Lezione 10
Misure d’impulso
Un apparato che mi permette una misura di tracce ( insieme di camere MWPC o a
deriva o silici) posto in un campo magnetico (possibilmente uniforme) mi fornisce
una misura dell’impulso delle particelle ( misura di b dalla misura del raggio di
curvatura).
B
Rivelatori di Particelle
B
1
Lezione 10
Misure d’impulso
 Magneti per esperimenti a targhetta fissa
il più comune magnete usato in esperimenti a targhetta fissa è il
magnete bipolare.
All’uscita della targhetta i prodotti della reazione sono concentrati in
un cono attorno alla direzione della particella incidente, a causa del
pT limitato ( ~350 MeV ) e del boost di Lorentz lungo la direzione del
fascio.
L’apertura del cono è approssimativamente dato dal rapporto pT/pL
(con pT impulso trasverso e pL impulso longitudinale rispetto alla
direzione della particella incidente)  non serve un magnete con
una grande apertura.
Rivelatori di Particelle
2
Lezione 10
Misure d’impulso
x
y
z
fascio
targhetta
Camere per trovare
le tracce
Rappresentazione schematica di uno spettrometro magnetico
Rivelatori di Particelle
3
Lezione 10
Misure d’impulso
La forza di Lorentz è :

dp
q

dt
m
 
 p  B


Con |p| costante.
La forma di questa equazione cioè dp/dt ortogonale a p ed a B implica moto
circolare.
Rivelatori di Particelle
4
Lezione 10
Misure d’impulso
Per ricavare il raggio di curvatura conviene utilizzare un sistema di coordinate
curvilineo:
x
ŷ
ŝ
con x, y ed s sistema destrorso.
r raggio di curvatura
r
s coordinata curvilinea
a
B diretto lungo l’asse y (By)
In questo sistema di riferimento l’equazione di Lorentz diventa:

  dp
dp
dsˆ
ˆ
 q vB 
s  p  qvBy xˆ
dt
dt
dt


Rivelatori di Particelle
5
Lezione 10
Misure d’impulso
L’equazione di Lorentz :

dp dp
dsˆ

sˆ  p  qvBy xˆ
dt dt
dt
v= velocità
può essere semplificata osservando che |p| = costante e
dsˆ
da
da ds
v
ˆ
ˆ

x
x
xˆ
dt
dt
ds dt
r
p


v
r
xˆ  qvBxˆ
r = (p/qBy)
Rivelatori di Particelle
6
Lezione 10
Misure d’impulso
La deflessione nel piano xs si vede dalla figura:.
2sin(q/2)=L/r
L
x
B
Il raggio di curvatura della traiettoria è molto
maggiore della lunghezza del magnete L 
l’angolo di deflessione q può essere
approssimato a :
q
s

r
q
L
r

L
qBy
p
A causa della deflessione dovuta al campo
magnetico la particella acquista un impulso
trasverso addizionale:
Dpx=2psinq/2~pq=LqBy
Rivelatori di Particelle
7
Lezione 10
Misure d’impulso
Se il campo magnetico non è uniforme, ma varia lungo L(z) allora:
L
Dpx  q  By dl
0
Rivelatori di Particelle
8
Lezione 10
Misure d’impulso
La precisione della misura dell’impulso è
influenzata da :

Precisione dell’apparato tracciante

Scattering multiplo
Rivelatori di Particelle
9
Lezione 10
Misure d’impulso
Consideriamo una configurazione con B diretto lungo l’asse y, il fascio
incidente sulla targhetta diretto lungo z  dato il pT limitato le particelle
prodotte nella reazione sono dirette quasi lungo z. Le traiettorie delle
particelle secondarie entranti nello spettrometro sono misurate prima e
dopo il magnete. Consideriamo per semplicità una particella che entra
nel magnete diretta lungo z.
x
q/2
z
q
Poiché il campo magnetico è diretto lungo y la deflessione delle
particelle è nel piano xz.
Rivelatori di Particelle
10
Lezione 10
Misure d’impulso
Precisione dell’apparato tracciante.
Le particelle prima di entrare nel magnete e dopo essere uscite sono rettilinee
 misura di q.
da p  qB y L
Misure di posizione
q
h
x
1
q

dp
1
p
 qB y L 2 
dq
q
q
dp dq
  p   q 




p
q
p
q
Per determinare q devo avere almeno 4 punti ( 2 prima e 2 dopo il magnete),
perché mi servono 2 direzioni.
Rivelatori di Particelle
11
Lezione 10
Misure d’impulso
Se ogni punto ha lo stesso errore (x) la varianza dell’angolo di deflessione sarà:
4
 q     i2  x   4 2  x 
2
i 1
 q   2  x 
cioe'
Siccome q=x/h essendo h il braccio di leva per la misura angolare prima e dopo il
magnete 
(q)=2(x)/h
E ricordando che:
  p   q 

p
q
  p  2 x  / h
p

qBy L
p

2 x  p

h
Dpx
(p) e’ dunque proporzionale a p2.
Rivelatori di Particelle
12
Lezione 10
Misure d’impulso
A seconda della qualità dell’apparato si possono ottenere risoluzioni :
  p
p
 103  10 4   p
GeV / c
(1)
Se definiamo impulso massimo misurabile quello per cui:
  pmax 
pmax
1
Si ha che uno spettrometro magnetico con risoluzione data dalla (1) può
misurare impulsi fino a :
pmax  1  10Tev / c
Rivelatori di Particelle
13
Lezione 10
Misure d’impulso
L’impulso di una o più particelle secondarie è, di norma,
misurato in un magnete con la gap in aria  l’effetto dello
scattering multiplo è di regola piccolo se paragonato
all’errore dovuto alla misura di q nel tracciatore.
Se però vogliamo misurare l’impulso di m, i quali non
interagiscono forte ed, ad energie inferiori alle centinaia di
GeV, non fanno Bremsstrahlung, spesso si usa un
magnete di ferro magnetizzato pieno  alto scattering
multiplo.
Rivelatori di Particelle
14
Lezione 10
Misure d’impulso
Un m che attraversa un magnete di ferro pieno di spessore L acquisterà un
impulso trasverso DpTms, dovuto allo scattering multiplo
DpTms = psinqrms~ pqrms ovvero DpTms ~ 19.2(L/X0)½ [MeV/c] (b = 1)
x
DpTms
p
z
ferro
L
campo magnetico non uniforme:
  p
p
ms
Dpxms
 magn 
Dpx
Siccome la deflessione dovuta al
campo magnetico è nella
direzione x (particella lungo z e B
lungo y, solo la componente x è
quella che ci interessa Dpxms =
13.6(L/X0)½. La risoluzione in
impulso, a causa dello scattering
multiplo, diventa, nel caso di
13.6  L
X0
L
q  By l dl
0
Rivelatori di Particelle
15
Lezione 10
Misure d’impulso
Sia l’angolo di deflessione q dovuto al campo magnetico, che l’angolo di
scattering multiplo sono inversamente proporzionali all’impulso p  la
risoluzione (relativa) in impulso non dipende dall’ impulso della particella
incidente.
Per spettrometri di ferro pieno (X0= 1.76 cm) si considerano valori tipici di
B = 1.8 T (saturazione del ferro) 
  p
ms
p
Se L = 3 m 
  p
p
1
 0.19 
L
L in metri
ms
 11%
Rivelatori di Particelle
16
Lezione 10
Misure d’impulso
Sommando l’ errore dovuto all’incertezza della misura di posizione 
(p)/p %
30
(p)/p|traccia
errore totale
20
(p)/p|ms
10
100
200
300
p [Gev/c]
Per un magnete in aria (X0=304m) l’errore dovuto allo scattering multiplo è molto piu’
piccolo.
 per un magnete sempre di 1.8 T e lungo 3 metri (p)/p|ms = 0.08 %
Rivelatori di Particelle
17
Lezione 10
Misure d’impulso
Un altro metodo utilizzato per determinare l’impulso (per un magnete in aria è la
misura della sagitta (s).
L
La sagitta s è connessa al raggio di curvatura r
ed all’angolo di deflessione q tramite :
x
B


s  r 1  cos   2 r sin 2 
4
2

s
y
Poiché per particelle relativistiche q è piccolo

2
r 2
r  qBL 
qBL2
 
s
  
8
8  p 
8p
r
Se B è in [T] L in [m] e p in [GeV/c] 
q
0.3BL2
s
8p
Rivelatori di Particelle
18
Lezione 10
Misure d’impulso
Per determinare la sagitta servono almeno 3 misure di posizione. Questo si può ottenere
con una camera all’ingresso (x1), una al centro (x2) ed una all’uscita (x3) del magnete.
Poiché:
x  x 
s  x2 
1
3
2
Assumendo risoluzioni (x) uguali per le 3 camere 
Per cui la risoluzione in impulso diventa:
  p   s 
p

s

 s  
3
  x 
2
3 / 2   x   8 p
0.3BL2
Se la traccia è misurata in N punti equispaziati lungo la lunghezza del magnete L, si può
dimostrare che la risoluzione in impulso dovuta all’errore della misura della traccia è:
  p
p
tr

 x 
0.3BL2
720
  p
 p Per B=1.8 T, L=3 m, N=4 e (x)=0.5 mm
 10 3  p GeV / c
p
N 4
tr
Se le N>>4 misure sono distribuite su L a k intervalli (L=kN) 
Rivelatori di Particelle
  p
p
5
L
2
 B 1  p
19
Lezione 10
Misure d’impulso
 Magneti per esperimenti ad un Collider.
A seconda del tipo di anello di accumulazione possono essere usati diversi
tipi di magneti.
Per protone-protone o antiprotone-protone possiamo usare un magnete
bipolare, ma attenzione vengono deflessi anche i fasci incidenti  servono
dei magneti di compensazione, ma con gradiente di campo opposto:


 B(l )dl  0
Punto d’interazione
B
Fascio 2
Magnete bipolare
Magneti di compensazione
Fascio 1
Rivelatori di Particelle
20
Lezione 10
Misure d’impulso
Un magnete bipolare può autocompensarsi se si usa la configurazione
split-field. In questo caso nella zona di giunzione dei dipoli il campo è
tutt’altro che omogeneo  impossibile misure d’impulso per particelle
prodotte ad angolo polare ~ 90o.
Punto d’interazione
Fascio 2
B
B
Fascio 1
Rivelatori di Particelle
21
Lezione 10
Misure d’impulso
Il magnete toroidale non disturba i fasci del collider, in quanto il campo è nullo nella
zona dei fasci. Fra i 2 cilindri B è circolare e di intensità ~ 1/r.
Lo svantaggio maggiore in un toro è lo scattering multiplo nel cilindro interno del toro e
nei suoi avvolgimenti. risoluzione della misura d’impulso dominata dallo scattering
multiplo.
Cilindro esterno del toroide
I
B
Cilindro interno del toroide
Punto di interazione
Rivelatori di Particelle
22
Lezione 10
Misure d’impulso
I magneti più comunemente usati in un collider sono quelli solenoidali. In
questo caso I fasci viaggiano paralleli al campo magnetico quindi non sono
disturbati dal magnete ( a parte effetti di bordo ).
Sia toroidi che solenoidi non causano radiazione di sincrotrone 
Vanno bene sia per anelli di collisione di protoni che di elettroni.
Giogo cilindrico
I
B
Punto d’interazione
Rivelatori di Particelle
23
Lezione 10
Misure d’impulso
In un solenoide i tracciatori sono installati all’interno del solenoide stesso
e sono cilindrici.
Il campo magnetico (solenoidale quindi // ai fasci) agisce solo sulla
componente trasversa dell’ impulso delle particelle 
  pT 
pT
trac

 x 
0.3BL2

720
p
N  4 T
Dove (x) è la risoluzione per la coordinata nel piano ortogonale all’asse
dei fasci.
Per determinare l’impulso devo misurare anche pL (componente
longitudinale dell’impulso) 
Rivelatori di Particelle
24
Lezione 10
Misure d’impulso
Utile usare coordinate cilindriche. In questo caso le coordinate sono r, f e z
Considerando un generico punto P e la sua proiezione Q sul piano xy, la
coordinata z indica la distanza PQ. Con r si denota la distanza dall’origine
del punto Q, mentre f individua l’angolo che si forma fra il vettore r e l’asse
x.
Per passare dal sistema cilindrico a
z
quello cartesiano avremo:
x=rcosf
P
y=rsinf
z=z
y
f
x
Q
e per passare dal sistema cartesiano a
quello cilindrico:
r=(x2+y2)
f=arctan (y/x)
z=z
Rivelatori di Particelle
25
Lezione 10
Misure d’impulso
Utile usare coordinate cilindriche 
r
f
m-
mm+
q
m+
z
punto d’interazione
proiezione rf
proiezione rz
Rivelatori di Particelle
26
Lezione 10
Misure d’impulso
Se misuriamo N punti lungo una traccia di lunghezza totale L (m) con
un’accuratezza rf (m) in un campo magnetico B (T), la risoluzione
nell’impulso trasverso e’:
  pT 
pT

 r
0.3BL2
720
 pT GeV / c 
N  4
Oltre all’errore sulla traccia dobbiamo considerare anche lo scattering
multiplo:
  pT 
pT
ms

0.045
B LX 0
 X 0 in
Rivelatori di Particelle
m
27
Lezione 10
Misure d’impulso
L’impulso totale della particella è ottenuto da pT e dall’angolo polare q:
p  pT
sin 
Come nel caso del piano rf (trasverso) anche la misura dell’angolo polare ha un errore, sia
dovuto alla risoluzione del tracciatore, sia allo scattering multiplo.
Nel caso di una misura di 2 sole z
   
pT
q
z
z
2
Se la traccia è misurata in N punti
equidistanti si avrà:
r
 z 
 z 
12( N  1)
z
N ( N  1)
A questa  dobbiamo sommare in quadratura l’errore dovuto allo scattering multiplo
dove p è in GeV/c, l è la lunghezza di traccia in unità X0
0.0136 1
l
ms
   
 
e b=1. A parte il (3)-1/2 è la formula usuale dello
p X0
3
scattering multiplo.
  tr 

Rivelatori di Particelle
28
Lezione 10
Misure d’impulso
spiegazione di 1/(3)1/2…..
L’angolo di scattering multiplo <q> che ci interessa per la misura dell’angolo
polare deve essere inteso come il rapporto dello spostamento della traccia Dr (
a causa dello scattering multiplo ) diviso per la lunghezza di traccia l.
l
q
Dr
qpiano
Nei solenoidi si usano normalmente camere a bassa massa come tracciatori 
possiamo ignorare lo scattering multiplo.
Rivelatori di Particelle
29
Lezione 10
Misure d’impulso
Concludendo:
dalla
  pT 
pT

 r
0.3BL2
720
 pT GeV / c 
N  4
notiamo che la precisione migliora aumentando BL2. Migliora solo
come (N)1/2 aumentando N, dove N è il numero di misure
Rivelatori di Particelle
30