Elettrodinamica 2
21 ottobre 2014
Autoinduzione
Dimensioni e unità dell’autoinduttanza
Fem autoindotta
Induzione mutua
Circuito LR
Energia magnetica
Energia magnetica di due circuiti accoppiati
Circuito LC
Rocchetto di Ruhmkorff
Autoinduzione
• Un circuito percorso da corrente
genera un campo B
• Il flusso di B concatenato al

 
circuito è


 B | S   B  dA
S
• B può essere calcolato usando la

prima formula di Laplace  0 dl  r
B
4
i
r3
• B è proporzionale alla corrente,
ne segue che anche il flusso lo è
2
Autoinduttanza. Dimensioni, unità
di misura
• Il coefficiente di proporzionalità è detto
autoinduttanza del circuito
  Li
• Dipende soltanto da fattori geometrici, come la
capacità elettrica


• Le dimensioni sono
L 
i
• L’unità di misura è lo henry (H)
Wb Tm 2
H

A
A
3
Autoinduttanza di un solenoide
• Il campo B dentro un solenoide di N spire,
sezione A e lunghezza l è
N
B   0 ni   0 i
l
• Il flusso di B concatenato con le N spire è
  NBA  nlBA   0 n 2 Ali
• L’autoinduttanza è

L    0 n 2 Al
i
4
Fem autoindotta
• In un circuito, se varia la corrente, varia il flusso
di B e quindi viene indotta una fem
• In un circuito indeformabile l’autoinduttanza è
costante, la legge di Faraday si scrive
d
d ( Li )
di
E 

 L
dt
dt
dt
• Nel caso generale si avrebbe
E 
d
d ( Li )
dL
di

 iL
dt
dt
dt
dt
5
Induzione mutua
• Se due circuiti C1 e C2 sono vicini, il
flusso magnetico attraverso uno
dipende anche dal campo B, e quindi
dalla corrente, dell’altro
 




0
dl 2  r
12   B2 | S1   B2  dA1
B2 
i2 
3
4

r
S1

C1

C2
• Di nuovo il flusso è proporzionale alla
corrente
12  M 21i2
• Ove M21 il coefficiente di induzione del
circuito 2 sul circuito 1
6
Induzione mutua
• A questo termine si aggiunge naturalmente quello di
autoinduzione, il flusso totale è quindi
1  L1i1  M 21i2
• Simmetricamente per il circuito 2 avremo
2  L2i2  M12i1
• Si può dimostrare che
M12  M 21
• Il valore comune M è detto induttanza mutua
• Dipende sia dalla forma di entrambi i circuiti che dalla
loro distanza e disposizione relativa
• Dimensioni e unità di misura sono le stesse di L
7
Fem indotte
• Per trovare le fem indotte nei circuiti,
applichiamo la legge di Faraday
• Supposte le L e M costanti, abbiamo
d 1
di1
di2
E1  
  L1
M
dt
dt
dt
d 2
di2
di1
E2  
  L2
M
dt
dt
dt
• Nel caso in cui le L e M variassero nel tempo, bisognerebbe
aggiungere le derivate temporali dei termini corrispondenti
8
Circuito LR
• Contiene un resistore R e un induttore L
• Inizialmente il circuito è aperto e i=0
• Alla chiusura del circuito i è ancora zero, ma
varia come di dt e nell’induttanza c’è una fem
 L di dt
• Al tempo t circola una corrente i e ai capi di R
c’è una caduta di potenziale iR
• Per la 2a legge di Kirchhoff
di
Eb  Ei  iR  Eb  L  iR  0
dt
9
Analisi qualitativa del circuito LR
• Al tempo t=0, i=0 e la fem  L di dt è uguale
all’opposto della fem della batteria. Ne segue
che i cresce come  di  Eb
  
 dt 0 L
• Al crescere di i, cresce la caduta di potenziale
sulla resistenza. Ne segue che i cresce come
di Eb iR


dt
L L
• Cioè più lentamente che per t=0
10
Analisi qualitativa del circuito LR
• Il valore finale di i si ottiene uguagliando a zero
Eb
di dt e vale
if 
R
• L’equazione del circuito ha la stessa forma che
per il circuito di carica di un condensatore
• Si ottiene come soluzione

Eb
i
1  e t 
R
L
• Con  
R

costante di tempo del circuito
11
Energia Magnetica
• Partiamo dall’equazione del circuito LR e
moltiplichiamo tutti i termini per la corrente
di
Ei  i R  Li
dt
2
• Il primo membro rappresenta la potenza erogata
dalla batteria
• Il primo termine a secondo membro è la potenza
dissipata nella resistenza
• Il secondo termine rappresenta la rapidità con
cui viene erogata energia all’induttore
12
Energia Magnetica
• Possiamo dunque scrivere
dU m
di
 Li
dt
dt
• La quantità totale di energia accumulata
nell’induttore si trova integrando da i=0 a i=If
If
1 2
U m   dU m   Lidi  LI f
2
0
• Si deve dunque compiere lavoro per instaurare
una corrente in un induttore
13
Energia Magnetica
• Nell’istaurare una corrente in un induttore si
genera un campo B
• Il lavoro compiuto può quindi interpretarsi
come il lavoro necessario per produrre il
campo B
• L’energia accumulata in un induttore è
accumulata nel campo B
• Nel caso particolare di un solenoide rettilineo
B  0 ni
L  0 n Al
2
14
Energia Magnetica
• L’energia magnetica accumulata è
2
2


1 2 1
B
B
 
U m  LI f   0 n 2 Al 
lA
2
2
20
 0 n 
• Poiché Al è il volume del solenoide, definiamo
la densità di energia magnetica
2
Um
B
m 

lA 20
• Questo risultato, anche se ricavato per un caso
particolare, è valido in generale
15
Energia
magnetica di
due circuiti
accoppiati
EB1
EB2
L1
M
L2
R2
R1
• Applichiamo la legge di
Kirchhoff ai due circuiti
E B 1  E i 1  VR 1  0
E B 2  E i 2  VR 2  0
• Nota: queste equazioni sono la base
teorica del funzionamento del
trasformatore
• Isoliamo il termine di induzione
 E i 1  E B 1  VR 1
 E i 2  E B 2  VR 2
16
Energia magnetica di due circuiti
accoppiati
• Moltiplichiamo la prima eq. per la corrente del
primo circuito e analogamente procediamo con
la seconda eq.
 E i 1 I 1  E B 1 I 1  VR 1 I 1
 E i 2 I 2  E B 2 I 2  VR 2 I 2
• Come nel caso di un circuito singolo, il termine
di sinistra rappresenta la potenza magnetica
Pm1   Ei1 I 1
Pm 2   Ei 2 I 2
17
Energia magnetica di due circuiti
accoppiati
• L’energia magnetica totale sara` la somma delle
energie magnetiche dei due circuiti
dU m  Pm1dt  Pm 2 dt   Ei1 I1  Ei 2 I 2 dt
• Esplicitando la fem dei due circuiti
dU m  dI1
dI 2 
dI1 
 dI 2
  L1
M
M
 I1   L2
I 2 
dt
dt 
dt 
 dt
 dt
dI
dI
dI
dI
 L1 1 I1  M 2 I1  M 1 I 2  L2 2 I 2 
dt
dt
dt
dt
d 1
d
d 1
2 
2 
  L1 I1   MI1 I 2    L2 I 2 
dt  2
dt  2
 dt

18
Energia magnetica di due circuiti
accoppiati
1
1
2
2
• E integrando U m  L1 I1  MI1 I 2  L2 I 2
2
2
• Tale energia non puo` essere negativa, questo
matematicamente si esprime dicendo che la
forma quadratica seguente e` non negativa
L1 x 2  2Mxy  L2 y 2  0
• La condizione perche’ cio` avvenga e` che il
determinante sia negativo o nullo
M  L1 L2  0
2
19
Coefficiente di accoppiamento
• Fisicamente cio` significa che il coefficiente di
mutua induzione e` compreso nei limiti
 L1 L2  M  L1 L2
• Si definisce coefficiente di accoppiamento
M2
r
L1 L2
0  r 1
• r e` compreso tra zero (circuiti disaccoppiati) e
uno (circuiti completamente accoppiati)
20
Circuito LC – Oscillazioni libere
• Applichiamo la 2a legge di
Kirchhoff
dI 1
EL  VC  0 EL  VC  L  Q
dQ
I
dt
dt
L
C
C
d 2Q 1

Q0
2
dt
LC
• È l’equazione del moto armonico
1
0 
di pulsazione
LC
Q  A cos0t   
• che ha soluzione
I  0 A sin 0t   
21
Circuito LC
• Ove A e f si determinano imponendo le
condizioni iniziali
• Se p.e. imponiamo che al tempo t=0 la carica
sia Q0 e la corrente sia 0, otteniamo
Q  Q0 cos 0t
I  0Q0 sin 0t
• Carica e corrente sono sfasate di /2
22
Circuito LC
• L’energia accumulata nel circuito è in parte elettrica e
in parte magnetica
1 Q 2 (t ) 1 2
U (t ) 
 LI (t )
2 C
2
23
Circuito LC
• Questa energia è costante
dU (t ) Q dQ
dI Q
Q

 LI
 I  LI
0
dt
C dt
dt C
LC
• Ciò significa che l’energia si trasforma da elettrica a
magnetica e viceversa, conservandosi globalmente
• La presenza di resistenze comporta una diminuzione di
energia e.m. e la comparsa di energia termica
24
Rocchetto a
(*)
induzione
• Un rocchetto ad
induzione (o di
Ruhmkorff) è un tipo di
trasformatore utilizzato
per produrre impulsi ad
alta tensione
(dell’ordine di 10 kV)
partendo da una
sorgente di corrente
continua a bassa
tensione
•
(*) questa pagina e le cinque
seguenti sono adattate da Wikipedia
25
Funzionamento
• Un rocchetto ad induzione
consiste di due solenoidi di
filo di rame isolato avvolti
attorno ad un unico nucleo di
ferro
• Un solenoide (avvolgimento
primario) è costituito di
decine o centinaia di spire di
filo smaltato ed è percorso
da una corrente elettrica che
crea un campo magnetico
• L'altro (avvolgimento
secondario) consiste di
diverse migliaia di spire di filo
sottile ed è accoppiato
magneticamente al primario
attraverso il nucleo di ferro
26
Funzionamento
• Il primario agisce da induttore, immagazzinando l'energia nel
campo magnetico associato
• Per produrre le variazioni di flusso necessarie ad indurre la
forza elettromotrice nell'avvolgimento secondario, la corrente
che circola nel primario è interrotta ripetutamente mediante un
contatto vibrante chiamato interruttore
• Quando la corrente elettrica del primario viene interrotta
improvvisamente, il campo magnetico cala rapidamente e
questo, per induzione elettromagnetica, causa un impulso ad
alta tensione attraverso il secondario
• Grazie all'alto numero di spire dell'avvolgimento secondario,
la fem generata crea una ddp tra i terminali del secondario di
molte migliaia di volt. Questa tensione è sufficiente a generare
una scarica elettrica attraverso l'aria che separa i terminali
27
Funzionamento
• Il rocchetto di Ruhmkorff utilizza una lamina
metallica vibrante chiamata interruttore per
aprire e chiudere rapidamente il circuito
primario
• L'interruttore è montato ad una estremità del
nucleo ferroso, il campo magnetico generato
dal primario attira la lamina, trattenuta da una
molla, e apre il circuito
• All'apertura del circuito, il campo magnetico
si interrompe, la molla richiama l’interruttore e
il circuito viene chiuso nuovamente
28
Funzionamento
• La tensione nel secondario è indotta sia quando il
circuito si apre che quando si chiude, ma la
variazione della corrente è molto più rapida
quando il circuito si apre così l'impulso nel
secondario all'apertura è molto maggiore
• NOTA: un condensatore è posto in parallelo all'interruttore del
primario per sopprimere l'arco elettrico fra i contatti e permettere
un'apertura più rapida e quindi una tensione maggiore
• La forma d'onda dell'uscita di un rocchetto ad
induzione è costituita da una serie di impulsi
positivi e negativi ma una delle due polarità è
molto più ampia dell'altra
29
Funzionamento
• Il nucleo ferroso è costruito con un fascio
di fili di ferro rivestiti con lacca per isolarli
elettricamente
• Questo diminuisce la formazione di
correnti parassite perpendicolari all'asse
magnetico
30
R
Circuito chiuso
EB
L1 M
L2
r
• Equazione del primario in
assenza di corrente nel
secondario L di1  ri  E
1
1
dt
EB
• Soluzione i1  1  e t T 
r
L1
T
r
B
i1
t
31
R
Circuito chiuso
EB
L1 M
• Flusso nel secondario
L2
r
 2  L2i2  Mi1
• Fem nel secondario
E2   L2
di2
di
M 1
dt
dt
• Fintanto che non passa corrente nel secondario,
la fem si riduce a E   M di1   M EB 1 e t T
2
dt
• Nell’istante di chiusura del
primario (t=0) essa vale
E2
chius
EB
 M
L1
r T
E2
t
32
Circuito aperto
R
EB
modellato con una R molto grande
• Equazione del
primario
di1
L1
dt
L1 M
L2
r
 R  r i1  E B
• Soluzione
E B  R t  
EB
E B R t  E B t 
i1 

e 
e
1  e  
Rr r
r
 Rr Rr r
i1
L1

Rr
t
33
R
Circuito aperto
EB
L1 M
r
• Fintanto che non passa
corrente nel secondario,
la fem e`
di1
E B R 1 t 
E2   M
M
e
R  r r 
dt
L2
E2
• Nell’istante di apertura
del primario (t=0) essa vale
E2
aper
EB R 1
EB R
M
M
R  r r 
L1 r
t
34
Fem nelle commutazioni
• Le fem all’apertura e chiusura del primario, tenuto conto
del buon accoppiamento, sono
E R
E R
L2
R
R
aper
E2  M B  L1 L2 B 
EB  EB
L1 r
L1 r
L1
r
r
EB
EB
L2
E2   M
  L1 L2

EB  EB
L1
L1
L1
• L’ultimo passaggio deriva dal diverso numero di spire nei
due avvolgimenti
• Il rapporto delle fem all’apertura e chiusura del primario
aper
e`
E2
R

 1
chius
r
E2
chius
35
Fem nelle commutazioni
aper
• Il rocchetto e` costruito in modo che E 2 generi una
ddp tra i terminali aperti del secondario, sufficiente a
superare la rigidita` dielettrica dell’aria e provocare
quindi una scarica
E2
Potenziale di scarica in aria
chiusura del primario
apertura del primario
t
36
Importanza scientifica
• Un rocchetto di questo tipo fu usato da H.
Hertz per dimostrare sperimentalmente
l'esistenza delle onde elettromagnetiche
37