Il piano inclinato di Galileo
Alberto Martini
Il piano inclinato di Galileo
Il piano inclinato di Galileo
Utilizziamo questo apparecchio costruito secondo il modello del piano inclinato di Galileo
E’ costituito da una rotaia sulla quale può scorrere una pallina
e da una serie di 25 campanelli che possono essere posti sulla rotaia, in modo che
la pallina faccia suonare al suo passaggio quelli desiderati.
I campanelli sono posti ad uguali distanze l’uno dall’altro e la distanza tra un
campanello e l’altro è considerata unitaria
U
I numeri incisi sulla rotaia indicano le distanze tra un punto e l’altro.
Ad esempio, il numero 3 indica che la distanza tra il campanello 1 e il campanello 3
corrisponde a 3 unità
3U
E così, il numero 5 indica che la distanza tra il campanello 3 e il campanello 5
corrisponde a 5 unità
5U
Il numero 7 indica che la distanza tra il campanello 5 e il campanello 7 corrisponde
a 7 unità
7U
E infine il numero 9 indica che la distanza tra il campanello 7 e il campanello 9
corrisponde a 9 unità
9U
Primo esperimento
Il piano di Galileo e la proporzionalità tra
spostamento e tempo al quadrato
Posizioniamo sulla rotaia i campanelli corrispondenti ai punti
1, 3, 5, 7, 9
Lasciamo andare la pallina dalla posizione di partenza
Lasciamo andare la pallina dalla posizione di partenza
e ascoltiamo il suono dei campanelli
Lasciamo andare la pallina dalla posizione di partenza
e ascoltiamo il suono dei campanelli
Lasciamo andare la pallina dalla posizione di partenza
e ascoltiamo il suono dei campanelli
Lasciamo andare la pallina dalla posizione di partenza
e ascoltiamo il suono dei campanelli
Lasciamo andare la pallina dalla posizione di partenza
e ascoltiamo il suono dei campanelli
Lasciamo andare la pallina dalla posizione di partenza
e ascoltiamo il suono dei campanelli
Lasciamo andare la pallina dalla posizione di partenza
e ascoltiamo il suono dei campanelli
Lasciamo andare la pallina dalla posizione di partenza
e ascoltiamo il suono dei campanelli
Lasciamo andare la pallina dalla posizione di partenza
e ascoltiamo il suono dei campanelli
ESEGUIAMO
Sembra che gli intervalli fra un suono e l’altro siano tutti uguali.
Verifichiamo questa intuizione con un orologio un po’ particolare: un pendolo.
Scegliamo una lunghezza del pendolo tale che il suo
semiperiodo coincida col tempo che la pallina impiega ad
arrivare alla posizione 1
Verifichiamo questa intuizione con un orologio un po’ particolare: un pendolo.
Scegliamo una lunghezza del pendolo tale che il suo
semiperiodo coincida col tempo che la pallina impiega ad
arrivare alla posizione 1
Verifichiamo questa intuizione con un orologio un po’ particolare: un pendolo.
Scegliamo una lunghezza del pendolo tale che il suo
semiperiodo coincida col tempo che la pallina impiega ad
arrivare alla posizione 1
Verifichiamo questa intuizione con un orologio un po’ particolare: un pendolo.
Lasciamo andare contemporaneamente la pallina e il
pendolo.
Noteremo nuovamente che il pendolo “suona”!
Verifichiamo questa intuizione con un orologio un po’ particolare: un pendolo.
Verifichiamo questa intuizione con un orologio un po’ particolare: un pendolo.
Verifichiamo questa intuizione con un orologio un po’ particolare: un pendolo.
Verifichiamo questa intuizione con un orologio un po’ particolare: un pendolo.
Verifichiamo questa intuizione con un orologio un po’ particolare: un pendolo.
Per rivedere
Ragioniamo sul significato di questo risultato.
Il fatto che il pendolo “suona” significa semplicemente che i
tempi impiegati per andare da una posizione all’altra (3, 5,
7, 9) sono tutti uguali
S1= 1
S2= 4
S3= 9
S4= 16
S5= 25
t1 = 1
t2 = 2
t3 = 3
t4 = 4
t5 = 5
In altre parole:
La pallina impiega il tempo unitario per percorrere lo spostamento unitario
(distanza tra il punto di partenza e il1° campanello)
Impiega un tempo doppio per percorrere uno spostamento quadruplo
(distanza tra il punto di partenza e il 2° campanello)
Impiega un tempo triplo per percorrere uno spostamento 9 volte più grande
(distanza tra il punto di partenza e il 3° campanello)
Impiega un tempo quadruplo per percorrere uno spostamento 16 volte più grande
(distanza tra il punto di partenza e il 4° campanello)
Impiega un tempo quintuplo per percorrere uno spostamento 25 volte più grande
(distanza tra il punto di partenza e il 5° campanello)
S1= 1
S2= 4
S3= 9
S4= 16
S5= 25
t1 = 1
t2 = 2
t3 = 3
t4 = 4
t5 = 5
Questo significa che lo spostamento è direttamente proporzionale al
quadrato del tempo impiegato a percorrerlo
La pallina impiega il tempo unitario per percorrere lo spostamento unitario
(distanza tra il punto di partenza e il1° campanello)
Impiega un tempo doppio per percorrere uno spostamento quadruplo
(distanza tra il punto di partenza e il 2° campanello)
Impiega un tempo triplo per percorrere uno spostamento 9 volte più grande
(distanza tra il punto di partenza e il 3° campanello)
Impiega un tempo quadruplo per percorrere uno spostamento 16 volte più grande
(distanza tra il punto di partenza e il 4° campanello)
Impiega un tempo quintuplo per percorrere uno spostamento 25 volte più grande
(distanza tra il punto di partenza e il 5° campanello)
S1= 1
S2= 4
S3= 9
S4= 16
S5= 25
t1 = 1
t2 = 2
t3 = 3
t4 = 4
t5 = 5
Questo significa che lo spostamento è direttamente proporzionale al
quadrato del tempo impiegato a percorrerlo
S = K t2
S1= 1
S2= 4
S3= 9
S4= 16
S5= 25
t1 = 1
t2 = 2
t3 = 3
t4 = 4
t5 = 5
S = K t2
Ora possiamo tentare di capire di quale moto si muove la
pallina sul piano inclinato
Secondo esperimento
Il piano di Galileo e
Il moto uniformemente accelerato
In questo esperimento cambiamo le posizioni dei campanelli
Mettiamo una coppia di campanelli scegliendone uno prima ed uno dopo il
punto 3, che la pallina raggiunge, come abbiamo visto, nel tempo t3 = 2
Poi mettiamo un’altra coppia di campanelli scegliendone
uno 2 posizioni prima ed uno 2 posizioni dopo il punto 7,
che la pallina raggiunge nel tempo t7 = 4
Ora lasciamo andare la pallina ed
ascoltiamo attentamente
ESEGUIAMO
PARTENZA
t*
t*
=
E’ abbastanza evidente che gli intervalli fra i suoni dei campanelli sono uguali tra loro.
Questo significa che
Poiché abbiamo visto che
V7 = 2 V3
t7 = 2 t3
Possiamo concludere che il rapporto
V
t
è costante
(t = tempo impiegato dalla pallina a
raggiungere la velocità V, partendo da ferma)
Questo rapporto rappresenta l’accelerazione della pallina lungo la rotaia
poiché la sua velocità iniziale è uguale a ZERO
Ciò significa che il moto della pallina sulla rotaia inclinata è
UNIFORMEMENTE ACCELERATO
DV
= a = costante
Dt
Avevamo già dimostrato che è vera la relazione:
S = K’
t2
Ora abbiamo dimostrato che è vera la relazione:
a = K”
Possiamo ipotizzare che valga la nuova relazione:
S
a=K 2
t
Cerchiamo quindi di ricavare K
Terzo esperimento
Il piano di Galileo e
L’equazione oraria
Questo è il mio ragionamento:
Chiamiamo T il tempo unitario (impiegato per andare dal punto di partenza al primo campanello).
Chiamiamo U la lunghezza unitaria (distanza tra due chiodi).
Chiamiamo t l’intervallo di tempo tra i suoni dei due campanelli della coppia attorno al punto 3
Chiamiamo t3 il tempo impiegato dalla pallina per arrivare nel punto 3, dalla posizione di partenza 0
Allora nel punto 3 la pallina ha una velocità :
V3 = 2U / t
Poiché la velocità iniziale è uguale a zero, ne segue che l’accelerazione della pallina tra 0 e 3 è: :
a3 = (2U / t) . (1/ t3)
Dato che la pallina impiega un tempo t3 = 2T per arrivare (da 0) in 3
Sia avrà:
Quindi:
a3 = 2U / (t. 2T)
a3 = U / t T
Questo è il mio ragionamento:
Sostituendo
a3 = U / t T
nella formula vista prima:
S
a=K 2
t
U / t T = kS / t32
Poiché è:
S = 4U
e:
t3 = 2T
Si ricava:
K= (U/tT) . (2T)2/4U = U 4 T2 / t T 4 U
E quindi:
K= T/t
Ovviamente lo stesso risultato
considerando il punto 7.
a =loUsi/otterrebbe
tT
3
Otteniamo:
Questo è il mio ragionamento:
Dunque possiamo concludere che la costante K di questa
relazione è uguale al rapporto tra il tempo T impiegato
dalla pallina a raggiungere il primo campanello (tempo
unitario) ed il tempo t impiegato ad andare dal primo al
secondo campanello della coppia.
S
ac = K 2
tc
K= T/t
Naturalmente il valore di K può essere un numero qualsiasi, ma una
semplice possibilità, che possiamo ipotizzare, è che esso sia uguale a 2.
In questo caso risulta:
T=2t
Possiamo verificare questa ipotesi con la nostra apparecchiatura.
( Il caso che sia T=t è escluso dall’evidenza sperimentale)
Verifica sperimentale del valore di K = 2
Per dimostrare che K = 2, abbiamo bisogno di un orologio che
misuri tempi più piccoli di quelli misurati dal pendolo che abbiamo
utilizzato nel primo esperimento:
ci serve quindi un pendolo più corto, il cui periodo sia la metà del
periodo del pendolo usato prima.
Poiché il pendolo “grande ” ha una lunghezza
L1 = 39 cm circa, che corrisponde ad un periodo T1 = 1,25 s,
occorre avere a disposizione un pendolo di lunghezza
L2=9,75 cm che ha un periodo T2 = 0,625 s, cioè la metà di T1
Possiamo verificare questa caratteristica facendo partire i
due pendoli contemporaneamente: vedremo che essi
ritornano in fase dopo due periodi del pendolo “piccolo”.
Il nostro esperimento consiste quindi nel verificare che la pallina arriva nella
posizione 1 in corrispondenza di un semiperiodo del pendolo grande
Mentre passa dal primo campanello (della coppia attorno al 3) al secondo in
corrispondenza di un semiperiodo del pendolo piccolo
fine
Concludendo:
K= T/t  2
S
ac = K 2
tc
Da queste due relazioni, verificate sperimentalmente, ricaviamo l’equazione
oraria del moto uniformemente accelerato (con velocità iniziale uguale a zero)
1 2
S  at
2
fine