A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
I numeri di occupazione dei livelli energetici per un sistema di particelle quantistiche
all’equilibrio per particelle fermioniche
il calcolo procede in modo assolutamente analogo a quello fatto a suo tempo nel caso di particelle identiche distinguibili
d S  0

dU  0
dN  0

fermioni
bosoni
entropia massima
energia interna costante
numero di microsistemi costante
gj !

M
)0
d log( j 1
n j ! ( g j  n j )!


(n  g j  1)!
d log(Nj1 j
)0

n j ! ( g j  1)!
 M

d ( n j  j )  0
 j 1
 M
d ( n j )  0
 j 1
M
M
M

d
(
log(
g
)!

log(
n
!)

log( g j  n j )! )  0



j
j

j 1
j 1
j 1

M
M
M

d (  log(n j  g j  1)!  log(n j !)   log( g j  1)! )  0
j 1
j 1
 j 1
M
  dn  0
j
j

j 1
M

dn j  0

j

1

 M
d  [ g j log( g j )  g j  n j log(n j )  n j  ( g j  n j )log( g j  n j )  ( g j  n j )]  0
 j 1
M
M
M

d
(
(
n

g

1
)log(
n

g

1
)

(
n

g

1
)

n
log(
n
)

n

( g j  1)log( g j  1)  ( g j  1))  0
  j


j
j
j
j
j
j
j
j
j 1
j 1
 j 1
M
  dn  0
j
j

j 1
M
trascurabile

dn j  0

 j 1
1
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G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
M
 [  dn j log(n j )  dn j log( g j  n j )]  0
 j 1
M
 [dn j log(n j  g j )  dn j log(n j )]  0
 j 1
M
  dn  0
j
j

j 1
M

dn j  0

 j 1
considerazioni
assolutamente
analoghe a quelle
già fatte in
precedenza per
determinare il
coefficiente β
portano al
risultato β=1/kT
M
( gj  nj )
dn j  0
 log
n
j

1
j

M
(n  g j )
 log j
dn j  0
 j 1
nj

 M
    j dn j  0
 j 1
 M
  dn j  0
 j 1

gj
(F ) n j  
j


kT
e
1


gj
(B ) n j  
 j   kT
j


e kT  1





g j  nj
)   j   )dn j  0
(log(
nj


g j  nj

)   j   )dn j  0
(log(
nj




conviene
inoltre
passare ad un
parametro a
con le
dimensioni di
una energia
il parametro a è definito dalla condizione sulla somma degli nj
M
M

gj
(FD )  n j    a
j
j 1
j 1

kT
e
1

M
M

gj
(B E )  n j    a
j

j 1
j 1
kT

e
1

M
U   n 
j j

j 1

M
N   n
j

j 1
j  a
M

gj
(FD ) N    a
j
j 1

kT
e
1

M

gj
(B E ) N    a
j

j 1
kT

e
1
M

U   n j  j
j 1



gj

(F ) n j   j 
e
1

gj


j 
(B ) n j   j 

e
1




condizione positività nj
gj

(
FD
)
n

j
 j a


e kT  1

gj
(B E ) n 
j  a
j
 j a

e kT  1

M

U   n j  j
j 1

M

N   n j
FD : Fermi Dirac

j 1
BE : Bose Einstein
j  a
il parametro a è definito
implicitamente da una relazione
di somma per cui in generale non
può essere calcolato facilmente
Ma quale è il suo significato?
2
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G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
Il parametro di degenerazione: confronto delle statistiche con degenerazione fissata
Per individuare il significato fisico del parametro a richiamiamo le espressioni dei numeri di occupazione
gj
(FD ) n j 
e
gj

 j a
e
1
kT
j
a

kT
gj
(BE ) n j 
e kT  1
e
 j a
kT
gj

1
e
a

kT
e kT  1
Immaginiamo ora che il termine exp(-a/kT) sia molto maggiore della unitàe
gj
(FD ) nj 
e

a
kT
gj
j

e kT  1 e
gj
(BE ) n j 
e

a
kT
e
a
kT
j
j
1 e

a
kT
e gj e

e
j
a
kT
e gj e

kT
si vede allora che nel caso in cui
exp(a/kT)<<1 le formule di FD e BE
conducono entrambe alla distribuzione
classica di Boltzmann
(BZ ) nj  e
a
kT
gj e

j
kT
e kT
gj
kT
a
kT
ni
gi

a
kT
1
ovvero
e
a
kT
1
confronto con D fissata
Boltzmann
Fermi-Dirac
j
Bose-Einstein
kT
a / kT  5
D  0.0067
a / kT  1
D  0.37
a / kT  0.5
D  0.61
a / kT  0.1
D  0.90
rispetto a BZ, nei
livelli di energia più
bassi, BE addensa
e FD rarefà le
particelle
j
kT
il parametro a è dunque legato al grado
di deviazione delle formule quantistiche
dei numeri di occupazione da quella
classica.
si definisce parametro
di degenerazione
j  a
j
D e
a
kT
 / kT
NOTA: poiché   0 e (BE) richiede  > a il confronto di tutte
e tre le formule può essere fatto solo se a/KT<0
3
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G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
Confronto statistiche con normalizzazione fissata
e’ interessante vedere come lo stesso numero di particelle venga distribuito all’equilibrio tra i diversi livelli
energetici nel caso delle diverse distribuzioni
gj
nj 
e
M

j 1
nj
g
 j a
kT
g j  g d  j
ni
gi
Boltzmann
confronto con N/g kT fissato
Fermi-Dirac
1

j 1
e
 j a
kT
DFD  0.1
1
DFD  0.35
N
 0.1
g kT
N
d ( / kT )

 a
g kT
0
e kT  1

a
N
f(
)
kT
g kT
DBE  0.26
DBE  0.1
d
M
a
D  e kT  f '(
N
 0.3
g kT
DBE  0.63
DFD  1.72
N
1
g kT
DBE  0.993
Bose-Einstein
DFD  147
N
5
g kT
N
)
g kT
• rispetto a BZ, BE e FD tendono a
distribuire le particelle in livelli
energetici più bassi e più alti
rispettivamente
ni
gi
• FD, a causa del principio di esclusione di Pauli
ha un limite a n/g=1 per cui popola i livelli fino ad
una energia detta energia di Fermi, il limite
s’innalza con il numero di particelle
 / kT
DBE  0.999
DBE  1
DFD  22025
DFD  4.85  108
N
 10
g kT
N
 20
g kT
condensazione
Bose-Einstein
 / kT
4
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G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
Distribuzione di Fermi-Dirac
Spin ½: calcolo della densità energetica degli stati quantistici
Vogliamo ora calcolare la espressione differenziale di g nel caso di particelle di spin ½ che tornerà utile più
volte nel seguito.
Ricordiamo che l’espressione differenziale del numero gj degli stati compresi tra  ed +d è data dalla formula
dg 
dx dy dz dv x dv y dvz


4v 2 dv dV

dove δ è il volume associato ad uno stato quantico determinato come vedremo subito dal principio di
indeterminazione il quale afferma
x px
h
h
 x y z v x v y v z
m
4 m 3 2
dg  3 v dv dV
h
x v x
sostituendo otteniamo
h
( )3
m
Dobbiamo ora sottolineare che fissato un generico stato quantico di volume δ nello spazio delle posizioni e delle
velocità, una particella di spin ½ può avere due diverse orientazioni dello stesso per cui il numero di stati deve
essere moltiplicato per due
8 m 3
dg 
h3
v 2 dv dV
Nel caso di un elettrone libero l’energia non può che essere cinetica per cui possiamo riesprimere la formula in
funzione della energia attraverso le sostuzioni

m 2
v
2
v2 
2
m
v 
2
m
dv 
d
2m
effettuate le quali, ed eseguita l’integrazione ad energia fissata sul volume, si ottiene
dg 
8V 2m 3
h3
 d
densità energetica degli stati
quantistici per particelle di
spin 1/2
5
A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
Distribuzione di Fermi-Dirac
Spin ½: espressione differenziale della popolazione dei livelli energetici all’equilibrio
Partiamo dalla espressione generale dei numeri di occupazione dei livelli energetici all’equilibrio nel caso
di un gas di particelle di spin semintero
gj
nj 
e
 j a
kT
1
e richiamiamo l’espressione differenziale della densità energetica degli stati quantistici per spin 1/2
8 m 3 2
dg  3 v dv dV
h
passando al continuo ricaviamo facilmente l’espressione differenziale del numero di particelle in un
determinato intervallo di energia
dn 
dg
 a

e kT  1
8 m 3
h3
1
v 2 dv dV
 a
e kT  1
eseguita l’integrazione sul volume V e passati alla variabile energia attraverso le sostituzioni
si ottiene

m 2
v
2
v2 
dn 
2
m
8V 2m 3
h3
2
m
v 

 a
dv 
d
2m
d
e kT  1
dove il parametro a è determinato dal numero totale di particelle del sistema attraverso la relazione
6
A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
N 
8V 2m 3
h
3



0
e
 a
kT
d 
1
8V 2m 3
h
3
(kT )
3/ 2
x


0
e
a
x
kT
dx
1
Tale relazione non può essere invertita rispetto ad a per cui l’espressione della popolazione dei livelli deve
sempre essere completata da questa condizione implicita.
Perveniamo allora alle seguente espressione differenziale della popolazione dei livelli energetici per un
gas di particelle di spin ½ all’equilibrio
dn 
8V 2m 3
h3

 a
e kT  1
d
N 
8V 2m 3
h3
(kT )
3/ 2
x


0
e
x
a
kT
dx
1
Queste formule sostituiscono la distribuzione di Maxwell-Boltzmann quando la
descrizione newtoniana dei moto delle particelle non è più giustificata e si ha che fare
con particelle di spin ½ governate dalla meccanica quantistica.
Come sottolineato in precedenza il grado di deviazione tra le due distribuzioni è
regolato dal parametro a oppure dalla degenerazione D=exp(a/kT). Un confronto è
visibile nella trasparenza seguente.
7
A.A 2010-2011
dn 
8V 2m 3
h3
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

e
  F
kT
d 
8V 2m 3
1
h3
(kT )3/ 2D
8V 2m 3
( / kT )
dn

(kT )3/ 2 D  /kT
3
d ( / kT )
h
e
D
( / kT )
e  /kT  D
D e
d ( / kT )
 F /kT


1
2N
 e kT d  
3/ 2
 (KT )

dn
2N

( / kT ) e  /kT
d ( / kT )

dn 
2N
( / kT ) e  /kT d ( / kT )
V  106 m 3
T  300K
m  me
dn
d ( / kT )
T  300 K
D  0.1
D 1
D  10
D  100
 / kT
dn
d ( / kT )
D  1000
D  108
D  10000
D  1011
 / kT
8
A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
Distribuzione di Fermi-Dirac
Spin=1/2 : calcolo approssimato della degenerazione
Integ
Il grado di deviazione delle distribuzioni quantistiche da quella classica di
Boltzmann è quantificato dal parametro a oppure dalla degenerazione
D=exp(a/kT) definita implicitamente attraverso la relazione
N 
8V 2m 3
h
3
d


0
 a

8V 2m 3
h
e kT  1
(kT )
3
3/ 2
x dx


0
e
x
a
kT
1
L’integrale marcato in blu non può essere calcolato analiticamente per cui
non possiamo ottenere una formula esplicita esatta per la degenerazione
Possiamo accontentarci allora di una formula approssimata valida nel caso
di valori piccoli della degenerazione. In questo caso infatti, corrispondente
al limite della distribuzione di Boltzmann, l’integrale può essere risolto
facilmente
M
N 
gj

8V 2m 3


d

8V 2m 3
(kT )
3/ 2


x dx

8V 2m 3
a / kT


d

8V 2m 3
(kT )3/ 2

e a /kT
2
h
h
h
h
0
0
0
e kT
e
e kT
e kT
Da questa formula otteniamo una espressione della degenerazione fortemente approssimata ma sufficiente
per segnalare una deviazione dal comportamento classico della distribuzione quantistica di Fermi Dirac per
particelle di spin 1/2
j 1
 j a
3
 a
D e
3
a
kT

h3
4 2m 3 3
a
x
kT
N /V
(kT )3/ 2
3
 a
3
NOTA : per avere degenerazioni
apprezzabili sono necessari valori
elevati della densità di particelle N/V o
valori bassi della temperatura
9
A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
Degenerazione del gas di elettroni in un conduttore
Gli elettroni di conduzione (circa uno per atomo) all’interno di un metallo, a causa dello schermo operato
dagli atomi che hanno mediamente una carica +e, perdono la loro carica elettrica per cui le reciproche
interazioni sono regolate dagli urti piuttosto che dalla interazione coulombiana.
Per questo possiamo pensare gli elettroni all’interno di un conduttore come un gas di elettroni debolmente
interagenti cui può essere applicata la meccanica statistica fino ad ora sviluppata.
E’ interessante calcolare per un tale sistema la degenerazione D con la formula appena trovata. Si ha
h  6.63  1034
D e
a
kT

h3
4 2m 3 3
N /V
(kT )3/ 2
m  9.1  1031
k  1.38  1023
T  300K
D  400  4000
N /V  1028  1029 m 3
il gas di elettroni interni ad un conduttore a temperatura ambiente è fortemente degenere.
Il valore calcolato è fortemente approssimato tuttavia ci informa che l’uso della distribuzione di Boltzmann
non è giustificato.
10
A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
Distribuzione di Fermi-Dirac
spin = 1/2 : calcolo della energia di Fermi
le caratteristiche peculiari della distribuzione di Fermi Dirac
emergono per valori elevati della degenerazione richiamiamo
l’espressione della popolazione dei livelli energetici all’equilibrio
gj
nj 
e
 j a
kT
per cui
1
nj
gj
1

e
 j a
kT

1
1
2
se
j  a
osserviamo che a causa dell’esponenziale a denominatore la
popolazione dei livelli varia da 1 a zero in un intervallo di energia
dell’ordine di qualche unità di kT centrato alla energia  = a
nel caso di particelle con spin semintero dunque il parametro di
degenerazione tende ad assumere il significato fisico di valore di
massima energia delle particelle o potenziale chimico, detto
anche energia di Fermi
nj
gj
  kT
a  F
essendo l’ampiezza dell’intervallo energetico dell’ordine di kT tale
affermazione è tanto più vera quanto più bassa è la temperatura
del sistema, al limite, ad energia di Fermi fissata, se considerassimo di
essere allo zero assoluto, la probabilita’ di occupazione assumerebbe un
andamento a gradino: varrebbe uno per  < F e sarebbe nulla per  > F
viceversa variando l’energia di Fermi si nota che in funzione della temperatura;
ovvero spostando il fronte a destra, se la temperatura diminuisce o a sinistra,
se aumenta, viene comunque modificata la popolazione dei soli livelli energetici
a ridosso della energia di Fermi (il livello di Fermi).
a
 / kT
a
a  F
questo significa che nel caso venga ceduto o prelevato calore dal sistema solo le particelle prossime al livello di
fermi verranno coinvolte per cui il sistema di particelle di spin ½ con forte degenerazione possiede una
limitata capacità di immagazzinare calore e dunque dobbiamo attenderci valori più piccoli del calore specifico.
11
A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
Come abbiamo sottolineato in precedenza non è possibile ottenere una espressione generale di a e dunque nemmeno della
energia di Fermi F.
tuttavia una espressione approssimata può essere ottenuta nel limite delle basse temperature ovvero nel limite in cui T -> 0
si ha infatti che
gj
nj 
e
 j a
kT
per
T 0
tendera’ a
1
 g j

0
se
j  a
se
j  a
M
T 0 jMax
N   nj 
j 1
g
j 1
j
( jMax  a )
l’ultima espressione è particolarmente vantaggiosa in quanto dipende solo dalla densità energetica degli stati quantistici
che per particelle di spin ½ vale
dg 
8V 2m 3
sostituendo otteniamo
T 0 jMax
N 
g
j 1
j

8V 2m 3
h3
h3
F

0
 d
8V 2m 3 2
 d 
( F )3/ 2
3
3
h
da cui si ottiene facilmente l’espressione della energia di Fermi nel limite delle basse temperature
h 2 3 N 2/ 3
F 
(
)
2m 8 V
Nota: dato che la massima energia posseduta dagli elettroni del gas è l’energia di fermi possiamo
stimare un limite alla massima pressione sviluppata da tale gas nel modo seguente
N 2
N 2
P 
  
F
V 3
V 3
3 23 h 2 N 53
N 2 h 2 3N 2 / 3
( )

(
) ( )
 12 m V
V 3 2m 8 V
con N /V  1029 m 3 elettroni
si ottiene
se esercitasse una pressione superiore a questa il gas collasserebbe (limite di Chandrasekhar)
P  8.4  1010 atm
12
A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
Termodinamica di un gas di particelle di spin ½ all’equilibrio
La termodinamica di un gas di particelle di spin ½ all’equilibrio si può costruire semplicemente
sostituendo nelle espressioni generali della entropia e della energia interna le popolazioni dei livelli
energetici all’equilibrio
gj

n j   j a

e kT  1

M
gj
N 

 j a

j 1

e kT  1
gj !

M
)
S  k log( j 1
n j ! ( g j  n j )!


M
U  n 

j j

j 1

cominciamo con l’entropia, si ha
M
S  k  [ g j log( g j )  g j  n j log(n j )  n j  ( g j  n j )log( g j  n j )  g j  n j ] 
j 1
M
 k  [ g j log( g j )  nj log(nj )  ( g j  n j )log( g j  n j )] 
j 1
 j a
gj
g j  nj  g j 
e dato che
 j a
e
gj
M
S  k  [ g j log( g j ) 
j 1
e
 j a
kT
M
 k  [ g j log( g j )  g j
j 1
e
 gj
e
 j a
kT
 j a
kT
log(e
1
 j a
kT
 g j (1 
1
kT
1
e
gj
e
1
kT
 j a
kT
e
log(
 j a
1
 j a
kT
)  gj(
e
1
)  gj
e
kT
 j a
kT
log(e
1
e
 j a
kT
kT
 j a
kT
 j a
kT
11
kT
 j a
1
log(e
1
 1)] 
e
e
1
 j a
kT
 j a
e
log( g j
kT
e
)  gj
 j a
1
log( g j )  g j
e
e
e
1
kT
 j a
1
)  gj
 j a
e
kT
1
 j a
kT
 j a
kT
)] 
1
e
 1)  g j
e
 j a
kT
 j a
kT
log( g j )
1
13
A.A 2010-2011
M
 k  [ gj
j 1
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
1
e
log(e
 j a
 k  [ g j log(e
 k  [ g j log(
j 1
e
 1)  g j
e
 j a
e
e
 1)  g j
kT
j 1
M
kT
1
kT
M
 j a
e
 j a
1
)
 j a
e
kT
e
kT
 j a
kT
 j a
kT
 j a
kT
log(e
log(e
 j a
kT
kT
e
)  gj
e
 j a
kT
 j a
kT
M
)]  k  [ g j log(e
log(e
j  a
kT
M
]  k  [ g j log(1  e
j 1

 j a
kT
 j a
kT
 j a
kT
 1)] 
1
j 1
1
1
 j a
1
kT
 j a
gj
kT
 j a
 1)  g j log(e
 j a
kT
1
)  gj
e
)  nj
j  a
kT
 j a
kT
log(e
 j a
kT
)] 
1
]
ricordando le espressioni della energia interna U e del numero totale di particelle otteniamo infine
l’espressione della entropia di un gas di particelle di spin ½ all’equilibrio
S k
M
 gj log(1  e

 j a
kT
j 1
)
U Na

T
T
e’ immediato ottenere la corrispondente espressione della energia interna di un gas di particelle di spin ½ all’equilibrio
gj  j
M
U 
j 1
e
 j a
kT
1
come osservato in precedenza a queste espressioni si deve aggiungere la condizione sul numero di particelle
gj
M
N 
j 1
e
 j a
kT
1
14
A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
e’ utile riscrivere le precedenti espressioni utilizzando l’espressione della densità energetica di stati quantistici.
per quanto riguarda l’entropia si ha
S k
M
 gj log(1  e

 j a
kT
j 1

8V 2m 3
3/ 2
S k
(kT ) 
h3
0
da cui otteniamo l’espressione
per l’energia si ha
j 1
da cui si ottiene
gj  j
M
U 
8V 2m 3
U N
)  a k
T T
h3
e
 j a
kT
1
8V 2m 3

h3
5
8V 2m 3
U 
(kT ) 2 
3
h
0


0
x 3/ 2
e
x
a
kT
 a
da cui
x 1/ 2
e
x
a
kT
1
 log(1  e

 a
kT
)d  
0
x 
a
kT
U N
 a
T T
U Na
)dx  
T
T
d
e kT  1
dx
1
gj
M
j 1
1
8V 2m 3
N 
(kT ) 2 
3
h
0

x log(1  e
 3/ 2
N 
infine per la condizione di normalizzazione si ha

e
 j a
kT
1
8V 2m 3

h3


0
 1/ 2
 a
d
e kT  1
dx
15
A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
le espressioni precedenti possono essere ulteriormente semplificate osservando che l’integrale che
compare nella entropia e quello che compare nella energia interna sono riducibili l’uno all’altro.
posto x
integrando per parti
x


0
e
3
2
a
x
kT
x
dx
1
3
2

1
e
a
x
kT
3
2
1
 x log(1  e
da cui

x
1
2
log(1  e
a
x 
kT

dx |  

0
0
x 
)dx 
0
a
kT
3 12
x Prim(
2
1
e
x
3
2
si ha
 f (x)
)dx 
1
a
kT
a

a

1
1
x 
x 
3
3
kT
2
) |   x log(1  e
)dx   x 2 log(1  e kT )dx
20
20

0
x

2
3 0
e
x
3
2
a
kT
dx
1
x 3/ 2


dalla espressione della energia interna otteniamo
0
che sostituita nell’ultima formula fornisce


1
e
x
x 2 log(1  e
a
kT
x 
dx
1
a
kT
)dx 
0

U
5
8V 2m 3
(kT ) 2
h3
2
U
5
3 8V 2m 3
2
(
kT
)
h3
questa espressione integrale può infine essere sostituita nella entropia
S k

8V 2m 3
3/ 2
(
kT
)
0
h3
x log(1  e
x 
a
kT
8V 2m 3
U N
2
U
U Na
(kT )3 / 2


)dx   a  k
3
5
h
3 8V 2m 3
T
T
T T
(kT ) 2
3
h
16
A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
otteniamo quindi la seguente espressione della entropia per un gas di particelle di spin ½ all’equilibrio
S 
5U N a
3T T
cui vanno aggiunte le espressioni
5
8V 2m 3
U 
(kT ) 2 
3
h
0
x 3/ 2
e
x
a
kT
dx
1
1
8V 2m 3
N 
(kT ) 2 
3
h
0
x 1/ 2
e
x
a
kT
dx
1
che assieme definiscono la termodinamica di un gas di particelle di spin ½ al’equilibrio.
Es.: andamento del rapporto U/(N kT)
con la degenerazione D del gas di
particelle di spin ½.
U
N kT
nel caso di particelle puntiformi classiche
tale rapporto vale sempre 3/2
D e
a
kT
17
A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
Termodinamica di un gas degenere a bassa temperatura e all’equilibrio
di particelle di spin ½
La situazione più estrema per un gas di particelle di spin ½ è quella in cui oltre ad essere degenere è anche a
bassissima temperatura, al limite per T-> 0
oltre all’interesse sul piano fisico questo caso presenta il vantaggio di essere facilmente calcolabile
richiamiamo a questo proposito due delle tre espressioni fondamentali, l’espressione della energia interna
e la condizione sul numero di particelle
5
8V 2m 3
U 
(kT ) 2 
3
h
0
x 3/ 2
e
x
a
kT
dx
1
1
8V 2m 3
N 
(kT ) 2 
3
h
0
x 1/ 2
e
x
a
kT
dx
1
che conviene riscrivere in funzione della energia
8V 2m 3
U 
h3
 3/ 2


0
d
 a
e kT  1
0
e kT  

 a
osserviamo che nel limite per T-> 0 si ha
8V 2m 3
N 
h3
 1/ 2


0
d
 a
e kT  1
 a
 a
per cui gli integrali precedenti devono essere eseguiti fino ad una energia a = F e le funzioni integrande possono
essere approssimate eliminando l’esponenziale a denominatore
8V 2m 3
U 
h3
EF

0
d
3/ 2
8V 2m 3
N 
h3
EF

d
1/ 2
0
18
A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
eseguita l’integrazione richiamando l’espressione della entropia otteniamo le relazioni termodinamiche
fondamentali per il gas degenere e a bassa temperatura di particelle di spin ½
5 U N EF
S 

3T
T
8V 2m 3 2
N 
(EF )3 / 2
3
h
3
8V 2m 3 2
U 
( E F )5 / 2
3
h
5
da cui deriviamo facilmente le relazioni equivalenti
h 2 3N 23
EF 
(
)
2m 8V
U 
3
N EF
5
U 
h 2 (3N )5 / 3
10 m (8V )2/ 3
che permettono di concludere ad esempio che l’entropia del gas è nulla
S 
N EF
5 U N EF 5 1 3


N EF 
0
3T
T
3T 5
T
richiamando inoltre la definizione termodinamica generale della pressione
e calcolando la derivata
S U
U

)T K  (
)T K
V V
V
2 N h 2 3N 23
U 1 h 2 (3N )5 /3  2  53 
2N
(
) 

 V  
EF
2/3 
5 V 2m 8V
V 5 2m (8 )  3
5V

otteniamo anche il valore della pressione
da cui anche
P  (T
2N
h 2 3 23 N 53
P 
EF 
(
) ( )
5V
5 m 8
V
2
PV  U
3
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A.A 2010-2011
G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli
• elettroni nei metalli, l’enorme pressione del gas degenere di elettroni è bilanciata dal reticolo
cristallino : sistema stabile!
2N
h 2 3 23 N 53
P 
EF 
(
) ( )
5V
5 m 8
V
N /V  1029 m 3 elettroni
P  8.4  1010 atm
• lo stesso meccanismo opera nelle stelle che hanno esaurito il ciclo di fusione, la pressione del gas
degenere di elettroni è bilanciata dalla pressione gravitazionale della massa stellare: sistema stabile
(nana bianca)!
tale bilanciamento avviene entro 1.4 masse solari (limite di Chadrasekhar).
oltre tale limite si ha un collasso gravitazionale con produzione di energia in grado di trasformare
elettroni in neutroni che hanno spin ½
il gas degenere di neutroni sviluppa una pressione più elevata ed è bilanciato dalla pressione
gravitazionale della massa stellare: sistema stabile (stella di neutroni)!
tale bilanciamento avviene entro 3 masse solari.
oltre questo limite si ha un collasso gravitazionale e la formazione di un buco nero.
Valgono i seguenti commenti
• le proprietà di un sistema estremo quale il gas a bassa temperatura e degenere di particelle di spin ½
non potrebbero certamente essere studiate in laboratorio.
•La meccanica statistica offre un apparato attraverso il quale calcolare le proprietà macroscopiche di
interesse del sistema a partire dalle proprietà microscopiche delle particelle che lo compongono.
Si espande enormemente il raggio di azione della fisica!
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