Lezione 2
Argomenti della lezione
• Moto nel piano
• Descrizione del moto nel piano con coordinate cartesiane –
polari - intrinseche
• Moto circolare
• Moto parabolico
Moto nel piano
Concetto di vettore che individua il punto nel piano. Posizione individuata
anche da coordinate (cartesiane o polari)
Moto nel piano
Vettore spostamento / Vettore posizione
Posizione: r(t)=OP=x(t)ux+y(t)uy
r r(t  t )  r(t )
vm 

t
t
Velocità istantanea
dr
v
dt
Analogamente per l’accelerazione:
dv
a
dt
Moto nel piano
Coordinate cartesiane
Posizione: r(t)=OP=x(t)ux+y(t)uy
dr dx
dy
v   ux  uy
dt dt
dt
dv y
dv d 2r dvx
d 2x
d2y
a
 2 
ux 
u y  2 u x  2 u y  axu x  a yu y
dt dt
dt
dt
dt
dt
Moto nel piano
Coordinate polari
Posizione: r(t)=OP=x(t)ux+y(t)uy=r(t) ur
y
uq
ur
du
dr dr
v

ur  r
dt dt
dt
q
O
x
Coordinate intrinseche
Il vantaggio della notazione vettoriale sta nel fatto che è indipendente dal sistema di
coordinate,
e quindi permette di scrivere in maniera semplice le equazioni senza preoccuparsi di
definire un sistema di coordinate.
Consideriamo
s coordinata curvilinea
ds
v  u t  vu t
dt
Coordinate intrinseche
accelerazione
ds
v  u t  vu t
dt
dv d 2r
a

dt dt 2
a
d (vu t ) dv
du
dv
d

ut  v t 
ut  v
un
dt
dt
dt
dt
dt
d d ds 1

 v
dt
ds dt R
a
Accelerazione
tangenziale
dv
d
dv
v
ut  v
un 
ut  2 u n  at  a n
dt
dt
dt
R
Accelerazione normale
o centripeta
Moto circolare
 (t )  s(t ) R
y
ut
q
un
x(t )  R cos (t )
y(t )  R sen (t )
s
O
R costante!
x
Moto circolare uniforme
ha accelerazione normale alla traiettoria
d
v
aR
ut  2 u n  at  a n
dt
R
 (t ) 
d (t ) 1 ds v


dt
R dt R
s (t )  s0  vt
 (t )  0   t
Moto periodico
con periodo
2R 2
T

v

Moto circolare
Esempio
Il rotore di una centrifuga ruota a 3000 giri/min. A quanti radianti al secondo
equivale questa velocità angolare?
Sapendo che il rotore ha un diametro di 30 cm, calcolare il modulo della velocità
tangenziale e dell'accelerazione centripeta.
Un giro del rotore è uguale a 2 radianti, dunque la velocità angolare è:
 = 3000 2 (rad/min) = 6000 rad/min = 100 rad/sec.
Il modulo della velocità tangenziale è  r:
v = (2 r / T) =  r da cui si ottiene: v = 100 rad/sec 0,15 m = 15 m/sec
Il modulo dell'accelerazione centripeta è 2r=v2/r=15000m/sec2.
Moto parabolico
Condizioni iniziali: al tempo t=0 s ho accelerazione in modulo g,
velocità iniziale v0, posizioni iniziali x e y uguali a zero.
Scopo: trovare la legge oraria
Metodo: scomporre le componenti dei vettori!!
Moto parabolico
v
dr dx
dy
 ux  uy
dt dt
dt
dv y
dv d 2 r dv x
d 2x
d2y
a
 2 
ux 
u y  2 u x  2 u y  axu x  a yu y
dt dt
dt
dt
dt
dt
Nel nostro caso
asse x




asse y

a x (0)  0;




a x (0)   g ;

v x (0)  v0 cosq t ;
v y (0)  v0 sinq t ;
x(0)  0
y (0)  0
Moto parabolico
Ricordiamo il caso unidimensionale
dv
a
dt
asse x




asse y
t

v(t )  v0   a(t )dt
t0
t

v x (t )  v x (0)  a x (t )dt  v 0 cosq

0




t

v (t )  v (0)  a (t )dt  v sinq  gt
y
y
0
 y
0




Moto parabolico
Ricordiamo il caso unidimensionale
dx
v
dt
t


x(t )  x0  v(t )dt
t0
asse x





asse y
t

 x(t )  x(0)  v x (t )dt  v 0 cosq t

0




t

 y (t )  y (0)  v (t )dt  v sinq t  1 gt 2
y
0

2
0




Moto parabolico
Equazione della traiettoria
 x(t )  v 0 cosq t




 y (t )  v 0 sinq t  1 gt 2

2
x

t

 v cosq
0






x
1 
x
 y  v0 sinq
 g 
v0 cosq 2  v0 cosq

Moto di tipo parabolico
2

g
2
  x tgq 
x

2v02 cos 2 q

Moto parabolico
Calcolo di gittata e massima
quota raggiunta dall’oggetto
y  x tgq 
g
2v02 cos 2 q
per il calcolo della
gittata OG impongo y=0
e ottengo
2v02 cos 2 q tgq 2v02 cosq sin q
x

g
g
x2
notiamo che il massimo viene
raggiunto per il valore

v02 cosq sin q
x 
g




2
2
v
sin
q
y  0

2g
Moto parabolico
Esempio
Un arciere lancia una freccia in aria con un'inclinazione di 60 gradi, ad una distanza di 36 metri
da un bersaglio posto a 2 metri dal suolo. La freccia viene scoccata da un'altezza di 1.5 metri dal
terreno e con una velocità iniziale, V0 di 20 m/s . Verificare se la freccia riesce a colpire il
bersaglio.
Soluzione:
Incognite:
tvolo (tempo necessario affinché la freccia copra la
distanza di 36 metri);
y(tvolo) (altezza della freccia dopo i 36 metri di volo);
Per determinare la velocità iniziale della freccia:
Per il calcolo del tempo di volo tvolo:
Per determinare V0y:
Per determinare y(tvolo):
V0x= V0*cos(q)
Quindi V0x= 10 m/s
tvolo=x/V0x=36m/10m/s=3.6 s
V0y = V0.sen(q)= 17 m/s
y(tvolo) = (V0y*tvolo) + (1/2g*tvolo2 )= (17 m/s *3.6 s) +(- 4.9 m/s2 * 13 s2) = -2.3 m
Dal risultato negativo si deduce che la freccia cade in anticipo e quindi il bersaglio non viene colpito. Affinché
il bersaglio venga colpito y(t) avrebbe dovuto essere uguale a 0.5 m.