Corso di Circuiti a Microonde
Filtri a microonde
Tipi di filtri
• Passa basso
• Passa alto
• Passa banda
• Arresta banda
Attenuazione e Perdita di Riflessione (1/3)
ZG = 50 
a1
VG
b1
A dB  10 log10
S11
S12
a2
S21
S22
b2
PI
P
P
 10 log10 I  10 log10 E  A RdB  A DdB
PO
PE
PO
A dB  Attenuazio ne
A RdB  Attenuazio ne per riflessione
A DdB  Attenuazio ne per dissipazione
LRdB  10 log10
ZL = 50 
PI
PR
LRdB  Perdita di Riflession e
Attenuazione e Perdita di Riflessione (2/3)
Vi  ai  bi
PI 
Ii  (ai  bi ) / Z0
 
1
1
2
*
Re VI II 
a1
2
2 Z0

ZG  ZL  Z0  50 
PI  Potenza incidente

PR 
1
1
1
2
2
2
*
Re VR IR 
b1 
a1 S11
2
2 Z0
2 Z0
PE 
1
1
2
2
2
2
a1  b1 
a1 1  S11
2 Z0
2 Z0
PO 
1
1
1
2
2
2
*
Re VO IO 
b2 
a1 S 21
2
2 Z0
2 Z0






PR  Potenza riflessa
PE  Potenza entrante
PO  Potenza uscente
Attenuazione e Perdita di Riflessione (3/3)
A RdB
2
 1
a
1
2 Z
PI
0
 10 log10
 10 log10 
1
2
2
PE

a1 1  S11
2 Z0

A DdB
2
2
 1

2
a
1

S
1
11


1

S
P
2 Z0
11
 10 log10 E  10 log10 
 10 log10

2
1
2
2
PO
S


a1 S21
21
2
Z
0




A dB  A RdB  A DdB  10 log10
LRdB


1
  10 log10
2
1  S11




1
S21
2
2
 1

a
1
2 Z

PI
1
0
 10 log10
 10 log10 
 10 log10

2
1
2
2
PR
S


a1 S11
11
2
Z
0


Passa basso prototipo di riferimento (PBPR)
• Si riconduce il progetto del filtro ad un passa basso con frequenza di
taglio normalizzata c' = 1
• I filtri si suppongono privi di perdite ( sono attenuatori per riflessione)
S11   e j
A dB  A RdB  10 log10
PLR 
1
1  2
1
 10 log10 PLR
2
1 
1 
2
2
 S 21  A RdB  A dB

PLR  Power Loss Ratio
• Per le proprietà delle trasformate di Fourier di segnali reali [v(t); i(t)] 
 V(f) = V*(-f); I(f) = I*(-f)  Z(f) = V(f) / I(f) = Z*(-f)  (f) = *(-f) 
  è funzione pari di '  2 è funzione pari di '
 
   
 
 
M '2
1
1
MN
MN
M '2
 
 PLR 



 PLR  1 
2
2
2
2
M
M

N

M
N
M '  N '
1 
N

'
1
MN
2
Filtri massimamente piatti (Butterworth) (1/2)
N('2 )  1
M('2 )  K 2 '2 N
PLR
N=2
N=1
K  tolleranza del filtro
N  ordine del filtro
PLR  1  K '
2
1 + K2
2N

A dB  10 log10 1  K 2 '2 N

1
1
Proprietà: le prime (2 N – 1) derivate sono nulle per ' = 0 
 massima piattezza nell’origine
’
Filtri massimamente piatti (Butterworth) (2/2)
'  1
Al cut - off
PLR  1  K 2

A CdB  10 log10 1  K 2

K 2  10 A CdB / 10  1  K  attenuazio ne al cut - off
K  1  A CdB  3 dB
'  1
Per frequenze elevate
PLR  K 2 '2 N


A dB  10 log10 K 2  10 log10 '2 N  10 log10 K 2  20 N log10 '
AdB aumenta di 20 N dB per decade  N  pendenza del filtro
Filtri a ripple costante (Chebyshev) (1/2)
N('2 )  1
M('2 )  K 2 TN2 (' )
PLR
N=2
TN (' )  polinomio di Chebyshev di grado N
TN '  cos[N cos 1']
per '  1
TN '  cosh[ N cosh1']
TN2 '  1/ 4  2 '
2N
K  ripple del filtro
N=1
per '  1
per '  1
N  ordine del filtro
1 + K2
1
1
PLR  1  K 2 TN2 (' )


A dB  10 log10 1  K 2 TN2 (' )
Proprietà: TN(') oscilla fra ±1 per ' < 1  ripple costante
A parità di attenuazione al cut-off  massima pendenza
’
Filtri a ripple costante (Chebyshev) (2/2)
Al cut - off
PLR  1  K 2
'  1

A CdB  10 log10 1  K 2
K  ripple e attenuazio ne al cut - off
K  1  3 dB ripple 
'  1
Per frequenze elevate
PLR 

1 2
2N
K 2 '
4


1

A dB  10 log10 K 2  10 log10 '2 N  10 log10  22 N  
4

1

 10 log10 K 2  20 N log10 '10 log10  22 N 
4

AdB aumenta di 20 N dB per decade, ma è (1/4) (22 N) volte più grande
rispetto a Butterworth  N  pendenza del filtro
Trasformazione PBPR → passa basso
Trasformaz ione frequenza :
' 

C
PLR
Es. Butterwort h :
PLR
  

 1  K 2 
 C 
2N
1 + K2
1
  0  '  0  PLR  1
  C  '  1  PLR  1  K 2
    '    PLR  
-C
0
C

Trasformazione PBPR → passa alto
Trasformaz ione frequenza :
'  
C

PLR
Es. Butterwort h :
PLR
  
 1 K 2   C 
  
2N
1 + K2
1
  0  '    PLR  
  C  '  1  PLR  1  K 2
    '  0  PLR  1
- C
0
C

Trasformazione PBPR → passa banda
Trasformaz ione frequenza :
' 
PLR
0   0  1   0 

  



2  1  0     0  
con :
0  1 2

2  1
0
(centro banda )
(banda frazionale )
1 + K2
Es. Butterwort h :
PLR
1
 0   0 


 1 K 2 

 2  1  0  
  0  '    PLR  
2N
-1
-0
-2
0
1
0
2

  0  '  0  PLR  1     '    PLR  
0  1 0 
0 12  02
12  1 2

 
  1  ' 


 1  PLR  1  K 2
2  1  1
2  1  0 1  2  1 0 1
Trasformazione PBPR → arresta banda
Trasformaz ione frequenza :
  1   0 


'   2

0  0  
con :
0  1 2

2  1
0
1
  0 

  



 0

PLR
(centro banda )
(banda frazionale )
1 + K2
1
Es. Butterwort h :
PLR
1
-1
        1 
1
 1  K 2  2
 0  

0  0   



-0
-2
1
0
2

2N
  0  '  0  PLR  1   0  '    PLR  
  1  1 0 


  1  '   2

0  0 1 
0
1

    '  0  PLR  1
2  1  1  1  P  1  K 2
2  1 0 1


LR
0 12  02
12  1 2
Realizzazione circuitale del PBPR
• La risposta in frequenza del PBPR può essere ottenuta con dei
circuiti elettrici a costanti concentrate realizzati con induttanze e
capacità, in numero pari all’ordine del filtro
• Per avere comportamento passa basso si avranno induttanze in
serie e capacità in parallelo
G0 = go
L1 = g1
C2 = g2
R0 = go
LN-1 = gN-1
L3 = g3
C4 = g4
CN = gN
gN+1
C1 = g1
L2 = g2
L4 = g4
C3 = g3
LN-1 = gN-1
CN = gN
gN+1
• Scegliendo i gi opportunamente si possono avere risposte predefinite
(p.es. Butterworth o Chebyshev)
• Se gN è un condensatore in parallelo (ammettenza) gN+1 è una
resistenza; se gN è un induttore (impedenza) gN+1 è una conduttanza
Dimensionamento del filtro
• Si sceglie il tipo di risposta (p.es. Butterworth o Chebyshev)
• Sulla base della specifica sull’attenuazione al cut-off o sul ripple si
sceglie il parametro K
• Sulla base della specifica sull’attenuazione fuori banda si fissa
l’ordine N (usando dei grafici di progetto o per tentativi)
• Si calcolano i coefficienti gi (usando tabelle di progetto o formule
analitiche)
• Le gi, che sono normalizzate e quindi adimensionali, vengono
denormalizzate tramite l’impedenza caratteristica R0 (50 ) del
circuito
• Si applicano le trasformazioni di frequenza, che si traducono in
trasformazioni degli elementi circuitali, arrivando così al circuito finale
Filtro Butterworth
Attenuazione al cut-off: 3 dB
' - 1
Filtro Butterworth
Attenuazione al cut-off: 3 dB
Filtro Chebyshev
Ripple: 0.5 dB
' - 1
Filtro Chebyshev
Ripple: 0.5 dB
Filtro Chebyshev
Ripple: 3 dB
' - 1
Filtro Chebyshev
Ripple: 3 dB
Denormalizzazione rispetto all’impedenza
L'K  R 0 LK  R 0 gK
C'K 
CK gK

R0 R0
S
R'K  R 0 RK  R 0 gK
G'K 
GK gK

R0 R0
R 0  50 

S

Filtro passa basso
' 

C
L serie
X'K  ' L'K 
L"K 

L'K
C

L'K R0 LK R0 gK


C
2 fC
2 fC
H

L serie  L serie
C parallelo
B'K  ' C'K 
C"K 

C'K
C
S
C'K
CK
gK


C R0 2 fC R0 2 fC
F

C parallelo  C parallelo
Filtro passa alto
'  
C

L serie
X'K  ' L'K  
C"K 
C
L'K


1
1
1


L'K C R0 LK 2 fC R0 gK 2 fC
F

L serie  C serie
C parallelo
B'K  ' C'K  
L"K 
C
C'K

S
R0
R0
1


C'K C CK 2 fC gK 2 fC
H

C parallelo  L parallelo
Filtro passa banda
' 
0   0 



2  1  0  
L serie
0   0 
02 L'K
 L'K
1

 L'K 
X'K  ' L'K 


  L''K 
2  1  0  
2  1 2  1 
 CK''
L"K 
R g
L'K
 0 K
2  1 2  1
H ;
CK'' 
2  1
2  1

02 L'K
02 R0 gK

F  L serie  serie di L e C
C parallelo
0   0 
02 C'K
 C'K
1

 C'K 
B'K  ' C'K 


  CK'' 
2  1  0  
2  1 2  1 
 L''K
C"K 
C'K
gK

2  1 R0 2  1 
F ;
L''K 
2  1 R0 2  1 

2
'
0 CK
02 gK
S
H  C //  // di L e C
Filtro arresta banda
  1   0 


'   2

0  0  
1
L serie
0   0  1
02
1

1
1


B'K  




  CK'' 
' L'K 2  1  0   L'K 2  1  L'K 2  1  L'K
 L''K
C"K 
1
2  1  R0 gK
F ;
L''K 
S
2  1  R0 gK H  L serie  // di L e C
2
0
C parallelo
0   0  1
02
1

1
1


X'K  




  L''K 
' C'K 2  1  0   C'K 2  1  C'K 2  1  C'K
 CK''
L"K 
R0
gK 2  1 
H ;
CK'' 
gK 2  1 
02 R0
F  C //  serie di L e C
