F., 1990, Strumenti logico-formativi per imparare
a scrivere e descrivere, Ed. La Nuova Italia
PONTECORVO C. E PONTECORVO M. 1985, Psicologia dell'educazione, conoscere a
scuola, Ed. Il Mulino
PROPP V. JA, 1988, Morfologia della fiaba, Piccola Biblioteca Einaudi
TORNAR C. 1998, Una questione di stile, La vita scolastica, n.12, 1 marzo 1998,
pag.8-11
67
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
ALLEGATO 1
LO GNOMO PEROGNOLO
C'era una volta in un bosco e c'è ancora, uno gnomo di nome Perognolo. I suoi
genitori l'avevano chiamato così perché di pere era sempre stato un ghiottone.
Era alto almeno un mignolo e come tutti gli gnomi aveva una lunga barba nera,
ben curata, come i capelli che tagliava spesso con una foglia seghettata. Sul suo
volto ovale e rubicondo brillavano due occhi di un blu intenso come il mare. Aveva
due gambe robuste e due mani piccole, ma svelte. Indossava dei pantaloni verdi,
una giacca giallo pera e calzava sempre un berretto rosso con un buffo pompon.
Perognolo era un tipo buono e furbo, sempre pronto ad aiutare gli animali del
bosco. Viveva sotto le radici della grande quercia che sorgeva maestosa sulla
sponda sinistra del fiume.
Nella sua casetta calda e accogliente riceveva spesso gli amici: la talpa Fifì e lo
scoiattolino Dodo e non mancava mai di mostrare loro con orgoglio la sua super
provvista di pere ben disposte e ordinate dentro le ceste.
Un brutto giorno Perognolo tornò a casa dopo essere stato nel bosco a far provviste e con grande stupore vide che la sua cantina era stata svuotata.
Allora esclamò:
"Per tutte le pere del pero, dove sono le mie pere?"
Disperato, corse dai suoi amici per raccontare quanto gli era accaduto e seppe
allora che era stato visto aggirarsi da quelle parti, con fare sospetto, lo gnomo dei
ghiacci, il terribile Malignomo.
Come avrebbe mai potuto raggiungerlo sulla vetta della grande montagna bianca! Avrebbe dovuto superare le rapide del torrente impetuoso, scalare il versante
roccioso, ma non ce l'avrebbe mai fatta ad oltrepassare i ghiacci perenni ed arrivare sulla vetta, al castello di Malignomo.
Mentre Perognolo, sconsolato, si teneva la testa tra le mani, si fece avanti il
castoro e disse:
"Costruirò una diga e tu potrai attraversare il torrente. Non devi disperare!"
Anche lo stambecco lo rassicurò:
"Salirai sulla mia groppa e scaleremo insieme la montagna rocciosa."
Una specie di sorriso apparve sulle labbra di Perognolo e i suoi occhi tornarono
a brillare.
68
PARTE SECONDA
"Sì, vi ringrazio - disse - ma come farò ad oltrepassare i ghiacci perenni?"
In quel momento la regale aquila che virava nel cielo gli urlò.
"Lì ci sarò io e ti condurrò al castello, caro Perognolo!"
E così fecero: Perognolo attraversò il torrente, scalò la montagna, volò sulla
vetta e si trovò davanti al castello. Quando fu di fronte a Malignomo si fece coraggio e disse:
"Ridammi le mie pere!!!!"
Il terribile gnomo coperto di ghiacci replicò:
"Saranno di nuovo tue solo se mi dirai esattamente quante sono perché già 7 ne
ho mangiate, ah, ah, ah, ah,..."
La sua risata echeggiò tra le montagne.
Perognolo si sentì solo e sconfitto, non ricordava proprio il numero delle pere;
non avrebbe mai superato quella prova. Mise le mani in tasca rassegnato e si
ritrovò tra le dita la tavoletta magica che gli aveva regalato il vecchio gnomo del
bosco. Con fare veloce la strofinò tra le mani e come per incanto apparve l'immagine della sua cantina ricolma con 15 ceste disposte in ordine e ben 8 pere in ogni
cesta. Allora, sicuro, diede la risposta.
Appena sentì che il quesito era stato risolto, Malignomo cominciò a fondere e in
breve tempo di lui rimase solo una pozzanghera.
Perognolo tornò a casa felice con le sue pere e per festeggiare con tutti i suoi
amici organizzò un megapicnic con crostate, marmellate, gelati, succhi a volontà,
tutti rigorosamente a base di pere.
69
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
APPENDICE
RELAZIONE
DI
ALICE*
* Classe III, Scuola Elementare "Fratelli Visintini", Trieste.
70
PARTE SECONDA
Figura 2
Figura 1
Figura 3
71
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Figura 5
Figura 4
Figura 6
72
PARTE SECONDA
Figura 8
Figura 7
Figura 9
73
PARTE SECONDA
IL NUMERO, CHE FOLLIA!
(Di tutto sui numeri interi)
CINZIA SCHERIANI*
INTRODUZIONE
L'esperienza della partecipazione alla manifestazione "La matematica dei ragazzi" è stata un trampolino di lancio per nuove scoperte e realizzazioni. Due anni or
sono, con la classe quinta era stato elaborato un progetto per il primo incontro di
matematica fra ragazzi di scuole diverse. Dopo varie discussioni la classe aveva
scelto quale argomento "Il ritmo in matematica e nelle altre discipline". Era stato un
ottimo lavoro di ricerca su testi che, al termine, oltre ad aver dato soddisfazioni ai
ragazzi e naturalmente a me, aveva portato ottimi frutti per quanto riguardava la
matematica in particolare, favorendo nei ragazzi un approfondimento in quest'ambito che aveva interessato aspetti di tutte le discipline, dalla biologia alla musica,
dalla storia all'arte. Quindi era necessario trovare anche questa volta un argomento di matematica che stimolasse nei ragazzi la curiosità, la voglia di novità e perché
no, il divertimento.
La classe, una quarta, era piuttosto perplessa, all'inizio. I ragazzi si chiedevano
cosa avrebbero dovuto fare, ed il pensiero di dover relazionare ad altri coetanei e
non era ciò che li preoccupava in maniera più pressante. Già all'inizio dell'anno quindi è stato necessario programmare un tipo di attività che potesse essere svolta sia
dagli alunni in coppie, sia dai gruppi laboratorio appartenenti a tutta la scuola.
Con la classe sono stati discussi i vari utilizzi dei numeri nella vita di ogni giorno, nel passato e nelle grandi scoperte, sempre tenendo conto delle conoscenze
degli alunni. Spesso gli argomenti si prestavano a discussioni e suscitavano curiosità che poi diventavano motivo di ricerca ulteriore, così si è deciso di dedicare un
* Scuola Elementare "G. Carducci", Aurisina Cave, 85, I-34100 Duino Aurisina (Trieste);
e-mail: [email protected]
75
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
giorno alla settimana alla trattazione dei diversi argomenti. Spesso vi è stata una
gara a ricercare le notizie più curiose e particolari.
I ragazzi, ad un certo punto, hanno deciso di cambiare il titolo del loro lavoro,
tante e tali erano state le cose scoperte, da far decidere loro che il numero si trovasse ovunque, per questo motivo è nato "Il Numero…che follia!".
MOTIVAZIONI PEDAGOGICHE E DIDATTICHE
Nel vissuto quotidiano di ogni essere umano, in tutte le attività che vengono
svolte, vi è la necessità di un utilizzo dei numeri e dell'esecuzione di semplici o più
complessi ragionamenti che portino alla soluzione di problemi.
Spesso emergono in ambito scolastico delle difficoltà legate alla matematica, sia
per quanto riguarda la comprensione, sia per l'utilizzo di concetti e procedure nei
vari ambiti operativi. È quindi necessario affrontare gli argomenti in modo molto
chiaro già dai primi anni della scuola elementare, altrimenti possono diventare fonte
di difficoltà in tempi successivi.
Per questo motivo, l'educare alla matematica è un aspetto che va curato. Dal
punto di vista pedagogico, ciò si può fare attraverso la corretta acquisizione dei significati, proponendo il "linguaggio dei numeri" alla pari degli altri linguaggi che normalmente vengono utilizzati nella scuola elementare, proponendo attività stimolanti.
Senz'altro, l'acquisizione del concetto di numero da parte del bambino inizia ben
presto, attraverso varie fasi che vanno dalla semplice cantilena alle imitazioni, alla
conta senza significato e ordine. Bambini di due anni sanno riprodurre la conta
anche fino al dieci senza comprendere il significato delle parole né poter operare
una corrispondenza tra parola e quantità.
Il numero espresso in cifre appare nella vita quotidiana con una frequenza molto
alta che potremmo quantificare, rimanendone anche noi adulti sorpresi. Quindi,
anche i bambini vengono sottoposti ad una stimolazione continua che l'insegnante,
già dal primo anno della scuola per l'infanzia, può in vario modo favorire.
Molti autori si sono occupati dell'insegnamento-apprendimento del numero. Gli
approcci sono di natura diversa:
- l'approccio costruttivista (crf. ad es. Steffè L.P., Wood T. 1990) si occupa di favorire la comprensione matematica attraverso attività di problem-solving senza preoccuparsi di trasmettere direttamente le conoscenze dell'insegnante agli alunni;
76
PARTE SECONDA
- l'istruzione guidata attraverso attività cognitive (crf. ad es. Fennema E., Carpenter T.P., Peterson P.L., 1989), che sviluppa un tipo d'insegnamento che basa
l'attività sulla concatenazione di concetti ad altri, già noti agli alunni, attraverso
attività stimolanti;
- la figura del "principiante-esperto", cioè l'insegnante che considera questo suo
ruolo molto impegnativo e cerca di trasformare il contenuto della disciplina in
forme adatte agli alunni, rivedendo continuamente i filtri formali (crf. ad es. Liverta O. 1997);
- i punti di vista sociologico ed epistemologico (crf. ad es. Lambert M., 1986),
che si basano sull'argomentazione favorita dall'insegnante, in modo che gli alunni siano stimolati ad approfondire, motivare ed ampliare le proprie conoscenze;
- l'aspetto contenutistico della matematica; è necessario, per questo aspetto,
identificare i "processi cognitivi" che sottendono un determinato argomento matematico e sulla base di questi progettare e elaborare tecniche d'insegnamento che
aiutino gli alunni ad utilizzare tali processi. (crf. ad es. Wearne D., Hilbert J. 1988).
L'alunno è comunque la figura attiva dominante di tutte le teorie sopraelencate.
Solo operando e partecipando riesce a sviluppare nuove strategie e ciò è alla base
della conoscenza. L'ideale, dal punto di vista didattico, è dato da un approccio multifunzionale o, come lo definisce Michele Pellerey, "pluralistico" (crf. ad es. Pellerey
M. 1989), che non si limita all'aspetto matematico ma che investe anche quello psicologico, sociale e interdisciplinare.
L'idea che il concetto di numero debba essere considerato in tutti i suoi aspetti
(ordinale, cardinale, ricorsivo, come indicatore, come misura…) è senz'altro molto
difficile, tuttavia essa si rifà all'esperienza stessa del bambino e al suo vissuto reale.
Anche sulla base di queste idee educative ho sviluppato i lavori preparati per gli
incontri della matematica dei ragazzi: il coinvolgimento degli alunni nella ricerca, la
stimolazione a fare e a pensare (ricordiamo i Programmi del 1985), a costruire e a
verificare, sono il punto di partenza per un apprendimento sereno e costruttivo.
L'ATTIVITÀ DI LABORATORIO
All'inizio dell'anno scolastico i ragazzi hanno raccolto materiali e curiosità sul
mondo dei numeri. Il lavoro è stato fatto a coppie, uno degli argomenti scelti era "Il
gioco", così dopo aver analizzato più giochi che hanno come protagonisti i numeri,
abbiamo scelto come rappresentativo il "Gioco dell'oca".
77
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
La scuola di Aurisina da anni conduce delle attività per laboratori misti di alunni
di tutte le classi, così tutti hanno collaborato alla preparazione di una versione "in
grande" del gioco. I ragazzi più grandi hanno disegnato e ritagliato dei trapezi colorati, poi, assieme ai più piccoli, hanno fotocopiato e colorato i numeri da zero a nove
per tante volte, quante potevano servire a formare tutti i numeri necessari. Completati i trapezi, hanno disegnato solo su alcuni le fermate e i vari premi per passaggi supplementari in avanti o indietro. Infine è stato costruito un dado enorme che
veniva lanciato per giocare. I ragazzi, tolte le scarpe, giocavano e provavano il
gioco, che è stato poi sistemato nel nostro laboratorio. Successivamente, dopo le
giornate dedicate alla "Matematica dei ragazzi", è stato messo nel corridoio della
scuola, in modo che tutti potessero giocare.
Sono stati presentati anche diversi tipi di dadi multifacce. Alcuni erano stati
acquistati da un alunno al Museo della Scienza e della Tecnica di Monaco (Germania), altri, reperiti in commercio, presentavano i cinque solidi platonici.
Gli altri alunni hanno presentato dei lavori molto interessanti. Una coppia ha trattato i numeri grandissimi e piccolissimi. Hanno quindi lavorato sui pianeti e sulle
costellazioni. È stato preparato un simulatore di costellazioni: un vaso da caffè è
stato bucato sul fondo copiando la disposizione di una costellazione famosa, poi, al
buio con una torcia elettrica, è stata proiettata sul muro l'immagine della costellazione scelta. I ragazzi che venivano alla mostra venivano invitati a costruirne altre.
C'erano alcuni alunni che avevano investigato sui legami tra numeri e musica e
avevano preparato una coreografia da fare assieme ai visitatori. Infine c'era chi
aveva lavorato sulla storia del numero, ricercando notizie in vari testi.
VALUTAZIONE DELL'ESPERIENZA
Un grande lavoro porta di solito grandi soddisfazioni personali e collettive. I
ragazzi hanno trovato questo compito piacevole, erano stanchissimi, ma particolarmente contenti del loro operato. All'inizio si sentivano un po' impacciati, soprattutto
nei confronti degli alunni delle scuole superiori e degli adulti, ma più i gruppi si alternavano, più erano sicuri nelle loro esposizioni. Come insegnante mi ritengo molto
soddisfatta, ma devo il successo di questa iniziativa anche alle due colleghe che
con me hanno progettato e portato a termine il lavoro, le insegnanti Patrizia Giurgevich e Susanna Montecalvo. Prima di recarsi all'incontro i ragazzi hanno illustra78
PARTE SECONDA
to a tutti i compagni delle altre classi il contenuto dei loro laboratori, hanno risposto
alle domande che venivano loro poste, e ciò li ha resi più sicuri e spigliati, pronti ad
affrontare, forse senza tanta paura, questa nuova attività. Riporto in appendice la
sintesi delle giornate redatta da un'alunna.
BIBLIOGRAFIA
BAZZINI L. FERRARI M. 1986, Il mondo dei numeri naturali,ed. SEI
CANNIZZARO L. L'esperienza, la matematica, la psicologia: tre componenti essenziali del numero naturale. In "Approccio al concetto di numero" Terzo corso MPIUMI in didattica della matematica, 24-28 febbraio 1997
CORNOLDI C., LUCANGELI D. 1995, Matematica e metacognizione, EricksonTrento
FENNEMA E., CARPENTER T.P., PETERSON P.L. 1989, Learning Mathematics with
Understanding: Cognitively Guided Instruction, in J.E. Brophy (ed). Advanced in
research on teaching (pp 195-221), Greenwich CT:JAI Press
LAMBERT M. 1986, Knowing, Doing, and Teaching Multiplication in "Cognition And
Instruction", 3 pp.304-42
LIVERTA SEMPIO O. 1997, Il bambino e la costruzione del numero, NIS Roma
LUCANGELI D., PASSOLUNGHI M.C. 1995, Psicologia dell'apprendimento matematico,
UTET Torino
PELLEREY M. 1989, Oltre gli insiemi: Nascita, crescita e crisi dell'insiemistica Nuovi
orientamenti nella didattica dell'aritmetica, Tecnodid, Napoli
STEFFE L.P., WOOD T. (eds) 1990, Transforming Children's Mathematics Education.
International Perspectives, Erlbaum, Hillsdale (NJ)
BEARNE D., HIERBERT J. 1988, A Cognitive Approach to Meaningfull Mathematics
Instruction: Testing a Local Theory Using Decimal Numbers, in "Journal for
Research in Mathematics Education", 19, 5, pp.371-84
79
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
APPENDICE
RELAZIONE
DI
ELISABETTA*
Io sono una bambina della scuola di Aurisina "Giosuè Carducci". Mi chiamo Eli-
sabetta, ho nove anni ed ho partecipato al convegno di matematica per ragazzi.
Noi siamo otto bambini e abbiamo scelto come titolo "Il numero che follia!". Parliamo proprio dei numeri: nell'astronomia, nella storia, del numero come indicatore
e nei giochi. Poi abbiamo fatto un ballo che riguardava il numero.
Giovedì era il primo giorno, eravamo tutti emozionati ma, dopo qualche classe
ci siamo calmati.
Io parlavo dell'astronomia con il mio amico Giuseppe. Quando tutti avevamo finito facevamo il "gioco dell'oca" e poi ballavamo i "Watussi" però inventando i passi.
A pranzo siamo andati a mangiare un panino al Mc Donald. Quando siamo tornati
nella palestra, dove avevamo tutto lo spazio per giocare e ballare, ci siamo rimessi a spiegare ai bambini sempre gli stessi argomenti e, quando c'era un po' di tempo
siamo andati a vedere gli altri ragazzi che raccontavano tutto quello che avevano
studiato.
Finito tutto, siamo tornati a casa ripensando felici a tutta la giornata.
* Classe V della Sc.El. "G.Carducci" di Aurisina (TS).
80
PARTE SECONDA
CALCOLATRICI TASCABILI: ISTRUZIONI PER L’USO
ANNAMARIA BERGAMO*
INTRODUZIONE
Il lavoro sulle calcolatrici tascabili è stato condotto nel corso degli ultimi due anni
nell'ambito delle attività del Nucleo di Ricerca Didattica (NDR) di Trieste. Le esperienze proposte agli alunni venivano di volta in volta progettate, discusse e valuta-
te nelle riunioni periodiche del NRD.
La sperimentazione, inserita nella programmazione annuale dell'attività didattica, è iniziata nell'anno scolastico 1996/97 nella classe V B della scuola "Domenico
Rossetti" di Trieste. È stata ripresa e ampliata nell'anno scolastico 1997/98 con altre
due classi quinte, sempre della stessa scuola, formate rispettivamente da 20 e 19
alunni, di cui uno portatore di handicap. Ho iniziato a lavorare in classe con le calcolatrici per un'ora alla settimana a partire dal mese di ottobre '97.
La motivazione per la scelta dell'argomento è stata la seguente: la maggior parte
degli alunni possiede una calcolatrice tascabile, perciò non solo è un peccato ignorarne l'esistenza, ma è imprudente lasciare che ne facciano un uso non ragionato.
Ho ritenuto questa una buona opportunità per approfondire le conoscenze degli
alunni sull'uso di questo strumento senza peraltro diventarne dipendenti. Usando la
calcolatrice è possibile inoltre liberare la mente dall'esercizio del calcolo e riflettere
maggiormente sulla soluzione dei problemi. In altri casi con l'uso della calcolatrice
è possibile fare una riflessione sugli algoritmi di calcolo. Va premesso però che in
classe la calcolatrice è stata sempre usata come controllo delle operazioni aritmetiche, che venivano prima eseguite sul quaderno. Ciò è stato fatto anche per superare le perplessità di alcuni genitori che inizialmente non erano d'accordo sull'attivazione di questa sperimentazione, temendo che influisse negativamente sulle
capacità di calcolo dei bambini.
* Istituto Comprensivo Valmaura, Scuola Elementare “D. Rossetti” di Trieste, via Zandonai, 4.
81
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Vista la motivazione, ho scelto di utilizzare proprio le calcolatrici che i bambini
possedevano e quindi il lavoro è iniziato con l'esame e la comparazione delle varie
calcolatrici. Altri insegnanti del Nucleo hanno preferito scelte di altro tipo.
Si illustra di seguito il percorso didattico relativo alla sperimentazione effettuata
nell'ultimo anno scolastico.
Per quel che riguarda la presentazione del lavoro nel corso della manifestazione "La Matematica dei Ragazzi: scambi di esperienze tra coetanei", premetto che
avevo concordato con la collega del NRD G. Candussio, che presentava nella stessa sede il lavoro svolto parallelamente nelle sue classi di scuola media, di utilizzare solo delle calcolatrici di tipo non scientifico, lasciando a lei la trattazione delle
altre che si inserivano nell'ambito più ampio delle sue attività.
PERCORSO DIDATTICO
Per poter sapere com'è fatta una calcolatrice, quali sono i suoi limiti e le sue
potenzialità, ho chiesto agli alunni di portare a scuola le calcolatrici tascabili già in
loro possesso in modo da lavorare sull'esistente, inclusi i modelli più semplici che
si trovano in omaggio nelle confezioni di alcune merendine. Tranne due, le calcolatrici a nostra disposizione erano tutte del tipo non scientifico e presentavano tipologie diverse.
Al fine di capire quali erano le conoscenze degli alunni su questo strumento di
calcolo, ho fatto disegnare ad ognuno la propria calcolatrice su un foglio quadrettato scrivendo il significato, se conosciuto, di ogni singolo tasto.
Mi sono resa conto così che quasi tutti ignoravano la funzione dei seguenti tasti:
M+, M-, MR o MRC, % , e il tasto della radice quadrata. Tutti invece erano in
grado di eseguire le quattro operazioni.
Il passaggio successivo è stato quello di trovare gli elementi comuni a tutte le
calcolatrici della classe. Abbiamo evidenziato perciò:
- il visore (o display);
- i tasti con le cifre;
- tasti con le operazioni;
- il tasto per cancellare;
- il tasto per ottenere il risultato;
- il tasto di apertura e di chiusura (eccetto in alcune calcolatrici solari);
82
PARTE SECONDA
- i tasti per la radice quadrata, la percentuale e le memorie (presenti in tutte tranne che in 3).
Per conoscere i limiti dello strumento, è stato chiesto agli alunni di cercare il
numero massimo di cifre che si potevano usare con la loro calcolatrice e quindi trovare qual era il numero più grande e quello più piccolo che poteva essere scritto.
Le nostre calcolatrici avevano 8 o 10 cifre: i ragazzi hanno visto quindi che anche
il potere della calcolatrice era limitato e non infinito come era sembrato loro in un
primo tempo! Bastava ad esempio aggiungere 1 a 9 999 999 999 e già si leggeva
sul display E (errore). Eseguendo le divisioni con quozienti non interi abbiamo visto
che la calcolatrice tronca i risultati. Inoltre questi tipi di calcolatrice eseguono le operazioni seguendo strettamente l'ordine con il quale vengono digitate e non hanno i
tasti per le parentesi.
Ecco altri esempi delle attività proposte alla classe.
Attività 1: Per essere consapevoli dei vari passaggi che si effettuano nell'eseguire le operazioni, ad es. 15 + 8 =23, ho proposto agli alunni di scrivere ogni passo
eseguito in tabelle come la seguente.
Digito
Leggo
ON
0.
1
1.
5
15.
+
15.
8
8.
=
23.
Attività 2: Per verificare e consolidare la conoscenza del valore posizionale delle
cifre, (anche nei numeri decimali) gli alunni dovevano comporre un numero già stabilito e, senza cancellarlo, trasformarlo con operazioni aritmetiche in un altro numero proposto dall'insegnante, avente un'unica cifra diversa dal numero di partenza.
Es.:
519---->619 (+100);
24,05---->24,08 (+0,03).
Attività 3: Al momento del ripasso dei multipli e delle potenze, usando alcuni
modelli di calcolatrice, abbiamo scoperto che si possono ottenere multipli di un
numero addizionando un addendo costante.
Es.: digitare un numero, premere due volte il tasto + e dopo premere ripetutamente il tasto = (per ottenere invece le potenze di un numero al posto del tasto + si
deve premere due volte il tasto x e poi il tasto = ) .
Attività 4: Per eseguire il calcolo della percentuale di un numero, dapprima l'abbiamo considerata come una frazione decimale (con 100 al denominatore) e gli
83
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
alunni calcolavano sul quaderno, dato un numero, a quanto corrispondeva una sua
data frazione decimale. Solo in seguito hanno imparato la sequenza di operazioni
per utilizzare il tasto % della calcolatrice: digito il numero, premo il tasto x, digito il
tasso e premo il tasto %. Per avere il risultato già scontato, abbiamo scoperto che,
al posto del tasto x, basta premere il tasto - , e che premendo invece il tasto + si
ottiene il numero con la percentuale aggiunta.
Attività 5: Per spiegare l'uso dei tasti di utilizzo della memoria ( M+, M-, RM o
MRC) siamo partiti dalla soluzione di problemi.
Gli alunni sono abituati a risolvere i problemi usando i diagrammi a blocchi e partendo da questi ho spiegato la scrittura e il significato delle espressioni aritmetiche.
Ad esempio, nel caso di: (24 x 3) + (50 x 8), si ottiene quanto segue (partendo
da una situazione in cui la memoria sia azzerata):
Digito
24
x
3
M+
50
x
8
M+
MR
Una volta appreso il funzionamento, gli alunni dovevano da soli inventare il testo
di alcuni problemi da risolvere usando i tasti della memoria.
Queste procedure sono state illustrate anche su un tabellone usando un diagramma di flusso.
STORIA DEGLI STRUMENTI DI CALCOLO
Prendendo maggior dimestichezza con la calcolatrice gli alunni hanno incominciato a chiedersi quando è stata costruita la prima calcolatrice e da chi; c'è stata
perciò una ricerca su vari testi sulla storia della stessa, che si è allargata poi agli
altri strumenti di calcolo.
La ricerca si è conclusa con la stesura di un cartellone e con la costruzione di
una semplicissima "pascalina" costituita da due ruote dentate e numerate da 0 a 9.
Una ruota rappresenta le decine e l'altra le unità. Compiuto un giro completo, la
ruota delle unità sposta quella delle decine e si ha così il riporto automatico. Su
questo principio Pascal nel 1642 costruì la prima calcolatrice meccanica.
La costruzione di questo semplice contatore ha appassionato moltissimo un
gruppo di alunni che si sono cimentati dapprima usando cartoncini e stuzzicadenti
opportunamente incollati e incastrati per formare gli ingranaggi. Poi hanno adope84
PARTE SECONDA
rato due dischi in legno (superstiti di vecchi blocchi logici) ai quali hanno applicato
10 viti dopo averli divisi in 10 parti uguali, usando il goniometro. Infine il tutto è stato
inserito in una scatola da scarpe sulla quale era stata praticata un'apertura per
poter leggere i numeri.
Un altro gruppo ha fatto una breve ricerca sul linguaggio macchina delle calcolatrici elettroniche. Infine altri alunni hanno inventato dei giochi e perfino un cruciverba ispirato alla calcolatrice.
PRESENTAZIONE DEL LAVORO ALLA MANIFESTAZIONE:
"LA MATEMATICA DEI RAGAZZI: SCAMBI DI ESPERIENZE TRA COETANEI"
Per portare questa esperienza alla manifestazione ho organizzato le due classi
del modulo (dato il numero degli alunni) in due gruppi, formatisi quasi spontaneamente, poichè non tutti se la sentivano di venire a spiegare agli altri il lavoro svolto. Perciò un gruppo ha lavorato come "relatore" e l’altro, con le altre insegnanti
della classe, ha partecipato all'incontro come "visitatore".
Il gruppo dei "relatori" è stato suddiviso in quattro sottogruppi di 4 persone,
ognuno dei quali doveva esser in grado di illustrare tutti gli argomenti svolti in classe; questa scelta è stata motivata dal fatto che volevo evitare il passaggio dei partecipanti da un sottogruppo all'altro.
È stato interessante notare che gli alunni stessi, consapevoli delle loro competenze, si sono suddivisi da soli i compiti nei vari sottogruppi.
Devo precisare che prima di partecipare all'iniziativa, il gruppo dei relatori ha
esposto le proprie conoscenze sulla calcolatrice tascabile a due classi quarte della
nostra scuola. Questa è stata una fase preliminare che li ha costretti a ripensare e
riscrivere autonomamente le varie fasi del lavoro svolto; è stata molto utile anche
per "rompere il ghiaccio" prima di incontrare alunni provenienti da altre scuole.
Con questa preparazione così fortemente motivata, gli alunni hanno dimostrato
grande entusiasmo ed impegno nell'affrontare tutti i compiti a loro affidati. Si sono
dimostrati inoltre capaci di adeguare le loro argomentazioni a bambini di diverse
fasce di età: dalla prima elementare alla prima superiore. Ritornati a scuola, c'è
stato uno scambio sulle diverse esperienze fatte dai due gruppi del modulo, e l'unico rammarico è stato quello di non essere riusciti a visitare tutti gli altri laboratori.
Riporto in allegato una relazione scritta da un'allieva.
85
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
BIBLIOGRAFIA
BRUNELLI A. E CARINI R. 1984, Intelligenza e metodo del calcolatore, Zanichelli Ed.
IFRAH G. 1981, Storia universale dei numeri, Mondadori Ed.
CATTABRINI U. 1995, Strumenti per il calcolo, Le scienze n1-2-3-4-5-6
AAVV 1995, GEDEA Multimediale, Istituto Geografico De Agostini Ed.
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PARTE SECONDA
ALLEGATO
RELAZIONE
DI
MARTA*
* Classe V della Scuola Elementare "D.Rossetti" di Trieste.
87
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
88
PARTE SECONDA
LA FIABA DELLA GEOMETRIA
(Geometria e specchi semitrasparenti)
BRUNO GIORGOLO*
INTRODUZIONE
L’attività presentata fa parte di un programma educativo che coinvolge gli alunni di questa classe sin dalla prima elementare, ed è stata effettuata in un contesto
decisamente dinamico che ha caratterizzato il vissuto quotidiano degli alunni.
Formulare nuove proposte didattiche e condurre sperimentazioni di progetti e di
attività formative rappresentano una prassi del credo educativo dello scrivente.
Contrariamente a quanto si potrebbe pensare, queste innovazioni non rappresentano un aggravio per gli alunni, ma delle strade più facili, più comprensibili, stimolanti e coinvolgenti di quelle usuali. Permettono anche di instaurare un terreno di
sostegno emotivo e un clima relazionale dominato dall’interesse e dalla curiosità,
dalla serenità e dalla riflessione, aumentando le opportunità di guadagno formativo.
La classe così è sempre stata in anticipo rispetto ai programmi tradizionali e si è
potuto investire il tempo in approfondimenti dei contenuti.
LA PROPOSTA PRESENTATA
Quando i miei alunni erano in terza classe, avevamo partecipato alla prima edizione del convegno "La Matematica dei Ragazzi: scambi di esperienze tra coetanei", presentando ciò che si era fatto in merito alle tecniche didattiche del Simmetroscopio.
* Scuola Elementare Julius Kugy, Via di Basovizza, 60, I-34100 Trieste,
e-mail: [email protected]
89
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Il Simmetroscopio, sussidio didattico in commercio dal 1988 (di cui lo scrivente
è autore), permette di lavorare su immagini tridimensionali che possiedono le caratteristiche metriche di un oggetto concreto, utilizzando specchi semitrasparenti.
Queste immagini possono essere ruotate, traslate, e compenetrate con degli oggetti e ciò può essere sfruttato per scopi didattici.
Nella prima edizione del convegno avevamo illustrato l’attività svolta in classe in
tre anni di lavoro (anzi, a dire la verità, la maggior parte degli alunni aveva avuto un
primo approccio con queste tematiche già alla scuola materna). Alla fine della terza
classe, gran parte del lavoro relativo alla geometria si era concluso, avendo anche
affrontato alcuni esercizi previsti per la scuola media inferiore.
Alla notizia della riedizione del convegno, il desiderio di partecipazione degli
alunni era molto elevato, per cui scrissi sulla lavagna un elenco di possibili contenuti che avremmo potuto proporre. Tra questi, inserii pure l’argomento già presentato nella precedente edizione. Poi invitai gli alunni ad esprimere il loro interesse e
la proposta più votata si rivelò quella già presentata, ovvero quella relativa alle tecniche didattiche degli specchi semitrasparenti.
Per non ripetere ciò che si era già fatto, maturai l’idea di presentare una revisione critica ed un approfondimento del lavoro svolto.
Gli alunni avevano intravisto un libro che un anno fa scrissi per gli insegnanti
della scuola materna: "La fiaba dalla Geometria". Qualcuno voleva leggerlo, pensando che ci fossero scritte delle favole. Influenzati dal titolo hanno proposto di attribuirlo anche al progetto da proporre per il convegno "La Matematica dei Ragazzi:
scambi di esperienze tra coetanei". La richiesta mi interessò e spiegai che il titolo
si riferiva ad un’atmosfera di magia da instaurare in classe, ma che forse, in parte,
poteva essere instaurata anche al convegno. Di conseguenza pensai di arricchire i
contenuti da presentare con dei giochi fantasiosi effettuabili mediante specchi curvi,
specchi deformabili e specchi semitrasparenti deformabili.
IL LAVORO DI PREPARAZIONE IN CLASSE
Nella prima fase del lavoro di preparazione si ricostruì il lavoro effettuato negli
anni precedenti, registrando gli esercizi più importanti, distribuendoli con ordine
logico su fasce di difficoltà, scegliendo degli esercizi per ogni livello; più uno fuori
testo, di carattere prettamente fantasioso e ludico.
90
PARTE SECONDA
Questi livelli corrispondevano al raggiungimento di obiettivi cognitivi standardizzati, cioè a ipotetiche classi di media preparazione, che andavano dall’ultimo anno
della scuola materna alla prima media inferiore.
La seconda fase fu dedicata a preparare e a costruire i vari materiali e gli accessori necessari per effettuare i diversi esercizi.
Nella terza fase si procedette alla revisione critica delle attività effettuate. Allo
scopo predisposi dei questionari che invitavano gli alunni a formulare ipotesi sulle
possibili motivazioni che avevano spinto l’insegnante ad operare in un certo modo,
invece che in un altro. Le risposte furono commentate in discussioni successive,
durante le quali gli alunni prendevano appunti, che furono poi utilizzati per stendere delle relazioni di gruppo.
Nell’ultima fase del lavoro ogni alunno si assunse degli incarichi specifici, in
modo da affrontare i problemi organizzativi logistici, compresi i possibili imprevisti.
IL LAVORO DURANTE IL CONVEGNO
Cercai di delegare agli alunni molte responsabilità e di dare alla loro partecipazione una struttura caratterizzata dall’autonomia. Se non ci fossero stati imprevisti
di rilievo, tutto avrebbe dovuto funzionare senza l’ausilio effettivo degli insegnanti.
Il lavoro si presentava diverso, rispetto alla partecipazione alla prima edizione
del convegno: ora bisognava mettersi nei panni degli altri, uscire dalla dinamica
della propria classe, per presentare qualcosa che fosse proponibile e valido in tutti
i contesti. Nell’esporre il nostro lavoro ci si voleva riferire al raggiungimento di obiettivi cognitivi standardizzati, il che corrispondeva ad estendere le nostre esperienze
su sette livelli di difficoltà, corrispondenti alle seguenti classi:
- Ultimo anno della scuola dell’infanzia
- Prima classe della scuola elementare
- Seconda classe della scuola elementare
- Terza classe della scuola elementare
- Quarta classe della scuola elementare
- Quinta classe della scuola elementare
- Prima classe della scuola media inferiore
Il tutto doveva essere collegato da uno specifico itinerario didattico da svolgersi
in sette postazioni attrezzate con simmetroscopi e vari altri materiali.
91
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Furono presentati gli esercizi di seguito elencati.
ULTIMO ANNO DELLA SCUOLA DELL’INFANZIA:
- L’orsetto in prigione
- Il bagno di Paperino
- Il vestito di Marisa
- Il vestito di Arlecchino
- Caleidoscopio colori
- La torta
- Costruzioni simmetriche
- L’asse di simmetria
- Gioco Fantastico: Come stai ingrassando
PRIMA ELEMENTARE:
- Figure Proteiformi
- Il disegno segreto
- Completa la parte simmetrica
- Caleidoscopio solidi
- Tante stelle
- Poligoni
- Fusione volti
- Disegno costruzioni
- La bisettrice
- Assi di simmetria di linee
- Il punto medio
- Dentro e fuori dei confini
- Gioco Fantastico: il dito in bocca
SECONDA ELEMENTARE:
- Costruisci un triangolo rettangolo
- Costruisci un rettangolo
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Poligono astina
Il messaggio segreto
Disegna una figura simmetrica ad una data
Dentro e fuori i confini di solidi
Successivi dimezzamenti dell’angolo giro
Linee perpendicolari e linee parallele
PARTE SECONDA
-
Costruisci un quadrato
Costruisci un rombo che abbia un angolo di 45 gradi
Costruisci un rombo che abbia un angolo di 1/16 di giro
Gioco Fantastico: I baffi biondi
-
Disegna una figura simmetrica ad una data (con due assi di simmetria)
Costruisci un triangolo equilatero
Costruisci un angolo di un sesto di giro
Dimezza e raddoppia il sesto di giro
Simmetria di lettere e palindromi simmetrici
Motivi simmetrici con le carte strutturate
Costruisci un quadrato di data misura della diagonale
Gioco Fantastico: Due lingue
TERZA ELEMENTARE:
QUARTA ELEMENTARE:
- Disegna una figura simmetrica ad una data con più assi di simmetria
- Costruisci un pentagono
- Esercizi di abilità oculo - manuale
- Traslazioni
- Rotazioni
- Volume di una piramide
- Gioco Fantastico: Lo scheletro
QUINTA ELEMENTARE:
- Costruisci un deltoide di superficie uguale ad un parallelogramma dato
- Il problema di Erone
- Disco di Newton: raddoppio virtuale della velocità
- Rimpicciolisci della metà una figura data
- Ingrandisci del doppio una figura data
- Gioco Fantastico: La spada nella roccia
PRIMA CLASSE SCUOLA MEDIA INFERIORE:
- Rimpicciolisci di 1/3 una figura data
- Trova il baricentro di un triangolo
- Disegna in prospettiva un oggetto dato
- Costruisci un’iperbole
93
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
- Dato un segmento costruisci le radici dei numeri naturali
- Ingrandisci di 1/3 una figura data
- Trova l’incentro di un triangolo
- Trova l’ortocentro di un triangolo
- Trova l’excentro di un triangolo
- Costruisci un’ellisse
- Problema del doppio rimbalzo
- Riflessione della luce
- Costruisci una parabola
- Dimostrazione problema di Erone
- Leggi dell’urto elastico
Parte degli esercizi proposti si possono trovare descritti in Zuccheri L. 1995, altri
in Giorgolo B. 1997, altri furono inventati espressamente per questa occasione.
Furono predisposti anche compiti di controllo interno, affidati ad alcuni alunni,
come ad esempio: dare il cambio ai compagni che desideravano allontanarsi per
vedere altri laboratori, o per altri motivi, controllare che l’aula rimanesse in ordine,
accogliere le classi ed invitarle a seguire l’itinerario prestabilito, accogliere gli adulti, registrare eventuali osservazioni di questi, fornire informazioni e spiegazioni se
richieste. Questi ultimi incarichi non erano indispensabili ai fini del convegno, ma
coerenti con la logica educativa della classe. Gli alunni lavoravano alacremente ed
erano tutti entusiasti, l’attività procedeva praticamente senza sosta.
Si cercò di far sì che il visitatore potesse cogliere lo spirito della proposta didattica nella quale gli elementi di partenza sono dati dall’esperienza concreta e sono
organizzati in contenuti cognitivi e formativi grazie al Simmetroscopio, che permette di svolgere un lavoro di osservazione, analisi e costruzione.
L’aula era sempre piena di visitatori e spesso altri aspettavano fuori, per cui l’atmosfera era un po’ più caotica di quella prevista, ma la classe lavorava molto bene
e in modo autonomo, per cui gli insegnanti, compreso lo scrivente, non erano impegnati direttamente nello svolgimento dell’attività e potevano fornire spiegazioni più
particolareggiate e approfondimenti ai visitatori interessati.
Per dare un’idea di come gli alunni abbiano sentito in modo responsabile la partecipazione al convegno, riporto per concludere il seguente episodio. L’ultimo giorno avevamo la necessità di congedarci un po’ di anticipo perché dovevamo ritornare a scuola per il pranzo. Si operava con una gran quantità di materiali e tutto
94
PARTE SECONDA
doveva essere ordinato e riposto con un certo ordine in due scatoloni. Ci eravamo
già preparati ed organizzati per questa evenienza, ma le visite non rispettavano
esattamente l’orario, l’aula continuava ad essere piena di visitatori e fuori c’era un
altra classe che attendeva di entrare. Dovetti pregare gli insegnanti di questa classe di indirizzarsi su altri laboratori e procedere alla fase di sgombero, che fu eseguita in soli otto minuti, appena in tempo per non ritornare a scuola in ritardo.
BIBLIOGRAFIA
GIORGOLO B. 1990, Simmetroscopio, (sussidio didattico), Didattica Triestina
GIORGOLO B. 1992, Il Simmetroscopio e le sue utilizzazioni didattiche, Atti del Convegno Media e Metodi 3° (Trieste, 6-7 maggio 1992), Tip. Moderna ed., pp 151156
GIORGOLO B. 1997, La fiaba della geometria, un itinerario attraverso tecniche didattiche degli specchi semitrasparenti, ed. COOPEDIT, Ronchi dei legionari (GO),
pp 182
ZUCCHERI L.1992, Oltre lo specchio: storia e motivazioni di un'esposizione didattica,
Atti del Convegno "Media e metodi III: la matematica tra didattica e cultura"
(Trieste, 6-7 maggio 1992), pp 143-150
ZUCCHERI L. 1995, Rapporto tecnico: le schede di lavoro della mostra laboratorio
"Oltre lo specchio", Quaderno Didattico del Dipartimento di Scienze Matematiche, Università di Trieste, n.29, pp 82
ZUCCHERI L. 1996, Note per gli animatori della mostra laboratorio “Oltre lo specchio”,
Quaderno Didattico del Dipartimento di Scienze Matematiche, Università di Trieste, n.32, pp 30, con allegata videocassetta di 25'
ZUCCHERI L. 1999, Semitransparent mirrors as tool for geometry Teaching, in
Schwank I. (editor), "European Research in Mathematics Education I", Forschunginstitut für Mathematikdidaktik, Osnabrück, pp 282 – 291
95
PARTE SECONDA
DAI TRIANGOLI AI FRATTALI
ANNAMARIA IURCOTTA*
LE MOTIVAZIONI
L’attività portata al convegno ha origine da un ampio lavoro di sperimentazione
e ricerca intorno all’apprendimento dei concetti di geometria. Lo studio sui triangoli è nato "sul campo". Infatti, già in prima elementare i bambini hanno iniziato a com-
porre e scomporre figure in modo libero e creativo.
Anche se molti adulti sono convinti che la matematica non serve a nulla, che è
per soli iniziati, che è difficile, noiosa e arida, sono convinta che ai bambini piace.
La matematica diverte i bambini perché è un gioco e perchè si possono scoprire un
sacco di cose. I numeri posti in un "campo" con determinate regole fanno un gioco
"proprio come noi" dicono i bambini. E con le figure? "Con le figure si fanno tante
cose: l’aereo per volare, la casa con il sole ..."
Ecco, così abbiamo cominciato in prima elementare per poi arrivare in classe
quinta con una certa grinta nel fare i giochi con i numeri "senza lasciarci imbrogliare da loro quando fanno i furbacchioni, lo zero ad esempio è un furbo, cerca sempre di imbrogliarti". Lo scopo dell’insegnamento della matematica, nella mia esperienza didattica, è sempre stato quello di:
- partendo dall’esperienza concreta degli alunni, portarli a sviluppare gradualmente strutture mentali in modo da potersi misurare senza paura con aspetti
matematici sempre più complessi
- impadronirsi e saper usare correntemente i termini specifici della disciplina, in
modo da comunicare in forma univoca ad altri ciò che si fa
- intuire e organizzare in modo operativo i concetti che sottendono un determinato lavoro.
* Scuola Elementare "San Giusto Martire", Via Trissino 12, I-34100 Trieste.
97
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Il nostro è stato sempre un laboratorio del fare, fare per capire, fare per vederne i risultati anche dal punto di vista estetico. Abbiamo preso come base di partenza la geometria di Euclide e poi ci siamo divertiti a ribaltare, traslare, comporre,
scomporre per poi nuovamente ritornare alla figura originale. Solidi e figure piane
ad un certo punto non erano altro che oggetti per giocare e scoprire cose nuove,
divertenti ma anche molto belle da vedere. I bambini hanno imparato a districarsi
con i triangoli, partendo dai triangoli rettangoli, diminuendo o aumentando quell’angolo "perfetto" (così lo hanno chiamato i bambini), osservando (in palestra con le
corde) il variare dei lati al variare degli angoli e rimpicciolendo l’angolo fino ad arrivare a zero (sul piano cartesiano) quando il triangolo si annulla e diventa un segmento.
Frutto di questa metodologia, spesso con percorsi scelti dal bambino, è stato il
rispetto del ritmo di apprendimento di ognuno, il libero sfogo alla creatività nell’osservazione di regolarità, di misure, di superfici ed angoli come, ad esempio, nel
lavoro di tassellazione, sia come dissezione di una figura piana, sia come mosaico
realizzato con tessere di vario formato che vanno a saturare il piano (v. fig.1).
Figura 1
IL PROGETTO
Alla luce di questo modo di operare in campo matematico, ci siamo presentati
alla manifestazione "La matematica dei ragazzi" con la proposta: "Dai triangoli ai
frattali".
L’esigenza è stata quella di far partecipare tutti gli alunni rispettando le loro effettive capacità individuali. Gli alunni di quinta hanno interagito fra loro con molto
98
PARTE SECONDA
rispetto, aiutandosi reciprocamente e dimostrando molta tranquillità d’animo anche
nei momenti più difficili da gestire. La metodologia di conduzione adottata è stata in
gran parte incentrata sulle esercitazioni di gruppo. I bambini, organizzati a squadre
di quattro, hanno progettato la parte a loro più congeniale, con momenti di raccordo a livello di intergruppo. Hanno prodotto, sulla base di consegne di lavoro ben
precise, una considerevole mole di esercizi da proporre ai compagni di altre classi.
Hanno tenuto conto di tre fasce di livello scolastico: primo ciclo elementare, secondo ciclo elementare, scuola media. Più volte hanno dovuto documentarsi, provare
e riprovare gli esercizi, per acquisire una certa sicurezza a livello manipolativo, ma
anche per tranquillità interiore. Gli alunni non dovevano dare "dimostrazioni" del
perché degli eventi, ma comunque la "dimostrazione" scaturiva dagli stessi esercizi. Usavano infatti una procedura che li portava a fare verifiche. Il fatto che la
somma degli angoli interni di un triangolo sia uguale a due angoli retti è un concetto che va al di là del concetto di triangolo, ma i bambini questo non lo sanno.
In quarta elementare, l’anno scorso, ci è capitato di conoscere il testo "Triangoli" dell’Editoriale Scienza di Catherine Sherdrick Ross. Il libro a prima vista non
sembrava essere molto impegnativo, molte cose le conoscevamo già. Perché non
provare a realizzare alcune proposte ? Abbiamo iniziato con i "triangoli affascinanti" e poi, via via, fino ai frattali.
ATTUAZIONE DEL PROGETTO
Quando in classe feci la proposta di partecipare al Convegno di matematica i
bambini risposero con entusiasmo (l’esperienza era già stata fatta in terza classe)
e quando abbiamo cominciato a "organizzare il nostro sapere" abbiamo scoperto
che i triangoli sarebbero stati i degni protagonisti.
Si sono formati spontaneamente cinque gruppi eterogenei di quattro alunni.
Ogni gruppo ha scelto il suo laboratorio organizzando gli esercizi per fasce di età.
Il laboratorio comprendeva 5 postazioni, come descritto in figura 2. In ognuna di
esse il gruppo di 4 alunni della classe quinta C spiegava e faceva costruire agli
ospiti gli esercizi preparati.
99
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Figura 2
Il primo gruppo presentava gli esercizi con il Tangram perché è una vecchia
conoscenza e come primo impatto può andare bene; poi, le corde con i nodi, che
dovevano indirizzare gli alunni alla storia del triangolo rettangolo; gli stecchini, utili
per costruire triangoli equilateri e con essi triangoli sempre più grandi; infine, le piegature e i tagli laterali, che davano vita ad un abete tridimensionale.
Il secondo gruppo aveva preparato strisce di diverse lunghezze con un foro alle
estremità. I visitatori dovevano costruire triangoli con le strisce e i fermacampioni,
ma, se sbagliavano la scelta delle strisce, il triangolo non si chiudeva. Con le strisce di lunghezza uguale venivano realizzati gli esagoni. Con i quadrati piegati più
volte sulle diagonali si ottenevano alcuni triangoli. Quanti? Bastava scoprirlo. E se
proprio non si riusciva a vederli, si passava dai compagni che li ritagliavano e li
facevano incollare sulla base quadrata di partenza.
Il terzo gruppo aveva preparato cose serie e meno serie: aeroplani di carta e
cigni con le piegature Origami, costruzione di triangoli equilateri con riga e compasso, e, con la squadra, tracciare le altezze a una serie di figure triangolari.
Passando al quarto gruppo i visitatori scoprivano che la somma degli angoli interni di
un triangolo è uguale ad un angolo piatto (v. fig.3). Potevano anche ripetere molte volte
l’algoritmo per dimezzare gli angoli, fino a scoprire che "poi, non era tanto difficile".
100
PARTE SECONDA
Figura 3
Il quinto gruppo era apparso fin dal primo momento molto impegnato perché
convinto che il "triangolo di Pascal" fosse una novità assoluta. Inoltre in questa
postazione si giocava con i numeri triangolari: disegnato il campo di gioco, i due
giocatori tracciavano un segmento a testa, a piacere, unendo due punti . Ogni giocatore doveva cercare di completare un triangolo. Chi ci riusciva, vi scriveva dentro il suo nome. L’altro gioco consisteva nel "capovolgere il triangolo" spostando
solo due punti. Quali?
Il primo gruppo della prima postazione chiudeva il percorso facendo costruire un
“frattale” (v. fig.4). I visitatori a quel punto avrebbero dovuto sapere tutto sui triangoli,
almeno quel "tutto" della quinta C, e quindi era giusto che scoprissero il meraviglioso
mondo dei frattali che, con poche regole, permettono di costruire immensi mondi.
Figura 4
101
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
"Il matematico, non solo studia le leggi della natura, ma anche quando studia
quelle della matematica considerata come scienza a sè non ha l’impressione di
creare qualche nuova combinazione, come un mosaicista il quale a suo piacere,
per soddisfare il suo gusto, alterna pietre di vari colori; ma un mondo imprevisto,
forme nuove, gli si offrono di mano in mano innanzi nel progredire delle sue ricerche, come a un viaggiatore in paesi sconosciuti che scopre nuove piante e nuovi
animali" (in R. Vacca, 1989).
OSSERVAZIONI E RISULTATI
Il laboratorio "Dai triangoli ai frattali" ha coinvolto 20 alunni di quinta classe elementare che hanno ospitato nelle due mattine di giovedì 26 marzo e venerdì 27 marzo:
- 4 classi di I media
- 3 classi di II media
- 1 classe di III media
- 2 classi di IV elementare
- 2 classi di III elementare
- 2 classi di II elementare
- un gruppo di studenti del Liceo sperimentale di Sacile
- un gruppo di studenti universitari
- un gruppo di insegnanti francesi
Pur con un numero così elevato di ospiti, in un tempo breve rispetto alla mole di
lavoro, i bambini hanno risposto sempre con tranquillità e pazienza.
Le cose non sono proprio andate come nel progetto. Con una classe ogni venti
minuti era pressoché impossibile far fare tutto il percorso com’era strutturato.
Tenendo presente che gli alunni per classe erano in media una ventina, risulta evidente che ogni studente poteva sfruttare al massimo tre postazioni. Così abbiamo
pensato di accogliere tutti, suddividendoli a gruppetti in ogni postazione.
Poichè non c’era tempo per i preamboli, è stata data solamente una spiegazione sommaria agli insegnanti.
Molte classi del primo ciclo hanno dimostrato un notevole interesse e, fortemente motivate, non volevano uscire all’ora stabilita.
Dalle osservazioni fatte dagli insegnanti accompagnatori, si è potuto dedurre
che l’esperienza di laboratorio, dove i ragazzi si sono confrontati fra loro, è stata più
102
PARTE SECONDA
che positiva. Alunni che in classe presentano difficoltà di attenzione, di manipolazione e di comunicazione, in laboratorio hanno partecipato a tutte le attività con
entusiasmo; anche se l’esercizio proposto pretendeva una certa abilità, con tenacia hanno voluto portarlo a termine. L’esempio più significativo è stato dato da un
bambino di seconda elementare che, "non avendo mai piegato neppure il foglio del
quaderno", come riferito dalla sua insegnante, ha voluto costruire il cigno con la
carta piegata e, riuscendovi, non ha più voluto smettere.
I ragazzi si sono trovati a loro agio e hanno scambiato le loro esperienze matematiche, felici di poterlo fare senza l’intervento dell’insegnante. Hanno scoperto di
avere capacità che non sospettavano, di comprendere e realizzare in collaborazione e non in competizione.
La difficoltà degli insegnanti è stata quella del non intervento. Molte volte infatti
la tentazione di intervenire era grande, ma si osservava che l’atteggiamento dei
ragazzi cambiava immediatamente all’avvicinarsi dell’adulto.
Ai ragazzi della V C va tutta la mia stima per aver saputo condurre la ricerca con
molta collaborazione, per aver preso iniziative con impegno e responsabilità personale, per aver curato gli aspetti organizzativi senza alcuna forma di premiazione,
per aver dimostrato interesse a comprendere prima per saper spiegare poi, per
aver adattato il materiale agli obiettivi prefissati e soprattutto per il grande entusiasmo con cui hanno affrontato questo grande impegno.
Allego, infine, in appendice una relazione preparata da una mia allieva.
BIBLIOGRAFIA
D'AMORE B. 1986, Gioco e Matematica, Cappelli Editore, Bologna, pp. 152
SHELDRICK ROSS C. 1996, Triangoli in Matematica, Scienza, Natura, Editoriale
Scienza, Trieste, pp. 64
VACCA R. 1989, Anche Tu Matematico, Garzanti, Milano, pp. 180
103
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
APPENDICE
RELAZIONE
DI
OTTAVIA*
PRIMA PARTE: IL PROGETTO
Il mio gruppo è composto da quattro persone, Susanna, Jennifer, Leonardo e
me. Il nostro obiettivo è classificare i triangoli in base ai lati. Il materiale occorrente
è carta, compasso, stuzzicadenti, colla.
Due mesi prima del convegno ci siamo organizzati insieme alla maestra. Ognuno prepara un cartellone. Una laureata in matematica che è venuta ad imparare ad
insegnare si è interessata all’organizzazione per gruppi e del lavoro nelle sua totalità. Si è entusiasmata tanto, che ad un certo punto si è messa ad aiutarci e non
solo, è stata anche più tempo con noi.
Ognuno è felice del proprio lavoro, e anche di come è organizzato. Mi trovo bene
con questo gruppo, e sono anche molto contenta del mio lavoro. Tutti sono molto
emozionati e non vedono l’ora di andare al convegno presso la scuola Codermaz.
SECONDA PARTE: LA REALIZZAZIONE
Ognuno è seduto alla propria postazione, e spiega con pazienza il proprio lavoro, i ragazzi interessati ascoltano senza protestare. È molto divertente spiegare a
classi di tutte le età. Quando mi accorgevo che trovare l’area dei triangoli era difficile o noioso, facevo creare cigni di carta e anche aeroplanini sempre piegando il
foglio in triangoli, questo era il nostro tema!
Qualche bambino ha avuto qualche difficoltà. Un bambino di II elementare, non
riusciva nonostante le mie spiegazioni a piegare il foglietto in modo da costruire il
* Classe VC, Scuola Elementare "F.Dardi" di Trieste.
104
PARTE SECONDA
cigno: dopo molti tentativi ci è riuscito, e dopo non la smetteva di creare cigni per
sé e per i suoi compagni.
Qualche inconveniente c’è stato, ad esempio la mancanza di carta bianca e
colorata e altre cose del genere.
TERZA PARTE: IMPRESSIONI
Certe volte il mio gruppo, compresa me, era preso dalla stanchezza. Però non
pensavo mai di divertirmi così tanto!
105
PARTE SECONDA
DA DOVE PROVENIAMO?
(Spunti per l’utilizzo di rappresentazioni grafiche)
PIERA PISTIS*
INTRODUZIONE
Una delle finalità educative della scuola media è quella di formare i ragazzi alla
conoscenza e all'accettazione delle diverse realtà culturali ed etniche che sono presenti nella società. Essa acquista un particolare significato in una città come Trieste, da sempre punto di incontro di genti provenienti da paesi diversi, con cultura,
costumi e religioni proprie. Una caratteristica destinata ad accentuarsi in questa
area di confine con il progressivo allargamento dell'Unione Europea, ed una tendenza ormai generale in Italia. Questa finalità educativa trova una ulteriore motivazione nelle classi che attuano la sperimentazione con l'insegnamento di due lingue
straniere (Inglese e Tedesco), e diventa quindi obiettivo trasversale per i docenti,
che possono fondere insieme finalità generali e obiettivi didattici specifici.
In tale contesto la matematica può diventare uno strumento di analisi e trovare
applicazione ai fini della conoscenza e della rappresentazione di realtà specifiche,
individuando elementi di collegamento con altre discipline, come la storia, l'italiano,
la lingua straniera, che possono consentire l'approfondimento e l'ampliamento dell'analisi.
Proprio per questo ho previsto nel piano di lavoro della mia classe un'indagine
sulla provenienza delle famiglie dei miei alunni, scegliendola come campione sul
quale utilizzare strumenti di indagine statistica e di rappresentazione grafica, applicando contenuti matematici specifici che fanno parte della programmazione curricolare.
* Scuola Media "G. Corsi" di Trieste, Via S.Anastasio 15, I-34100 Trieste.
107
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
IL LAVORO IN CLASSE
Operando con una prima media, cioè con ragazzi che non possiedono ancora la
conoscenza approfondita di strumenti di rappresentazione grafica, ho scelto fin dall'inizio di utilizzare il metodo dei grafi, poiché non necessita di particolari conoscenze in
ambito aritmetico o del calcolo, ma permette di esprimere relazioni che possono essere comprese in modo globale con la semplice osservazione. In particolare il lavoro è
consistito nel raccogliere le informazioni sui luoghi di provenienza degli alunni, dei loro
genitori, dei loro nonni e si è scelto, per ogni famiglia, il luogo di provenienza più lontano. Su una carta geografica opportunamente scelta, si è unita poi la città di residenza con ciascuno dei luoghi selezionati, in modo da avere una freccia per ogni famiglia.
Il grafo permette di avere immediatamente una visione della situazione del
"gruppo classe" e di individuare le "regioni" dominanti. La zona nella quale è maggiore la concentrazione delle frecce, è quella che in misura maggiore ha determinato nel tempo di più generazioni il luogo di provenienza più lontano e più frequente, tra le famiglie prese in considerazione. Ciò offre lo spunto per riflettere, per individuare ed analizzare quei fenomeni che possono aver determinato gli spostamenti delle popolazioni, qualora i dati evidenziassero in maniera più diffusa la presenza
di uno o più paesi di provenienza.
Il grafo relativo alla IC ha interessato una zona geografica che si estende dal
bacino del Mediterraneo fino al nord Europa, ma la maggior concentrazione delle
frecce corrisponde alle regioni del sud d'Italia ed alle regioni dell'Istria e della Dalmazia. Non è difficile collegare questi risultati ai fenomeni di migrazioni delle popolazioni del sud o all'esodo del secondo dopoguerra. Queste potrebbero essere le
premesse per una ulteriore ricerca interdisciplinare. Infatti la stessa classe due anni
dopo ha realizzato un ipertesto contenente non solo l'indagine statistica ma anche
ricerche e testimonianze sulla storia delle diverse regioni di provenienza.
Analizziamo più in particolare gli strumenti matematici che sono stati utilizzati e
le eventuali ulteriori applicazioni operate con la classe.
Il metodo del grafo è stato applicato anche allo studio della "provenienza" dei
ragazzi dai diversi rioni della città rispetto alla sede della loro scuola, utilizzando
semplici cartine turistiche già pronte; nel nostro caso ha permesso di evidenziare
come la popolazione scolastica sia distribuita su quasi tutta la città senza zone di
particolare concentrazione, a parte quella più vicina alla scuola che è comunque
presente in parte non molto rilevante.
108
PARTE SECONDA
Gli strumenti per la rilevazione dei dati hanno poi fornito l'opportunità di evidenziare e descrivere altre proprietà o relazioni. Se infatti si costruisce un grafo ad
albero che collega un individuo con i suoi genitori, passando dalla generazione
attuale a quelle precedenti si mette in evidenza come il numero di individui coinvolti,
di generazione in generazione, varia secondo le potenze di 2. Viene spontaneo collegare questa situazione con quella riferita alla riproduzione delle cellule, dei batteri e dei microrganismi in genere.
Strutturando opportunamente la scheda per raccogliere le informazioni (uno
stesso quadrato per ogni individuo) relative ai luoghi di provenienza (figli, genitori,
nonni), si possono ottenere delle colonnine che, ritagliate e collocate su un sistema
di riferimento cartesiano, danno origine alla curva esponenziale. Ciò permette di
materializzare con una rappresentazione una funzione matematica che varia
secondo le potenze di 2.
I dati rilevati sono stati utilizzati per analizzare la relazione R: "...proviene dallo
stesso luogo di..." rappresentandola con una tabella cartesiana; ciò ha permesso di
evidenziare graficamente le sue proprietà (riflessiva, simmetrica, transitiva) e di
individuare classi di equivalenza i cui elementi sono le famiglie che provengono
dallo stesso luogo. Il tutto è stato poi rappresentato anche con i diagrammi di Venn.
Ulteriore spunto di verifica e di riflessione si è avuto dividendo la classe in sottoinsiemi, corrispondenti a gruppi di lavoro, ed analizzando su di essi la relazione
"... proviene da ..."; è stato interessante constatare che in alcuni casi la corrispondenza tra l'insieme delle famiglie considerate e l'insieme dei luoghi di provenienza
ad esse relativi aveva la caratteristica di biunivocità e quindi si è avuta l'opportunità
di classificare le diverse corrispondenze in univoche, biunivoche ecc.
Tutto ciò è stato sperimentato dalla classe facendo uso anche del libro di testo
in adozione (L'Aritmetica, di Luisa Briscione, ed. Quadrifoglio); il volume introduce
allo studio dell'aritmetica con unità didattiche che utilizzano proposizioni logiche e i
connettivi logici per comprendere e descrivere gli insiemi, le relazioni e le corrispondenze tra insiemi. Si può quindi comprendere come il lavoro sia stato utile strumento per una verifica operativa di contenuti del linguaggio matematico rielaborati
anche a livello teorico e per comprendere in modo più consapevole la formalizzazione di relazioni e proprietà matematiche.
109
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
L'ORGANIZZAZIONE DELLA PRESENTAZIONE DEL LAVORO
ALLA MANIFESTAZIONE "LA MATEMATICA DEI RAGAZZI"
Un altro momento interessante del lavoro ha riguardato l'organizzazione del
convegno, poiché i ragazzi hanno dovuto affrontare il problema di come descrivere
e spiegare ad adulti e studenti la propria attività.
Il problema di differenziare sia il linguaggio che gli strumenti da utilizzare per
descrivere il lavoro a ragazzi di diverso livello scolare, soprattutto se di scuola elementare, o ad adulti, ha stimolato una ulteriore riflessione sulla scelta di mezzi di
comunicazione adatti alle diverse situazioni; ciò ha portato ad individuare e costruire semplici strumenti.
Così un abaco è stato trasformato in un "istogramma mobile", nel quale, con
spostamenti rapidi, i dati, disaggregati su diverse regioni o stati di provenienza, possono essere raccolti su due uniche colonne per visualizzare, ad esempio, il rapporto fra quanti provengono dall'Italia o da paesi stranieri, dal Friuli-Venezia Giulia o da
altre regioni e così via, utilizzando, per l'insieme dei luoghi di provenienza, partizioni via via diverse a seconda delle caratteristiche che si vogliono evidenziare; l'istogramma si modifica divenendo così un oggetto animato dal quale i ragazzi, soprattutto i più piccoli, si fanno coinvolgere divenendo protagonisti.
Un'altra applicazione è stata fatta utilizzando delle tavole forate ("piolpiani") prelevate da giochi dei ragazzi, che sono state utilizzate per costruire tabelle cartesiane sulle quali studiare e evidenziare le caratteristiche delle corrispondenze tra l'insieme dei ragazzi e l'insieme dei luoghi di provenienza.
Utilizzando fogli spessi di polistirolo è stata costruita una base su cui inserire
delle bandierine, cioè gli elementi di un insieme; su ogni bandierina, la cui asta è
rappresentata da un bastoncino di legno acuminato (basta uno stuzzicadente), si
scrive il nome della famiglia o il nome del luogo di provenienza. La relazione R può
essere evidenziata unendo con l'elastico ciascun elemento del primo insieme con il
corrispondente elemento del secondo insieme. Spostando opportunamente le bandierine del secondo insieme si può mettere ordine nella corrispondenza degli elementi evidenziandone facilmente l'eventuale proprietà di biunivocità. Anche in questo caso è immediato il coinvolgimento dei ragazzi che intravedono la possibilità di
giocare applicando la matematica.
Questa applicazione è nata spontaneamente dalla fantasia e collaborazione tra
l'insegnante e gli alunni nel corso della preparazione del convegno, e questo artifi110
PARTE SECONDA
cio successivamente è stato da me ritrovato casualmente su di un testo di educazione linguistica e logico-matematica della collana APRI; qui, a pag.161, viene
riportata con il nome di "lavagna relazionale". Non c'è da sorprendersi, anzi si rafforzano le nostre convinzioni didattico-pedagogiche quando a distanza e per vie diverse si hanno le stesse intuizioni e si perviene a risultati simili.
La creatività dei ragazzi e la guida dell'insegnante possono trovare poi infinite
altre applicazioni, rendendo lo studio della matematica più divertente e costruttivo.
I modelli costruiti, arricchiti con cartelloni esplicativi, hanno costituito il materiale sul quale i ragazzi hanno impostato le proprie "lezioni" alle classi ospitate, ponendosi come obiettivo quello di far realizzare agli alunni delle altre scuole quanto sperimentato in classe.
I ragazzi hanno potuto esercitare il proprio linguaggio misurandosi con le difficoltà espositive ed imparando ad utilizzare in modo naturale termini specifici consolidandone l'acquisizione.
Il convegno ha rappresentato un momento di apertura e confronto su contenuti
disciplinari che spesso vengono vissuti solo all'interno della classe e ha consentito
ai ragazzi di vivere un'esperienza valida anche dal punto di vista dei rapporti umani
e della socializzazione. Ne è testimonianza un grande cartellone su cui gli ospiti
hanno lasciato un loro messaggio in tante lingue diverse: inglese, francese, tedesco ma anche serbo, croato, russo e spagnolo.
È stata, in conclusione, nella preparazione e nello svolgimento, un'esperienza di
arricchimento personale, e non solo dal punto di vista didattico. Il coinvolgimento e
l'interesse dei ragazzi per questa iniziativa è stato molto attivo. Possiamo parlare di
un vero e proprio entusiasmo per essere stati per una volta protagonisti.
Il lavoro descritto nasce sostanzialmente da anni di esperienza, maturata nella
fase del passaggio dai vecchi ai nuovi programmi, nei quali è stato vivace il dibattito sulla necessità che i contenuti didattici trovassero una loro verifica in situazioni
concrete. Pertanto fa riferimento a riviste e testi scolastici e a progetti di sperimentazione consultati e rielaborati nel corso dell'attività in classe.
BIBLIOGRAFIA
ORE O.1966, I grafi e le loro applicazioni, Zanichelli ed.
AA. VV. 1992, Atti del Convegno "Media e metodi 3: La matematica tra didattica e
cultura", Laboratorio dell'Immaginario Scientifico, Tipografia Moderna ed. Trieste
111
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
SPIRITO G. 1973, Matematica senza numeri, Tascabili Economici Newton
BRISCIONE L. 1996, L'aritmetica, Quadrifoglio ed.
ARPINATI A. e MUSIANI M., Aritmetica, Zanichelli ed.
AA. VV. 1972, School Mathematics Project (ed. originale 1965), Zanichelli Ed.
GUASTI L. 1980, Materiale didattico: proposte operative per la scuola di base, Vol.
II: Educazione linguistica e logico matematica, Ist. di psicopedagogia della
Regione Emilia-Romagna, collana APRI, il MULINO ed.
112
PARTE SECONDA
FIGURE PIANE E CABRI:
ALCUNE PROPRIETÀ DI POLIGONI VISTE AL CALCOLATORE
MARINA ROCCO*
INTRODUZIONE
La scelta di intervenire con due laboratori (vedi anche relazione "Dal piano allo
spazio") è stata dettata quasi esclusivamente da motivi pratici ed organizzativi,
riconducibili in sostanza alla pluralità di ruoli che sostengo nella mia scuola, anche
in rapporto con la manifestazione in oggetto1.
I due laboratori hanno impostazioni piuttosto diverse, non solo in dipendenza
dalle caratteristiche delle classi coinvolte.
In partenza, per rendere più motivati e responsabili i ragazzi, ho tentato di affidare loro parte della fase progettuale. Dopo aver spiegato le finalità della manifestazione e le caratteristiche che aveva assunto nell’edizione precedente, ho chiesto di riflettere sul programma già svolto fin dalla classe I, identificandone gli elementi essenziali e che potevano risultare più interessanti per i visitatori. Da questa
fase doveva risultare che la scelta dei temi dei laboratori andava effettuata non per
l’importanza dei contenuti, ma in base al ruolo degli "strumenti" nella loro trattazione: tabelle, grafici, calcolatore, ...
I ragazzi di III, con una certa maturità, hanno rilevato la difficoltà di prendere decisioni su un programma impostato relativamente da poco (si era a novembre), pur
immaginando l’opportunità di servirsi di calcolatori nelle proprie postazioni alla
mostra. Gli alunni di II invece si sono soffermati su alcuni temi tradizionali, prendendo in considerazione quasi esclusivamente tecniche risolutive di semplici classi di
problemi. I due diversi atteggiamenti non sono riconducibili alla sola differenza di età.
* Scuola Media "Divisione Julia", Viale XX Settembre 26, I-34100 Trieste,
e-mail: [email protected]
1. Oltre che docente, senza alcuna riduzione d’orario sono anche vicaria e coordinatrice di un Progetto Comenius: in relazione alla mostra ciò implicava da un verso “fare gli onori di casa” e dall’altro raccordarne alcuni aspetti con uno scambio tra insegnanti Italia-Francia.
113
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Insegno in un corso sperimentale cui si accede per scelta: essa è da considerarsi più consapevole da parte delle famiglie che non da parte degli alunni, tuttavia questi ultimi non sono all’oscuro delle caratterizzazioni specifiche del corso, che non di
rado vengono loro esposte dagli stessi genitori. Per conseguenza è assai frequente
che il nostro lavoro venga confrontato con quello delle altre classi: ciò spiega il fatto
che i ragazzi di III vedessero l’informatica come elemento caratterizzante della "matematica del corso C", però non spiega la tendenza al tradizionalismo di quelli di II.
Immaginavo di dover guidare le "decisioni progettuali" dei miei alunni per ottenere un lavoro coerente con CABRI, che mi aspettavo più originale con la II e meno
con la III. Era mia intenzione approfondire alcune questioni sui quadrilateri, mentre
per la III pensavo di occuparmi della rappresentazione di parallelepipedi e di loro
sviluppi piani. Le previsioni sono state modificate dalla ricchezza di iniziative dei
ragazzi più grandi, tanto che, alla fine, a stento il titolo previsto per il loro laboratorio restava adeguato.
Le classi hanno affrontato anche questa esperienza come ogni altra situazione,
chi con maggior responsabilità e chi meno, chi sobbarcandosi anche il lavoro dei
compagni di gruppo (mediamente i diversi compiti erano stati affidati a gruppetti di
3 ragazzi) e chi disperdendo le risorse proprie e degli altri, chi assumendo progressivamente un ruolo di coordinamento generale e chi restando inconsapevole...
Forse gli atteggiamenti negativi sono stati di maggior peso in II; erano comunque in
entrambe le classi del tutto in preventivo. Ritengo che il loro effetto si possa annullare esclusivamente limitando l’accesso a questa esperienza solo agli alunni più
affidabili: un prezzo per me assolutamente inaccettabile.
La formazione dei gruppi in fase preparatoria è stata fatta ponendo attenzione
alla produttività e quindi alle attitudini di ognuno. Per l’individuazione dei gruppi
nelle diverse postazioni, invece, ho considerato le necessità di ordine psicologico,
più che la "paternità" dei contributi ai materiali presentati. Ho istituito sempre gruppi tra loro equivalenti (non "gruppi di bravi" e "gruppi modesti"); un aiuto ai più deboli veniva dalla presenza di un compagno più disinvolto e capace nel gruppo. Per evitare che questa presenza annullasse le potenziali ricadute dell’esperienza sull’apprendimento, ho enfatizzato la possibilità di sostituzioni di assenti e soprattutto la
necessità di darsi il turno davanti ai visitatori, in modo che non vi fosse passività
("Tanto dirà tutto Pierino").
Le ore settimanali dedicate alla preparazione del lavoro sono andate via via
addensandosi. Vi sono state comunque lezioni di raccordo, riflessione, approfondi114
PARTE SECONDA
mento, che avevano anche lo scopo di rendere tutti partecipi di tutto, indipendentemente dai materiali di cui specificatamente si occupavano.
Salvo pochi casi, si sono rilevate ricadute comportamentali soprattutto sul piano
dei rapporti interpersonali: ad esempio spontaneamente alcuni ragazzi hanno
assunto il tutoraggio dei compagni meno abili. È più difficile misurare la ricaduta sul
piano cognitivo, mancandomi una classe di controllo (secondo alcuni dei miei alunni "come ogni anno la prof. Rocco ha organizzato una mostra di matematica": benchè ciò sia falso, è una testimonianza del mio stile di insegnamento). Tuttavia esercitazioni scritte su argomenti di geometria diversi da quelli preparati per "la matematica dei ragazzi" hanno mostrato miglioramenti nella fascia bassa delle classi,
presumibilmente imputabili ad una più attenta considerazione delle relazioni tra gli
elementi delle figure in esame.
IL PERCORSO DIDATTICO
Nell’ipotesi originaria di lavoro immaginavo una scaletta di questo tipo:
1. presentazione di CABRI,
2. costruzioni di base, per esemplificare il funzionamento di CABRI,
3. costruzioni di parallelogrammi in base a proprietà preventivamente scelte:
• diagonali che si dimezzano (parallelogrammi generici; caso particolare: rettangolo),
• diagonali uguali che si dimezzano (rettangoli; caso particolare: quadrato),
• diagonali perpendicolari che si dimezzano (rombi; caso particolare: quadrato),
• lati opposti uguali (parallelogrammi generici; caso particolare: rettangolo),
• lati tutti uguali (rombi; caso particolare: quadrato),
4. costruzione di altri quadrilateri date le lunghezze dei lati (quadrilateri articolati),
5. costruzione di poligoni regolari, dato il raggio della circonferenza circoscritta (poligoni
con 3, 4, 5 lati e derivati per raddoppi successivi del numero di lati di uno dei precedenti).
I primi due punti corrispondono al progetto di informatica del corso2 mentre i
punti 3 e 4 vengono usualmente trattati seguendo il libro di testo3. L’ultimo punto
rientra nel curriculum di Educazione Tecnica.
2. Sperimentazione integrata attivata nel 1990: due lingue straniere (con autorizzazione ministeriale) + informatica come strumento nelle didattiche disciplinari (assegnazione dell’Operatore Tecnologico
da parte del Provveditorato) Vedi ROCCO M., 1996.
3. Vedi RINALDI CARINI R., 1992.
115
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
In sostanza prevedevo di impostare il lavoro come segue:
- creazione di un quaderno della classe, soprattutto relativamente ai punti 1 e 2,
- trasposizione dei modelli con cannucce in costruzioni per CABRI, per i punti 3 e 4,
- traduzione delle procedure con riga e compasso in procedure per CABRI, per
il punto 5.
Fin dall’inizio (dicembre 1997) il lavoro è stato condizionato dalle differenze tra i
diversi ragazzi della classe, sia sul piano delle conoscenze che su quello comportamentale. Per conseguenza, con i più deboli è stato necessario un recupero relativamente alle proprietà osservabili con i modelli con cannucce (fase già sviluppata
nel periodo sett.-nov. 1997): per dare un ruolo a tutti, le cannucce dovevano entrare tra le attività nel laboratorio4. A questo punto si sono generate altre modifiche alla
scaletta originale, includendo costruzioni con riga e compasso (per i "bravi esecutori", bravi in Ed. Tecnica ma meno in matematica) e l’uso di un altro sussidio didattico (il simmetroscopio5), per l’avvio dello studio delle simmetrie assiali e delle altre
isometrie ottenibili come composizione di simmetrie assiali.
Alla fine il laboratorio risultava articolato in 6 postazioni successive, rispettivamente dedicate a:
a) costruzioni di base con riga e compasso (bisettrice, asse di un segmento,
parallela ad una retta passante per un punto interno od esterno ...),
b) proprietà sfruttate nelle costruzioni con riga e compasso di alcune figure,
c) proprietà dei parallelogrammi evidenziabili come invarianti nei modelli con
cannucce,
d) le stesse famiglie di parallelogrammi (e le stesse proprietà) viste con CABRI,
e) le simmetrie assiali e le altre isometrie come composizione di simmetrie
assiali, con riga e compasso e col simmetroscopio,
f) le isometrie con CABRI.
Lo studio delle proprietà dei parallelogrammi rispetto a simmetrie (assiali o centrali) e rotazioni fatto in c) colma lo stacco apparente tra le ultime due postazioni e le
precedenti.
Le 6 postazioni riassumono l’itinerario didattico che ho proposto alla classe;
esso va sviluppato con le cautele illustrate nella seguente descrizione.
4. Dove il difetto era nell’atteggiamento, praticamente non è stato corretto. In buona parte questo
insuccesso va imputato ad interruzioni dei lavori (dalle vacanze di Natale, settimana bianca, ... ma anche
più quotidiane in quanto legate al mio ruolo di vicaria).
5. Vedi GIORGOLO, 1990, 1992 e ZUCCHERI, 1992a, 1992b, 1993, 1995.
116
PARTE SECONDA
IL QUADERNO DELLE COSTRUZIONI GEOMETRICHE
Da quando le classi lavorano con CABRI, tutte le costruzioni geometriche prevedono una versione con riga e compasso, accompagnata dalle relative istruzioni
e dalla procedura per CABRI.
Una pagina standard del quaderno delle costruzioni geometriche di ogni alunno
è divisa in tre colonne (più avanti si trova una trascrizione esemplificativa):
I. Disegno con riga e compasso (se questo è fatto bene e la costruzione con
CABRI è corretta, la stampa di quest’ultima è quasi indistinguibile dal disegno a
mano);
II. Istruzioni per riga e compasso (devono mettere l’esecutore in grado di raggiungere lo scopo; devono rispettare le convenzioni ordinarie sui simboli ma
anche quelle interne sulla sintassi delle istruzioni, in correlazione ad altre attività
del progetto di informatica);
III. Procedura per CABRI (deve consentire la riproduzione della costruzione
anche a chi conosce poco il software, e perfino poca matematica!).
TRASPOSIZIONE DEI MODELLI CON CANNUCCE
IN COSTRUZIONI PER CABRI
Occorre tener presente che nello svolgimento di questo compito gli alunni devono spostare l’attenzione dalle grandezze di misura costante, rappresentate dalle
cannucce, a certe relazioni (varianti ed invarianti) tra diversi elementi della figura e
rendere espliciti luoghi geometrici non visibili con i modelli.
Si consideri l’esempio del modello delle famiglie dei parallelogrammi identificato dai ragazzi col titolo "DA PARALLELOGRAMMA A ROMBO" e di cui più avanti si
riporta la descrizione di un’alunna. L’intento del libro di testo, [RINALDI CARINI R.,
Matematica (testo per la scuola media), Zanichelli, 1992], è un’introduzione delle
affinità come traformazioni che mantengono il parallelismo (peraltro in una situazione particolare) oltre all’evidenziazione della proprietà dei parallelogrammi di
avere le diagonali che si dimezzano a vicenda, il tutto senza traccia di dimostrazioni sulle relazioni tra gli elementi delle figure generate, ma solo attraverso l’osservazione dei risultati delle manipolazioni dei modelli.
117
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
In questa esperienza occorre unire due cannucce di misura diversa trapassandole nei punti medi; i quattro estremi sono invece collegati da un filo elastico. Non
sono trascurabili alcuni accorgimenti nella realizzazione del modello, che (se
costruito in modo ideale) mostra una famiglia di parallelogrammi tra i quali ricercare casi particolari (posizioni per ottenere un rombo, o massima/minima ampiezza
degli angoli, massima/minima lunghezza dei lati, massima/minima area). Nella
famiglia generata dal modello sono invarianti le proprietà dei parallelogrammi ma
non le misure, tranne le lunghezze delle diagonali rappresentate dalle canucce.
Quest’ultima caratteristica del modello è una sua proprietà costruttiva e non geometrica: tuttavia nel testo [RINALDI CARINI R., 1992] non vi sono cenni espliciti che
instradino gli alunni alla corretta considerazione della variabilità della lunghezza
delle diagonali, mentre negli esercizi che guidano la ricerca degli invarianti è presente una richiesta che, senza la dovuta cautela, potrebbe a tal proposito generare/consolidare misconcetti.
Una figura con caratteristiche uguali, ma con in più la possibilità di modificare la
lunghezza delle diagonali, si può realizzare con CABRI sfruttando diversi comandi
e quindi coinvolgendo altre proprietà dei parallelogrammi. Ad esempio, volendo
focalizzare l’attenzione sul dimezzamento reciproco delle diagonali, occorre:
• riconoscere il ruolo dell’intersezione delle diagonali;
• riconoscere l’appartenenza delle diagonali a rette passanti per il punto suddetto.
Lo strumento di appoggio nell’esplorazione che costruisce le conoscenze degli
alunni non garantisce l’eliminazione degli errori: è successo che un alunno, nella
comunicazione su un modello in cui le diagonali cambiavano l’inclinazione reciproca, ha dichiarato che esse restavano perpendicolari, benchè ciò fosse in contrasto
con l’evidenza della manipolazione da lui stesso effettuata.
TRADUZIONE DELLE PROCEDURE CON RIGA E COMPASSO
IN PROCEDURE PER CABRI
In molti casi bastava tradurre, secondo lo standard previsto al punto a), le istruzioni del testo di Educazione Tecnica in procedure per CABRI.
118
PARTE SECONDA
PRODUZIONE DA PARTE DEGLI ALUNNI DEI MATERIALI
DA UTILIZZARE NEL LABORATORIO
Gli alunni, singolarmente o in piccoli gruppi, alla fine del lavoro di preparazione,
avevano prodotto come "risposta ad un problema":
- le "pagine del quaderno personale" con le tre colonne previste (vedi esempio
allegato) per la costruzione di:
• asse di un segmento, bisettrice di un angolo, rette perpendicolari (con o
senza condizioni), rette parallele (con o senza condizioni),
• costruzioni di parallelogrammi in base alle seguenti proprietà: diagonali che
si dimezzano, diagonali uguali che si dimezzano, diagonali perpendicolari che
si dimezzano, lati opposti uguali, lati tutti uguali,
• poligoni regolari dato il raggio della circonferenza circoscritta (poligoni con 3,
4, 5 lati e derivati per raddoppi successivi del numero di lati di uno dei precedenti)
- costruzione con CABRI delle stesse figure,
- modelli manipolabili di quadrilateri,
- appunti personali, didascalie per i cartelloni (proprietà delle figure considerate), tracce degli interventi durante la mostra.
Poichè la classe poteva servirsi del laboratorio di informatica per non meno di 3
ore settimanali, gli alunni hanno trascritto molte produzioni "verbali" servendosi di
un Word Processor, sicchè è possibile riportare in allegato alcuni esempi:
ALL1. Una "pagina del quaderno personale".
ALL2. Appunti personali, didascalie per i cartelloni, tracce degli interventi durante la mostra.
ALL3. Estratti dai "diari" sull’esperienza.
BIBLIOGRAFIA
BENAGLIA L., 1994, CABRI e le trasformazioni geometriche, Quaderni di Cabrirrsae
n.4, Loescher
BOIERI P, (a cura di), 1996, Fare geometria con CABRI, Centro Ricerche Didattiche
U.Morin
FERRARI M., BAZZINI L., PESCI A., REGGIANI M., 1988, Le isometrie piane, mostra di
materiale didattico, Prog. CNR-TID, Quaderno n.3
119
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
GIORGOLO B., 1990, Simmetroscopio, Didattica Triestina
GIORGOLO B., 1992, Il simmetroscopio e le sue utizzazioni didattiche, in ATTI DEL
CONVEGNO MEDIA E METODI 3°, Tipografia moderna
PELLEGRINO T.- ZAGABRIO M.G., 1996, Invito alla geometria con CABRI-Géomètre,
IPRSAE del Trentino
RINALDI CARINI R., 1992, Matematica (testo per la scuola media), Zanichelli
ROCCO M., 1996, Un progetto per l'inserimento dell'informatica nelle discipline curricolari della scuola media, in Atti del Convegno DIDAMATICA '96, vol. 2, a cura
di A.Andronico, G.Casadei, G.Sacerdoti, Cesena, CILS
ZUCCHERI L., 1992a, Guida alla mostra laboratorio "Oltre lo specchio", Quaderno
didattico n.14, Dip. di Scienze Matem., Univ.di Trieste
ZUCCHERI L., 1992b, “Oltre lo specchio”, storia e motivazioni di un’esposizione didattica, in ATTI DEL CONVEGNO MEDIA E METODI 3°, Tipografia moderna
ZUCCHERI L., 1993, Presentazione della mostra laboratorio "Oltre lo specchio", in
ATTI DEL CONVEGNO “ALLA SCOPERTA DELLA MATEMATICA, PER UNA
DIDATTICA PIU’ VIVA”, Pitagora Ed.
ZUCCHERI L., 1995, Rapporto tecnico: le schede di lavoro della mostra laboratorio
"Oltre lo specchio", Quaderno didattico n.29, Dip. di Scienze Matem., Univ.di
Trieste
120
PARTE SECONDA
ALLEGATO 1
UNA “PAGINA DEL QUADERNO
TANJA
PERSONALE”
[Nella pagina del quaderno, a destra c’è il disegno eseguito a mano (non riproduci-
bile per il tratto troppo leggero), a sinistra la stampa delle istruzioni che Tanja ha
scritto con un Word Processor.]
PERPENDICOLARE AD UNA RETTA PER UN PUNTO
CHE NON LE APPARTIENE
COSTRUZIONE A MANO
COSTRUZIONE CON CABRI
2. Segno un punto P’
nel semipiano opposto
2. Creazione → punto P’
1. Disegno la retta a e segno
il punto P∉a
3. Disegno la crf con centro P
e passante per P’
1. Creazione → retta r
Creazione → punto P
3. Creazione → crf centro punto
– centro P punto P’
4. Segno le intersezioni della retta
a con la crf con A e B
4. Costruzione → intersezione retta e cfr
Edizione → nomi A e B sulle intersezioni
6. Disegno la crf con centro B
passante per A
6. Creazione → crf centro punto
– centro B punto A
8. Disegno la retta p per C e D
8. Creazione → retta per 2 punti (C e D)
5. Disegno la crf con centro A
passante per B
7. Indico C e D le intersezioni
delle due crf
5. Creazione → crf centro punto
– centro A punto B
7. Costruzione → intersezione delle cfr
Edizione → nomi C e D sulle intersezioni
121
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
APPUNTI
ALLEGATO 2
PERSONALI, DIDASCALIE PER
I CARTELLONI,
TRACCE DEGLI INTERVENTI DURANTE LA MOSTRA
a. DEFINIZIONI E PROPRIETÀ
[Non uso dettare né definizioni (che non sono formulate esplicitamente nel testo
adottato) né elenchi di proprietà. Dunque le seguenti didascalie preparate dai ragazzi per le figure che componevano uno dei cartelloni mostrano forme di acquisizione
di concetti da parte degli alunni. Non è stato possibile identificare gli autori.]
PARALLELOGRAMMA
In ogni parallelogramma:
a) I lati opposti sono uguali.
b) Gli angoli opposti sono uguali.
c) Le diagonali si dividono scambievolmente per metà.
RETTANGOLO
Si dice rettangolo ogni parallelogramma avente 1 angolo retto (di conseguenza
tutti gli altri angoli sono retti) e le diagonali uguali.
ROMBO
Si dice rombo ogni parallelogramma equilatero (avente, cioè, ogni lato uguale),
con le diagonali perpendicolari una all'altra.
b. TRACCE DI INTERVENTI
CANNUCCE
[Lavoro collettivo coordinato da Sara, che trascrive a posteriori la sua introduzione alla postazione sotto forma di relazione.]
Questi modellini che avevamo realizzato con le cannucce servivano a capire che
grazie a certe proprietà di due figure si riesce a trasformare una figura in un'altra.
122
PARTE SECONDA
Ognuno di noi aveva una figura da presentare:
- Arianna e Lucia presentavano e spiegavano (a turno) il modellino che si trasformava dal quadrato ad un rettangolo. Il modellino l'avevano realizzato utilizzando due cannucce della stessa misura, legate al centro con del filo elastico, che fungevano da diagonali e su ogni estremità delle cannucce avevano legato del filo elastico. Si passava
dal quadrato ad una serie di rettangoli sempre più schiacciati. Le proprietà che si conservavano nel passaggio da quadrato a rettangolo con questo modello sono:
• Le diagonali rimangono uguali.
• Ampiezza degli angoli.
• Parallelismo dei lati opposti.
- Sara presentava e spiegava il modellino che si trasformava da quadrato a
rombo, il modellino era stato realizzato con delle cannucce di uguale misura
(che rappresentano i lati) e li si legava con del filo elastico interno. Si passava
dal quadrato ad una serie di rombi sempre più schiacciati fino ad arrivare ad una
retta. Nel passaggio dal quadrato al rombo si conservano:
• La lunghezza dei lati.
• Il parallelismo dei lati.
• La proprietà delle diagonali di dimezzarsi.
• La perpendicolarità delle diagonali.
- Cristina presentava "da rettangolo a parallelogramma".
- Fabio e Alisher presentavano "da rombo a parallelogramma".
DA ROMBO A PARALLELOGRAMMA
(Alisher)
Mentre le cannucce ruotano [intorno al loro punto medio], il filo elastico che collega le loro estremità si allenta sempre più; si passa così dal rombo ad una successione di parallelogrammi sempre più schiacciati. Hai realizzato un modello articolato di un insieme infinito di parallelogrammi a cui appartiene un rombo. Per
questo il modello mette a diretto confronto rombo e parallelogramma.
DA RETTANGOLO A PARALLELOGRAMMA
(Cristina)
Abbiamo utilizzato 4 cannucce [che rappresentano i lati], e collegando i loro
estremi, con un filo elastico che le attraversa abbiamo ottenuto un rettangolo con le
sue relative proprietà.
123
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Se teniamo fisso uno dei listelli e muoviamo gli altri con continuità osserviamo
che si può passare dal rettangolo ad una successione di quadrilateri sempre più
schiacciati.
Da rettangolo a parallelogramma scompaiono gli angoli retti, l'area diminuisce
mentre non cambia la lunghezza dei lati .
Il rettangolo è la figura di area massima e diremo che il rettangolo e i quadrilateri sono figure isoperimetriche.
Nel passaggio dal rettangolo a parallelogramma si conserva: la lunghezza dei
lati, il perimetro della figura, il parallelismo dei lati, la proprietà delle diagonali di
dimezzarsi.
DA PARALLELOGRAMMA A RETTANGOLO
(Francesco)
[Simula al calcolatore l’analogo modello costruito con cannucce]
Il programma di cui ci siamo serviti quest'anno per approfondire e conoscere le
proprietà di alcune figure piane si chiama CABRI.
Il rettangolo è un poligono con 4 lati, è quindi un quadrilatero. I lati sono uguali
a 2 a 2.
Ha 4 angoli di 90°, retti, e ha 2 diagonali uguali che si dimezzano.
Se si sposta il punto A [uno dei vertici] si nota che si forma un insieme infinito di
parallelogrammi: i lati rimangono uguali, e mantengono il loro parallelismo, di conseguenza anche il perimetro non cambia. Le diagonali pur continuando a dimezzarsi, cambiano le loro lunghezze (una diagonale si accorcia, mentre l'altra si allunga).
L'ampiezza degli angoli varia: da retti diventano, a 2 a 2 ottusi e acuti; in questo
modo l'area diminuisce sempre più. Ci sarà quindi una figura di area massima, il rettangolo, e una figura di area minima che si viene a formare sovrapponendo tutti i lati.
SIMMETRIA ASSIALE
(Lakshmi)
[Si occupa delle costruzioni con riga e compasso]
Il nostro gruppo parlava della simmetria assiale, un sistema per trovare il simmetrico di un punto, di una figura...
Componendo due simmetrie assiali si può ottenere la traslazione e la rotazione.
Per applicare la simmetria assiale c'è bisogno di un unico asse che può essere
obliquo, verticale... [intende in posizione qualunque]
124
PARTE SECONDA
Adesso parleremo del metodo di costruzione: incominciamo a parlare della simmetria assiale.
Dopo aver segnato un asse e la figura iniziale, in questo caso un triangolo, chiamiamo i tre punti A B C, dopo segniamo due punti sull'asse , P e P'. Puntando in P
con apertura PA si traccia una circonferenza, la stessa cosa si fa con P' , puntando
in P' con apertura P'A si traccia un' altra circonferenza, l'intersezione di queste due
circonferenze ti dà il punto A', il simmetrico di A. Le stesse operazioni si fanno per
B e C, in questo modo hai trovato B' e C' in simmetrici di B e C, cioé hai trovato il
triangolo simmetrico.
SIMMETRIA ASSIALE
(Mitja)
[Lavora con CABRI]
Durante la mostra di matematica allestita alla scuola M.Codermatz, il mio compito era quello di illustrare la simmetria assiale servendomi del computer.
Basandomi sugli esempi e spiegazioni fatte precedentemente dai miei compagni, mostravo le traslazioni e le rotazioni delle figure spiegando anche, con ricostruzione passo a passo, come erano state realizzate.
Per esempio al computer c'erano due triangoli, posti frontalmente come se uno
fosse riflesso allo specchio, uno rosso e l'altro verde. I visitatori potevano vedere
che spostando un vertice dal primo triangolo anche il corrispondente si muoveva
allo stesso modo.
125
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
ESTRATTI
ALLEGATO 3
DAI “DIARI” SULL’ESPERIENZA
1. “LA MATEMATICA DEI RAGAZZI” PER MICHELA
[Non considererei la relazione di Michela come un allegato, ma una parte significativa di questa mia presentazione. Michela è una ragazza piuttosto riservata (non
è timida: sa ben far valere le sue ragioni, ma da persona equilibrata preferisce glissare sulle questioni non fondamentali); scolasticamente non è brillante, ma riflessiva, e nei rapporti con i compagni è un leader "per competenze" piuttosto che per
altre qualità personali.
Questo lavoro di Michela è stato copiato dal suo dischetto modificando solo la
sua scelta del set e del corpo dei caratteri. Tuttavia va precisato che non è tutto qui
il suo contributo: diversi materiali prodotti per la mostra (presenti o no tra gli allegati) derivano da lei o da alunni con ugual senso di responsabilità e con capacità di
gestire il lavoro dei compagni pari a quello da lei dimostrato.
Se da un verso ho lasciato senza alcuna correzione il testo di Michela, mi sembra peraltro opportuna qualche rapida nota.
Il titolo LA MOSTRA (Michela, come gli altri miei alunni indicano così “La matematica dei ragazzi”) risponde alla richiesta concordata con l’insegnante di lettere di
esporre impressioni anche a livello emotivo. Le "emozioni" di Michela si devono rintracciare tra le righe; in cambio si rileva l’esistenza di un "quaderno delle costruzioni geometriche" che, se non è della classe è tale almeno per un gruppo. Invece IL
DISCORSO non riporta gli interventi suoi o dei compagni di gruppo durante la
mostra ma riassume il ruolo della postazione rispetto al laboratorio: Michela è l’unica che ci ha pensato (non era richiesto!) e le si può ben perdonare l’inesperienza
con cui si esprime.]
LA MOSTRA
Dopo un lungo periodo che siamo stati con le mani in mano ci siamo accorti che
mancavano tre settimane al 26 marzo cioè il giorno previsto per la mostra. Dopo
aver lavorato senza soste per circa 15 giorni, siamo riusciti a preparare il quader126
PARTE SECONDA
no-raccoglitore e 2 maxi cartelloni. Il quaderno contiene il vario materiale di tutte le
figure geometriche: disegni fatti a mano con 3 passaggi, le istruzione per riga e
compasso, figure stampate con Cabri, le istruzioni per Cabri ed infine le loro proprietà. L'ultima parte del quaderno era riservata alle cannucce e alle loro proprietà:
le figure con le cannucce mettevano in evidenza la trasformazione tra figure geometriche, per esempio, il passaggio da rombo a parallelogramma. Il primo cartellone spiegava alcune figure geometriche disegnate con le varie tecniche: la bisettrice di un angolo, le rette perpendicolari, il pentagono [dato il raggio della circonferenza circoscritta] e il quadrato [dato il lato]. Il secondo cartellone illustrava le cannucce allo stesso modo in cui erano sul quaderno. Prima della mostra avevamo stabilito 4 gruppi: il gruppo delle figure geometriche con riga e compasso, le figure con
Cabri, le cannucce ed infine il gruppo delle simmetrie. Avevamo usufruito di 2 computer6 e di un simmetroscopio; la sede di questa mostra era la scuola media statale Mario Codermatz. Il nostro settore della mostra era situato in un largo corridoio
dove alcuni ragazzi della nostra classe, cioè la II C della Divisione Julia, avevano
sistemato il nostro materiale.
La mattina di giovedì 26 marzo ci recammo alla Codermatz circa alle 8:20; dopo
un'ora arrivò il primo gruppo di visitatori: sembrava che non finissero più! Alle 13
circa, dopo aver visto una marea di ragazzi, ci siamo recati al centro commerciale
Il Giulia per pranzare e svagarci un po'. Alle 15 siamo tornati alla scuola per esporre i nostri argomenti a genitori, amici e parenti; fortunatamente il pomeriggio è stato
più tranquillo e meno affollato.
Venerdì 27 ci hanno fatto visita molte classi delle superiori ed ho notato che, con
riga e compasso, non sapevano fare nemmeno una bisettrice di un angolo e delle
rette perpendicolari. Sono rimasta molto delusa e perplessa quando nessuno si
degnava di ascoltarti e, a me personalmente, mi faceva andare in tutte le furie:
adesso capisco come si sentono i professori con i loro alunni! Per noi questa esperienza è stata molto positiva: sia dal punto di vista didattico che dal punto di vista
sociale.
6. Intende quelli disponibili a "La matematica dei ragazzi".
127
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
IL DISCORSO
Durante la mostra mi era stato assegnato il gruppo delle figure geometriche:
dovevo spiegare ai visitatori alcune figure geometriche.
Dovevo parlare delle rette perpendicolari costruite con riga e compasso, con
Cabri e le istruzioni per tutti i vari metodi. Per fare capire meglio ai ragazzi avevamo costruito un cartellone riguardante le figure geometriche: bisettrice di un angolo, rette perpendicolari, , il pentagono [dato il raggio della circonferenza circoscritta] e il quadrato [dato il lato]. Aiutandomi con questo cartellone spiegavo le proprietà
che mantenevano nella trasformazione da riga a compasso a Cabri.
Mi sono soffermata molto su una specifica proprietà: quando su Cabri viene spostata una retta a caso l'altra, in questo caso le rette perpendicolari, rimane perpendicolare alla retta mossa.
Questo discorso vale per tutti i poligoni regolari come il quadrato, il pentagono,
l'esagono ecc. La figura può ruotare nello schermo e le misure dei lati rimangono
uguali. Dopo aver spiegato tutte queste proprietà il gruppo di visitatori proseguivano il giro con i ragazzi .
2. "LA MATEMATICA DEI RAGAZZI" PER JENNIFER
Erano quasi le 8.00. Ero emozionatissima, anche perchè non ero riuscita a prepararmi un discorso riguardante il passaggio al computer, da rettangolo a parallelogramma. Faceva molto freddo; quindi Cris, Laki, Cate ed io decidemmo di entrare dentro la Codermatz. Per cominciare bene la giornata ci facemmo buttar fuori
dalla bidella dall'atrio principale e fummo mandate davanti all'entrata, dove io, sfinita ancora per i precedenti lavori e sacrifici per la mostra, mi sedetti senza alcun
problema sugli scalini non molto puliti di fronte al portone.
Arrivò finalmente il momento di iniziare a lavorare. Salimmo su, al secondo
piano, e assieme a Caterina iniziai a preparare il discorso. Non fu facile, ma dopo
una ventina di tentativi, l'esposizione da rettangolo a parallelogramma fu pronta.
Dopo non molto tempo arrivò la prima classe: elementari!?! Bambini disordinati
si spostavano, in gruppetti di quattro o cinque persone, di banco in banco seguendo più o meno le nostre spiegazioni. Alcuni ascoltavano attentamente, altri che poi
venivano rimproverati da Caterina, non se ne interessavano minimamente. Certi
128
PARTE SECONDA
non sapevano nemmeno cos'erano delle rette parallele, invece altri si definivano dei
geni e le nostre spiegazioni erano, secondo loro, banali.
Insomma il primo giorno è stato veramente stressante, soprattutto perchè era la
prima volta che ci trovavamo nella stessa situazione dei professori, devo ammettere,
dopo questa esperienza, che non è molto piacevole parlare e non essere ascoltati.
Il giorno dopo fu ancora peggio, dopo le medie vennero a farci visita quelli, in
maggioranza femmine, delle magistrali. All'inizio non sapevo in che modo esporre
il mio discorso, siccome finora avevo parlato solo con ragazzi della mia età e quelli più piccoli, ma poi, me la cavai benissimo, anche perchè quei ragazzi erano molto
disponibili e simpatici. Parlai quindi con meno tensione di come avevo discusso con
altre persone durante quei due giorni.
La sera ero sfinita, ma soddisfatta di aver, assieme agli altri miei compagni di
classe, creato una vera e propria mostra sulle figure geometriche piane. È stata
quindi per me, un'esperienza positiva e molto piacevole.
3. "LA MATEMATICA DEI RAGAZZI" PER CATERINA
Sono le 8.30 di sabato 28\3\'98, sono a scuola, e mentre la professoressa sta
scrivendo alla lavagna qualcosa di simile al Teorema di Pitagora, io stanca e stufa
sto pensando ai bellissimi due giorni appena passati... Era da un mese ormai, che
io e la mia classe, stavamo preparando una mostra di matematica riguardante le
figure piane e Cabri (un programma geometrico per computer). Già mercoledì
pomeriggio Jenny, Frate Gotz, Nematceck7 ed io, eravamo andati alla Codermatz
per allestire la mostra, tutto sembrava tranquillo ma il giorno seguente alle 9.00,
quando dovevamo ricevere la prima classe di visitatori...panico!
Jenny ed io, all'ultimo momento abbiamo preparato il discorso per la presentazione Da rettangolo a parallelogramma su Cabri...lo abbiamo imparato subito,
anche perchè, nella mattinata, non abbiamo fatto altro che ripeterlo almeno un
milione di volte!
I bambini erano piccolissimi, tanto che, Jenny ed io siamo state costrette a spiegare perfino il significato di rette parallele!
7. Soprannomi usati tra ragazzi.
129
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Tutto è stato bello, ma come ogni gioco è bello quando dura poco!...Alle 11.00
ero già stufa e poi, il colmo dei colmi è stato quando la professoressa Rocco ci ha
avvisato che avremmo pranzato più tardi del previsto...prima di noi, lo avrebbero
fatto i bambini delle elementari!
Così, a gola asciutta, alle 13.00, 13.30 siamo finalmente andati a mangiare. Il
pomeriggio, dopo la pausa pranzo siamo tornati al lavoro. Dopo aver ripetuto un'altra ventina di volte il passaggio da parallelogramma... liberi!
Venerdì siamo tornati alla Codermatz però abbiamo anche avuto modo di visitare le mostre di altre scuole. Venerdì abbiamo lavorato solo la mattina...era finalmente finito quello stressante incubo!... Ma ora, a pensarci bene, mi manca un po'
la vita senza scuola, la vita del lavoro, la vita da...grande!!!!!!!
130
PARTE SECONDA
NEL MONDO DELLE CALCOLATRICI E DEI CALCOLATORI
GIULIANA CANDUSSIO*
INTRODUZIONE
Le esperienze presentate dai ragazzi ai visitatori del Convegno sono state attuate in una seconda e in una terza media durante l’anno scolastico 1997-98. In
entrambe le classi l’orario settimanale prevede alcune ore aggiuntive di insegna-
mento, una delle quali di informatica. Per completare il lavoro e per la preparazione dei materiali per la presentazione al convegno sono state utilizzate circa altre 20
ore aggiuntive pomeridiane facoltative. L’attività teorica è stata affrontata durante le
ore curricolari da tutti i ragazzi, mentre il lavoro preparatorio per il convegno è stato
ripartito fra alcuni gruppi: 5 ragazzi per la classe terza e 12 per la classe seconda.
Da anni ormai il computer è entrato nella scuola e pochi si pongono il problema
se possa creare situazioni di dipendenza o disturbi nella formazione del complesso
del bagaglio di conoscenze e abilità di base del ragazzo, anzi l’informatizzazione è
ormai, per vari motivi, diventata un obbligo per ogni scuola.
Ciò non succede per le calcolatrici tascabili, che peraltro tutti i ragazzi possiedono e che molto spesso usano furtivamente, così come si usano tutte le cose "vietate". Sembrano essere strumenti "micidiali" apportatori di lentezze mentali, intorpidimento, pigrizia, ecc. Ammesso e non concesso che ciò in una certa misura e in
certi casi possa anche avere un fondo di verità, già da parecchi anni mi sono rifiutata di non far entrare nella scuola uno strumento così diffuso e così largamente
usato nel mondo extrascolastico. Mi sono sempre interessata quindi al suo possibile utilizzo in classe "alla luce del giorno", a quali pro e contro possano dar luogo
e quali potenzialità vengano offerte da un suo uso ragionato: da anni quindi la calcolatrice viene utilizzata e studiata nelle mie classi in alcuni ambiti del percorso curricolare di matematica.
* Scuola Media Statale di Mariano Del Friuli, I-34070 Mariano Del Friuli (GO).
131
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Durante quest’anno scolastico sono stata fortemente stimolata a dare libero
sfogo alle richieste dei ragazzi di portare la cosiddetta "macchinetta" in classe e
proprio l’entusiasmo, l’interesse, l’abilità con cui lavoravano i ragazzi mi hanno
indotta a intraprendere con loro uno studio più approfondito che, con la metodologia della ricerca-azione, ha permesso via via di costruire un percorso condiviso che
da un lato doveva soddisfare tutte le richieste e le curiosità dei ragazzi e dall’altro
doveva rispondere alle esigenze della programmazione del curricolo di matematica.
Provare, fare, pensare, ipotizzare, discutere, argomentare, dimostrare, è stato
un susseguirsi di attività con cui ognuno, nell’ambito delle proprie possibilità e abilità, è riuscito a cimentarsi.
Fin dall’inizio i ragazzi erano al corrente del fatto che la classe avrebbe partecipato al convegno e che quindi le loro "scoperte" sarebbero state poi trasmesse a
compagni di altre scuole, non solo medie, provenienti da varie località della regione. E questo è stato senza dubbio uno stimolo fortissimo alla partecipazione e
all’impegno da parte della maggioranza di loro.
I risultati sono stati decisamente positivi, sia se valutati in termini di conoscenza
di contenuti, sia in termini di grado di "confidenza" con la matematica, di socializzazione, soddisfazione e crescita personale. L’esperienza del raccontare in pubblico mettendosi in gioco in prima persona, permette un’analisi introspettiva che consente di conoscersi meglio, valutare più attentamente le proprie simpatie, tendenze, abilità, interessi anche nei confronti delle discipline coinvolte. Come dimostrato
dalle relazioni in seguito scritte dai ragazzi è stata un’esperienza "forte" che, sia
nelle fasi preparatorie, che in quelle conclusive ha lasciato una traccia indelebile.
I lavori presentati dai ragazzi riguardavano:
- Classe seconda, l’utilizzo della calcolatrice tascabile nello studio di quegli argomenti dell’aritmetica che costituiscono buona parte del programma di matematica di seconda;
- Classe terza, l’utilizzo del computer (foglio elettronico) nell’elaborazione statistica di dati raccolti sul campo dai ragazzi stessi (in uno studio sul clima e sulle
piogge acide);
- Classe terza, l’utilizzo del foglio elettronico nello studio della geometria analitica;
- Classi seconda e terza, alcuni confronti fra calcolatrice e computer, considerazioni su "errori" ed esattezza di calcolo.
132
PARTE SECONDA
CALCOLATRICI TASCABILI
Fase iniziale: libera, ognuno prova, registra sul proprio quaderno ciò che fa in
classe o a casa, confronta i comportamenti e i risultati ottenuti con la propria calcolatrice con quelli dei compagni. Viene ravvisata subito la necessità di una convenzione nell’utilizzare una scrittura e un linguaggio comune di comunicazione.
Si cominciano a evidenziare differenze e analogie di comportamento e si scoprono le prime possibilità di incontrare argomenti e regole matematiche già note,
come ad esempio tabelline e potenze: premendo infatti 2 volte i tasti +, -, x, /, viene
introdotto come costante il valore visualizzato sul visore. Ciò permette di avere
scorciatoie nell’esecuzione di determinati calcoli. Si scopre quindi anche la funzione delle memorie e quindi la possibilità di eseguire le espressioni aritmetiche. Si
evidenziano sempre più le differenze fra le calcolatrici scientifiche e quelle non
scientifiche, tra cui il rispetto delle regole algebriche di calcolo e la possibilità di
usare le parentesi (di solito solo tonde anche per più livelli!).
Vengono quindi affrontati i problemi legati al numero di cifre visibili sul visore: la
scrittura esponenziale, l’ordine di grandezza del numero, l’approssimazione e il
ruolo che questa ha nel calcolo. Si scoprono i numeri negativi e le operazioni con
essi; le radici di numeri relativi, con indice positivo e negativo, o addirittura razionale.
Naturalmente si testa l’utilità della calcolatrice come strumento veloce di calcolo: si provano ad eseguire calcoli più complessi come le divisioni a blocchi per trovare il periodo di certi numeri periodici; l’esecuzione di calcoli ripetitivi, verifiche di
calcoli mentali, ecc.
Sorge anche la curiosità di come è fatta dentro, come funziona e quando è stata
inventata, per cui si apre una calcolatrice, si cercano informazioni sul suo funzionamento e sulla storia delle macchine di calcolo.
È stata altresì interessante l’idea di cimentarsi nell’invenzione di esercizi che,
provati e scambiati durante verifiche in classe con controllo reciproco e valutazione
dei risultati, sarebbero stati proposti ai compagni durante il convegno.
La preparazione della presentazione del lavoro li ha poi introdotti, anche se marginalmente, all’uso del computer soprattutto per l’allestimento dei tabelloni e per la
veste tipografica da dare agli stessi.
La partecipazione, l’interesse, l’impegno e l’entusiasmo che hanno profuso in
questo studio è stato veramente notevole: una vera avventura nel mondo delle cal133
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
colatrici e dei calcolatori e ... nel mondo della matematica. Una esperienza "forte"
che ha indotto anche una partecipazione più attiva e sicura in tutti gli altri contesti
e situazioni scolastiche.
FOGLIO ELETTRONICO E STATISTICA
L'uso del foglio elettronico consente di affrontare in modo sufficientemente
accattivante lo studio della statistica e della geometria analitica. Per quanto riguarda statistica e probabilità, il lavoro presentato dai ragazzi della terza riguardava l’elaborazione di dati raccolti sistematicamente sul campo da loro stessi nell’ambito
dello studio del clima e del fenomeno delle piogge acide (il lavoro era già stato presentato in altre occasioni). Ovviamente nel contesto del convegno è stato messo
l’accento sulle modalità di tabulazione, sul tipo di calcoli effettuati e sulle relative
elaborazioni grafiche che nel complesso consentono di correlare fenomeni e di formulare ipotesi sul fenomeno considerato.
FOGLIO ELETTRONICO E GEOMETRIA ANALITICA
Contemporaneamente allo studio e all’utilizzo in contesti pratici di funzioni empiriche, è stato approfondito lo studio delle funzioni matematiche, partendo da argomentazioni di proporzionalità diretta e inversa in contesti reali, in primo luogo, e successivamente ampliando e generalizzando sono stati sviluppati alcuni argomenti di
geometria analitica riguardanti la retta, l’iperbole, la parabola.
CONFRONTI FRA CALCOLATRICE E COMPUTER
Nella preparazione delle tabelle per la costruzione di iperboli e parabole ci si è
accorti di alcune anomalie di calcolo: nella serie di numeri ottenuti partendo ad
esempio da -4 e utilizzando la formula Ax+0,1 lo zero non compariva e al suo posto
il computer mostrava un numero molto piccolo scritto in notazione esponenziale;
questo cambiava a seconda della lunghezza della serie, fino ad annullarsi nel caso
di una sequenza breve.
134
PARTE SECONDA
È sorto così il dubbio che i computer non sono quelle macchine così precise che tutti
pensano e che hanno dei limiti. Diventa così necessario fare attenzione e non accettare sempre in maniera acritica tutto ciò che il computer (o la calcolatrice) rimanda.
CONCLUSIONI
In tutte le fasi dell’attività, fondamentale è stata la continua discussione fra i
ragazzi e fra loro e l’insegnante. Discussione che aveva come argomento non solo
gli stretti contenuti di matematica, ma anche la valutazione dell’andamento del percorso scelto, il metodo di lavoro, l’efficacia sulle loro conoscenze, la progettazione
della presentazione al convegno, ecc.
Interessante mi è parsa in particolare, una "chiacchierata" sul metodo di lavoro
seguito (riportato in parte nelle relazioni dei miei allievi) decisamente apprezzato
dai ragazzi - tanto da proporlo con convinzione a tutti gli insegnanti che venivano in
visita al loro stand al convegno - che ne hanno messo in evidenza (bene a mio avviso) i pregi e i difetti, descrivendo appropriatamente quale è stato il ruolo degli studenti e quello dell’insegnante. Importante inoltre il fatto che essi sono riusciti a mettere in luce e a focalizzare i problemi di alcuni compagni (molto pochi in verità) che,
nonostante tutto, hanno partecipato in modo spesso distaccato ottenendo poco profitto dall’azione svolta; ciò li ha indotti a intraprendere altre vie di coinvolgimento e
azioni diverse per cercare di recuperarli e aiutarli a raggiungere risultati migliori.
L’esperienza inoltre di poter essere ascoltati non solo da ragazzi coetanei, ma
più piccoli e soprattutto da più grandi è stata fortemente stimolante. Interessante
inoltre come i ragazzi si sono adattati velocemente alle varie situazioni; ad esempio, dopo le prime spiegazioni, hanno cercato di tamponare le difficoltà di alcuni
compagni facendo parlare piuttosto altri, intervenendo vicendevolmente in aiuto, stimolando la partecipazione dell’uditorio (non sempre in effetti propenso ad ascoltare) con domande e coinvolgimento diretto del "pubblico".
In alcuni momenti vi è stata anche delusione, ma, argomento di discussione successivo, è diventata motivo per cercare di capire e trovare soluzioni più adatte di
presentazione del proprio lavoro. Così se da un lato c’è stata difficoltà di comunicazione con alcuni gruppi, dall’altro c’è stata grande soddisfazione ad esempio nell’essere riusciti non solo a farsi ascoltare dai ragazzi "grandi", ma addirittura ad
essere di spunto per iniziative di questi con i propri insegnanti.
135
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Anche se limitata, la possibilità di confrontarsi con altri compagni, sia più grandi
che più piccoli, e di ascoltare le loro esperienze si è rivelata fortemente stimolante
per proporre nuovi argomenti di indagine e studio anche in funzione di prossimi e
ulteriori incontri analoghi. Un esempio: l’aritmetica modulare (proposta dai ragazzi
del Liceo Scientifico).
La partecipazione ai due Convegni de "La Matematica dei ragazzi" nell’aprile
1996 e nel marzo 1998 è senz’altro stata una tra le esperienze più significative
attuate con i ragazzi, sia per l’aspetto prettamente didattico, sia per quello socioaffettivo-comportamentale. È stata un incentivo, uno sprone per cercare di dare il
meglio di sè mettendosi sempre in gioco in un sistema di continua analisi e ricerca
di soluzioni a fronte di situazioni nuove, impreviste e non sempre prevedibili. Sono
proprio queste, cosa non certo banale, le esperienze che consentono di mettere a
fuoco meglio le proprie abilità e competenze e le proprie debolezze, accomunando
nella stessa esperienza insegnanti e allievi.
Per l’insegnante ogni volta è un’esperienza che va ad accumularsi con le altre e
ad accrescere la propria professionalità di docente, per i ragazzi, di solito, è la
prima volta di una esperienza totalmente coinvolgente, come si evince dalle relazioni, dalle impressioni e dai commenti sia a "caldo", che dopo un certo tempo "a
freddo": la tensione del "prima" (molti hanno confessato di non aver dormito durante la notte precedente per la paura e l’ansia), l’euforia accompagnata da soddisfazione e, in qualche caso da insoddisfazione, durante le varie esposizioni, la tranquillità del "dopo" per aver superato la prova e l’entusiasmo per continuare con altre
esperienze analoghe (ha visto prof. ..., sa prof. che ..., ...è meglio , ...ci hanno detto
..., si potrebbe per il prossimo anno ..., ecc.). E non mancano le raccomandazioni
reciproche, insegnante-allievi (scontate!) e allievi-insegnante. E tutti i partecipanti
sono accomunati dallo stesso tipo di esperienza: fervore, tensione, voglia di far
bene, di raccontare le proprie esperienze, le proprie proposte, ecc..
I risultati decisamente positivi ed i consensi ottenuti con la partecipazione alla
prima edizione del convegno mi hanno indotta, senza titubanze, ad aderire anche
alla seconda edizione.
Allego a questa mia presentazione una relazione ed un esempio degli esercizi
preparati dagli allievi.
136
PARTE SECONDA
BIBLIOGRAFIA
BRUNELLI A., RINALDI CARINI L., 1984, Intelligenza e metodo al calcolatore, Zanichelli Bologna, pp 332
CANDUSSIO G., 1985, Prime esperienze di alunni della scuola media con gli elaboratori elettronici, Atti del convegno "Computer e didattica", IRRSAE Friuli-Venezia Giulia, pp 99 - 102
137
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
APPENDICE
LA NOSTRA MATEMATICA
SERENA, VALENTINA, MICHELE1
La Scuola Media di Mariano del Friuli già da diversi anni porta avanti alcune attività nel campo scientifico e matematico partecipando anche a convegni e conferenze. In particolare quest’anno, c’è stata l’occasione di partecipare al convegno
"La matematica dei ragazzi: scambio di esperienze fra coetanei" organizzato dal
Nucleo di Ricerca Didattica del Dipartimento di Scienze Matematiche dell’Università
di Trieste. In questo incontro i ragazzi potevano raccontare e confrontare i diversi
argomenti affrontati a scuola durante le lezioni di matematica. Noi, i ragazzi della
classe seconda, assieme ad alcuni compagni di terza, abbiamo avuto così l’opportunità di esporre i nostri studi sulle calcolatrici e sui calcolatori e sulle possibilità di
un loro utilizzo nello svolgimento del programma di matematica. Abbiamo così "raccontato" a molti altri ragazzi di scuole medie, elementari e superiori il metodo di
lavoro che abbiamo adottato e le nostre "scoperte".
Noi a scuola adoperiamo un metodo operativo "personalizzato" per scoprire le
funzioni della calcolatrice e le sue caratteristiche.
Per metodo di lavoro intendiamo la suddivisione dei compiti per argomentazioni, in base sia alle preferenze di ciascuno di noi, quindi agli argomenti svolti con
maggiore interesse, sia alle capacità di ognuno. Noi esponiamo il discorso, lo
approfondiamo in maniera semplice adoperando esempi pratici.
In principio abbiamo analizzato l’aspetto (esterno ed interno) della calcolatrice,
cercando di scoprire il funzionamento e rispondere a domande e curiosità .
Ognuno di noi, premendo tasti a scelta per curiosità o per gioco o seguendo un
certo criterio, senza accorgersene introduceva un nuovo discorso che la professoressa approfondiva assieme a noi lasciandoci la risoluzione del problema.
In questo modo svolgevamo ugualmente il programma didattico.
1. Allievi della classe IID della Scuola Media di Mariano del Friuli (GO).
138
PARTE SECONDA
Ci siamo interessati di: storia degli strumenti di calcolo, operazioni, tabelline,
potenze, radici, espressioni aritmetiche, numeri e notazione esponenziale dei
numeri, previsioni e verifiche di calcoli, ecc. .
Durante l’esposizione dei nostri lavori ai visitatori del convegno, non sono mancati i momenti di difficoltà a causa dell’emozione e della stanchezza e della presenza di classi poco interessate ed educate, ma comunque le nostre impressioni
sull’esperienza triestina sono state senz’altro positive. I ragazzi, ascoltando gli
argomenti spiegati da altri coetanei, riuscivano meglio a comprendere il contenuto
del tema in questione e a imparare cose nuove.
Ci siamo divertiti soprattutto a svolgere il compito degli insegnanti; questo ci ha
dato modo di comprendere anche le difficoltà del mestiere.
Noi vorremmo in futuro essere partecipi di una esperienza simile a questa che
abbiamo svolto con divertimento, interesse e da veri professionisti.
139
PARTE SECONDA
DAL PIANO ALLO SPAZIO
MARINA ROCCO*
PREMESSA
Rimando alla relazione "Figure piane e Cabri" di questo stesso volume per le
considerazioni introduttive, ed inizio presentando il laboratorio in questione.
USO DI CABRI PER REALIZZARE
RAPPRESENTAZIONI DINAMICHE DELLE SEZIONI PIANE DEL CUBO
Il laboratorio della III si è organizzato in 5 postazioni, ciascuna affidata a gruppi
non troppo rigidamente definiti di ragazzi.
Il primo gruppo aveva il compito di introdurre l’argomento, che nel corso dei
lavori di preparazione per la manifestazione era diventato lo studio delle sezioni
piane di un cubo. Due cartelloni, preparati dai ragazzi, aiutavano ad illustrare il
"sommario" del laboratorio: uno di essi conteneva una scelta di disegni in assonometria degli stessi tipi di sezioni studiati nelle diverse postazioni di lavoro. Come ho
già detto altrove (v. ROCCO, 1995 e 1996), quasi tutti i lavori che faccio svolgere
alle mie classi con CABRI sono preceduti o accompagnati dalle versioni "a mano";
ciò ha lo scopo di far riflettere i ragazzi sulle costruzioni che realizzano e l’uso alternato dei due strumenti rinforza la consapevolezza dell’esecuzione.
La prima postazione di lavoro si proponeva in forma di rompicapo. Erano state
costruite alcune serie di modelli in cartoncino, ciascuna delle quali rappresentava un
cubo tagliato in due, tre o quattro pezzi, con piani disposti allo stesso modo rispetto
* Scuola Media "Divisione Julia", Viale XX Settembre 26, I-34100 Trieste,
e-mail: [email protected]
141
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
ad un elemento del cubo: passanti per uno stesso spigolo o per i centri di due facce
opposte; paralleli a due spigoli appartenenti o no ad una stessa faccia; perpendicolari ad una diagonale del cubo. I visitatori venivano invitati a ricomporre i diversi cubi.
Devo però ammettere di aver dovuto fornire la maggioranza degli sviluppi, seppur in scala e con alcune misure fornite in relazione ad altre, in modo da costringere il gruppo che si occupava della produzione di questo materiale ad un non banale
lavoro di rielaborazione personale. Mi sembra un’osservazione interessante che i
ragazzi abbiano sempre preferito il calcolo abbinato all’uso del righello graduato piuttosto che la costruzione con il compasso di quei segmenti le cui misure dipendevano da altre. Questa seconda strategia di lavoro è stata accettata solo in alcuni casi
di insuccesso ripetuto e sempre dopo suggerimento esplicito.
Nella postazione successiva i ragazzi si servivano dei quaderni personali per illustrare, attraverso una raccolta più ricca di quella del cartellone di cui sopra, le sezioni del cubo studiate. Non si sottovaluti questo lavoro, realizzato dai componenti della
classe più capaci dal punto di vista organizzativo e quindi anche come "documentaristi” autori tra l’altro di tutte le didascalie che sono state utilizzate, oltre che nel cartellone, come traccia o punto di partenza degli interventi dei diversi gruppi.
142
PARTE SECONDA
La terza postazione era di nuovo manipolativa: un cubo cavo di plastica trasparente permetteva di visualizzare le diverse sezioni quando esso veniva parzialmente riempito con acqua. Lo si utilizzava in modo esemplificativo (per mostrare la
conseguenza di certe scelte) o per la ricerca (come devo tenere il cubo perchè la
sezione abbia certe caratteristiche).
Per finire, su due postazioni si alternavano le dimostrazioni con CABRI: la suddivisione degli interventi considerava i tempi necessari al caricamento di una nuova
figura. Basta provare didatticamente gli strumenti utilizzati dai diversi gruppi per
notare la ben altra potenzialità di CABRI nell’illustrazione dinamica delle sezioni del
cubo. Tra quelli considerati nelle nostre postazioni di lavoro, l’unico che vi si avvicina è il cubo cavo, purchè si inneschi un vaso di scarico controllato; ma la manipolazione è studiabile solo da gruppi piccoli e controllati dall’insegnante.
L’esperienza analoga con CABRI può, come minimo, essere più autonoma da
parte dei ragazzi. Pur ripetendomi, insisto ad esporre l’opinione che l’incremento sul
piano cognitivo sarebbe trascurabile qualora in questo studio le figure fossero predisposte dall'insegnante (CABRI come "cartone animato") anche se è lungo il percorso didattico perchè le stesse siano costruite dai ragazzi.
In realtà la nostra strada è stata approssimativamente inversa rispetto all’ordine
delle postazioni di lavoro. Nell’esporla cronologicamente, ometterò in buona parte
gli interventi funzionali alla prima ipotesi per la mostra, tranne quelli che si sono
rivelati essenziali anche per l’organizzazione finale, benchè da ciò possa risultare
l’omissione di dettagli non trascurabili nel quadro didattico generale.
Anche in questo caso (come per i lavori della classe II) alcune fasi si sono
appoggiate al libro di testo (RINALDI CARINI, 1992), in particolare nelle parti dedicate al cubo, ai suoi sviluppi, alle trasformazioni geometriche che lo vedono unito,
allo studio delle sezioni anche considerando le loro "tracce" sugli sviluppi. La trattazione si è più volte intrecciata con le attività specificatamente orientate alla preparazione della manifestazione ed il testo ha fatto da rapido supporto visivo in alcuni momenti di discussione o di riflessione. Altre fasi invece hanno ricalcato lavori
precedenti di provata efficacia (ROCCO, 1989) o si sono sviluppate ex novo man
mano che procedevano le produzioni dei ragazzi finalizzate alla manifestazione.
Il primo problema affrontato con CABRI è stato quello di produrre una rappresentazione assonometrica di un cubo, accettando però anche figure che rispettassero le condizioni generali delle assonometrie pur senza esser necessariamente
riconducibili a quelle presentate dai testi di Educazione Tecnica.
143
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Era ancora in piedi la prima ipotesi sull’organizzazione del laboratorio e, dopo
qualche lavoro su carta sia relativo alle assonometrie che alla ricerca e studio di tutti
i possibili sviluppi piani del cubo, ho fornito ai ragazzi alcuni numeri di CABRIRRSAE
del 1996 e 1997 chiedendo loro di riprodurre le figure che vi erano presentate. L’educazione dei ragazzi a stendere in forma analoga le istruzioni per ognuna delle
figure da loro prodotte ha consentito che essi stessi rilevassero e superassero qualche errore di origine tipografica presente nel testo, replicando quindi le figure finali
in modo corretto. Questa fase, benchè evidentemente non correlata con l’assetto
finale del laboratorio, ha sensibilizzato più della metà degli alunni su alcune questioni rilevanti:
- Affrontando il problema di creare con CABRI una figura complessa, si evidenziava l’opportunità di identificare dei sottoproblemi, corrispondenti a fasi successive di lavoro.
- Poteva essere conveniente registrare le "costruzioni-risposta" di alcuni sottoproblemi come Macro-costruzioni di CABRI (ma in realtà questa possibilità non
è stata sfruttata).
- Per ottenere il risultato finale in tempi ragionevoli, i sottoproblemi andavano
affrontati da gruppi distinti di ragazzi.
- Per consentire l’effettivo assemblaggio dei lavori dei singoli gruppi le istruzioni
relative alle diverse parti del problema complessivo dovevano rispettare accordi
precisi sui nomi da dare ai diversi elementi (in particolare punti e rette).
I primi tre punti corrispondono ad una sensata suddivisione dei compiti, cui forse
si poteva arrivare anche per altre vie. Mi sembra molto più interessante l’ultimo
punto, con il riconoscimento da parte degli alunni della necessità di convenzioni
nelle comunicazioni. In particolare questa esigenza ha avuto gran peso dopo che
si era definitivamente stabilito l’argomento del laboratorio e derivava dal fatto che
spesso i diversi elementi di una figura venivano denominati non in fase di creazione ma nella successiva ricostruzione delle istruzioni per ottenerla. Intanto però la
figura veniva consegnata al gruppo che si occupava del sottoproblema successivo
e che, quando aveva raggiunto il proprio scopo e passava alla propria parte di stesura delle istruzioni, doveva rispettare le denominazioni stabilite dal gruppo precedente. Potevano sorgere difficoltà e rischi di contraddizioni nel momento in cui un
sottoproblema veniva risolto prima che fosse completata la stesura delle istruzioni
relative ad una fase precedente, da cui la necessità di regole a priori sull’assegnazione dei nomi ai diversi elementi.
144
PARTE SECONDA
Intanto e con diversi mezzi avevamo cominciato ad occuparci delle sezioni del
cubo. Una certa lezione è stata determinante nella scelta definitiva dell’argomento
della mostra: su uno schizzo assonometrico su carta quadrettata (per facilitare la
suddivisione di certi segmenti) chiedevo di individuare la sezione che passa per i
punti medi di spigoli concorrenti in uno stesso vertice. Successivamente i ragazzi
dovevano segnare altre sezioni per punti medi di segmenti appartenti agli stessi spigoli. Sulla base della figura ottenuta ho poi guidato la ricerca delle caratteristiche
comuni alle sezioni individuate (triangoli equilateri omotetici, su piani paralleli) ed
infine la ricerca della definizone della posizione dei piani secanti rispetto ad elementi del cubo, attraverso l’analisi dell’elenco di elementi (vertici, spigoli, diagonali, ...) e di relazioni (appartenza, parallelismo, perpendicolarità).
La figura risultante, tradotta per CABRI subito in versione dinamica, è risultata
di fatto il punto di partenza per l’organizzazione del laboratorio. Anche perchè la
classe aveva visitato l’edizione precedente della manifestazione, la ricchezza di
idee che hanno portato alla costituzione delle diverse postazioni di lavoro è fondamentalmente loro.
Tra i principali obiettivi che fisso per la programmazione triennale del mio insegnamento sono la capacità di individuare e descrivere relazioni e quella di prevedere e verificare le conseguenze dello stabilire o modificare certe condizioni. In ciò
risulta essenziale l’uso di CABRI ed i materiali prodotti per la mostra non risultavano dunque solo ad essa finalizzati. Certo queste capacità vanno guidate, soprattutto quando le situazioni sono piuttosto complesse, ed a volte può sembrare che il
percorso più efficace non sia "ordinatamente logico".
In questo caso sono partita dalla situazione più difficile, anche se inizialmente
proposta in versione monca (non si consideravano i piani perpendicolari ad una diagonale del cubo che portano a sezioni esagonali) che però risultava molto stimolante nelle ricerche di cui sopra. Il passo successivo è stato quello di includere i casi
prima trascurati, portando i ragazzi ad identificare i segmenti da intersecare per raggiungere un risultato corretto con CABRI.
A questo punto si è definito l’elenco delle situazioni da studiare sulla base di
relazioni di appartenza, parallelismo o perpendicolarità tra i piani secanti e spigoli,
facce, diagonali o diagonali di facce del cubo. I casi inclusi nella mostra sono le
sezioni ottenute con piani:
- passanti per uno spigolo,
- passanti per i punti medi di facce opposte,
145
-
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
passanti per una diagonale di faccia,
paralleli ad una faccia,
paralleli a due diagonali di facce,
perpendicolari ad una diagonale.
L’esame di alcuni casi ha comportato lezioni piuttosto ricche di discussione,
come ad esempio quelli delle sezioni ottenute con piani paralleli a due diagonali di
facce che danno risultati diversi (per la maggioranza altrimenti descrivibili) a seconda delle posizioni reciproche di tali diagonali. Tra i materiali prodotti dai ragazzi, sia
per la conduzione delle postazioni che per la documentazione del lavoro, presento:
didascalie e figure per uno dei cartelloni (vedi all.1) ed esempi di istruzioni prodotte dai ragazzi per le costruzioni con CABRI (vedi all.2).
BIBLIOGRAFIA
BOIERI P, (a cura di), 1996, Fare geometria con CABRI, Centro Ricerche Didattiche
U.Morin
PELLEGRINO T.- ZAGABRIO M.G., 1996, Invito alla geometria con CABRI-Géomètre,
IPRSAE del Trentino
RINALDI CARINI R., 1992, Matematica (testo per la scuola media), Zanichelli
ROCCO M., 1989, Un itinerario per geometria solida nella scuola media, Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, vol. 12 n. 2
ROCCO M., 1995, Esperienze con CABRI nella Scuola Media inferiore, Quaderno
didattico n. 25, Dip. di Scienze Matem., Univ.di Trieste
ROCCO M., 1996, La misura con Cabri-géomètre: esempi di risposte dello strumento e implicazioni didattiche per la scuola media, in FARE GEOMETRIA CON
CABRI, a cura di P.Boieri, Centro Ricerche Didattiche U.Morin
ROCCO M., 1996, Gli strumenti modificano le capacità argomentative?, in ARGOMENTARE E DIMOSTRARE NELLA SCUOLA MEDIA, Atti del XV° Convegno
Nazionale dei Nuclei di Ricerca in Didattica della Matematica, a cura di L.Grugnetti, R.Iaderosa, M.Reggiani, SE.A.G
146
PARTE SECONDA
ALLEGATO 1
CARTELLONE
CON DIDASCALIE DI
DANIEL
[Daniel era il responsabile della postazione che usava il cartellone stesso come
stacco tra le postazioni "manipolative" e quelle con le figure al calcolatore. Daniel
considerava prioritariamente lo spazio disponibile e scrive le didascalie come traccia di intervento. Nel tentativo di essere sintetico, il testo a volte è impreciso o
anche scorretto. È evidente, per lo stile, la cura e lo spazio ad esse dedicato, che
le ultime due didascalie sono state trascritte da Daniel dopo la sistemazione dei
suoi appunti. A differenza delle altre, esse non comparivano sul cartellone, che
riportava solo i "titoli" delle figure corrispondenti.]
PIANI PARALLELI A DUE
DIAGONALI PARALLELE
DI FACCE OPPOSTE
Si staccano prismi triangolari e le sezioni sono rettangoli.
La sezione più grande è
quella corrispondente alla
diagonale, invece la più
piccola è quella corrispondente ai lati del cubo.
Si corrispondono in affinità.
PIANI PASSANTI PER
UNO SPIGOLO
PIANI PARELLELI AD
UNA FACCIA
Si staccano prismi triangolari e le sezioni sono rettangoli.
La sezione più grande è
quella corrispondente alla
diagonale, invece la più
piccola è quella corrispondente ad una faccia del
cubo.
Si corrispondono in affinità.
Si staccano parallelepipedi
e le sezioni sono quadrati
congruenti.
Si corrispondono in una
traslazione.
147
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
PIANI PASSANTI PER I
CENTRI
DI
FACCE
OPPOSTE
Si staccano prismi trapezoidali, però quando passa
per la diagonale in prismi
triangolari e nei punti medi,
parallelepipedi e le sezioni
sono rettangolari.
La sezione più grande è
quella corrispondente alla
diagonale, invece la più
piccola è quella corrispondente ai punti medi.
148
PIANI PERPENDICOLARI
A UNA DIAGONALE DEL
CUBO
Si formano triangoli che
hanno i vertici su tre spigoli del cubo concorrenti in
uno stesso vertice. Si formano poi esagoni che
hanno tre assi di simmetria. Si ha un esagono
regolare quando i vertici
dell’esagono corrispondono ai punti medi degli spigoli.
La sezione più grande tra i
triangoli è quella dove i lati
del triangolo corrispondono alle diagonali di faccia
del cubo, invece la sezione
più piccola è degenere e si
riduce ad un punto che è
un vertice del cubo.
Le sezioni a forma di esagono hanno tre assi di simmetria ed hanno i lati
paralleli alle diagonali di
faccia; uno è regolare.
I triangoli si corrispondono
in un’omotetia, invece gli
esagoni si corrispondono
in un’affinità.
PIANI PASSANTI PER
UNA DIAGONALE DI
FACCIA
Le sezioni possono essere
sia triangoli che trapezi che
hanno un lato in comune,
cioè quello corrispondente
ad una diagonale di faccia.
La sezione più grande tra i
triangoli è quella dove il
vertice del triangolo corrisponde al vertice del cubo
opposto alla diagonale,
invece quella più piccola è
quella più vicina alla trasformazione in quadrato (il
piano si appoggia sulla faccia).
La sezione più grande tra i
trapezi è quella dove lo spigolo del trapezio corrisponde alla diagonale di faccia
opposta, invece la più piccola è quella dove il trapezio è più vicino alla trasformazione in triangolo, quindi si possono considerare
tutti trapezi, tra cui i triangoli sono trapezi degeneri
I triangoli si corrispondono
tra loro in affinità e analogamente capita per i trapezi.
PARTE SECONDA
ESEMPI
ALLEGATO 2
DI ISTRUZIONI PRODOTTE DAI RAGAZZI
PER LE COSTRUZIONI CON CABRI
[Come evidenziato nell’esposizione degli aspetti metodologici ed organizzativi, i
ragazzi hanno prodotto le istruzioni per le figure da loro stessi ideate allo scopo di
inserirle nel "quaderno delle costruzioni". Data la complessità delle figure realizzate, la stesura delle procedure (ottenuta con l’aiuto del comando Ri-costruzione
passo a passo) è stato un lavoro collettivo di alcuni gruppi, mentre altri gruppi avevano il compito di controllarne la correttezza. La produzione complessiva è dunque
di tutta la classe.
Le notazioni risultano a volte pesanti (es.: raggio C1D) in quanto la versione utilizzata di CABRI non consente gli apici. Generalmente il risultato è indicato per ultimo
(es. nella quarta istruzione per gli assi dell’assonometria: COSTRUZIONE, intersezione di due oggetti, crf1 con y, punti C e C1) ma altre volte per primo (es. nella
prima istruzione per gli assi dell’assonometria: CREAZIONE, retta per 2 punti, retta
y, punti D e C). Non vi è stata una generalizzazione nel riconoscimento dell’opportunità delle convenzioni.
Nel primo esempio, per ciascuno dei punti X e D1 vi sono due possibili scelte: i
ragazzi sottintendono quelle che portano ad una figura finale familiare.
Il terzo esempio, su scelta del gruppo responsabile, omette in modo più spinto le
ripetizioni nelle scelte dei menu e dei comandi. Viene anche sintetizzato con “evidenziare” il complesso delle azioni necessarie per colorare la traccia della sezione,
con uso di pennello per i segmenti in vista e di matita per quelli nascosti. Qualche
apparente incongruenza deriva dal fatto che i nomi di elementi nascosti (come la
retta z1 per CC1) scompaiono allo stesso modo.]
CREAZIONE
COSTRUZIONE
CREAZIONE
COSTRUZIONE
Costruzione degli assi per l'assonometria
Retta per 2 punti
Retta perpendicolare
Circonferenza centro punto
Intersezione di due oggetti
retta y, punti D e C
retta z passante per D,
perpendicolare a y
crf1, con cento D, raggio DC
crf1 con y, punti C e C1
149
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
CREAZIONE
COSTRUZIONE
CREAZIONE
EDIZIONE
ARCHIVI
ARCHIVI
COSTRUZIONE
CREAZIONE
EDIZIONE
ARCHIVI
150
Circonferenza centro punto
crf2, con centro C1 e raggio C1D
Intersezione di 2 oggetti
Intersezione di 2 oggetti
Intersezione delle 2 crf, punto X
Crf1 con z, punto D1
Aspetto degli oggetti
Gomma sugli elementi che non
si vogliono far vedere
Segmento
Salva con nome
Segmenti: DX, DC, DD1
ASS
Costruzione di un cubo in assonometria
Apri
Punto medio
Retta parallela
Retta parallela
Intersezione di
Retta parallela
Retta parallela
Intersezione di
Retta parallela
Retta parallela
Intersezione di
Retta parallela
Retta parallela
Intersezione di
Segmento
Apri ASS
2 oggetti
2 oggetti
2 oggetti
2 oggetti
Aspetto degli oggetti
Salva con nome
A, punto medio di DX
Y1 parallela a y per D1
Z1 parallela a z per C
Y1 con z1; trovo C1
X1 parallela a x per C
Y2 parallela a y per A
X1 con y2; trovo B
Z2 parallela a z per A
X2 parallela a x per D1
Z2 con x2; trovo A1
Y3 parallela a y per A1
Z3 parallela a z per B
Y3 con z3; trovo B1
Segmenti AD, AB, BC, AA1, BB1,
CC1, A1B1, B1C1, C1D1, D1A1
Gomma sugli elementi che non si
vogliono far vedere
CUBO
PARTE SECONDA
ARCHIVI
Sezioni con piani paralleli a due diagonali di facce
Apri
apri CUBO
COSTRUZIONE
Punto su un oggetto
punto P, su retta y3 [a sinistra di A1]
COSTRUZIONE
Retta parallela
Intersezione di 2 oggetti
EDIZIONE
CREAZIONE
Aspetto degli oggetti
Segmento
Retta parallela
Intersezione di 2 oggetti
CREAZIONE
EDIZIONE
Segmento
Aspetto degli oggetti
matita su retta y1 e sui vertici del cubo
segmenti AC e A1C1
d, parallella a AC, passante per P
Q1, della retta d con A1D1;
R1, della retta d con D1C1
z1, parallela a AA1 e passante per R1;
z2 parallela a AA1, passante per Q1
Q, intersezione di z2 con AD;
R, intersezione di z1 con DC
Segmenti: QR, RR1, R1Q1, Q1Q
Colore sugli oggetti che voglio
evidenziare
151
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
sposto il punto P sul segmento A1B1
COSTRUZIONE
Intersezione di 2 oggetti
Retta parallela
Intersezione di 2 oggetti
CREAZIONE
evidenziare
ARCHIVI
152
R1, della retta d con B1C1
z1, parallela a AA1 e passante per R1;
z2 parallela a AA1, passante per P
Q, intersezione di z2 con AB;
R, intersezione di z1 con BC
Segmento
Segmenti: QR, RR1, R1P, PQ
Salva con nome
SEZ4
PARTE SECONDA
ARITMETICA MODULARE
FRANCO RUPENI*
INTRODUZIONE
"La matematica non è un’opinione, i suoi enunciati sono indiscutibilmente veri,
nessuno deve poter dubitare che 4+5 dia 9". Questo diffuso luogo comune, che
vede nella matematica la disciplina dell’assolutamente vero e incontrovertibile, è
entrato in crisi allorché i partecipanti al convegno La matematica dei ragazzi hanno
scoperto che nell’aritmetica modulo 7 non solo risulta 4+5=2, ma addirittura 3+4=0,
5⋅4=6, 5:3=4.
Che cos’è mai questa curiosa aritmetica modulare, altrimenti detta aritmetica
dell’orologio o aritmetica delle classi dei resti? Ce lo raccontano ora i protagonisti
del convegno, ai quali – sia ben chiaro – non è imputabile alcuna responsabilità
delle pedanti note a piè di pagina.
UN’ARITMETICA STRANA, MA NON TROPPO
Alice, classe IE
L’aritmetica modulare, un particolare ramo della matematica che incontra numerose applicazioni nella nostra vita quotidiana1, è costituita da particolari insiemi finiti
Zn, (l’indice n denota un numero naturale), nei quali si possono eseguire operazioni
aritmetiche. Per esempio, nell’insieme Z7 (insieme delle classi dei resti modulo 7)
* Liceo Scientifico "G. Oberdan", Via Paolo Veronese 1, I-34100 Trieste.
1. L’aspirazione della mente umana all’infinito resta ben espressa dal quella stupenda finzione che
è il concetto di numero naturale. Tuttavia in natura troviamo troppe situazioni di carattere ripetitivo (l’alternanza del dì e della notte, l’avvicendamento delle stagioni,…) che dovrebbero indurci a rivedere la
nozione lineare di tempo per rivalutare gli aspetti di ciclicità dei fenomeni naturali, ben analizzabili in termini di aritmetica modulare.
153
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
costituito dai 7 elementi 0,1,2,3,4,5,6 (che indichiamo in grassetto per distinguerli dai
numeri interi 0,1,2,3,4,5,6) possiamo eseguire qualche "strana" addizione:
6+4=3
5+2=0
Questi risultati si possono giustificare interpretando l’addizione come rotazione
oraria sul modello dell’orologio (v. fig.1): sul quadrante a 7 tacche contrassegnate dai
simboli 0,1,2,3,4,5,6 il risultato di 6+4 si può ottenere mediante rotazione oraria di 4
unità a partire dalla tacca 6. Pertanto il risultato di 6+4 non è 10, il quale non è elemento di Z7, ma 3, pensabile anche come resto della divisione 10:7. Così 5+2 non
dà 7, ma 0 che è il resto della divisione 7:7. Il trasformato modulo 7 di un certo numero è dunque il resto della divisione2 del numero dato per 7. I resti possibili della divisione per 7 sono i rappresentanti delle classi dei resti modulo 7 perché ciascuno di
essi si lascia pensare come quella particolare classe costituita dai numeri interi che
divisi per 7 producono lo stesso resto: ad esempio, la classe 3 risulta costituita dagli
infiniti elementi 3,10,17,24, …,-4, -11, …3, la classe 4 da 4, 11, 18, 25,…, -3, -10, ….
Figura 1
2. Ad esempio, il trasformato di 26 modulo 7 è 5 (il resto della divisione 26:7), che si può ottenere
mediante rotazione oraria di 26 passi a partire da 0. Il quoziente 3 della divisione 26:7 rappresenta il
numero di giri completi eseguiti sul quadrante della fig. 1.
3. In simboli: 3={x∈Z|x=7k+3, k∈Z}={…,-11,-4,+3,+10,+17,…}, ove Z denota l’insieme dei numeri
interi relativi. Si noti dunque che -4∈3 perché il trasformato di -4 modulo 7 è 3 (la divisione -4:7 ha quoziente –1 e resto 3), ottenibile anche mediante rotazione antioraria di 4 passi a partire da 0. Le classi dei
resti modulo 7 possono essere riguardate come le classi di equivalenza individuate dalla seguente relazione di congruenza modulo 7 assegnata in Z: x≡y (mod7) ⇔ (def) (∃k) (x-y=7⋅k). In quest’ottica Z7 è
identificabile con l’insieme quoziente Z/≡(mod7), che è detto l’insieme delle classi di resti modulo 7. La
possibilità di definire le operazioni di addizione e moltiplicazione nel modo qui descritto viene dalla proprietà di compatibilità della relazione di congruenza mod m con le corrispondenti operazioni in Z.
154
PARTE SECONDA
Vediamo ora qualche esempio di sottrazione:
5-3=2
2-6=3
Il risultato della sottrazione 2-6 non può essere -4 dato che -4 non è elemento
di Z7 (-4∉Z7). Osserviamo però che -4∈3 (v. nota 3). Lo possiamo anche verificare
sul modello della fig.1: partendo dall’elemento 2 e ruotando in senso antiorario di 6
unità, si ottiene l’elemento 3. Quindi potremmo dire che 2-6=3. Più esattamente,
operiamo come segue. L’operazione di sottrazione a-b può essere anche pensata
come l’addizione di a con l’opposto di b, denotato da opp(b):
a-b=a+opp(b)4
Ricordiamo che l’opposto di un elemento x è quell’elemento che sommato con x
dà l’elemento neutro dell’addizione, che nell’aritmetica modulare è 0. In Z7 risulta:
opp(0)=0, opp(1)=6, opp(2)=5, opp(3)=4, opp(4)=3, opp(5)=2, opp(6)=1
Avremo quindi: 5-3=5+opp(3)=5+4=2,
Consideriamo ora la moltiplicazione:
2-6=2+opp(6)=2+1=3
5⋅⋅4=5+5+5+5=6
L’operazione di moltiplicazione, dunque, può essere considerata come l’addi-
zione di un fattore con se stesso, ripetuta tante volte quante sono indicate dal
secondo fattore. Non è difficile costruire la "tavola pitagorica"di Z7, costituita dalla
seguente tabella a doppia entrata:
•
0
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
2
0
2
4
6
1
3
5
3
0
3
6
2
5
1
4
Figura 2
4
0
4
1
5
2
6
3
5
0
5
3
1
6
4
2
6
0
6
5
4
3
2
1
4. Questa regola di calcolo, generalmente nota nella forma simmetrica a+(-b)=a-b, è un teorema della
teoria dei gruppi, la cui dimostrazione si lascia proporre agli studenti. Ricordando che la differenza a-b è, per
definizione, quell’elemento (se esiste) che addizionato con b dà a, si dimostra che in un gruppo additivo ab è effettivamente a+opp(b), poiché l’addizione di a+opp(b) con b dà a: infatti
(a+opp(b))+b=a+(opp(b)+b)=a+0=a. Nel seguito il teorema verrà utilizzato nella veste moltiplicativa
a:b=a⋅rec(b), dove rec(b) è il reciproco di b. Si tratta di un teorema importante perché consente di ricondurre le cosiddette operazioni inverse (sottrazione e divisione) a quelle dirette (addizione e moltiplicazione).
155
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Nell’insieme dei numeri razionali (cioè quelli esprimibili in forma di rapporto tra
numeri interi), per ogni numero x, diverso da 0, esiste il suo reciproco rec(x), che è
quel numero il cui prodotto per x dà l’elemento neutro della moltiplicazione, cioè 1:
risulta pertanto rec(2/3)=3/2 perché (2/3)⋅(3/2)=1, rec(3)=1/3 perché 3⋅(1/3)=1.
In Z7, invece, il reciproco di 3 non può essere 1/3, perché 1/3 non è elemento di
Z7 (1/3∉Z7); il reciproco di 3 è invece 5 (rec(3)=5), poiché il prodotto 3⋅5 è uguale
a 1. La tabella della fig.2 ci facilita nella ricerca del reciproco di un arbitrario elemento di Z7: per calcolare, per esempio, rec(2) basta percorrere la riga del 2 fintantoché non s’incontra l’elemento 1, il quale compare nella colonna corrispondente al reciproco cercato, che è l’elemento 4. È così possibile calcolare tutti i reciproci:
rec(1)=1, rec(2)=4, rec(3)=5, rec(4)=2, rec(5)=3, rec(6)=6.
1.
Il reciproco di 0 non esiste, dato che nessun elemento di Z7 moltiplicato per 0 dà
Per eseguire la divisione
ci riferiremo alla regola (v. nota 4):
Vediamo qualche esempio:
a:b
a:b=a⋅⋅rec(b).
6:3=6⋅⋅rec(3)=6⋅⋅5=2 (possiamo anche notare che 6:3=2 perché 2⋅⋅3=6)
5:4=5⋅⋅rec(4)=5⋅⋅2=3 (possiamo anche notare che 5:4=3 perché 3⋅⋅4=5)
2:3=2⋅⋅rec(3)=2⋅⋅5=3 (possiamo anche notare che 2:3=3 perché 3⋅⋅3=2)
Proprietà delle operazioni
Non è difficile verificare che nella struttura algebrica <Z7,+,⋅> valgono le seguenti proprietà di campo:
0) chiusura per addizione e moltiplicazione;
1) proprietà associativa per addizione e moltiplicazione;
2) esistenza dell’elemento neutro per addizione (0) e moltiplicazione (1);
3) esistenza dell’opposto e del reciproco (tranne che per 0);
4) proprietà commutativa per addizione e moltiplicazione;
156
PARTE SECONDA
5) proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma5.
Le quattro operazioni sono state analizzate nella struttura <Z7,+,⋅>, che è un
modello particolare, dato che 7 è un numero primo. Se consideriamo, invece, la
struttura <Z12,+,⋅> individuata da un numero non primo, possiamo notare che la
proprietà di esistenza del reciproco non vale (gli elementi 2,3,4,6,8,9,10 sono privi
di reciproco), con la conseguenza che l’operazione di divisione non è sempre eseguibile (e quindi non si ha un campo6).
ORGANIZZARE UNA CONFERENZA
Ornella, classe ID
Nella conferenza tenuta alla scuola Codermaz, abbiamo trattato un ramo dell’aritmetica, chiamata aritmetica modulare o, per i più piccoli, aritmetica dell’orologio.
In previsione dei diversi "uditori" abbiamo predisposto tre diversi livelli d’intervento
e per facilitare la comprensione ci siamo serviti, nel corso delle spiegazioni, di tabelloni contenenti esempi di operazioni, quadranti di "orologi" a 6-7-12 tacche, tabelle
a doppia entrata, proprietà delle operazioni.
5. Più precisamente, per addizione e moltiplicazione sussistono le proprietà che caratterizzano la
struttura algebrica di campo, esprimibili nel linguaggio della logica predicativa dai seguenti enunciati ∑,
ottenuti "saturando" mediante i quantificatori universale ∀ (per ogni) ed esistenziale ∃ (esiste) le variabili libere x,y,z occorrenti in particolari formule aperte, ove appaiono anche le costanti 0, 1:
0+
1+
2+
3+
4+
∀x
∀x
∀x
∀x
∀x
∀y ∃z (x+y=z)
0· ∀x ∀y ∃z (x·y=z)
∀y ∀z ((x+y)+z=x+(y+z))
1· ∀x ∀y ∀z ((x·y)·z=x·(y·z))
(x+0=0+x=x)
2· ∀x (x·1=1·x=x)
∃y (x+y=y+x=0)
3· ∀x (x≠0 ⇒ ∃y (x·y=y·x=1))
∀y (x+y=y+x)
4· ∀x ∀y (x·y=y·x)
5·,+ ∀x ∀y ∀z (x·(y+z)=(x·y)+(x·z))
In termini logici, diremo che la struttura <Z7,+,⋅> è un modello del sistema di assiomi ∑.
6. Facciamo qualche esempio di operazione nella struttura algebrica < Z12,+,⋅> (che non è modello
di ∑, dato che l’assioma 3· non è verificato):
- addizione 2+3=5, 9+4=1, 6+6=0, 7+8=3;
- sottrazione: 9-4=9+opp(4)=9+8=5, 4-9=4+opp(9)=4+3=7,
7-4=7+opp(4)=7+8=3;
- moltiplicazione: 2⋅⋅3=6, 4⋅⋅4=4, 6⋅⋅2=0, 7⋅⋅8=8;
- la divisione si comporta in modo “strano”: in taluni casi si ottiene più di un risultato (8:2 dà 4 perché 4⋅⋅2=8, ma dà anche 10 dato che 10⋅⋅2=8), in altri uno solo (2:5=2⋅⋅rec(5)=2⋅⋅5=10 perché nessun elemento diverso da 10 moltiplicato per 5 dà 2) e, in altri ancora, nessuno (la scrittura 3:4 denota un’operazione impossibile perché nessun elemento di Z12 moltiplicato per 4 dà 3).
157
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Nel primo livello, rivolto principalmente ai bambini di quinta elementare - prima
media, ci siamo prefissi di spiegare le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione, lavorando quasi esclusivamente in Z12, facilmente riconducibile alle ore
del quadrante dell’orologio. Per rendere anche più piacevole la "lezione" abbiamo
verificato, mediante l’utilizzo di un orologio di cartone, che per l’addizione le lancette vengono spostate in senso orario e per la sottrazione in senso antiorario. Nella
spiegazione degli esempi abbiamo dato anche dei brevi cenni riguardanti le proprietà commutativa e associativa.
Ci siamo poi "collegati" al problema dell’elemento neutro, dimostrando che per
la somma è l’elemento 0, mentre per la moltiplicazione è l’elemento 1, e successivamente abbiamo posto il problema dell’esistenza dell’opposto nell’addizione e del
reciproco nella moltiplicazione.
Per rendere il tutto più chiaro, e per fare un po’ di esercizio, come ultimo intervento per il primo livello, è stato introdotto Z7, facilmente riconducibile ai giorni della
settimana. Infine abbiamo lasciato spazio a disposizione dei bambini per ulteriori
domande e chiarimenti.
Nel secondo livello, rivolto invece a ragazzi di seconda - terza media, abbiamo
spiegato in modo più sommario le tre operazioni +,x e -, operando però in diversi
Zn (soprattutto Z6 e Z7) e riprendendo le proprietà associativa e commutativa di
addizione e moltiplicazione. Il risultato di un’operazione (di addizione e moltiplicazione) in Zn è stato spiegato anche come resto della divisione tra il risultato della
stessa operazione nell’insieme dei numeri naturali e il numero n (v. nota 2).
Per quanto riguarda invece l’esistenza degli elementi neutri di addizione e di
moltiplicazione, dell’opposto e del reciproco abbiamo utilizzato delle tabelle a doppia entrata al fine di facilitarne la comprensione. Abbiamo quindi fatto notare che in
Z7 la proprietà di esistenza del reciproco sussiste e in Z6 invece no. È seguita quindi la spiegazione della differenza tra le due strutture: 7 è un numero primo e quindi
ogni elemento diverso da 0 possiede reciproco, mentre 6 non è primo e quindi esistono elementi diversi da 0 privi di reciproco.
È stato quindi introdotto il problema della divisione, facilmente riconducibile ad
una moltiplicazione del dividendo per il reciproco del divisore. Dopo alcuni esempi
ed esercizi, come ultimo intervento per il secondo livello, abbiamo accennato alla
legge di annullamento del prodotto ed abbiamo verificato che essa è valida in Zn,
con n numero primo, mentre non lo è per n non primo. Anche l’intervento per il
secondo livello si concludeva lasciando spazio a domande e chiarimenti.
158
PARTE SECONDA
Avevamo preparato anche un terzo livello, rivolto soprattutto a ragazzi di terza
media - prima superiore, ma nella conferenza non abbiamo avuto uditori di questa
"fascia" scolastica. Pertanto non abbiamo utilizzato gli "schemi" prefissati per questo livello, del resto molto simili a quelli dei due livelli precedenti, con qualche
approfondimento riguardante la divisione e la legge di annullamento del prodotto.
Ogni singolo gruppo, costituito mediamente da quattro/cinque persone, si preparava un suo ordine di intervento, in cui ciascuno aveva un determinato argomento da esporre. Alla fine della conferenza sono stati distribuiti agli interessati
alcuni opuscoli contenenti semplici esercizi sull’aritmetica modulare.
COINVOLGERE E COMUNICARE
Alessandro, classe ID
Il fatto di essere relatore ad un convegno è stato per me un’esperienza nuova e
interessante, soprattutto dal punto di vista dell’"arte oratoria". Infatti non è possibile esporre un argomento se prima non ci si prepara, e insieme con il professore
abbiamo discusso e affrontato i problemi e le difficoltà dell’esposizione, constatando che non è sufficiente conoscere l’argomento, ma che bisogna imparare a trattarlo nella maniera più chiara possibile, tenendo ben conto che generalmente gli
ascoltatori non lo conoscono. Bisogna anche attirare l’attenzione del pubblico, cosa
che non a tutti riesce. Ritengo di aver capito queste cose solo al momento della
conclusione del convegno. È stata un’esperienza bellissima, ma soprattutto istruttiva, perché mi ha permesso di conoscere questi importantissimi aspetti, necessari
per poter comunicare correttamente.
RAGIONARE E COMPRENDERE
Michela, classe IE
La conferenza dell’aritmetica modulare svoltasi il 27 marzo è stata organizzata,
secondo me, molto bene dagli alunni che hanno esposto l’argomento. Tutti spiegavano in modo coerente e ordinato affinché i ragazzi che ascoltavano la lezione riuscissero a capire bene i passaggi e i ragionamenti. Nessuno dei conferenzieri della
I E ha incontrato difficoltà nell’esposizione dell’argomento, sebbene si trattasse di
159
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
spiegare a ragazzi più piccoli: a mio parere, questi ultimi hanno compreso perfettamente quanto è stato esposto, anche se ho notato che alcuni chiedevano delle ripetizioni soprattutto nei ragionamenti più difficili. Non avrei mai pensato che questa
conferenza, costata ai nostri compagni duro lavoro e molta fatica, avrebbe avuto un
tale successo.
RIFLESSIONI DIDATTICHE
Agli inizi del diciannovesimo secolo il Princeps mathematicorum Karl Friedrich
Gauss, dopo aver scoperto l’aritmetica modulare e la geometria non-euclidea, ripone quest’ultima nel fondo del cassetto per non dover affrontare le "urla dei Beoti"7.
Verso la fine del ventesimo secolo gli studenti delle classi ID e IE del Liceo Scientifico "G.Oberdan" di Trieste, persuasi che le verità degli enunciati matematici non
sono assolute ma dipendono dal modello di riferimento, in un pubblico "convegno"
osano, senza imbarazzo, contraddire l’aritmetica ufficiale, mostrando come 3•4
valga 5 in <Z7,+,⋅> e 0 in <Z12,+,⋅>. Superato il disorientamento iniziale, l’uditorio si
lascia trascinare in curiose e divertenti addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e in
ancor più misteriose e stravaganti divisioni.
Com’è possibile tutto ciò? Non è forse universalmente noto che la matematica
non è un’opinione e che 1+1 fa 2, punto e basta? Per quanto divertente, questa aritmetica modulare alla fin fine non risulta forse didatticamente fuorviante, se non
addirittura controproducente? Non rischia di generare incertezza e confusione nelle
menti acerbe degli studenti che, dopo aver appreso a fatica la legge di annullamento del prodotto, si vedono costretti a constatarne la falsità nella struttura
<Z12,+,⋅>? Non sarebbe forse più salutare non angustiarli con queste "patologie
matematiche" e metterli piuttosto nelle condizioni di "ragionare correttamente" nelle
strutture "utili e significative" dei numeri reali e della geometria euclidea?
A dubbi e perplessità del genere danno risposta i programmi sperimentali, che
prevedono la trattazione dell’aritmetica modulare all’interno del più ampio discorso
7. Nelle Disquisitiones arithmeticae (1801) il matematico tedesco definisce la relazione di congruenza tra numeri interi - la notazione tuttora usata a≡b(mod. n) (v. nota 3) è sua - e avvia così lo studio dell’aritmetica modulare e delle strutture matematiche finite. La sua scrupolosità gli impedì invece di
pubblicare le scoperte sulla geometria non-euclidea, che precedono di qualche decennio quelle dell’ungherese Bolyai e del russo Loba~evskij.
160
PARTE SECONDA
sulle strutture algebriche. Tuttavia, una risposta rilevante sul piano metodologico
può scaturire dall’indagine di cosa si debba intendere per "ragionamento matematico corretto". Illumina, a tale proposito, un risultato fondamentale della logica matematica - il Teorema di Completezza (Gödel, 1929) - secondo il quale “Un enunciato è un teorema (formalmente dimostrabile) in un sistema assiomatico ∑ se e solo
se è conseguenza logica (vero in tutti i modelli) di ∑”8, cioè a dire: il ragionamento
matematico corretto deputato a produrre i teoremi di ∑, per essere veramente tale,
deve poter argomentare sopra tutti i modelli che soddisfano ∑ e non soltanto su di
uno privilegiato, sia pure "il più importante". In questa prospettiva, lo studio di
modelli diversi da quello numerico non si configura come semplice capriccio culturale o come ricerca del diverso e dell’originale, ma costituisce la strada obbligata
che si deve intraprendere se si vuole (tentare di) trasmettere un’idea corretta del
ragionamento che sta alla base della dimostrazione di un teorema di matematica9.
Col senno del poi, si potrebbe dire che Euclide stesso, uno dei fondatori del
metodo ipotetico-deduttivo, pur ragionando correttamente, non era consapevole
dell’effettiva portata delle sue deduzioni: sebbene intendesse descrivere specificamente "lo" spazio geometrico, argomentando sul sistema di postulati geometrici che
escludeva quello delle parallele esprimeva, tuttavia, proprietà geometriche anche di
spazi "non-euclidei"10.
Il linguaggio matematico è dunque ingannevole. Presi dalla buona intenzione di
descrivere un astratto mondo platonico P - da Cantor in poi verrà chiamato "insieme" - formuliamo il nostro sistema assiomatico ∑ e, ragionando correttamente,
deduciamo - volenti o nolenti - teoremi relativi a tutti i modelli di ∑: per la sua spic-
8. Numerosi aspetti dei significati logico-matematici del Teorema di Completezza vengono approfonditi in Lolli 1988. In particolare, per quanto concerne la didattica, vi si osserva (pagg. 201-2): "Per la
didattica il discorso sul carattere formale non comporta certo l’invito a presentare tutte le dimostrazioni
di un sistema formale; comporta sì l’invito a far vedere il carattere formale delle nozioni matematiche,
soprattutto come pluralità di interpretazioni".
9. A proposito della rilevanza e della centralità della dimostrazione matematica in Lolli 1988, pag. 12
si precisa: "Si può arrivare a dire che l’unico problema dei fondamenti della matematica è proprio quello della dimostrazione".
10. La successione delle prime ventinove proposizioni degli Elementi induce a ritenere che Euclide
intendesse costruire la teoria geometrica senza dover assumere il quinto postulato, sulla base della congettura - erronea, come è stato provato appena nel XIX secolo - che si trattasse di un teorema. Il geometra di Alessandria produceva nell’ambito di una geometria "assoluta" (la pangeometria di Lobacevskij
all’interno della quale la geometria euclidea è un caso particolare) teoremi che sussistono in tutti i modelli del sistema comprendente tutti gli assiomi e i postulati di Euclide escluso il quinto, compresi dunque
sistemi non euclidei.
161
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
cata somiglianza a quello naturale, il linguaggio della matematica sembra descrittivo (intende descrivere P), ma la sua vera natura è formale-deduttiva (le proprietà
ottenute, teoremi o conseguenze logiche, risultano vere in tutti i modelli di ∑). Il Teorema di Completezza certifica che tutto ciò accade sia che si adotti un’assiomatica
sintattico-formale che manipola segni linguistici del tutto privi di significato, non riferiti ad alcun mondo, sia quella semantico-insiemistica la quale, argomentando
sopra un generico modello, di fatto si riferisce a tutti i modelli di ∑. Insomma, sembra quasi legittimo affermare che si possa fare matematica senza doverla capire (si
eseguono manipolazioni formali "corrette" su segni che non significano nulla), come
pure che la si possa capire senza doverla fare (si controllano i valori di verità degli
enunciati sui modelli degli assiomi). Ne segue il confortante corollario che sono perfettamente equivalenti e teoricamente valide tutte le metodologie didattiche collocabili tra "fare" e "capire", tra formalismo e contenutismo, le due concezioni della
matematica che ancor oggi continuano ad accapigliarsi, ignare di essere facce
opposte della stessa medaglia.
Per concludere, una proposta didattica: visto che la matematica è spiegata da
un essere umano a un altro, non è forse auspicabile una metodologia che sviluppi
comprensione (semantica, modelli, valutazioni di verità, assegnazioni di significato,...) e operatività (sintassi, calcolo formale, manipolazioni di segni privi di significato,...) in modo che la prima non si faccia mai sopravanzare, se non addirittura
sopraffare, dalla seconda? In parole povere, non sarebbe meglio insegnare una
matematica in cui il calcolo algebrico fosse introdotto per descrivere significati (relazioni e funzioni tra insiemi) e potesse crescere in buona armonia con questi, senza
dover più assistere alla triste teoria di scritture algebriche assolutamente prive di
significato e di qualsivoglia interpretazione (monomi, polinomi, frazioni algebriche,
identità, equazioni, disequazioni,…)11 che manderebbero in crisi depressiva anche
il Princeps mathematicorum?
11. A titolo di esempio, è interessante proporre agli studenti di una classe prima superiore alcune
delle diverse interpretazioni analitiche dell’"insignificante" formula x=0: rilevando l’equivalenza di quest’ultima con le equazioni 1⋅x + 0⋅y=0, 1⋅x + 0⋅y + 0⋅z=0, ecc., l’equazione x=0 può rappresentare un
punto di una retta, una retta del piano, un piano dello spazio, ecc. L’attitudine alla lettura e all’interpretazione delle formule matematiche va sviluppata fin dal principio, altrimenti lo studente prende la pessima abitudine di scrivere senza interpretare, e quindi senza capire. Non dobbiamo dimenticare che la
simbologia matematica ha un’origine ideografica (già nella Characteristica universalis di Leibniz e, successivamente, nella Begriffsschrift di Frege i simboli "stanno per" concetti) e che la mancata interpretazione/comprensione del significato del simbolismo algebrico è stata causa di frustrazione e di rifiuto
viscerale della matematica per intere generazioni di studenti!
162
PARTE SECONDA
BIBLIOGRAFIA
SCOTT NORTON M. 1969, Sistemi matematici finiti, Zanichelli
SAWYER W. W. 1973, Come insegnare l'algebra astratta, Boringhieri
LOLLI G. 1988, Capire una dimostrazione - Il ruolo della logica nella matematica, Il
Mulino
A.A.V.V. 1990, 9 Lezioni di logica, La logica nel suo sviluppo storico e concettuale,
Muzzioscienze
BATTELLI M., MORETTI U. 1996, Corso di matematica sperimentale e laboratorio vol.
1, Le Monnier
I seguenti opuscoli, rivolti a studenti / docenti di biennio, contengono riflessioni
e proposte didattiche di applicazioni della logica alla didattica della matematica:
RUPENI F. 1991, Logica e relazioni d'ordine: appunti didattici, Quaderno Didattico
n.12, Dip. di Scienze Matematiche, Università di Trieste, pp. 32
RUPENI F. 1995, Semantica e sintassi del calcolo algebrico - Un’introduzione didattica, Liceo Scientifico Statale "G. Oberdan" Trieste
RUPENI F. 1995, Semantica e sintassi del calcolo enunciativo - Un’introduzione
didattica, Liceo Scientifico Statale "G. Oberdan" Trieste
RUPENI F. 1996, Semantica e sintassi della matematica, Liceo Classico Statale "D.
Alighieri" Gorizia
RUPENI F. 1997, Logica e matematica - Questioni di completezza, Liceo Scientifico
Statale "G. Oberdan" Trieste
163
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Il laboratorio sulla crittografia
Il laboratorio su rappresentazioni grafiche
164
PARTE III
CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE
PARTE TERZA
“LA MATEMATICA DEI RAGAZZI:
SCAMBI DI ESPERIENZE TRA COETANEI”
UNA VALUTAZIONE DEL LAVORO SVOLTO1
DANIELA LEDER2, CINZIA SCHERIANI3, LUCIANA ZUCCHERI4
IL PUNTO DI VISTA DEI DOCENTI/RICERCATORI
Alla fine di ogni edizione della manifestazione, nell'ambito del Nucleo di Ricerca
Didattica del Dipartimento di Scienze Matematiche dell'Università di Trieste (per
brevità, in seguito, NRD) ci si è fermati a riflettere sul lavoro fatto, per migliorarlo
nell'edizione seguente, anche dal punto di vista organizzativo, e per valutare i risultati ottenuti. Riportiamo qui le principali osservazioni emerse in questo contesto.
Per quel che riguarda l'esperienza finora svolta, si è sempre giunti alla convinzione di aver ottenuto risultati positivi a vari livelli.
Infatti, dal punto di vista didattico, tutti gli insegnanti del NRD si sono dichiarati
soddisfatti degli obiettivi di apprendimento di tipo matematico raggiunti dai loro allievi. Gli insegnanti del NRD inoltre sono convinti che quest'esperienza contribuisca
notevolmente a migliorare le capacità di relazione e di comunicazione degli allievi.
Fin dalla sua prima edizione, ci si è resi conto che questo "mini-convegno" produce anche altre ricadute positive, oltre a quelle già esposte. Alcune di esse non
erano state nemmeno previste al momento della sua ideazione.
1. Il presente testo, con alcune differenze negli allegati, è contenuto in: L.Zuccheri, La matematica
dei ragazzi: scambi di esperienze tra coetanei, pubblicato in rete nella sezione "La Biblioteca dei 500"
del sito di Ulisse, Nella rete della Scienza (Progetto In/Formazione permanente del Piano Babbage.
Per il rinnovamento della comunicazione scientifica della Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati (SISSA) di Trieste, finanziato dal Ministero dell'Istruzione, dell'Università e della Ricerca, http://ulisse.sissa.it/site/public/).
2. Sc. Elementare "G.Foschiatti", Via Benussi 12, I-34100 Trieste, [email protected]
3. Sc. Elementare "G.Carducci", Aurisina Cave, 85, I-34100 Duino Aurisina (TS), [email protected]
4. Dipartimento di Scienze Matematiche, Università di Trieste, Via Valerio 12/1, I-34100 Trieste, [email protected]
167
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Ad esempio, da questo tipo di lavoro non traggono profitto solo gli allievi, ma
anche gli insegnanti. Infatti i docenti delle classi che presentano i laboratori e quelli delle classi in visita hanno l'opportunità di scambiarsi opinioni e materiali didattici, e di osservare indirettamente lo stile di lavoro dei colleghi. Per questo motivo,
nella seconda edizione, la manifestazione è stata inserita nel programma di una
visita di scambio con insegnanti francesi, nell'ambito di un Progetto Comenius. Ciò
è stato molto apprezzato anche dai colleghi d'oltralpe. A riprova dell'interesse suscitato in generale tra gli insegnanti, si deve considerare il numero dei ragazzi partecipanti: cinquecento circa nella prima edizione, quasi un migliaio nella seconda,
ottocento circa nella terza, mille nella quarta.
Inoltre, la partecipazione a "La matematica dei ragazzi" dà agli insegnanti l’occasione per intraprendere una collaborazione con altri colleghi del proprio istituto,
in modo da realizzare un lavoro interdisciplinare.
Altre ricadute positive si sono avute facendo partecipare alla manifestazione,
come osservatori o collaboratori, studenti dell'indirizzo didattico del corso di laurea
in matematica, e, più in generale, insegnanti in formazione (neolaureati in matematica, studenti del corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, specializzandi della SSISS5) o futuri educatori (studenti del corso di laurea in Scienze dell’Educazione).
Non è infine da sottovalutare l’importanza di questo tipo di attività quale mezzo
per stabilire e rafforzare i contatti con le famiglie degli allievi (almeno per i cosiddetti
"relatori").
Ci è sembrato perciò utile esporre al congresso CERME26 le nostre riflessioni
su questo tipo di lavoro svolto dal nostro gruppo, comprese le osservazioni che
seguono, riassumendole in un poster (cfr. Leder et alii 2001).
IL PUNTO DI VISTA DEGLI ALLIEVI
Dalle osservazioni fatte da tutti i componenti del gruppo sul comportamento
degli allievi, è emerso in maniera molto evidente che, sia nel lavoro di preparazio5. Scuola di Specializzazione per l'Insegnamento nella Scuola Secondaria.
6. Conference of European Research in Mathematics Education II, Mariánské Lázné, Czech Republic, 24-27 febbraio 2001.
168
PARTE TERZA
ne, sia nel corso della manifestazione, tutti i ragazzi sono fortemente coinvolti dal
punto di vista emozionale. Tale coinvolgimento ha secondo noi un effetto positivo e
motivante, e ciò, unito alla consapevolezza di condividere la responsabilità del lavoro con un gruppo di compagni, aiuta a superare timidezze e incertezze.
Quest'osservazione ci ha spinto, nel 1998, a richiedere ai ragazzi di scrivere un
breve testo sulle impressioni personali e sulle emozioni provate durante il lavoro. Ci
è sembrato importante considerare questo aspetto, sulla base delle osservazioni
già espresse, per la riconosciuta importanza dei fattori emozionali nel processo
d'apprendimento7.
Poichè l'intenzione era quella di osservare se emergevano considerazioni comuni e, nel caso, quali fossero, non si è voluto sottoporre agli allievi un questionario
con domande predisposte, per non influenzarli nella scelta degli argomenti e cercare di capire, sulla base delle loro riflessioni, ciò che li aveva colpiti di più. La consegna era semplicemente la seguente: "Scrivi le tue impressioni e le emozioni provate durante l'incontro La matematica dei ragazzi". Il compito è stato assegnato
entro pochi giorni dalla conclusione della manifestazione dagli stessi insegnanti di
matematica o dai loro colleghi di ambito linguistico. Gli elaborati a noi pervenuti,
come da nostra richiesta, non sono stati corretti. Riportiamo di seguito una breve
analisi fatta su 93 di tali elaborati. Alleghiamo in appendice alcuni protocolli scelti
perché, oltre ad essere rappresentativi, mettono in luce un po' tutti gli aspetti emozionali di seguito descritti.
Tuttavia anche in un centinaio circa di elaborati di altro tipo da noi raccolti (relazioni scritte sui contenuti matematici, o più genericamente sotto forma di diario,
richieste dagli insegnanti alla fine del lavoro) abbiamo rilevato questi aspetti e ci
riserviamo di completare il lavoro d’analisi in un secondo tempo.
Tra gli elaborati sulle impressioni personali, 66 sono stati scritti da ragazzi che
hanno presentato i laboratori (detti in seguito brevemente "relatori"), e 27 da ragazzi che, pur facendo parte di un gruppo di classi che presentava un laboratorio, nel
corso della manifestazione ha solo visitato i laboratori (detti in seguito "osservatori").
7. Cfr. ad es. Zan 2000a, 2000b, 2000c e l’ampia bibliografia in essi contenuta.
169
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Analisi degli elaborati dei "relatori"
La seguente tabella riporta la suddivisione per classi d’età dei 66 elaborati su
impressioni ed emozioni scritti dai "relatori".
Età
Numero
da 7 a 8
10
da 8 a 9
14
da 9 a 10
5
da 10 a 11
14
da 12 a 13
8
da 14 a 15
15
Poco meno della metà dei "relatori" (circa 42%) fa comunque cenno anche a
contenuti matematici, e una parte di essi (circa 15%) li descrive nel dettaglio.
Nonostante l’ampio spettro di variabilità delle classi d’età (da 7 a 15 anni), ben
l'85% dei relatori descrive, enfatizzandola in vario modo, l'esperienza vissuta come
"relatore"; circa 1/3 dei "relatori" sottolinea che "si sentiva un insegnante". Riteniamo che ciò dia indicazioni sul fatto che questa esperienza sia stata da loro vissuta
come un'esperienza "forte". I rimanenti descrivono più in generale le giornate trascorse; solo tre di questi bambini si limitano a descrivere un aspetto per noi marginale, ma per loro evidentemente interessante, di tali giornate: il pranzo tutti assieme al vicino ristorante "fast food".
Più della metà dei "relatori" (circa 56%) descrive il proprio coinvolgimento emotivo, indicando esplicitamente una o più delle seguenti sensazioni: eccitazione
(circa 20%), preoccupazione (circa 18%), felicità (circa 14%), imbarazzo (circa 5%).
Comunque, il 75% di quei "relatori" che descrivono uno stato di preoccupazione,
precisa poi di aver provato questa sensazione solo nella fase iniziale del meeting.
Il 9% dei "relatori" mette in rilievo qualche aspetto del lavoro (dei propri compagni o anche della nostra organizzazione) che non lo ha soddisfatto.
Una buona parte dei "relatori" (71% di essi, delle seguenti fasce d'età: 7-9, 1215) scrive anche osservazioni didattiche, del tipo seguente (cfr. grafico in figura):
a) è importante e difficile essere ascoltati dagli uditori,
b) insegnare è difficile,
c) è importante preparare discorsi diversi per uditori di diversa età,
d) spiegando si migliora la propria comprensione dei concetti matematici,
e) è importante rendere comprensibili gli argomenti trattati,
f) insegnare è facile,
g) bisogna essere capaci di interessare gli uditori,
170
PARTE TERZA
h) è facile insegnare solo a ragazzi più grandi,
i) è importante usare parole adeguate,
j) è importante preparare il discorso.
Come si vede dal grafico, la maggior parte delle osservazioni di tipo a) e b) sono
state fatte dai bambini di 7-8 anni, mentre la maggior parte di quelle di tipo c) e d)
dai ragazzi di 14-15 anni. In particolare, i bambini di 7-8 anni hanno fatto solo osservazioni del tipo a), b), e), i), mostrando la loro preoccupazione per il compito assegnato; cosa abbastanza comprensibile, vista la loro età. Le osservazioni dei ragazzi più grandi sono più differenziate e indicano maggiore maturità di pensiero.
Infine, il 71% dei "relatori" valuta esplicitamente in modo positivo l'esperienza
vissuta: il 44% circa scrive di essere soddisfatto, il 27% circa scrive che avrebbe
voluto ripeterla, gli altri non si esprimono sull'argomento.
Analisi degli elaborati degli "osservatori"
La seguente tabella riporta la suddivisione per classi d’età dei 27 elaborati su
impressioni ed emozioni scritti dagli “osservatori”.
Età
Numero
da 10 a 11
7
da 14 a 15
20
171
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Come si vede, i dati riguardano solo due classi d’età. Gli "osservatori" qui
descritti erano infatti presenti perché i loro insegnanti avevano scelto di partecipare con due classi parallele, facendo presentare il lavoro solo ad una parte degli
allievi.
Gli "osservatori" scrivono in buona parte (circa 70%) sui contenuti matematici
proposti dai loro compagni, descrivono ciò che hanno appreso (circa 41%), sottolineano che ascoltando hanno migliorato la loro comprensione dei concetti matematici (circa 30%), criticano alcuni aspetti dell'organizzazione del lavoro (circa 19%),
esprimono giudizi sul modo in cui i compagni davano le spiegazioni (circa 11%).
Infine, il 44% degli "osservatori" valuta in modo esplicito positivamente l'esperienza. Gli altri non si esprimono sull'argomento.
CONCLUSIONI
Non nascondiamo che il lavoro si è svolto ogni volta in mezzo a molte difficoltà,
alcune delle quali, di tipo organizzativo, sono state già messe in luce. Ad esempio,
nella scuola secondaria superiore il lavoro di preparazione in classe difficilmente
riesce ad essere inserito completamente nelle ore di lezione curricolari e ciò finora
ha reso più scarsa la partecipazione di classi di relatori di questo livello scolare.
La difficoltà maggiore, comune ad ogni attività di questo tipo, consiste però nella
scarsità di tempo a disposizione, nel periodo preparatorio, per le discussioni collegiali tra i membri del NRD, che devono svolgersi al di fuori dell'orario di servizio
degli insegnanti.
Il bilancio della manifestazione "La matematica dei ragazzi", come abbiamo
messo in luce nei paragrafi precedenti, è considerato tuttavia molto positivo, sia
dagli insegnanti, sia dai bambini e ragazzi che vi hanno partecipato.
Sottolineiamo, infine, che tale lavoro offre molti spunti di ricerca che solo ora
stiamo iniziando ad affrontare, avendo instaurato, proprio grazie a "La matematica dei ragazzi", una collaborazione con ricercatori dell'ambito psico-pedagogico.
Citiamo alcuni dei possibili campi d'indagine:
- osservazione e studio delle modalità di comunicazione scientifica tra bambini
e ragazzi delle diverse fasce d'età, ponendo attenzione al linguaggio usato e al
modo in cui si relazionano tra loro,
172
PARTE TERZA
- osservazione delle ricadute nel tempo di questo tipo di esperienza sull'atteggiamento dei bambini e ragazzi verso la matematica,
- verifica della stabilità o meno delle conoscenze apprese in questo contesto,
- osservazione di come e in che misura l'aspetto emozionale e la modalità di
lavoro in collaborazione influenzino il comportamento e l'apprendimento in questo contesto,
- osservazione e studio in questo contesto di casi di bambini e ragazzi con riconosciute difficoltà di apprendimento.
BIBLIOGRAFIA
LEDER D., SCHERIANI C. AND ZUCCHERI L., 2002, The mathematics of the boys/girls:
exchange of experience among boys/girls of the same age, Poster, in Proceedings of CERME2, Mariánské Lázné, Czech Republic, Part I
ZAN R., 2000a, Le convinzioni, L’insegnamento della Matematica e delle Scienze
Integrate, vol. 23, n.2
ZAN R., 2000b, Le emozioni, L’insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, vol. 23A, n.3-4
ZAN R., 2000c, Gli atteggiamenti, L’insegnamento della Matematica e delle Scienze
Integrate, vol. 23A, n.5
173
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
ELABORATI
APPENDICE
SU IMPRESSIONI ED EMOZIONI
[Oltre agli elaborati qui presentati, invitiamo alla lettura delle relazioni scritte da
allievi contenute in questo volume e quelle allegate ai lavori dei rispettivi docenti]
1. Anonimo, Sc. El. "F.lli Visintini" di Trieste, classe III, relatore
Un mese fa abbiamo partecipato ad un convegno di matematica e anch’io avevo
il mio compito. Il mio compito consisteva a spiegare il diagramma della fiaba di
Perognolo che ad un certo punto non si ricordava più il numero delle pere che
aveva e quindi ha dovuto usare la moltiplicazione.
I bambini più grandi confondevano il numero delle ceste con il numero delle pere
e invece i bambini più piccoli riuscivano a fare prima la soluzione del problema.
Questo mi ha sorpreso molto e mi ha tranquillizzato perché all’inizio ero preoccupato di quello che avrebbero pensato di me i ragazzi più grandi.
Comunque è stata una bella esperienza perché ci ha fatto collaborare con altri
bambini che non conoscevamo e spero di rifarla altre volte.
2. Daniele, Sc. El. "D.Rossetti" di Trieste, classe V, relatore
Al giovedì nella ex scuola Codermaz per la prima volta abbiamo spiegato quello che sapevamo sulla calcolatrice tascabile eravamo divisi in gruppetti; io ero in
gruppo con Piero, Rosandra e Vanessa.
All’inizio mi vergognavo, ma poi mi divertivo molto.
Mi piaceva molto spiegare soprattutto con quelli che ascoltavano e non con
quelli che giocano.
Io e Piero spiegavamo le funzioni della calcolatrice mentre Rosandra e Vanessa spiegavano la storia della calcolatrice.
Verso la fine siamo andati ad ascoltare la II media che ci ha spiegato la calcolatrice tascabile scientifica.
174
PARTE TERZA
Io spiegavo le funzioni cioè la memoria, la percentuale, la potenza, la costante,
la radice quadrata e i giochi.
Alla fine mia mamma mi è venuta a prendere e io non volevo andare via.
Il venerdì siamo ritornati ma c’erano Sara, Daniela, Alan, Claudia e non c’era
Vanessa.
Le classi che ci ascoltarono erano I, III, VI, I superiore, mentre la V classe ha
ascoltato poco.
Io ho anche spiegato la storia dal cartellone.
Mi vergognavo ma mi divertivo molto.
Non volevo più andare via ma volevo spiegare ancora.
Mi sono divertito un sacco.
3. Alice, Antonia, Matteo, Patrizio, Stefano,
Sc. Media "G.Corsi" di Trieste, classe I, relatori
La nostra classe ha partecipato all'iniziativa "MATEMATICA DEI RAGAZZI" dopo
aver studiato le relazioni per mettere in pratica ciò che abbiamo imparato.
Tramite questo scambio di esperienze in futuro acquisiremo delle nuove capacità: sapremo comprendere ed esporre meglio le nostre conoscenze, socializzeremo con i nostri coetanei, arricchiremo le nostre conoscenze matematiche e geometriche, la solidarietà ci rafforzerà.
Per rendere il lavoro meno confusionario, la professoressa Pistis, insegnante di
matematica, ci ha divisi in 5 gruppi che hanno approfondito diversi argomenti, utilizzando: diagrammi di Venn, istogrammi, aerogrammi e cartine. I gruppi erano "I
Dolphins" che si sono occupati degli istogrammi, gli "Extrasaturno" che spiegavano
i piani cartesiani, gli "Strizzacervelli" che lavoravano con i diagrammi di Venn, gli "In
& Out" che hanno ricercato le provenienze dai quartieri triestini, mentre il nostro
gruppo "I maghi Merlino e Magò" invece di approfondire un solo argomento ha riferito il contenuto del cartellone generale solo su di noi. Ogni componente si occupava di uno schema matematico, riferito al cartellone generale, ma con dati e provenienze del nostro gruppo. Parlavamo con ordine per non creare confusione agli
ospiti ed usavamo un linguaggio corretto, perché ci eravamo preparati bene a scuola. Dopo due mesi di preparazione prove e controlli del materiale eravamo pronti a
presentare il nostro operato.
175
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
Il primo giorno, 26 marzo, ci siamo recati alla scuola media Codermaz e ci siamo
sistemati nell'aula di artistica dove, dopo 10 minuti di preparazione sono arrivati i
primi gruppi. Le visite duravano circa 15 minuti. Al termine della spiegazione spesso gli ospiti giocavano con delle cartine, delle bandierine e un abaco, che rappresentavano gli schemi matematici. Il venerdì 27, secondo giorno di convegno,
andando a visitare i lavori degli altri ci siamo arricchiti di altre conoscenze positive.
Le classi medie erano particolarmente interessate agli argomenti, anche perché
avendo già studiato questo campo matematico, non avevano bisogno di spiegazioni superflue.
Le classi elementari invece, capivano molto poco, perché dovevano affrontare
questo argomento per la prima volta. In generale ci sono state grandi soddisfazioni quando la professoressa e gli altri insegnanti si sono congratulati con noi. È stato
faticoso spiegare sempre le stesse cose, ma in fondo è stato divertente.
Al termine delle due giornate di convegno abbiamo raccolto le opinioni dei compagni per la maggior parte è stata un'esperienza positiva, per altri noiosa e stancante.
Infatti per Matteo, Stefano, Patrizio, è stata un'esperienza noiosa al principio ma
poi divertente, invece per Antonia, e Alice, è stata interessante, divertente e utile.
4. Lucia, Sc. Media "Divisione Julia" di Trieste, classe II, relatore
Pochi giorni prima di questa mostra avevamo molta paura di sbagliare qualcosa
durante le spiegazioni ma dopo le tranquillizzazioni dei nostri amici stemmo più
tranquilli e soprattutto ottimisti.
Giovedì 26 marzo alla mattina eravamo tutti tranquilli pensavamo che questo
giorno sarebbe stato un giorno divertente, istruttivo che non ce lo saremmo mai
dimenticati: stare con i nostri compagni e partecipare con tutto il nostro impegno al
grande lavoro di gruppo della scuola. Quando parlavamo e spiegavamo agli altri studenti delle altre scuole ci sentivamo degli altri: non più gli alunni che ascoltano le
spiegazioni dei professori ma degli alunni nei panni dei professori che spiegano agli
altri. Perfino la più timida (Arianna) era diventata più espansiva. Grandi e piccoli venivano ad ascoltare le nostre spiegazioni e le modificavamo a seconda dell'età.
Ogni volta che ci accorgevamo che qualcuno non aveva ascoltato gli facevamo
ripetere la spiegazione. I bambini più piccoli erano stati molto più interessati e attenti, i più grandi bisbigliavano tra di loro e non ci prestavano attenzione.
176
PARTE TERZA
Sono venuti ad ascoltarci diversi professori e maestri di tutte le scuole e perfino
le professoresse francesi e tutti erano interessati e certi ci chiedevano come facevamo i modellini per applicarli nelle loro classi.
È stata un'esperienza molto interessante che non dimenticheremo mai.
5. Arianna , Sc. Media "Divisione Julia" di Trieste, classe II, relatore
Pochi giorni prima di questa mostra avevo molta paura, ma pensai che avrei
dovuto solamente mostrare la figura ma quando mi dissero che avrei dovuto anche
spiegarla non sapevo se andare alla mostra. Dopo le rassicurazioni dei miei genitori decisi di stare tranquilla e pensare che andrà tutto bene.
Infatti fu così. Il giorno 26 marzo alla mattina ero molto tranquilla. Pensavo che
quel giorno avrei dovuto godermelo al massimo, stare con le mie compagne e partecipare con tutto il mio impegno al grande lavoro di gruppo della scuola.
Mentre parlavo e spiegavo agli studenti delle altre scuole mi sentivo un’altra non
ricordavo più il mio carattere chiuso e timido ma quello di una persona aperta e
chiara con la voglia di comunicare con altre persone sconosciute. Grandi e piccoli
vennero ad ascoltare le nostre spiegazioni. In certi casi dovevamo spiegare anche
due volte mentre in altri ne bastava una perciò che capissero. Nei momenti di tregua le mie compagne ed io scherzavamo sempre e in quei momenti mi sentivo felice e spensierata, solo perchè avevo parlato con bambini più piccoli di me, molto
interessati e attenti.
Il secondo giorno invece ero molto scocciata perchè gli studenti erano quelli
delle superiori e terze medie ed erano molto antipatici perchè chiacchieravano tra
loro e non ascoltavano con attenzione.
Ma nonostante tutto ho avuto l'occasione di parlare con altre persone e di stare
in compagnia delle mie amiche durante un importante lavoro di gruppo.
6. Valentina, Sc. Media di Mariano del Friuli, classe III, relatore
Credo che un'esperienza così non mi sia mai capitata. Altro che emozioni,
impressioni, l'unica parola adatta è "Che sballo ragazzi". Sì è stata proprio stupenda; sia in campo di allievi che d'insegnanti. Allievi siamo stati ben poco, quello che
177
LA MATEMATICA DEI RAGAZZI
ci basta per farci capire che "è meglio insegnare". A parte gli scherzi, abbiamo
ascoltato le spiegazioni di un'altra classe molto volenterosa che ci ha spiegato i
"moduli 2 di calcolo (vari tipi di calcolo usando l'orologio, con le quattro operazioni
+; -; x; :) molto interessanti e, soprattutto ben presentati. Insegnanti? Volevo arrivarci adesso! E sì è proprio una bella esperienza, anche perché la maggior parte
della giornata, l'abbiamo trascorsa "insegnando". È molto divertente insegnare
anche perché non l'abbiamo mai fatto. La cosa più bella è insegnare a quelle classi che vogliono sapere e sono laboriose, così la cosa diventa più divertente e spiegare diventa un gioco. Però molte classi, che ci sono capitate erano disinteressate
e facevano confusione, infatti ci siamo lasciati trascinare dalla rabbia e abbiamo
peggiorato la situazione. Comunque è una situazione piacevole ed insostituibile.
Io ed un'altra mia compagna, Chiara, abbiamo fatto un'esperienza unica: abbiamo dovuto spiegare tutto il lavoro fatto da noi ad una classe "disinteressata" che ci
prendeva in giro ma comunque non gli abbiamo dato retta e se ne sono andate
insoddisfatte per non averci fatto arrabbiare. Io e Chiara siamo un po' rimaste male
ma ci siamo subito riprese. Questo è quello che penso io ma voi potete avere un'impressione diversa, però "CHE ESPERIENZA RAGAZZE!"
7. Luca, Sc. El. "D.Rossetti" di Trieste, classe V, osservatore
Il 27/3/98 la VB e la VC siamo andati a visitare la scuola Codermatz.
C'erano tanti giochi da fare e noi bambini eravamo divisi in gruppetti.
Facevamo dei giochi di storia, di matematica ed italiano.
I bambini delle altre scuole ci avevano raccontato una storia che parlava di uno
gnomo e ci avevano fatto trovare i dati della storia e la risposta, bisognava anche
trovare gli antagonisti, protagonisti e tante altre cose.
Dopo aver visitato tutto siamo andati dai nostri compagni a vedere la calcolatrice.
La cosa che mi è piaciuta di più è stata la storia dello gnomo perchè era come
un problema.
178
PARTE TERZA
8. Anna, Liceo Scientifico "G.Oberdan" di Trieste, classe I, osservatore
Penso che l'obiettivo è stato raggiunto: il gruppo che ha partecipato a questo
convegno è riuscito ad esporre l'argomento dell'aritmetica modulare in modo chiaro e diverso per ogni tipo di spettatore, lasciando chiare nozioni a tutti.
Mi ha colpito la capacità dei miei amici conferenzieri nel riuscire ad illustrare la
materia generalmente in tre diversi livelli: per alunni della scuola elementare, per
studenti della prima media e per quelli della terza media.
Il grado d'attenzione era più sentito tra gli alunni delle elementari: molto interessato e attento.
Questo fatto mi ha lasciato sorpresa perchè non mi aspettavo che ragazzi così
giovani avrebbero avuto tanto interesse per un argomento, per loro, non molto semplice.
Mi ha lasciato delusa, invece, il comportamento degli alunni della scuola media,
molto più disinteressati e disattenti.
Per quelle persone che conoscevano già l'aritmetica modulare il convegno ha
chiarito dubbi che potevano ancora esserci.
È un'esperienza nuova che rifarei volentieri, che mi è stata utile dal punto di vista
della materia, ma anche come arricchimento personale.
179
INDICE
PREMESSA.............................................................................................. pag.
PRESENTAZIONE............................................................................................
PARTE I
La matematica dei ragazzi: scambi di esperienze tra coetanei
Prima edizione (11-12 aprile 1996) ..................................................................
Programma ......................................................................................................
Avvio alla simbolizzazione attraverso considerazioni su aree e perimetri,
con l’uso del tangram
Bruno Giorgolo..................................................................................................
Utilizzo del simmetroscopio in geometria e in attività interdisciplinari
Bruno Giorgolo..................................................................................................
Ritmi in matematica e in altre discipline
Cinzia Scheriani................................................................................................
Approccio all’informatica con attività interdisciplinari
Annamaria Iurcotta ..........................................................................................
Studio di figure geometriche con strumenti didattici di vario tipo
Marina Rocco....................................................................................................
Numeri primi e divisibilità con l’utilizzo del linguaggio di programmazione
Turbo Pascal
Marino Della Valle ............................................................................................
Equiestensione ed equivalenza di figure piane
Lucia Balbo (Suor Fabrizia) ..............................................................................
Fogli elettronici e statistica
Giuliana Candussio ..........................................................................................
Il punto di vista dei ragazzi nella prima edizione..............................................
Incontro a Trieste: la matematica dei ragazzi
Arianna-Andrea ................................................................................................
Relazione sulla mostra di matematica
Giulio ................................................................................................................
Impressioni personali
Daniela..............................................................................................................
PARTE II
La matematica dei ragazzi: scambi di esperienze tra coetanei
Seconda edizione (26-27 marzo 1998) ............................................................
Programma ......................................................................................................
5
7
9
11
15
16
17
18
19
20
21
22
23
25
31
35
37
39
181
Il gioco dell’agente segreto
Maria Concetta Marceddu ................................................................................
Il concetto di simmetria in geometria ed in aritmetica
Metilde Duchi ....................................................................................................
Il mistero dei linguaggi perduti (Linguaggi a confronto)
Daniela Leder, Eva Onofrio ..............................................................................
Il numero, che follia! (Di tutto sui numeri interi)
Cinzia Scheriani................................................................................................
Calcolatrici tascabili: istruzioni per l’uso
Annamaria Bergamo ........................................................................................
La fiaba della geometria (Geometria e specchi semitrasparenti)
Bruno Giorgolo..................................................................................................
Dai triangoli ai frattali
Annamaria Iurcotta ..........................................................................................
Da dove proveniamo? (Spunti per l’utilizzo di rappresentazioni grafiche)
Piera Pistis........................................................................................................
Figure piane e Cabri: alcune proprietà di poligoni viste al calcolatore
Marina Rocco....................................................................................................
Nel mondo delle calcolatrici e dei calcolatori
Giuliana Candussio ..........................................................................................
Dal piano allo spazio
Marina Rocco....................................................................................................
Aritmetica modulare
Franco Rupeni ..................................................................................................
43
57
63
75
81
89
97
107
113
131
141
153
PARTE III
Considerazioni conclusive ................................................................................ 165
“La matematica dei ragazzi: scambi di esperienze tra coetanei”
Una valutazione del lavoro svolto
Daniela Leder, Cinzia Scheriani, Luciana Zuccheri.......................................... 167
182
Impaginazione e stampa
STEA - Servizio Tipo-Editoriale di Ateneo
Ristampa
Settembre 2006