Bologna
18 maggio 2009
materiale
per discussione
Teresa Sardena
[email protected]
copyright © 2008 prometeia
le distribuzioni di
probabilità implicite
da contratti derivati
una misura delle aspettative dei mercati
agenda
1 | Introduzione
2 | Mercati oggetto di studio
3 | Modelli di stima
4 | Opzioni ad orizzonte costante
5 | Incertezza nei dati di input
6 | Rappresentazione
riservato e confidenziale 18 maggio 2009 | le distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivati | 2
1 | Introduzione
Mercati oggetto di studio
Modelli di stima
Opzioni ad orizzonte costante
Incertezza nei dati di input
Rappresentazione
riservato e confidenziale 18 maggio 2009 | le distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivati | 3
Introduzione
Che cos’è una PDF?
I prezzi delle opzioni quotate permettono di stimare le funzioni di distribuzione di
probabilità (dette in breve PDF, dall’inglese probability density functions), sugli asset
sottostanti.
La PDF può essere interpretata come la distribuzione di probabilità aggregata di mercato
– di un ipotetico investitore rappresentativo – per il prezzo di un dato sottostante ad una
certa scadenza.
Dato che la PDF può essere interpretata come la distribuzione di probabilità aggregata
del prezzo del sottostante a una specifica scadenza, le stime ottenute possono essere
usate per analizzare le aspettative degli agenti economici sull’andamento di attività
finanziarie sulle quali vengono scambiate opzioni. Inoltre, poiché la probabilità non è quella
“vera” ma è trasformata per tener conto del rischio, le PDF rifletteranno anche le
preferenze degli operatori e il grado di incertezza nell’economia.
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Introduzione
perche’ stimare la PDF?
Per un dato sottostante, a partire dai prezzi delle opzioni quotate osservabili sul mercato,
si può stimare la probability density function (PDF) neutrale al rischio implicita ad una
data scadenza.
Tale stima può essere utilizzata sia a fini congiunturali sia a fini di pricing.
Fini congiunturali
Fini di pricing
 Gli indicatori costruiti usando le serie
 Attraverso la PDF è possibile costruire
storiche dei rendimenti degli asset sono
backward-looking, invece indicatori
ottenuti dai prezzi delle opzioni,
incorporando le aspettative sul futuro
andamento del sottostante, sono
forward-looking;
Le PDF permettono di estrarre la view di
mercato rispetto ad un dato sottostante
e di monitorarla nel tempo.
delle superfici di volatilità che
permettano di prezzare opzioni sul
sottostante considerato.
Tali superfici di volatilità considerano lo
skew implicito nelle quotazioni dei premi
delle opzioni.


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Introduzione
intuizione
Osservando i prezzi delle opzioni aventi strike diversi ma medesima scadenza si può
inferire la probabilità assegnata dal mercato ai possibili esiti del sottostante all’orizzonte
futuro corrispondente alla scadenza delle opzioni .
 Un’opzione call a scadenza avra’ un qualche valore se il prezzo del sottostante sarà
maggiore dello strike dell’opzione stessa.
 Un’opzione call avente uno strike minore avrà sempre un valore maggiore di
un’opzione call con strike più alto.
 Un opzione con strike più basso avrà un pay-off più alto se esercitata e una più alta
probabilità di essere esercitata.
 Questa probabilità addizionale riflette la possibilità che il sottostante in futuro
vada a cadere tra i due strike.
 Se ne deduce che la differenza di prezzo può essere usata per inferire la
probabilità di un esito rispetto ad un altro.
Osservando i prezzi dei contratti attraverso il range di possibili esiti è possibile ricostruire
l’intera PDF.
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Introduzione
Breeden & Litzenberger
In mercati dinamicamente completi (se la funzione di prezzo delle opzioni call è una funzione
continua rispetto ai prezzi di esercizio), la PDF del sottostante è proporzionale alla derivata
seconda della funzione di prezzo delle opzioni call, calcolata rispetto allo strike (Breeden, D
and Litzenberger, R (1978)):
PDF (T , K )  e
 rT
 2c(T , K )
K 2
Questo risultato implica che, se i prezzi delle opzioni fossero noti con certezza per tutti i
possibili strike, la stima della PDF sarebbe semplicemente e univocamente determinabile
tramite differenziazione.
Tale stima è particolarmente complessa, anche se l’idea di base è piuttosto semplice: la
maggiore complessità consiste nel ricavare una funzione di prezzo delle opzioni call continua
e differenziabile.
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Introduzione
flusso dei dati | step by step
Raccolta dei dati di mercato
Mercati oggetto di
studio
Definizione della funzione di prezzo di un opzione call
Modelli di stima
Stima delle PDF
Calcolo delle statistiche di sintesi
Rappresentazione
delle PDF
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Introduzione
2 | Mercati oggetto di studio
Modelli di stima
Opzioni ad orizzonte costante
Incertezza nei dati di input
Rappresentazione
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Mercati oggetto di studio
quali sottostanti
Opz. su futures su tassi di int. a breve t.
Opzioni su futures su titoli Gov. 10Y
 Euribor a tre mesi
 10Y Bund
 EuroDollaro a tre mesi
 10Y USD Treasury Bond
 Short Sterling a tre mesi
 10 Y GBP Gilt
 EuroYen a tre mesi
 10Y Japanese Bond
Opzioni su futures su indici azionari
 EuroSTOXX 50
 S&P MIB
 S&P 500
 FTSE 100
 Nikkei
Opzioni OTC su tassi di cambio
 EURUSD
 EURJPY
 EURGBP
 USDJPY
 USDGBP
 JPYGBP
Perche’ utilizziamo le opzioni sui futures?
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Introduzione
Mercati oggetto di studio
3 | Modelli di stima
Opzioni ad orizzonte costante
Incertezza nei dati di input
Rappresentazione
Prossimi passi
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Modelli di stima
approcci di stima
Parametrico
metodi che ipotizzano che il
prezzo dell’attività sottostante
abbia una determina
distribuzione
Non Parametrico
metodi che non formulano
alcuna ipotesi sulla
distribuzione del sottostante
 Formula di pricing: formula chiusa per il pricing
delle opzioni usata in modo diretto;
 Interpolazione: non si utilizza alcuna funzione di
interpolazione;
 Metodo di estrazione della funzione di probabilità
implicita: minimizzazione di una funzione di
perdita.
 Formula di pricing: utilizzata in modo indiretto;
 Interpolazione: si interpola la volatilità implicita;
 Metodo di estrazione della funzione di
probabilità implicita: metodi basati sul risultato
di Breeden e Litzenberger;
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Modelli di stima
approcci di stima | metodo parametrico
contro
pro
Implementazione
E’ sufficiente un numero
ridotto di dati per la
stima
Metodo numerico basato
su procedure di
ottimizzazione. Può
presentare problemi di:
 Ottimo Globale,
 Lentezza nella
convergenza.
Comportamento nelle Code
Robustezza
Il comportamento delle code
dipende dal modello:
 la stima dei percentili estremi
coerente con il modello.
 adatto a valutazioni VaR.
Piccole variazioni nei prezzi
inficiano la stabilità delle
statistiche di sintesi.
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Modelli di stima
approcci di stima | metodo non-parametrico
Implementazione
pro
Non introduce ipotesi
aggiuntive all’interno
dell’insieme supporto.
 Metodo numerico
contro
Comportamento nelle Code


basato sulla
differenziazione di 2°
ordine della funzione di
prezzo delle call .
Può presentare
problemi di stabilità.
Risente negativamente
di ridotti insiemi
supporto.
Robustezza
Presenta un alto livello di
robustezza alle variazioni dei
dati di input. Piccole
perturbazioni nei prezzi di input
non inficiano la stabilità delle
statistiche.
 Non controlla il


comportamento della
distribuzione nelle code.
La stima dei percentili
estremi dipende dalle
ipostesi sulle code.
Non adatto a valutazioni
VaR.
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Modelli di stima
modelli implementati
Per il progetto di stima delle PDF, si sono costruiti sia un modello parametrico sia un
modello non parametrico.
mentre
il modello non parametrico
scelto il modello Cubic
Smoothing Spline (utilizzato a
fini di congiunturali).
25%
Css
Mistura Log Normali
20%
PDF implicita
Il modello parametrico
implementato è la mistura di
log-normali secondo
l’approccio di Rebonato
Cardoso (utilizzato a fini di
pricing )
15%
10%
5%
0%
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
USD/EUR
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Modelli di stima
mistura di lognormali | ipotesi ed approccio implementato
L’ipotesi alla base della mistura di lognormali è la seguente:
la distribuzione del prezzo futuro del sottostante è una combinazione lineare di n
distribuzioni lognormali.
L’approccio di Rebonato & Cardoso (2003) si differenzia dalle altre versioni presentate in
letteratura poiché, attraverso l’introduzione di un paio di condizioni, permette di ottenere
una stima dei parametri attraverso un processo di ottimizzazione non vincolata.
A ) Condizione sui pesi della distribuzione
La somma dei pesi delle n
distribuzioni sia pari a uno (il valore
dell’opzione è una media ponderata
del premio per ciascuna distribuzione
lognormale).
B) Condizione sui drift neutrali al rischio
La media ponderata dei valori attesi del
sottostante negli n stati di natura deve
essere pari al valore del sottostante
capitalizzato al tasso risk-free sino a
scadenza. (mercato privo di arbitraggio)
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Modelli di stima
mistura di lognormali | step by step
APRROCCIO MISTURA LOGNORMALI
Ottimizzazione I
(sui prezzi)
Ottimizzazione II
(sulle volatilità)
Costruzione
superficie
di volatilità
Ottenimento PDF
• Stima dei parametri minimizzando la somma degli scarti
quadratici dei prezzi del modello con i premi quotati.
A partire dai parametri stimati, avviare un secondo processo di
ottimizzazione sulla somma degli scarti quadratici delle
volatilità implicite del modello con le volatilità implicite nei
premi quotati.
Ricavare la volatilità implicita dai premi delle opzioni calcolati
con i parametri stimati.
Calcolare la PDF implicita come combinazione lineare delle PDF
delle n distribuzioni lognormali.
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Modelli di stima
mistura di lognormali | stima dei parametri
La stima dei parametri delle n distribuzioni lognormali si ottiene attaverso un processo di
minimizzazione di una funzione quadratica di perdita pari a:
 (prezzimodello MLN – prezzimercato)2
Poiché tale metodologia ha prevalentemente lo scopo di costruire una superficie di
volatilità, abbiamo introdotto un secondo processo di minimizzazione volto ad identificare
un set di parametri che meglio rappresentino le volatilità implicite nei premi quotati. La
seconda funzione di perdita è:
 (Volatilitàmodello MLN – Volatilitàmercato)2
Una volta ottenuti i parametri delle n distribuzioni lognormali è possibile costruire una
funzione di prezzo delle opzioni call, a partire dalla quale si ottengono sia le PDF che le
volatilità implicite.
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Modelli di stima
Cubic Smoothing Spline | step by step
APRROCCIO CUBIC SMOOTHING SPLINE
Fitting e
interpolazione
• Calcolo della volatilità implicita e del delta per le opzioni e
fitting di una cubic smoothing spline nello spazio cartesiano
volatilità implicita-delta.
Trasformazione
Coordinate
Trasformazione dei delta interpolati nei corrispondenti strike
ed espressione della volatilità implicita come funzione degli
strike.
Funzione di pricing
Sostituzione dell’espressione della vol. implicita nel modello di
pricing utilizzato (Black(1976)) e costruzione della funzione di
prezzo delle opzioni call.
Breeden
Litzenberger
Estrapolazione
Costruzione della PDF utilizzando il risultato di BreedenLitzenberger (differenziazione numerica della funzione di
prezzo delle opzioni call )
Estrapolazione del comportamento della distribuzione al di
fuori dell’insieme supporto.
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Modelli di stima
CS Spline | fitting e interpolazione (1/2)
Stima della volatilità implicita e del delta per le opzioni osservate e fitting di una cubic
smoothing spline nello spazio cartesiano volatilità implicita-delta.
0.15
0.15
Volatilità Implicita
Volatilità Implicita
0.14
0.13
0.13
Volatilità implicita
Volatilità implicita
0.14
0.12
0.11
0.1
0.09
0.12
0.11
0.1
0.09
3.5
3.75
4
4.25
4.5
Tasso di interesse
4.75
5
1
0.75
0.5
Delta
0.25
0
Per ottenere un fitting più accurato si preferisce interpolare lo smile di volatilità invece dei
prezzi delle opzioni (E’ una semplice manipolazione dei dati).
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Modelli di stima
CS Spline | fitting e interpolazione (2/2)
Utilizzo di una Cubic Smoothing Spline - polinomio di terzo grado- che permette di
ottenere una funzione derivabile nel knot-point
min    i yi  f ( xi ;)2 (1 ) f " ( xi ;) 2 dx
 i

Fitting
Curvatura
Questo metodo di interpolazione gode della proprietà di ridurre le oscillazioni indotte dai
dati di mercato sulle opzioni che sono “noisy” e aumentare la smoothness della spline
cubica.
La funzione obiettivo è costituita di due parti, la prima rappresenta la scabrezza dei dati,
ossia la media pesata della differenza tra i dati osservati e i dati riprodotti dalla spline,
mentre la seconda parte minimizza l’integrale del quadrato della curvatura della spline
stessa.
Il parametro di smooting  è di grande importanza poiché se fosse troppo alto la
procedura assegnerebbe un elevato valore alla minimizzazione della somma dei residui,
viceversa un valore troppo basso significherebbe enfatizzare la minimizzazione della
curvatura.
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Modelli di stima
CS Spline | trasformazione delle coordinate cartesiane
0.9
50.0%
Prezzo opzioni call (asse SN)
PDF (asse DX)
0.8
45.0%
40.0%
0.7
35.0%
0.6
25.0%
PDF
Prezzo
30.0%
0.5
0.4
20.0%
0.3
15.0%
0.2
10.0%
0.1
5.0%
0
3.25
0.0%
3.5
3.75
4
4.25
4.5
4.75
5
5.25
Tasso di interesse
Ritorno allo spazio cartesiano di origine: trasformazione dei delta interpolati nei
corrispondenti strike. Espressione della volatilità implicita come funzione degli strike e
successiva derivazione della funzione di prezzo delle opzioni call.
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Modelli di stima
CS Spline | Breeden-Liztenberger
Il risultato di Breeden-Litzenberger ci dice che per ottenere la PDF e ‘ sufficiente ottenere
una funzione di prezzo delle opzioni call C(X,t) derivabile due volte . A partire da tale
funzione si calcola la derivata seconda utilizzando un metodo numerico e la si sconta per il
tasso privo di rischio.
2

C ( X ,t )
 r (T  t )
 r (T t ) ci 1  ci 1  2ci
PDF (ST   e

e

2
 X
(X 2
Si possono utilizzare diverse tecniche di interpolazione ed estrapolazione (es. lineare
costante), ma tutti i metodi non parametrici, una volta costruita la funzione di prezzo di
un’opzione call , determineranno la PDF tramite il teorema di Breeden - Litzenberger.
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Modelli di stima
CS Spline | Estrapolazione (1/2)
0.025%
Spline in-sample
Spline estr.lineare
Spline estr.costante
PDF implicita (%)
0.020%
0.015%
0.010%
0.005%
0.000%
22000
24000
26000
28000
30000
32000
34000
36000
38000
40000
S&P MIB (livelli)
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Modelli di stima
CS Spline | Estrapolazione (2/2)
1.2%
PDF a Orizzonte costante- 3 mesi
StimaPrometeia -CSs
1.0%
0.8%
Stima Prometeia -CSs senza
estrapolazione
Stima - Bloomberg
0.6%
0.4%
0.2%
0.0%
0.00%
1.00%
2.00%
3.00%
4.00%
5.00%
6.00%
Euribor (livelli)
Estrapolazione e distribuzione di probabilità neutrale a l rischio
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Introduzione
Mercati oggetto di studio
Modelli di stima
4 | Opzioni ad orizzonte costante
Incertezza nei dati di input
Rappresentazione
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Opzioni ad orizzonte costante
intuizione
La stima giornaliera delle PDF estratte dai prezzi di mercato esprime la view di mercato sulle
possibili variazioni del prezzo del sottostante tra il giorno di rilevazione dei prezzi e il giorno
di scadenza delle opzioni in esame. Questo significa che giorno dopo giorno l’orizzonte
considerato si accorcia, rendendo difficile il confronto delle PDF a date diverse.
La variazione nella dispersione della PDF è imputabile alla nuova informazione presente nel
mercato o è una conseguenza della diminuzione della scadenza?
Per separare questi due effetti ed isolare l’effetto “scadenza” si è deciso di costruire dei
contratti sintetici “ad orizzonte costante” e stimare su di essi le PDF.
Opzioni ad
orizzonte costante
 3, 6 , 12 mesi
 Interpolazione nei due metodi
 Stima delle statistiche di sintesi
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Opzioni ad orizzonte costante
interpolazione
Idea base: l’idea sottostante alla costruzione di un contratto sintetico ad esempio con
scadenza 6 mesi consiste nell’interpolare la volatilità dei contratti “veri” con scadenza
inferiore a sei mesi e superiore a sei mesi all’interno di uno spazio tridimensionale al fine di
creare dei contratti sintetici con scadenza 6 mesi.
Metodologia di interpolazione: il metodo di interpolazione applicato è lineare per entrambi
gli approcci.
Spazio di interpolazione: lo spazio tridimensionale cartesiano in cui si va a fare
l’interpolazione varia a seconda dell’approccio implementato (parametrico e non
parametrico).
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Opzioni ad orizzonte costante
interpolazione | spazio di interpolazione
approccio parametrico
approccio non parametrico
interpolazione dello smile di volatilità
avviene, a parità di strike, nello spazio
(strike, t, σ2).
interpolazione dello smile di volatilità
avviene, a parità di delta, nello spazio
(delta, t, σ2).
1
0.03
1mese
3 mesi
4 mesi
6 mesi
1mese
7 mesi
3 mesi
4 mesi
6 mesi
7 mesi
0.9
0.025
0.8
0.7
0.02
0.6
0.5
s2
delta
0.015
0.01
0.4
0.3
0.2
0.005
0.1
0
0
3.5
3.7
3.9
4.1
Strike
4.3
4.5
4.7
4.9
3.5
3.7
3.9
4.1
4.3
4.5
4.7
4.9
Strike
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Opzioni ad orizzonte costante
introduzione dei contratti sintetici
Raccolta dei dati di mercato
CSs
Definizione della funzione di prezzo di un opzione call
Contratti sintetici
Mistura Log-Normali
Stima delle PDF
Calcolo delle statistiche di sintesi
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Introduzione
Mercati oggetto di studio
Modelli di stima
Opzioni ad orizzonte costante
5 | Incertezza nei dati di input
Rappresentazione
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Incertezza nei dati di input
principali cause di distorsione dei dati in input
Il trading delle opzioni è fortemente concentrato per:
 le opzioni più vicine a scadenza (mentre in corrispondenza delle
scadenze più lontane i contatti sono meno liquidi) ;
 per quegli strike più vicini all’attuale prezzo del future (at the
money) o in quelle opzioni call (put) i cui strike sono sopra (o sotto)
i prezzi del sottostante (out of the money).
I prezzi di esercizio sono fissati su intervalli discreti, equispaziati;
I prezzi sono osservati e registrati con un potenziale errore
derivante da:
Per non incorrere in una
stima spuria della PDF
abbiamo introdotto dei filtri
sui dati di mercato
 l’asincronicità del trading delle opzioni,
 l’asincronicità di registrazione dei dati da parte provider,
 bid-ask bounce:
La presenza di rumore nei prezzi delle opzioni inficia
profondamente la stima dell’PDF e la rende meno affidabile.
riservato e confidenziale 18 maggio 2009 | le distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivati | 32
Incertezza nei dati di input
quali filtri implementare

filtri essenziali
 Esistenza Prezzo Last
 Numero minimo di strike
 Giorni a scadenza

filtri di liquidità





Volume
Bid-Ask Spread
Put -Call Parity
Delta
Vega
 filtri teorici
 Monotonicità dei prezzi
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Incertezza nei dati di input
introduzione dei filtri
Raccolta dei dati di mercato
Definizione della funzione di prezzo di un opzione call
Filtri
Stima delle PDF
Calcolo delle statistiche di sintesi
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Incertezza nei dati di input
test di robustezza |quale test applicare?
I prezzi delle opzioni, usati come input della stima della PDF, possono essere inficiati da un
numero potenzialmente alto di errori. Il test di robustezza ha lo scopo di analizzare
l’incertezza dei dati di input (Clews,Panigirtzoglou,Proudman(2000)).
 quanto varia la PDF stimata a
seguito di piccole perturbazioni
nei prezzi?
 quanto variano le statistiche di
sintesi a seguito di piccole
perturbazioni nei prezzi?
 data l’inesattezza da cui
possono essere inficiati i dati di
input, qual è il metodo di stima
più robusto?
Test implementati
 tecniche di simulazione Montecarlo,
condotte su prezzi veri;
 tecniche di boot-strapping degli
errori storici di fitting (Work in
Progress) .
riservato e confidenziale 18 maggio 2009 | le distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivati | 35
Incertezza nei dati di input
test di robustezza |quale test applicare?
Struttura del Test
1.
2.
3.
4.
Si applica uno shock ai prezzi delle opzioni di partenza,
Si estrae la PDF e si calcolano le statistiche di sintesi,
Si ripete il procedimento per almeno 100 disturbi estratti,
Si calcola la deviazione standard delle statistiche di sintesi.
In conformità a queste statistiche, il metodo che fornisce le più basse variazioni negli
indicatori è considerato più robusto.
Tabella risultati
USD/ EUR
6 mesi
Parametrico*
Media
Deviazione St
Skew
Curtosi
1anno
Non
Parametrico*
2.21
0.37
6.07
0.46
0.05
0.02
0.98
0.01
Unità di misura dei valori: e-3
Parametrico*
Non Parametrico*
3.93
1.11
5.90
1.35
0.06
0.04
1.03
0.02
DataRiferimento 10/ 11/ 2008
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Introduzione
Mercati oggetto di studio
Modelli di stima
Opzioni ad orizzonte costante
Incertezza nei dati di input
6 | Rappresentazione
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rappresentazione
rappresentazione della PDF
Diversi metodi possono essere usati per presentare l’informazione contenuta nelle PDF
 distribuzione
Distribuzione
discreta
Distribuzione
continua
Rappresentazione
ad una data
Fan chart
discreta:
utilizzata
principalmente per rappresentare la PDF
di tassi di cambio e tassi di interesse.
 distribuzione
continua: utile per
confrontare le PDF ad un numero
limitato di date distinte
 fan chart: utilizzata principalmente per
fornire una misura grafica dell’intervallo
dell’incertezza attorno alla proiezione
centrale .
Grafico serie
storiche
Costruzione
indici ad-hoc
Rappresentazione
a più date
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rappresentazione
rappresentazione della PDF | distribuzione discreta (1/2)
35%
06/ 10/ 2008
08/ 10/ 2008
PDF Discretizzata
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
3.75 - 4.00 4.00 -4.25 4.25 - 4.50 4.50 - 4.75 4.75 - 5.00 5.00 - 5.25 5.25 -5.50 5.50-5.75 5.75 -6.00
Euribor a mesi (%)
Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non parametrico) dai prezzi delle
opzioni sul future sull’euribor a tre mesi con scadenza 17/11/2008.
Questo tipo di grafico permette di valutare sia la probabilità che il mercato attribuisce a scadenza ai
diversi intervalli – espressa come percentuale sulle barre del diagramma – sia l’incertezza sui diversi
esiti possibili..
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rappresentazione
rappresentazione della PDF | distribuzione continua
3
2
1
0
0.70
0.90
1.10
1.30
1.50
1.70
1.90
livello del cambio
7/ 5/ 09
14/ 4/ 09
Euro/dollaro, distribuzione di probabilità a tre mesi Euro/dollaro, distribuzione di probabilità a un anno (valori
(valori %)
%)
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rappresentazione
rappresentazione della PDF | distribuzione continua
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rappresentazione
rappresentazione della PDF | distribuzione continua (2)
Distribuzione di probabilità a tre mesi (valori %) Euribor a 3 mesi
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rappresentazione
rappresentazione della PDF | Fan Chart (1)
60.0%
S&P MIB - Rendimento
40.0%
20.0%
0.0%
-20.0%
-40.0%
-60.0%
3 mesi
6 mesi
1anno
Fornisce una misura grafica dell’intervallo dell’incertezza – rappresentata dall’area sfumata - attorno
alla proiezione centrale rappresentata nel colore più scuro.
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rappresentazione
rappresentazione della PDF | Fan Chart (2)
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rappresentazione
rappresentazione della PDF| costruzione statistiche di sintesi
Distribuzione
discreta
Distribuzione
continua
Rappresentazione
ad una data
Si sintetizza l’informazione della PDF a
diversi istanti temporali costruendo le
serie storiche giornaliere delle statistiche
di sintesi.
All’interno del nostro framework
statistiche calcolate sono:
Fan chart
le
 media
 volatilità
Grafico serie
storiche
Costruzione
indici ad-hoc
 skewness
Rappresentazione
a più date
 curtosi
 percentili [0.05 0.15 0.25 0.35
0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 ]
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rappresentazione
statistiche di sintesi
Statistiche di sintesi
central projection
momento primo della
distribuzione (es. media )
amount of risk
misure di dispersione
della distribuzione
(standard deviation)
balance of risk
statistiche di asimmetria
della distribuzione
(skew)
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rappresentazione
statistiche di sintesi | serie storiche
0.82
0.30%
Media (asse SN)
0.80
0.78
Volat ilit à (asse DX)
0.25%
0.76
0.74
0.20%
0.72
0.15%
0.70
0.68
0.10%
0.66
0.64
0.05%
0.62
0.60
0.00%
Serie storiche delle statistiche Media e Volatilità derivanti dalla PDF dei prezzi delle opzioni sul
tasso di cambio USD/EUR con scadenza ad un mese stimata con il metodo non parametrico (CubicSmoothing Spline).
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bibliografia
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