Fondamenti di Elettromagnetismo
Prof. Marco Farina
Dipartimento di Bioingegneria, Elettronica e
Telecomunicazioni
Modalità Esami
Prova scritta
“Auto-correzione”
Prova orale
Testi consigliati
R. Feynman, La Fisica di Feynman, vol 2:
Elettromagnetismo e Materia, Zanichelli
Ramo-Whinnery-Van Duzer: Campi e Onde
nell’elettronica delle Telecomunicazioni
Halliday-Resnick, Fondamenti di Fisica
Schaum 48: Elettromagnetismo, McGraw Hill
Un po’ di storia...
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William Gilbert (1544-1603): “De Magnete”; la ‘terrella’; distinzione
fenomeni elettrici e magnetici;
Otto Von Guericke (1602-1686): ingegnere; studi sul vuoto; primo
“generatore” con sfera di zolfo
Stephen Gray (1666-1736): conduttori ed isolanti
Charles Dufay (1698-1739): chimico; elettricità “vetrosa” e “resinosa”
Pieter Van Musschenbroek (1692-1761) di Leida: fisico; il primo
condensatore
John Canton (1718-1772): induzione elettrica
Benjamin Franklin (1706-1790): tipografo, giornalista, inventore, politico…
Conservazione della carica, proprietà dei corpi appuntiti
Charles Augustine de Coulomb (1736-1806): ingegnere; legge
quantitativa
Un po’ di storia...
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Henry Cavendish (1731-1810): più famoso per contributi in chimica;
analogo di Coulomb, e studi su capacità di condensatori di forme diverse
(definizione di capacità)
Joseph Louis Lagrange (1736-1813): il concetto di potenziale
Pierre Simon De Laplace (1749-1827)
Siméon Denis Poisson (1781-1840)
George Green (1793-1841)
Carl Friederich Gauss (1777-1875)
Alessandro Volta (1745-1827): elettroforo, elettrometro, eudiometro,
pila…
Hans Christian Oersted (1777-1851): effetti magnetici delle correnti
André-Marie Ampère (1775-1836): leggi dell’azione meccanica tra
correnti elettriche
Michael Faraday (1791-1867): attività colossale (leghe dell’acciaio,
rotazioni elettromagnetiche, liquefazione dei gas, vetri ottici, scoperta del
benzene, induzione elettromagnetica, decomposizione elettrochimica,
scariche nei gas, benzene, elettricità e magnetismo, diamagnetismo…. Il
più grande fisico sperimentale del XIX secolo
Un po’ di storia...

James Clerk Maxwell (1831-1879):teoria dell’elettromagnetismo
(“Treatise on electricity and Magnetism”), termodinamica e meccanica
statistica. Maxwell intuì che la luce era una manifestazione del campo
elettromagnetico
Da una lettera di Faraday a Maxwell nel 1857: “...C’è qualcosa che mi piacerebbe
chiederle. Quando un matematico impegnato sulla ricerca delle azioni e sugli
effetti fisici è giunto alle sue conclusioni, non è possibile che queste ultime siano
esposte nel linguaggio di tutti i giorni, con la pienezza, chiarezza e precisione che
esse hanno nelle formule matematiche? E, in caso affermativo, il farlo non
sarebbe un gran dono verso uno come me? Tradurle dal linguaggio dei geroglifici
in cui sono espresse, così che anche uno come me vi possa lavorar su per mezzo
di esperimenti….”

Heinrich Hertz (1857-1894):Generazione/rivelazione onde EM: prove
della teoria di Maxwell
Struttura dell’atomo
Negli anni ‘30 J.J. Thomson, Ernest Rutherford, Niels Bohr e
James Chadwick sviluppano il modello di tipo “planetario”,
con un nucleo di protoni e neutroni circondato di una nube di
elettroni
Z = numero atomico
A = numero di massa
Z elettroni esterni
10-10 m
Nel Nucleo:
Z
protoni
A – Z neutroni
10-15 m
Struttura dell’atomo
…non prendete troppo sul serio l’idea planetaria...
…nessuna possibilità di trovarci sopra dei lillipuziani ...
Del resto: perché un elettrone non cade nel nucleo?
Non c’è spiegazione nella meccanica classica
La spiegazione è nel “principio di indeterminazione” della meccanica
quantistica, che stabilisce che alcune quantità (coniugate) non sono
misurabili simultaneamente con precisione arbitraria; l’incertezza nella
misura di grandezze coniugate è tale che il loro prodotto non può essere
migliore di una costante (legata alla costante di Plank)
(a meno di qualche fattore 2 e p…)
px  h
Se elettrone e protone in un atomo di idrogeno finissero l’un l’altro, la
quantità di moto tenderebbe a crescere fino ad infinito: il raggio dell’idrogeno
è un compromesso tra la forza attrattiva e l’energia cinetica imposta dal
principio di indeterminazione
Struttura dell’atomo
supponete che a sia il “raggio” dell’atomo
la quantità di moto sarebbe dell’ordine
p  h/a
e l’energia cinetica
Ec  p / 2m  h / 2ma
2
2
La forza elettrica attrattiva (lo vedremo più in là oggi) darà
all’elettrone un’energia potenziale
E p  q 2 / 4p0 a
L’energia totale è la somma dei due: vediamo a che distanza a
l’energia è minimizzata
dE
 0  h 2 / ma3  q 2 / 4p0 a 2
da
raggio di Bohr….
10
 a  0.528 10
Struttura dell’atomo
Negli anni ‘50 Reines e Cowan dimostrano l’esistenza di un
ulteriore tipo di particella, predetta da Wolfgang Pauli negli
anni 30: il Neutrino
Alla fine degli anni ‘30 nei raggi cosmici si identifica un
cugino pesante dell’elettrone, il Muone (200 volte più
pesante, per il resto identico all’elettrone) e più tardi, negli
accelleratore di particelle, un altro cugino, Tau
Nelle collisioni ad altissime energie, volte riprodurre
condizioni successive al Big Bang, si identificano due parenti
del neutrino, denominati muon-neutrino e tau-neutrino
Neutrini, muoni e tau non sono costituenti della materia, e
quelli ottenuti negli accelleratori sono di solito particelle
effimere.
Struttura dell’atomo
Nel ‘68 a Stanford si scopre che protoni e neutroni NON sono
fondamentali: essi sono composti da combinazioni di QUARK
(QUestion mARK) denominati SU e GIU’ (Up/Down), che
hanno carica elettrica +2/3 e -1/3 rispetto alla carica
dell’elettrone rispettivamente
ci sono 2 UP ed 1 Down in un protone e
viceversa in un neutrone
Particelle non elementari composte da combinazioni di Quark
vengono anche definiti Adroni, che si distinguono dai Leptoni
(elettrone, muone, tau) che non hanno altri costituenti e non
sono sensibili alla Forza Forte
“Zoologia” delle particelle
Particelle elementari
(Fermioni)
Particella
Massa
Particella
Elettrone
.00054 Muone
Massa
Particella
Massa
.11
Tau
1.9
Neutrino
<10-8
elettronico
Neutrino
muonico
<.0003 Neutrino
Tau
<.033
Quark up
.0047
Quark
charm
1.6
Quark top
189
Quark
down
.0074
Quark
strange
.16
Quark
bottom
5.2
+antiparticelle (identiche con carica opposta)
“Zoologia” delle particelle
Combinazioni di Quark danno origine a:
- Barioni, composti da 3 quark (come neutrone e protone)
- Barioni esotici (4, 5 quark)
- Mesoni (quark+anti-quark): pioni, kaoni…..
Per una lista aggiornata ad oggi:
http://pdg.lbl.gov/2004/listings/bxxxcomb.html
Le Forze




Ad oggi tutte le interazioni sembrano ricondursi a 4 forze
fondamentali
Interazione Elettromagnetica
Interazione Gravitazionale
Interazione Nucleare Forte
Interazione Nucleare Debole
Le Forze e i quanti
“C’era un tempo in cui i giornali scrivevano che
solo 20 persone avevano capito la teoria della
relatività. Non credo che tale tempo sia mai
esistito. Potrebbe essere esistito un tempo in
cui un solo uomo l’aveva capita perché l’unico
a concepirla, prima di scrivere il suo articolo.
Ma dopo aver letto l’articolo molti capirono la
teoria della relatività, in un modo o nell’altro,
sicuramente più di venti. D’altro canto posso
affermare con sicurezza che nessuno capisce
la meccanica quantistica”
Richard Feynman
Il paradosso alla fine del 1800




Data una cavità metallica, si valutano le
soluzioni dell’insieme equazioni di
Maxwell+condizioni al contorno
Si verifica che solo un numero discreto di
“modi” sono possibili, ovvero onde che
hanno in ciascuna direzione un numero
d’onda pari ad un multiplo discreto di p/L,
se L è la dimensione in tale direzione
della cavità
Tuttavia il numero di modi possibili, sebbene discreto, è infinito
L’uso della termodinamica classica (Rayleigh e Jeans) portava
a prevedere che, ad una data temperatura, tutti i modi
venissero eccitati con la stessa ampiezza: l’energia totale del
sistema (integrale su tutti i modi)=infinito!
L’ipotesi di Planck


Energia fornita per pacchetti interi (quanti)
L’energia minima di un’onda è proporzionale
alla frequenza dell’onda stessa
Nella cavità alcuni modi avranno minima energia associata (il
pacchetto più piccolo) troppo elevata per essere eccitati: ad
una data temperatura solo un numero finito di modi è eccitato!
L’ipotesi di Planck: applicazione alla
radiazione di corpo nero

Occorreva solo stabilire sperimentalmente la costante di
proporzionalità: la costante di Planck: h ~ 6.6 10-34 Js
Legge di RayleighJeans
Legge di Planck
Con l’aggiustamento di un solo parametro si aveva un accordo
perfetto con l’esperimento: premio Nobel 1918
Effetto Fotoelettrico



Un metallo colpito da luce, può emettere
elettroni
Se si aumenta l’intensità della luce, non
aumenta l’energia cinetica degli elettroni,
ma il numero di elettroni emessi
Se si aumenta la frequenza della luce
incidente, aumenta l’energia cinetica
degli elettroni
Spiegazione (Einstein; 1905): la luce ha natura corpuscolare
(fotoni) che hanno energia E=h f
Quindi corpuscoli o
onde ?
Credits:Dr. Tonomura
Come reinterpretare i fenomeni
luminosi in termini corpuscolari:
Feynman
http://vega.org.uk/video/subseries/8
Tornando alle interazioni
I fotoni sono i quanti o i “mediatori” (particelle) delle forze
elettriche (elettromagnetiche); quali per le altre forze?
Interazione
Particella
(Bosoni)
Massa
Nucleare Forte
Gluone (8
possibili stati)
0
Elettromagnetica
Fotone
0
Nucleare Debole
Bosoni W e Z
86,97
Gravitazionale
Gravitone (?)
mai osservato
0
Il nostro corso
Esistono fattori comuni?


Molti fisici teorici sono alla ricerca di una TOE (Theory Of
Everything) cercando una spiegazione comune a tanta varietà
di particelle
Apparentemente gravità e le altre interazioni sottostanno a
leggi inconciliabili (relatività generale e meccanica quantistica)
Le due teorie più promettenti sono quelle dei Twistors (Roger
Penrose, 1970) e quella delle Stringhe (1968-1970 circa)

Nel 2003 Edward Witten ha collegato le due teorie, e in
gennaio 2005, ad Oxford, la prima conferenza dedicata alla
convergenza delle due teorie…
Morale: Non tutto ciò che studiate è assodato, statico, immutabile!
Da ingegneri, applicherete concetti che sono consolidati da un
punto di vista operativo; concetti classici (equazioni di Maxwell)
o quantistici (dispositivi, laser); senso critico!

Carica elettrica



La carica elettrica (q) è la proprietà delle particelle sensibili alla
forza (interazione) elettromagnetica, così come la massa (o
carica) gravitazionale (m) è la proprietà delle particelle sensibili
alla forza gravitazionale)
La carica di una particella non dipende dal suo stato di moto:
essa è uno scalare invariante, indipendente dal sistema di
riferimento in cui viene misurata (principio di invarianza
della carica elettrica)
La carica elettrica elementare è quella dell’elettrone (e):
scoperta da JJ Thomson nel 1897, fu misurata da R. Millikan
tra il 1909 e il 1917
e  (1.60217733  0.000 000 49) 10
19
coulomb(C)
Quantizzazione della carica

La carica elettrica osservata sperimentalmente è sempre un
multiplo intero (positivo o negativo) di e
Q  e,2e,3e,.....,ne,.....

I quark (carica frazionaria) non compaiono mai da soli
(principio di schiavitù asintotica) ma in combinazioni che
consentono di non violare tale regola
Neutralità della carica
In un sistema isolato la somma algebrica delle
cariche elettriche è costante Benjamin Franklin
[1706-1790]
La materia è macroscopicamente neutra
A livello atomico le forze di attrazione tra
cariche opposte sono formidabili
Quantificazione interazione tra cariche
Charles Augustin de Coulomb [1736-1806]

Legge di Coulomb (1785)

F
q1 q2 
ur
2
4p0 r
1
q1
ur


r
ur 
r

F
q1 q2 
r
3
4p 0 r
r
1
Nel vuoto
q2
Legge di Coulomb

Se l’origine non coincide con una delle due particelle
q1

F
1
q1q2
4p 0 r  r '
3
 
(r  r ' )
r-r’
r
q2
O
r’
Nota: permettività o permeabilità elettrica nel vuoto
12
 0  8.85410
C N
2
1
m
2

Ma quanto è “vigorosa” la forza elettrica?

Confrontiamo l’attrazione gravitazionale (terra su protone)
e quella elettrica di due protoni a 10000km di distanza,
sapendo che la massa di un protone (vedi tabella)
Particella
Simbolo
Massa (kg)
elettrone
e
me= 9.109110-31
-e
protone
p
mp= 1.672510-27
+e
neutrone
n
mn= 1.674810-27
0
mp/me= 1836
mn/mp= 1.0014
Carica (e)
Incredibilmente più forte della gravità
Fpeso  m g  9.810 3 N
Felettrostatica

q1q2

 824600 N
2
4p0 r
1
Il rapporto Fe/Fp è di circa 84 milioni!!
Facciamo qualche conto




In una monetina rame (PA=63.546) da 1cent, dal peso di
2 g, ci sono (considerando per semplicità un elettrone di
conduzione per ogni atomo) 6.02 X 1023 2/63.546 cioé
circa 2 1022 elettroni liberi di muoversi, pari a circa -3200 C
6.02 X 1023 è Numero di Avogadro, chiamato così in
onore di Amedeo Avogadro e denotato dal simbolo NA, è il
numero di elementi contenuti in una mole.
Mole: quantità in grammi pari al peso molecolare
Una variazione del 1 per 1000 della carica libera
porterebbe due monetine a 10 km di distanza ad attrarsi o
respingersi con una forza di 100.000 N!
Pensate ad una forza simile alla gravitazione […] ma che sia
all’incirca un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di volte
più forte.[…] tutta la materia è una miscela di protoni positivi ed
elettroni negativi che si attirano e si respingono con questa gran
forza. Tuttavia la compensazione è così perfetta che stando
accanto ad un’altra persona voi non risentite alcuna forza. Eppure
se ci fosse anche un piccolo difetto nella composizione ve ne
accorgereste subito. Se vi trovaste ad un metro di distanza da un
altro ed ambedue aveste l’un per cento di elettroni in più che di
protoni, la forza di repulsione sarebbe incredibile. Quanto
grande? Sufficiente per sollevare l’Empire State Building? No!
Per sollevare il monte Everest? No! La repulsione sarebbe
abbastanza grande per sollevare un “peso” uguale a quello della
Terra!
Richard P. Feynman
Esercizio
Due cariche puntiformi q1 (50 mC) e q2 (10 mC) sono poste
rispettivamente nei punti di coordinate P1 (-1, 1, -3) m e P2
(3, 1, 0) m. Trovare la forza su q1
 

r12  P1  P2   4, 0,  3m

r12  r12  5m


u r  r12 / r12  ( 0.8, 0,  0.6)m

F
q1 q2
 0.18 N
2
4p0 r
1
 
F  F u r   0.144
0  0.108  N
q1
r-r’
q2
r
O
r’
Forze in un sistema di cariche
Sovrapposizione degli effetti

F
q q1 
1 q q2 
1 q qN 
u r1 
u r 2  ... 
u rN
2
2
2
4p0 r1
4p 0 r2
4p 0 rN
q

qi 
q
F
u ri
+

2
4p  0 i ri
1
1
q2
F2
F3
+
q
=
+
q
q3
+
F4
F1
q4
F
F  F1  F 2  F 3  F 4
Esercizio
Calcolare la forza sulla carica Qo=100 mC posta sull’asse z a
3 m dall’origine se quattro cariche Q= 20 mC sono disposte
simmetricamente sugli assi x ed y a 4 m dall’origine
z
Consideriamo la forza dovuta a Py1= 4m
P
Qo
Px2
Py2
y
x Px1
Py1


Fy1  Fy1 u y1 
 

ry1  P  Py1  0  4 3m

ry1  ry1  5m


u y1  ry1 / ry1  (0  0.8 0.6)m
Qo Q 
u y1  0  0.575 0.431 N
2
4p 0 ry1
Esercizio (cont.)
La forza ha direzione positiva in z e negativa in y. Se una
carica identica è posta simmetricamente sull’asse y, la forza
prodotta avrà la stessa ampiezza, ma punterà verso y positive
z
P
Qo
Px2
Py2
Py1
Quindi le componenti in y si elidono.
Lo stesso vale per le cariche sull’asse
x: l’unica componente restante
sarà quella lungo z, e di ampiezza
quadrupla rispetto a quella calcolata
y
x Px1


Qo Q 
Ftot  Ftot u z 
u z  0
2
p 0 ry1
0 1.726  N
Distribuzioni continue di carica
Il numero di cariche solitamente coinvolte nei fenomeni
elettromagnetici è così alto che ha senso considerare campi
generati da distribuzioni continue
q0
r-r’
dq
r
O
r’
La forza su q0 dovuta all’elemento
infinitesimo di carica dq vale
F(r )  q0 dq
r  r'
4p 0 r  r'
3
Densità di carica in un volume
VolumeV
Carica Q
Carica totale distribuita nel volume V
dq

dV
dV
Q

V
dq = (r’) dV’
F(r )  q0   (r ' )dV '
V
dq
 dV
r  r'
4p 0 r  r '
Integrale di difficoltà enorme!
3
Densità Superficiale di carica
Densità superficiale di carica
Superficie S
dq

dS
Carica Q
Carica totale sulla superficie
Q

S
F(r )  q0   (r ' )dS '
S
dS
dq
 dS
r  r'
4p 0 r  r '
3
Densità Lineare di carica
Densità lineare di carica
dq

dl
Carica totale sul filo
Q
F(r )  q0   (r ' )dl '
l

l
 dl
r  r'
4p 0 r  r '
3
Esercizio

dF
Determinare la forza su una carica puntiforme
Q1=50mC posta in P, a 5 m sull’asse z, dovuta
ad un disco uniformemente carico, con carica
Q=500 p mC e raggio 5 m
Calcoliamo la densità superficiale di carica
d
rp
d
dQ   s r dr d
Q
2
 s  2  20 mC / m
pR
Calcoliamo la distanza da un
elemento di carica in coordinate
cilindriche (r, , z)


r p  P  r 0 0   r 0 d 

rp  r 2  d 2
Esercizio

dF
d
rp
d
dQ   s r dr d
L’elemento di superficie è
ds  r drd
Ed il contributo alla forza dell’elemento di
superficie carico è

 Q1  ds rp
dF 
4p0 rp 3
La sovrapposizione (integrale di superficie)
degli effetti di tutti gli elementi restituisce la
forza cercata: nessuna componente radiale

F
2p R

0 0
2p R


0 0
Q1  s r drd
4p 0 rp
3
rp
Q1  s r drd
4p 0 ( r 2  d 2 )
3
2
 
rp  u z u z
Esercizio

dF
Risolviamo l’integrale:
d
rp
d
dQ   s r dr d
R

Q1  s 

d

d u z
 2


4p 0 0  r  d 2  0
2p
Q1  s

2 0


1
1 
d  
 u z  16.54 N u z
2
2
d
 R d
Intensità del campo elettrico
F   qE

 F
E
q

E
+q
q
Q
ur
2
4p0 r
1
Nel vuoto
E
+
E
Linee di Campo
F   qE
Campo Elettrico sull’asse di un disco carico
Avevamo ottenuto:
 Q1  s
F
2 0
Per cui:


1
1
d 
 u z


2
2
d
R

d



 s 
1
1
E
d
 u z
2 0  R 2  d 2 d 
 s 
Quando d=0
E
uz
2 0
Campo Elettrico sull’asse di un disco carico
Casi Limite
Quando d>>R
2


R



 s 

d

s 
 s 2d 2
1



E

1 u z 

 1u z 
2

2 0  R 2  d 2 
2 0
2 0
R2
R
 1  2

1 2
2d
2d


Q
R2
2
2
2
Q
R
 s 2d
p
R



Come per una carica
2
2
2 0 2d
4p 0 d
2 0 1
puntiforme
Campo Elettrico sull’asse di un disco carico
Casi Limite (cont)
Quando R molto grande

 s 
s 
d


E

1 u z 
uz
2 0  R 2  d 2 
2 0
Piano infinito