Sistemi pensionistici e
tasso di risparmio
Corso di Economia Pubblica
a.a.2010-11
Contenuto della lezione
Studio dell’effetto di sistemi
alternativi di finanziamento del
sistema pensionistico (a
ripartizione e a
capitalizzazione)
sul tasso di risparmio
dell’economia
Strumento utilizzato
un modello a generazioni sovrapposte
- a due generazioni, senza lasciti
di tipo neoclassico
- con funzione di produzione neoclassica
- consumatori razionali che ottimizzano l’utilità
life cycle
- imprese che operano in concorrenza perfetta
massimizzando i profitti
Riferimenti di letteratura
• Samuelson (1958)
Primo modello OG
• Diamond (1965)
Applicazione modello OG al debito
• Feldstein (1974)
La tesi neoclassica
Un sistema pensionistico a ripartizione
riduce il tasso di risparmio e quindi il
reddito procapite di lungo periodo di
un’economia, mentre il sistema a
capitalizzazione è neutrale
Modello ad Overlapping Generations (OG)
All'inizio di ogni periodo t compare una generazione,
Gt, di Nt individui identici che restano in vita per due
periodi di tempo.
Nel primo periodo di vita sono “giovani”; nel secondo
periodo “vecchi”
In ogni periodo sono quindi presenti due generazioni
(Gt e Gt-1), la cui vita si sovrappone per un periodo
La numerosità dei membri delle generazioni aumenta
al tasso n, supposto costante
I membri della Gt sono pari a Nt=(1+n)Nt-1
t-1
t
Gt-1 (N t-1)
Gt-1 (N t-1)
Giovani
Vecchi
t+1
t+2
Gt (Nt)
Gt (N t)
Giovani
Vecchi
Gt+1 (N t+1)
Gt+1 (N t+1)
Giovani
Vecchi
Nt+1 = (1+n) Nt
Esempio: se n=5% e Nt=1000
Nt+1= (1+0,05)*1000=1050
Gt+2 (N t+2)
Giovani
Modello ad Overlapping Generations (OG)
Attività di produzione
Svolta all'inizio di ciascun periodo da imprese che
utilizzano una tecnologia neoclassica
Yt=F(Kt,Nt)
con F1 e F2 >0 e F11<0 e F22<0
Yt e Kt sono beni deperibili
Kt può essere un volume di scorte del bene prodotto,
utilizzato anche come mezzo di produzione nel
periodo successivo e consumato nell'arco di un unico
processo produttivo.
Il tasso di ammortamento è pari ll'unità
Modello ad Overlapping Generations (OG)
Primo periodo
All'attività produttiva partecipano i giovani solo nel primo
periodo
All'inizio del periodo ricevono un salario Wt
I giovani consumano e risparmiano.
All'inizio del periodo, decidono il consumo pro-capite c1t
(consumo del primo periodo di Gt)
Prestano alle imprese il risparmio pro-capite s1t al tasso
di interesse rt+1
Attenzione:
Il loro risparmio deve ricostituire, per l'attività produttiva
del periodo successivo, l'intero stock di capitale
dell'economia.
Modello ad Overlapping Generations (OG)
Secondo periodo
All'inizio del secondo periodo il montante del risparmio
s1t(1+rt+1) è restituito dalle imprese ai giovani (ora vecchi),
che lo destinano al consumo all'inizio del secondo
periodo stesso, c2t
Le imprese hanno la sola funzione di attivare il processo
produttivo; operano in condizioni di concorrenza perfetta
e quindi i profitti sono nulli. Tutto il prodotto è distribuito
sotto forma di remunerazione dei fattori produttivi, lavoro
e capitale (interessi sul risparmio/capitale)
Modello ad Overlapping Generations (OG)
Decisioni di consumo e di risparmio di ciascun membro
delle generazioni.
Si massimizza una funzione di utilità del tipo
Ut=U(c1t,c2t)
s.t.:
c1t + st = Wt
c2t = (1+rt+1) st
U1,U2>0; U11,U22<0;
Modello ad Overlapping Generations (OG)
Le condizioni di primo ordine sono:
U1 = (1+rt+1)U2
c1t + c2t/(1+rt+1) = Wt
Modello ad Overlapping Generations (OG)
E’ possibile ricavare, in termini generali, i consumi del primo e del secondo
periodo:
c1t = c1(rt+1,Wt)
c2t = c2(rt+1,Wt)
come funzioni del tasso di interesse e del salario.
Ai fini dell'analisi che segue è anche utile esplicitare la funzione del
risparmio:
st= Wt-c1t= s(Wt,rt+1).
Usuali ipotesi della teoria del consumo neoclassica:
0< s1 <1
s2 ≥<0
(il consumo è un bene normale)
(l'effetto sostituzione può essere più o meno intenso
dell'effetto reddito).
Modello ad Overlapping Generations (OG)
Un esempio
U= log c1 + log c2
s.t.
c2=(w-c1)*(1+r)
c1 =1/2*w
c2 =1/2*w*(1+r)
s =1/2*w
%Calcolo valori ottimali c1 e c2 e di s nel modello senza
imposte
syms U c1 c2 w s r
U=log(c1)+log(c2)
%costruisce la mappa delle curve di indifferenza
ezcontour(U)
c2=(w-c1)*(1+r)
U=subs(U);
dU=diff(U,c1);
c1=solve(dU,c1)
c2=subs(c2)
s= w- c1;s=subs(s)
Modello ad Overlapping Generations (OG)
La produzione è effettuata in condizioni di
concorrenza perfetta da imprese che massimizzano
il profitto, assumendo Wt e rt come parametri.
Si derivano le usuali condizioni di impiego ottimale
dei fattori (eguaglianza delle produttività marginali
dei fattori ai rispettivi prezzi).
Utilizzando la funzione di produzione in termini
procapite, queste possono essere scritte:
f(kt)-ktf'(kt) = Wt
f'(kt) = rt
Modello ad Overlapping Generations (OG)
Passaggi matematici
Y=F(K,N) = Nf(k)
dY/dK = Nf’/N =f’
dY/dN= f-NKf’/N2= f-kf’
con k=K/N
Modello ad Overlapping Generations (OG)
Un esempio con funzione Cobb Douglas
Y= Kb L(1-b)
0<b<1
In termini pro-capite
y = f(k) = kb
f’ = b/kb
>0
f” = -(1-b)b k (b-2)
<0
Modello ad Overlapping Generations (OG)
L'equilibrio macroeconomico implica:
Y=C+S=C+I
Yt = Ntc1t + Nt-1c2t-1 + Nts(Wt,rt+1) =
= Ct + Kt+1
da cui:
Kt+1 = Nts(Wt,rt+1)
In termini procapite:
kt+1(1+n) = s(Wt,rt+1)
Modello ad Overlapping Generations (OG)
Il modello è descritto da tre equazioni
f(kt)-ktf'(kt) = Wt
f'(kt) = rt
kt+1(1+n) = s(Wt,rt+1)
Che ha tre incognite
r, W, k
Relazioni di tipo dinamico sono presenti per
r k
Modello ad Overlapping Generations (OG)
Sostituendo le prime due nella terza
Si ha un’unica equazione dinamica in k
kt+1 = s[f(kt)-ktf'(kt),f'(kt+1)]/(1+n)
Modello ad Overlapping Generations (OG)
Supporremo che una soluzione stazionaria
esista
In equilibrio stazionario
kt+1 = kt = k*
Dalla tre equazioni è possibile ricavare i
valori di equilibrio stazionario
k, W, r
e poi anche di
c1 e c 2
Modello ad Overlapping Generations (OG)
Esercizio
Ricavare i valori per le funzioni Cobb Douglas
…..
Modello ad Overlapping Generations (OG)
Stabilità della soluzione
La condizione è
dkt+1/dkt < 1
Ovvero
dkt+1/dkt = -s1kf"/(1+n-s2f") <1
Ricorda s1>0 s2 incerto
Qui supporremo che la condizione di stabilità sia
verificata
Modello ad Overlapping Generations (OG)
Condizione di golden age
massimo consumo procapite rispetto a k.
Il consumo complessivo al tempo t è la somma
dei consumi dei membri delle due generazioni,
ed è anche pari alla differenza tra prodotto
complessivo e investimento:
Ct = c1tNt + c2t-1Nt-1
= Yt - It = Ntf(kt)-Nt(kt+1(1+n)-kt)
Prendendo la condizione di steady state
(kt+1=kt) in termini procapite si ricava il
consumo procapite di steady state:
c = c1 + c2/(1+n) = f(k) –nk
Che è massimo per
f’=n
Sistemi pensionistici
• Capitalizzazione
I contributi di oggi pagano la mia
pensione di domani (regime privato o
pubblico)
• Ripartizione
I contributi di oggi pagano le pensioni
degli anziani di oggi (regime
prevalentemente pubblico)
Sistemi pensionistici
• Gt generazione t-esima che inizia la vita
nell’anno t
• Nt numero dei membri della
generazione che inizia nel periodo t.
• n tasso di crescita del numero dei
membri di generazioni successive
• wt salario della Gt nell’anno t.
• s aliquota dei contributi sociali
• r tasso di interesse
• P è la pensione pro-capite
Sistemi pensionistici
CALCOLO DELLA PENSIONE PROCAPITE (Psc) IN
t+1
CON LA CAPITALIZZAZIONE
swt Nt (1+r)
=
Contributi sociali capitalizzati =
Psc =
swt Nt(1+r)
Nt
Psc Nt
Monte pensioni
= swt (1+r)
Sistemi pensionistici
CALCOLO DELLA PENSIONE PROCAPITE (Psr) IN t+1
CON LA RIPARTIZIONE
swt+1 Nt+1
Contributi sociali di Gt+1 =
Psr =
swt+1 Nt+1
Nt
Psr Nt
=
=
Pensioni di Gt
swt+1 Nt(1+n)
Nt
= swt+1(1+n)
Sistemi pensionistici
PENSIONE PROCAPITE
Nel periodo t+1:
Psc = swt (1+r)
Psr = swt+1(1+n)
IPOTESI (semplificatrice) SULLA DINAMICA DEI
SALARI
Se assumiamo che il salario cresca ogni anno in
misura pari al tasso di crescita della produttività
media del lavoro (u):
wt+1= wt(1+u)
equivale a supporre
costante
il rapporto tra il monte salari (pari al reddito dei
giovani) e prodotto nazionale.
Produttività media del lavoro: U
U=
Q
1
N
U
=
N
Q
Dove: Q= produzione
Monte salari sul prodotto: q (quota dei salari sul Pil)
q=
wN
Q
=
w
U
Assumo
costante q
q resta costante
solo se
il tasso di crescita di w
wt+1=(1+w)wt
è pari al
tasso di crescita di U (u)
Ut+1=(1+u)Ut
q=
wN
Q
=
w
U
wt+1= wt(1+u)
Ut+1=(1+u)Ut
tasso di crescita (u) della produttività U
Nt+1 = (1+n)Nt
tasso di crescita (n) della popolazione N
Qt+1=(1+g)Qt
tasso di crescita (g) del prodotto Q
poiché Q=UN
posso scrivere:
Qt+1
(1+g) =
Qt
Ut+1Nt+1
=
UtNt
g = u + n + un  u + n
= (1+u)(1+n)
PENSIONE PROCAPITE
Psc = swt (1+r)
Psr = swt+1(1+n)
Dall’ipotesi che wt+1= wt(1+u) ottengo:
Psr = swt+1(1+n) = swt (1+u)(1+n)
PENSIONE PROCAPITE
Psc = swt (1+r)
Psr = swt (1+u)(1+n)
Ricordando che (1+u)(1+n) = (1+g):
Psr = swt (1+u)(1+n) = swt (1+g)
PENSIONE PROCAPITE
Psc = swt (1+r)
Psr = swt
(1+g)
A parità di s,
Psc > Psr
se
r>g
CAPITALIZZAZIONE E RIPARTIZIONE
• Indipendentemente dal sistema (SC o
SR), la spesa pensionistica (PN), in un
dato contesto, rappresenta un
trasferimento di risorse a favore degli
anziani che non lavorano, che deve
comunque essere prelevato dal valore
aggiunto prodotto in quel contesto (Q).
• Se il numero dei pensionati aumenta (a
parità di pensione unitaria) aumenta
anche PN/Q, indipendentemente dal
sistema di finanziamento.
CAPITALIZZAZIONE E RIPARTIZIONE
La scelta del sistema (SC o SR) ha invece rilievo nella
definizione dei diritti dei pensionati su parte del valore
aggiunto prodotto
• SC: si basa sulla proprietà dei titoli di
credito accumulati, che dà diritto ad una
restituzione (con interessi) da parte di chi
ha preso a prestito il risparmio;
• SR: si basa su una legge dello stato, che
dà diritto ad un trasferimento pubblico che
trova copertura in un prelievo coattivo.
CAPITALIZZAZIONE E RIPARTIZIONE
Nello schema appena utilizzato il tasso di interesse
è dato
All'interno di un modello di crescita dell'economia
più generale, r è una variabile endogena.
Intendiamo ora effettuare questa estensione e
valutare se la scelta di un sistema di ripartizione
abbia effetti positivi o negativi sull'accumulazione.
Capitalizzazione
Un SC consiste nell'introduzione di
- un regime di risparmio obbligatorio sui giovani
realizzato attraverso un prelievo proporzionale t sul
salario
- impiegato nel mercato dei capitali al tasso di
interesse, sufficiente a finanziare una pensione procapite, a, di ammontare dato, nel periodo successivo
Capitalizzazione
Ragioniamo ora supponendo dato il valore di a
Se l'operazione avviene in pareggio per il bilancio
pubblico:
(1+rt+1) tWtNt = aNt
da cui:
t = a/Wt(1+rt+1)
Capitalizzazione
Come vengono modificati i vincoli di bilancio?
c1t + st = Wt(1-t) = Wt - a/(1+rt+1)
c2t = (1+rt+1)st + a
ovvero:
c1t + c2t/(1+rt+1) = Wt
Il vincolo di bilancio non si è modificato
Capitalizzazione
C2
AC risparmio privato
CW imposta = risparmio obbligatorio
AW=AC+CW= risparmio totale
.
a
S
T=a/(1+r)
A
C
0
W
C1
Risparmio privato ottimale superiore a quello obbligatorio
Capitalizzazione
C2
AC risparmio privato negativo
CW imposta = risparmio obbligatorio
AW=-AC+CW= risparmio totale
a
.
T
A
C
W
C1
0
Risparmio privato ottimale inferiore a quello obbligatorio
Ripartizione
Un SR consiste nell'introduzione di
- un'imposta proporzionale t sul salario dei giovani
- per finanziare una data pensione pro-capite, a
a favore dei vecchi che vivono nello stesso periodo
Ragioniamo ora supponendo dato il valore di a
Se l'operazione avviene in pareggio per il bilancio
pubblico:
tWtNt = aNt-1
da cui:
t = a/Wt(1+n)
Ripartizione
I vincoli di bilancio dei consumatori del modello OG
vanno riformulati:
c1t + st = Wt(1-t) = Wt - a/(1+n)
c2t = (1+rt+1)st + a
ovvero:
c1t + c2t/(1+rt+1) = Wt - a/(1+n) + a/(1+rt+1)=
= Wt - a(rt+1-n)/[(1+n)(1+rt+1)]
Ripartizione
Possiamo calcolare i nuovi valori di c1* e c2*
e ottenere la funzione del risparmio:
st* = Wt - a/(1+n)- c1*(Wt,rt+1,a) = s*(Wt,rt+1,a)
funzione anche di a
Ripartizione
In un’ottica di equilibrio parziale (dati r e W)
si può mostrare che
il risparmio privato,
l’unico rilevante per l’accumulazione privata,
si riduce.
Vale a dire nell’equazione del risparmio ottimale
s*= s*(Wt,rt+1,a)
s*3 < 0
Ripartizione
Un esempio con funzione di utilità logaritmica
U= log c1 + log c2
s.t.
c2=(w-c1-a/(1+n))*(1+r)+a
c1 =1/2*(w+w*r+w*n+w*n*r-a*r+a*n)/(1+n+r+r*n)
c2 =1/2*(w+w*r+w*n+w*n*r-a*r+a*n)/(1+n)
s =w-(1/2*w+1/2*w*r+1/2*w*n+1/2*w*n*r-1/2*a*r+1/2*a*n)/(1+n+r+r*n)-a/(1+n)
ds/da =-1/2*(n+r+2)/(1+r)/(1+n) <0
ds/dw=1/2
dc1/da =1/2*(-r+n)/(1+n+r+r*n) ><0 se n><r
Ripartizione
Il gettito dell’imposta è utilizzato non per aumentare il
capitale fisso dell’economia, ma per pagare pensioni
(e quindi i consumi) della popolazione anziana, vi
sarà, per definizione una riduzione del tasso di
risparmio.
A questo primo effetto se ne aggiungono poi altri, che
hanno però una rilevanza minore al fine della
comprensione del punto qui trattato, dovuti al fatto
che il sistema a ripartizione modifica il vincolo di
bilancio dei giovani
Ripartizione r = n
C2
AC risparmio privato
CW imposta = risparmio pubblico
DSp= AW-CW
.
a
S
0
A
T
C
W
Il risparmio privato cala
C1
Ripartizione r > n
In questo caso il vincolo di bilancio subisce
uno spostamento verso il basso
Ricorda: il vincolo è:
c1t + c2t/(1+rt+1) =
= Wt - a(rt+1-n)/[(1+n)(1+rt+1)]
Ripartizione r > n
C2
AC risparmio privato
CW imposta = risparmio pubblico
DSp= AC-BW=AB-CW
.
.
.
a
0
A B
C
T=a/(1+n)
W
C1
Il risparmio privato cala se c è un bene normale
Ripartizione r > n
In questo caso la certezza della riduzione del
risparmio si ha se i consumi dei due periodi
sono beni normali
Ipotesi molto realistica
Ma se non fosse verificata..
Ripartizione r > n
C2
AC risparmio privato
CW imposta = risparmio pubblico
DSp= AC-BW>0
.
.
.
a
0
A
B
C
T=a/(1+n)
W
C1
Il risparmio privato cresce se c non è un bene normale
Ripartizione r < n
In questo caso il vincolo di bilancio subisce
uno spostamento verso l’alto
Ricorda: il vincolo è:
c1t + c2t/(1+rt+1) =
= Wt - a(rt+1-n)/[(1+n)(1+rt+1)]
Ripartizione r < n
C2
AC risparmio privato
CW imposta = risparmio pubblico
DSp= AC-BW<0
.
.
.
a
T
0
B
A
C
W
Il risparmio privato cala
C1
Analisi di equilibrio generale
Se vogliamo tenere conto degli effetti che i
sistemi pensionistici hanno anche su r e W
Bisogna considerare un sistema più
completo e complesso:
st= Wt-a/(1+n)-c1t = st(Wt,rt+1,a)
f(kt)-ktf'(kt) = Wt
f'(kt) = rt
kt+1(1+n) = s(Wt,rt+1,a)
da cui
kt+1(1+n) = s(f(kt)-ktf'(kt) , f’(kt+1),a)
Analisi di equilibrio generale
Facendo alcune sostituzioni e in steady state
si ha:
k(1+n) = s(f-kf’, f’,a)
Ci poniamo ora due problemi:
1) L’equilibrio descritto dall’equazione è stabile?
2) Quale è l’effetto, in steady state di un
aumento di a su k ?
Analisi di equilibrio generale
Stabilità
Richiede che nell’equazione dinamica:
kt+1(1+n) = s(f(kt)-ktf'(kt) , f’(kt+1), a)
sia:
|dkt+1/dkt| < 1
Analisi di equilibrio generale
Passaggi matematici
Differenzio rispetto a kt+1 e kt
kt+1(1+n) = s(f(kt)-ktf'(kt) , f’(kt+1), a)
(1+n)dkt+1=
s1( f’dkt- f’dkt-kf”dkt)+ s2f ”dkt+1
(1+n-s2f”)dkt+1= -s1kf ”dkt
L’equilibrio è stabile se:
|dkt+1/dkt = -s1kf”/ (1+n-s2f ”) < 1
ovvero se
1+n –s2f ”+s1kf ” > 0
Analisi di equilibrio generale
Effetto di un aumento di a
Consideriamo ora l’equazione dinamica in steady state (kt+1=kt)
k(1+n) = s(f-kf’,f’,a)
Differenziamo rispetto a k e a:
(1+n)dk= s1(f’dk- f’dk –kf”dk)+ s2f”dk +s3da
Da cui: …
(1+n+s1kf” -s2f “)dk = s3da
dk/da = s3/((1+n+s1kf” -s2f “)
Analisi di equilibrio generale
Effetto di un aumento di a
dk/da = s3 / (1+n+s1kf” -s2f “)
Dall’analisi micro sappiamo che s3<0
Il denominatore è la condizione di stabilità.
Conclusione:
SE
il modello è stabile,
allora
dk/da < 0
Un SR riduce l’accumulazione
(cioè il valore di equilibrio di lungo periodo del rapporto
K/L)
Analisi di equilibrio generale
Il minore valore di k avrà effetto sui valori di equilibrio di
reW
Poiché r=f’(k) che è una funzione decrescente
dovrà essere più elevato
Il salario di equilibrio è
W= f-kf’
dW/dk = -kf”
L’effetto dipende dal segno di f”
Se la concavità di f” è verso l’alto W cala
Riferimenti bibliografici
Lavori pionieristici
•
Samuelson, P.A. 1958 An Exact Consumption Loan Model of Interest with and without the
Social Contrievance of Money, in "Journal of Political Economy", trad. it. Un modello esatto
di prestiti al consumo con interessi, con o senza l'invenzione sociale della moneta, in
P.A.Samuelson, Analisi economica, ottimizzazione, benessere, Bologna, Il Mulino,
•
Barro, R., 1974, Are Government Bonds Net Wealth?, in "Journal of Political Economy", trad.
it. I titoli di stato sono ricchezza netta?, in Il debito pubblico a cura di M.Matteuzzi e
A.Simonazzi, Bologna, Il Mulino, 1988.
•
*Diamond, P.,1965, National Debt in a Neoclassical Growth Model, in "American Economic
Review", trad. it. Il debito pubblico in un modello di crescita neoclassico in Il debito
pubblico a cura di M.Matteuzzi e A.Simonazzi, Bologna, Il Mulino, 1988.
•
Feldstein, M., 1974, Social Security, Induced Retirement and Aggregate Capital
Accumulation, in "Journal of Political Economy".
Testi con valenza didattica
•
•
•
•
•
Blanchard, S. e Fischer, O.,1989, Lectures on Macroeconomics, Cambridge (Mass.), MIT
Press, trad. it. Lezioni di macroeconomia, Bologna, Il Mulino, 1992.
Atkinson, A., Stiglitz, J., 1981, Lectures on Public Economics, New York, McGraw Hill
Artoni, R:, 2003, Lezioni di Scienza delle finanze, Il Mulino, Bologna
Bertocchi, G., 1992, Sistemi dinamici macroeconomici, Il Mulino, Bologna
Bosi,P., 1996, Modelli macroeconomici per la politica fiscale, Il Mulino, Bologna