Onde 1
10 novembre 2014
Campi e onde
Tipologia
Equazione d’onda e sua proprietà di sovrapposizione
Soluzioni dell’equazione delle onde
Onde sferiche
Onde stazionarie
Fronti d’onda, raggi
(Energia di un’onda meccanica)
Campi
• Matematicamente sono funzioni reali (o
complesse) che rappresentano grandezze
fisiche
• Sono definiti nello spazio tridimensionale (o in
opportuni sottoinsiemi 3-D, 2-D, 1-D) e nel
F ( x, y , z , t )
tempo
• Se non dipendono dal tempo sono detti statici
G ( x, y , z )
• Se hanno ovunque (nell’insieme spaziale di
definizione) lo stesso valore sono detti uniformi
2
Campi
• Se basta una sola funzione a definirli
completamente, il campo è detto scalare
(campo della temperatura)
  f ( x, y , z , t )
• Se occorre una funzione per ogni dimensione
spaziale, il campo è detto vettoriale (campo
della velocità di un fluido)
Ay  g ( x, y, z , t )
Ax  f ( x, y, z, t )
Az  h( x, y, z, t )

Ax, y, z, t   Ax x, y, z, t , Ay x, y, z, t , Az x, y, z, t  

 Ax x, y, z, t iˆ  Ay x, y, z, t  ˆj  Az x, y, z, t kˆ

3
Onde
• Sono perturbazioni delle condizioni di equilibrio
statico di un campo, generate da una sorgente e
che si propagano nello spazio e nel tempo
• Possono essere periodiche o impulsive
• Possono richiedere un mezzo materiale (onda
meccanica) oppure possono propagarsi nel vuoto
(onda elettromagnetica)
• Si propagano con una velocità che dipende dalla
natura del campo e del mezzo
4
Tipologia
• Onde meccaniche: hanno bisogno di un mezzo
materiale per essere prodotte e per propagarsi
• Onde elettromagnetiche: si propagano anche
nel vuoto
5
Tipologia
• Onde longitudinali: l’oscillazione microscopica
del mezzo è parallela alla direzione del moto
macroscopico di propagazione dell’onda
• Onde trasversali: l’oscillazione microscopica
del mezzo è perpendicolare alla direzione del
moto macroscopico di propagazione dell’onda;
sono dunque possibili due direzioni
indipendenti dell’oscillazione (ovvero due
polarizzazioni)
6
Tipologia
• Onde:
– Trasversali
• sulla superficie di un
liquido o su una
membrana
• su una corda
• nel vuoto: onde e.m.
– Longitudinali
• sonore in un fluido
Onde sismiche di volume
– Miste
• sonore in un solido
• onde sismiche: le onde p, o primarie, sono longitudinali e
le onde s, o secondarie, sono trasversali; le onde p sono
piu` veloci delle onde s
7
Funzione d’onda
• Un’onda viene rappresentata
matematicamente con una funzione dello
spazio e del tempo detta funzione d’onda
f ( x, y , z , t )
8
Equazione d’onda
• L’equazione che descrive il moto di un’onda
 2 f  x, t  1  2 f  x, t 
 2
0
2
2
x
v
t
• prende il nome di equazione d’onda o di
d’Alembert e descrive in generale tutte le onde
che dipendono da una sola variabile spaziale e
dal tempo f=f(x,t)
• Può essere generalizzata al caso di due o tre
variabili spaziali cioè f=f(x,y,z,t)
2 f 2 f 2 f 1 2 f
1 2 f
 2  2  2 2  f  2 2  0
2
x
y
z
v t
v t
9
Proprietà dell’eq. d’onda
• Nell’eq. le derivate della funzione incognita f
compaiono con esponente 1, inoltre esse sono
operazioni lineari
• Questo ha l’importante conseguenza che se f e g
sono due soluzioni, allora è soluzione anche
qualunque loro combinazione lineare h=f+g
• Dimostrazione: moltiplichiamo per  l’equazione
1 2 f
f  2 2  0
v t
• e per 
1 2 g
l’equazione g  2 2  0
v t
10
Proprietà dell’eq. d’onda
• Sommiamo membro a membro le equazioni
•


1 2 f 
1 2 g 
 f  2 2    g  2 2   0
v t 
v t 


1  2 f
2 g 
Riordiniamo f  g   2  2   2   0
v  t
t 
• E per le proprietà di linearità delle derivate
1  2 f  g 
f  g   2
0
2
v
t
• L’espressione tra parentesi è proprio h
11
Proprietà dell’eq. d’onda
1  2h
h  2 2  0
v t
• Cioè anche h è soluzione:
• Questa proprietà permette trattare il problema di
sorgenti multiple:
– Si considera un problema distinto per ogni sorgente e
se ne trovano le soluzioni odulatorie
– Si sommano poi queste soluzioni, cioè le onde delle
singole sorgenti
– Tale somma è soluzione del problema in cui le
sorgenti agiscono contemporaneamente
• Questo è il principio di sovrapposizione delle
onde
12
Soluzioni dell’eq. delle onde
• Abbiamo visto che le soluzioni dell’eq.
2
1 2
f x, t   2 2 f x, t   0
2
x
v t
• sono dette onde piane e che una qualunque funzione di
argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa
equazione
g ( x  vt)
h( x  vt)
13
Soluzioni dell’eq. delle onde
• Vogliamo ora dimostrare questo risultato
• Eseguiamo il cambiamento di variabili
  x  vt
  x  vt
• La cui trasformazione inversa è


x     2

t     2v

14
Soluzioni dell’eq. delle onde
• Diciamo F la funzione f espressa in termini delle nuove
variabili
F ,  f x ,, y ,
• Esprimiamo le derivate rispetto alle nuove variabili
   


 


 1
1
 
x x  x 

  
 
    


 


 v
 v
 v   
t t  t 


   
15
Soluzioni dell’eq. delle onde
• Le derivate seconde divengono
 2         2
2
2
    2  2
 2
2  
x      
 
2
2
2 





2







2
2

v





v
 2 
 2  2



2
t
  
      

• Sostituendo nell’eq. delle onde otteniamo
 2 F
 2 F  2 F   2 F
 2F  2 F 
 2   2  2
 2  0
 2  2
   
  

16
Soluzioni dell’eq. delle onde
•
•
•
•
2

F ,
E semplificando
0

L’integrazione di questa eq. è molto semplice: se la
derivata rispetto alla variabile  è nulla
F ,



 0
   
allora la funzione tra parentesi può dipendere solo
dall’altra variabile,  :
F ,
 g


ove g è una funzione arbitraria di 
17
Soluzioni dell’eq. delle onde
• Per trovare F(, ) basta infine integrare rispetto a ,
operazione che dà una funzione di  (la primitiva di g)
più un’arbitraria funzione di 
F  , 
F  ,   
d  H     g  d  H    G    H  

• Ritornando alle variabili iniziali, ne segue la tesi
f x,t   gx  vt  hx  vt

18
Soluzioni dell’equazione delle onde
• Studiamo un’eq. un po’ piu` complicata di quella piana
2
2
1 
 f r , t   2 2 f r , t   0
c t
• In cui f sia funzione del tempo e del modulo del vettore
posizione, cioe` f abbia simmetria sferica
• Dobbiamo esprimere il laplaciano in coordinate sferiche
2
1   2 f r , t  
 f r , t   2  r
  Oq f r , t   Of f r , t 
r r 
r 
• Poiche’ f non dipende dalle variabili angolari q e f, gli
operatori corrispondenti danno risultato nullo, rimane
quindi da calcolare solo il primo addendo
19
Onde sferiche
F r , t 
• A tal fine esprimiamo f come f r , t  
r
• Il laplaciano diventa
1   2 f r , t   1  2 F r , t 
r

2
r r 
r  r r 2
• e l’eq. d’onda
1  2 F r , t  1  2 F r , t 
 2 2
0
2
r r
c t
r
• Moltiplicando per r otteniamo l’eq. delle onde piane per F
20
Onde sferiche
• Poiche’ tale eq. ha per soluzioni F r , t   F r  vt 
• L’eq. di partenza ha per soluzioni
F r  vt 
f r , t  
r
• Tali soluzioni sono dette onde sferiche
• Ad es. per onde sinusoidali
a sin k r  vt  a sin kr  t 
f r , t  

r
r
21
Onde stazionarie
• La sovrapposizione di un’onda
progressiva e di una regressiva di ugual
ampiezza costituisce un’onda
stazionaria
22
Onde stazionarie sinusoidali
• Sono del tipo
f x, t   A sin kx  t   A sin kx  t 
• Sviluppando i seni (nel caso “+”), otteniamo
f x, t   2 A  sin kx  cos t
• Nel caso “-”: f x, t   2 A  cos kx  sin t
• Cioè la dipendenza dallo spazio e dal tempo è
fattorizzata
• I massimi e i minimi della funzione spaziale si dicono
ventri, mentre gli zeri si dicono nodi
23
Onde stazionarie. Due estremi vincolati
• Relazione tra lunghezza d’onda , frequenza f e lunghezza L
della corda

v
v

Ln
2
f 

n
n N
2L
• n=1, frequenza fondamentale
1 ventre, 2 nodi
2 ventri, 3 nodi
f0 
v
2L
  2L
• n=2, prima armonica
v
f1 
L
L
• n=3, seconda armonica
f2 
3 ventri, 4 nodi
3v
2L
2
3
 L
24
Onde stazionarie. Un estremo vincolato
• Relazione tra lunghezza d’onda 
e lunghezza L della corda
L  2n  1

4
n N 
• 1 ventre, 1 nodo
  4L
• 2 ventri, 2 nodi
4
 L
3
• 3 ventri, 3 nodi
4
 L
5
25
Onde stazionarie. Estremi liberi
• Relazione tra lunghezza d’onda 
e lunghezza L della corda
Ln

2
n N 
• 2 ventri, 1 nodo
  2L
• 3 ventri, 2 nodi
L
• 4 ventri, 3 nodi
2
 L
3
26
Onde piane
• Le onde piane sinusoidali (p.e. progressive) sono del
tipo
A sinkx  t 
• Studiamo la varietà geometrica definita quando la
fase è costante
kx  t  const.
• Ad un determinato istante di tempo questa eq.
rappresenta una superficie piana
• Per un’onda piana le superfici di ugual fase sono
piani
x
27
Onde sferiche
• Le onde sferiche sinusoidali (p. e. progressive) sono
del tipo
Ar sinkr  t 
• Studiamo la varietà geometrica definita quando la
fase è costante
kr  t  const.
• Ad un determinato istante di tempo questa eq.
rappresenta una superficie sferica di raggio r
• Per un’onda sferica le superfici di ugual fase sono
superfici sferiche
r
28
Superfici di egual fase
• A seconda del valore della fase le superfici possono essere
superfici di massimo, di minimo o di altra fase
• Vengono anche dette fronti d’onda
• La direzione localmente perpendicolare alla superficie di
egual fase è la direzione di propagazione dell’onda in quel
punto
• Se scegliamo un punto sulla superficie d’onda e lo
seguiamo nel tempo, esso traccia una linea localmente
perpendicolare, istante per istante, alla superficie d’onda
• Tali linee vengono dette raggi
29
Raggi
• Per le onde piane i raggi sono rette parallele,
x
• per le onde sferiche sono semirette con origine
comune
r
30
Energia delle onde
• Vogliamo calcolare l’energia associata ad un’onda
• Per semplicità ci limiteremo ad onde piane di tipo
sinusoidale
• In tutta generalità considereremo un’espressione
valida sia per onde trasversali (T) che longitudinali (L)
• Faremo il calcolo per i due casi
– Onda progressiva
– Onda stazionaria
31
Energia di un’onda progressiva
• Consideriamo una piccola quantità di materia di volume dV e
massa dm di dimensione dx nella direzione x di propagazione
• Il volume considerato oscilli attorno alla posizione di equilibrio
x* con legge
f x* , t   A sinkx*  t 
• Per onde T, f rappresenta l’oscillazione trasversale rispetto a x
• Per onde L, f rappresenta l’oscillazione lungo x
• L’energia potenziale dell’elemento materiale è
f
f
 
2 f
dU    dF  df    dFdf  dm  2 df 
0
0
0 t
f*
*
*
f*
f*
0
0
 dm 2  A sinkx*  t df  dm 2  fdf 
1
1
2
2
*
 dm f x , t   dm 2 A2 sin 2 kx*  t 
2
2
32
Energia di un’onda progressiva
• L’energia cinetica
1  f  1
2
2
2
*
  dm A cos kx  t 
2  t  2
• L’energia meccanica totale è dunque
2
dK  dm
1
2
• Per trovare le energie corrispondenti ad una lunghezza L
dell’onda, integriamo rispetto alla massa, supposta distribuita
con densità uniforme m lungo x
dE  dK  dU  dm 2 A2
dm  mdx
33
Energia di un’onda progressiva
• Otteniamo
1 2 2L 2
1 2 2L
U   A  sin kx  t mdx
K   A  cos 2 kx  t mdx
2
2
0
0
L
1 2 2
E   A  mdx
2
0
• Per semplicità scegliamo L  n cioè una regione spaziale di
estensione multipla di lunghezza d’onda. Posto che
kL  2  n  2n l’integrale in U (e in K, scambiando sin
con cos) diventa
kL t
2 n t
2






sin
kx


t
m
dx

m
k
sin
udu

m
k
sin
udu 



L
2
2
t
0

m
k
n  m
t

1
n  mn
2
2
34
Energia di un’onda progressiva
• Infine
1 2 21
1
U  K   A mn  mL  A2 2
2
2
4
1
E  mL  A2 2
2
• Quindi l’energia dell’onda è proporzionale
– al quadrato dell’ampiezza dell’onda
– al quadrato della frequenza dell’onda
– alla massa della materia coinvolta mL
35
Energia di un’onda stazionaria
• Il volume considerato oscilli attorno alla posizione di equilibrio
x* con legge f x* , t   A sin kx* cos t
• L’energia potenziale dell’elemento materiale dm è
1
1
2
2
*
dU  dm f x , t   dm 2 A2 sin 2 kx* cos 2 t
2
2
• L’energia cinetica
2
1  f  1
dK  dm   dm 2 A2 sin 2 kx* sin 2 t
2  t  2
• L’energia totale dE  1 dm 2 A 2 sin 2 kx *
2
36
Energia di un’onda stazionaria
• L’energia dell’onda, su una lunghezza L  n  2 multipla, p.e.,
di mezza lunghezza d’onda, si trova integrando su x
L
1 2 2
1 2 2
1
1
2
2
2
U   A cos t  sin kxmdx   A cos t mL  mL  2 A2 cos 2 t
2
2
2
4
0
1 2 2 2 L 2
1 2 2 2 1
1
K   A sin t  sin kxmdx   A sin t mL  mL  2 A2 sin 2 t
2
2
2
4
0
1 2 2L 2
1
E   A  sin kxmdx  mL A2 2
2
4
0
• Poiche’ l’onda è una sovrapposizione di due onde di ugual
ampiezza A’, abbiamo A=2A’, ne segue che la sua energia è
uguale alla somma delle energie delle onde componenti
1
1
2
2


E  mL  A  mL  2 4 A'2  2 E '
4
4
37