Lezione 6: il campo magnetico prodotto da correnti continue
il potenziale vettore
Il campo magnetico prodotto
da correnti continue
Osservazioni sperimentali:
 Orsted: correnti elettriche danno
luogo a campi magnetici;
 Legge di Biot-Savart:
 linee di B sono cerchi
concentrici al filo
i
 B
r

 0 i  r
B
2 r 2
o= 4 10-7 N/A2
relazione simile a quella trovata per il campo elettrico prodotto da
un filo uniformemente carico
cambia la direzione: campo elettrico E è radiale
campo magnetico B è circolare
 0 i
B
2 r

1 
E 
4o r
Legge della circuitazione di Ampere
3

1
 
 B  ds  B2r
 
 B  ds  0itot
 
 B  ds  0i
itot  i1  i2


vale per
qualsiasi curva 
che abbracci la corrente
 
 B  ds  0

i
i  2,3
se  non
concatena
corrente
principio
sovrapposizione
 
 B  ds  0iconc
2
validita` generale
correnti stazionarie
circuiti di forma qualsiasi

Correnti stazionarie originano campi magnetici
Le linee di campo non hanno origine nè termine (curve chiuse)
 E  dl  0
 B  dl   i
l
l
campo conservativo
(il lavoro e` nullo)
o conc
campo non conservativo
(il lavoro dipende dal percorso)
Circuitazione e Rotore
vettore
 
  
1  
rotH  n  (  H )  n  lim  H  dl
def S 0 S C
In coordinate cartesiane:

i


rotH 
x
Hx

k

z
Hz

j

y
Hy

n
S
C

 H z H y 

( rotH ) x  


y

z



 H x H z 
( rotH ) y  



z
x 


 H y H x 

( rotH ) z  

y 
 x
Significato fisico del rotore:
 
 
 H  ds   (rotH )  d


teorema di
Stokes
Il rotore del vettore H può essere associato al calcolo di un lavoro,
ad una circuitazione.
N.B. Campo conservativo:
 il lavoro su un qualsiasi circuito chiuso è nullo
 il campo e` irrotazionale

rotH  0

proprieta` del rotore: div ( rotH )  0
Correnti spaziali
iconc 



j = densita` di
 
j  d
 
 
 B  ds   0  j  d

 
 B  ds 

corrente

 
 rotB  d



rotB  0 j
correnti
stazionarie
Applicazioni della legge di Ampere: Solenoide
avvolgimento cilindrico di filo conduttore
n spire per unita` di lunghezza
l  r
interno B  n 0i costante e rettilineo
esterno B  0
Sperimentalmente importante:
crea campi magnetici rettilinei, costanti e
confinati nello spazio
(nella NMR si entra in un solenoide!)
Il Potenziale Vettore
campi elettrici stazionari
 
divE 
campi magnetici stazionari

div B  0


rotB   0 j
0

rotE  0

E   grad


B  rotA
(rot ( grad )  0)
(div (rotA)  0)
= potenziale scalare
[] = Volt
A= potenziale vettore
[A] = Tesla m
tutto l’elettromagnetismo puo` essere scritto
in termini di potenziali  ed A,
dimenticandosi dei campi
Potenziale vettore:
funzione complicata da calcolare
non univocamente determinata (come anche ):



B  rotA  rot ( A  grad )
i risultati devono essere indipendenti dalla scelta di :
vincolo sulpotenziale
divA  0
Il potenziale scalare e`
originato dalle cariche
(come il campo E)

E   grad
 
div E 
0

 2  
0
Il potenziale vettore e`
originato dalle correnti
(come il campo B)
div ( grad )   



2
rot (rotA)  grad (divA)   A
 2  2  2
 2 2 2
x
y
z
 2 Ai  2 Ai  2 Ai
 Ai  2  2  2
x
y
z
2
2


B  rotA


rotB   0 j


2
 A  0 j
2
simmetria di formalismo
potenziale elettrostatico-potenziale vettore magnetico

0

1

r
40 V
 0
A
4
12
dV

j
V r12 dV

0 j
Legge di Ampere-Laplace


B  rotA 
 0 j
A
dV

4 V r12
(x2,y2,z2)
dl
i
(x1,y1,z1)



j
B  rot ( 0  dV )
4 V r12
B ??
Az Ay
Bx ( x1 , y1 , z1 ) 

y1 z1

r121  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2  ( z1  z2 ) 2
Bx ( x1 , y1 , z1 ) 

r12

1/ 2
0 
 1
  1 


 dV
j
(
x
,
y
,
z
)

j
(
x
,
y
,
z
)
 z 2 2 2
y
2
2
2



4 
y1  r12 
z1  r12 
0 
y1  y2
z1  z 2 

j
(
x
,
y
,
z
)

j
(
x
,
y
,
z
)
dV
 z 2 2 2
y
2
2
2
3
3 

4 
r12
r12 



0
j ( x2 , y2 , z 2 )  r12 


 dV
3
4  
r12
x
correnti in circuiti filiformi:
prima legge
di Ampere-Laplace

  0  dl r12
B
I
4  r123





dl

r
e` una legge formale: per verificarla
12
dB  0 I
3
sperimentalmente dovrei tagliare il filo!
4
r12
Il dipolo magnetico
dipolo magnetico  spira piana di piccole dimensioni
il campo B ha stessa forma del
campo E di un dipolo elettrico

comportamento dipolo magnetico e`

analogo a dipolo elettrico
+


p  q
calcolo di A in analogia con elettrostatica:
Ax e generato da jx

 0 jx
equivale a potenziale scalare prodotto da
 
0
1 pr
 1
1
 ( P) 
3


I
0
40 r
0 S
S

p  q    a  b
= densita` di carica lineare
S= sezione del filo
 ( P)  
a  b y
40 r 3
0
y
I  ab 3
4
r
0
x
Ay  
I  ab 3
4
r
Ax  
Az  0

A  I  ab  I  Area
non ci sono correnti nella direzione z
momento di dipolo
magnetico


  I  ab  n
  0   r
A
4 r 3


B  rot ( A)
  0    r  
B
3(   r ) 5  3 

4 
r
r 
momento di dipolo
elettrico
+

p  q
 
pr
 ( P) 
40 r 3
1

E   grad



1    r
p
E
3
(
p

r
)

40 
r 5 r 3 
sorgenti diverse (dipolo e spira) originano campi uguali
solo a grandi distanze, lontano dalle sorgenti
Dipolo magnetico in un
campo magnetico
seconda legge di Laplace per un circuito chiuso:
 
F   i dl  B   i dl  B  i  dl  B  0
c
il circuito non subisce un moto traslatorio
(si vede sperimentalmente)
ogni tratto di circuito subisce una forza F
(in direzione e verso differente)
il circuito risente di una coppia di forze di
momento M:



F  i d B
dM  i B h dl sen  
  
M  hF
dS  hd  sen( )
dl
h
dl
superficie infinitesima racchiusa
dai due segmenti di circuito dl.
M  i S sen B

   
M  iS n  B    B
campo magnetico su un ago magnetizzato:
rotazione dell’ago fino ad allineamento con B
ago subisce un momento M:
(analogamente a spira percprsa da corrente)
  
M  B
 e` costante caratteristica
dell’ago magnetizzato
Principio di Equivalenza di Ampere
azione di un campo
magnetico
su ago
magnetizzato
con momento 

iS  
  
M  B
campo magnetico
generato dal magnete
azione di un campo
magnetico
su spira percprsa
da corrente i

 
M  iS n  B

iS  
campo magnetico
generato dalla spira