Simulazione di circuiti misti analogico-digitali: sistemi ibridi, matrici di
“salto”, analisi di rumore, funzioni di trasferimento tempo-varianti
Federico Bizzarri
Dipartimento di Elettronica e Informazione, Politecnico di Milano
P.za Leonardo da Vinci 32, I-20133 Milano, Italy
e-mail: [email protected]
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
Simulazione di circuiti misti analogico-digitali: sistemi ibridi, matrici
di “salto”, analisi di rumore, funzioni di trasferimento tempo-varianti
“A chi serve?“ – A chi ha a che fare con l’analisi o la sintesi (con la progettazione)
di circuiti elettrici/elettronici (autonomi e non autonomi) che, a
regime, presentano un comportamento periodico.
“Quando serve?” – Quando i circuiti in esame sono descritti da modelli che
presentano discontinuità del campo vettoriale o delle “variabili
di stato”.
“A cosa serve?” – Ad estendere a questi tipi di circuiti analisi che si basano sulla
risoluzione dell’equazione variazionale che descrive il sistema
linearizzato attorno alla sua traiettoria di regime nello spazio di
stato (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali o
matrice di transizione).
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
2
Simulazione di circuiti misti analogico-digitali: sistemi ibridi, matrici
di “salto”, analisi di rumore, funzioni di trasferimento tempo-varianti
“Quando serve?”
– Quando i circuiti in esame sono descritti da modelli che presentano discontinuità del
campo vettoriale o delle “variabili di stato”.
•
•
•
•
•
Un circuito analogico con “interruttori”
Un circuito misto analogico-digitale
Un circuito in parte descritto con un linguaggio “behavioural”
Un circuito per cui la ALU del calcolatore che lo simula non è in
grado di “seguirne” variazioni molto rapide
…
“A cosa serve?”
– Ad estendere a questi tipi di circuiti analisi che si basano sulla risoluzione dell’equazione
variazionale che descrive il sistema linearizzato attorno alla sua traiettoria nello spazio di
stato (matrice di sensibilità rispetto alle condizioni iniziali o matrice di transizione).
•
•
•
•
•
Analisi di stabilità (moltiplicatori di Floquet)
Metodi di “shooting” per il calcolo veloce della soluzione di regime
Analisi del rumore in oscillatori
Funzioni di trasferimento tempo varianti
…
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
3
Sistemi dinamici ibridi
“I sistemi dinamici ibridi sono costituiti da processi di evoluzione dinamica
continui/discreti che interagiscono con processi logici o decisionali”
Sistemi dinamici “switching”
Sistemi dinamici “a impatto”
Campo vettoriale discontinuo ma stato
continuo (sistemi di Filippov)
Lo “stato” presenta discontinuità nel tempo
(Sistemi con campo vettoriale
continuo ma non differenziabile)
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
4
Sistemi dinamici ibridi
Estensione per i sistemi ibridi della matrice di transizione
• Piecewise smooth Ordinary Differential Equations
M. Di Bernardo, C. Budd, A. Champneys, and P. Kowalczyk, Piecewise-smooth Dynamical Systems,
Theory and Applications. London: Springer-Verlag, 2008.
• Piecewise smooth Differential Algebraic Equations
F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, “Steady State Computation and Noise Analysis of
Analog Mixed Signal Circuits”, submitted to IEEE TCAS-I, feb. 2011.
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
5
Matrice di transizione nel caso smooth
- Definizione Se xs (t) è soluzione per t  [t0,t0+T] allora per ogni t
in questo intervallo è possibile calcolare l’effetto
Dxs(t) sulla soluzione di una perturbazione Dx0 delle
condizioni iniziali come
Dx1(t1) = F(t1,t0) Dx0(t0)
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
6
Matrice di transizione
- Proprietà Proprietà di composizione
Proprietà di mapping
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
7
Matrice di transizione
- Proprietà Data una soluzione periodica (ciclo limite) di periodo T, La teoria di
Floquet permette di utilizzare F(t,t0) per altro ancora …
•
Dati gli autovalori mk di F(T+t0,t0) (matrice di monodromia)
•
•
Se |mk | 1 il ciclo limite è stabile
Se esiste un solo |mk|> 1 il ciclo limite è instabile
•
Un sistema autonomo che presenta un ciclo limite stabile
presenta almeno un autovalore mk = 1
•
Lo studio delle autofunzioni destre (uk(t)) e sinistre (vk(t)) di
F(t,t0) permette di individuare le direzioni nello spazio di stato
lungo le quali le perturbazioni si smorzano, si amplificano o
perdurano invariate …
… la base del calcolo del rumore di fase negli oscillatori (teoria di
Demir, 2001)
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
8
Rumore di ampiezza nei sistemi autonomi stabili (oscillatori)
… gli effetti sull’ampiezza del ciclo delle (piccole) perturbazioni (dovute a sorgenti di rumore) si
attenuano quindi il rumore di ampiezza non è di grande interesse.
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
Rumore di fase nei sistemi autonomi (oscillatori)
… gli effetti delle perturbazioni (dovute a sorgenti di rumore) proiettate lungo l’autofunzione
v1(t) che corrisponde all’autovalore m1 = 1 non si attenuano e si traducono in rumore di fase …
… il calcolo di v1(t)
risulta essenziale e non
può prescindere dalla
corretta valutazione di
F(t,t0) …
… il rumore di fase è presente
anche negli oscillatori “ibridi” ma
non sappiamo calcolarlo se non
possiamo calcolare F(t,t0).
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
Matrice di salto (Saltation Matrix)
11
Matrice di salto (Saltation Matrix)
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
12
Matrice di salto (Saltation Matrix)
Saltation Matrix S
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
13
Matrice di salto (Saltation Matrix)
Sistema dinamico switching
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
14
Matrice di salto (Saltation Matrix)
Sistema dinamico a impatto
Jacobiano del mapping
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
15
Matrice di salto (Saltation Matrix)
Sistema dinamico ibrido
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
16
Un oscillatore switching misto analogico digitale
F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, “Analog Mixed Signal Noise Simulation and Experimental Validation”,
submitted to Electronics Letters, june 2011.
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
17
Un oscillatore switching misto analogico digitale
Simulazioni numeriche
L’oscillatore è stato simulato numericamente con un metodo di shooting
per determinarne l’orbita di regime.
Traiettoria di regime
Stato continuo ma non derivabile
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
18
Un oscillatore switching misto analogico digitale
Simulazioni numeriche
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
19
Un oscillatore switching misto analogico digitale
Simulazioni numeriche
E’ stato determinato andamento temporale dell’autofunzione sinistra v1(t) di F(t,t0)
Autofunzione v1(t)
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
20
Un oscillatore switching misto analogico digitale
Misure sperimentali
L’oscillatore è stato realizzato su breadboard ed è stato iniettato rumore bianco mediante un
generatore di funzioni connesso come un generatore di tensione in serie ad R4.
Total noise simulato (PNOISE)
Total noise misurato
Phase noise “Demir”
Total noise misurato
Calcolo del Rumore Totale (Ampiezza + Fase)
SPECTRE
fornisce risultati numerici non accurati
ELDO
non converge (o almeno non ci siamo riusciti!)
Total noise “Spectre”
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
21
Un oscillatore a impatto con risuonatore di tipo MEMS
F. Bizzarri, X. Wei, “Phase Noise Analysis of a Mechanical Autonomous Impact Oscillator with a MEMS Resonator”,
submitted to ECCTD 2011.
Ciclo limite (proiezione sui piani (y,v) e (y,VC)
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
22
Un oscillatore a impatto con risuonatore di tipo MEMS
Rumore 1/f -> elettrico (R)
Rumore Termico  elettrico (R)
Rumore Termico  meccanico (g)
Ciclostazionarietà
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
23
Un oscillatore a impatto con risuonatore di tipo MEMS
Lo spettro del rumore di fase è stato valutato con la formulazione di Demir calcolando
individualmente i contributi termici e 1/f. Sono in corso misure sperimentali.
Meccanico – Elettrico – Totale
Termico
X. Wei, C. Anthony, D. Lowe, and M.CL.Ward, “Design and
fabrication of a nonlinear micro impact oscillator,” Procedia
Chemistry, vol. 1, pp. 855–858, 2009.
1/f
f0= 3.312kHz
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
24
Conclusioni e “omissis”
Estensione al caso DAE della formulazione per ODE della matrice di transizione
per sistemi ibridi.
Estensione a circuiti AMS (Analog – Mixed – Signal) di metodi basati sulla
matrice di transizione.
Risultati non direttamente confrontabili con quelli (non) forniti da altri toolbox
commerciali o “simulatori accademici” ma verificati sperimentalmente.
Applicazione all’ottimizzazione di oscillatori impulsati
F. Bizzarri, A. Brambilla, G. Storti Gajani, “Phase Noise Simulation in Analog Mixed Signal Circuits: An Application to
Pulse Energy Oscillators”, Circuits and Systems II: Express Briefs, IEEE Transactions on, vol. 58, n.3, 2011.
F. Bizzarri, A. Brambilla, S. Perticaroli, G. Storti Gajani, “Noise in a Phase-Quadrature Pulsed Energy Restore
Oscillator”, submitted to ECCTD 2011.
Sviluppo di algoritmi per la localizzazione automatica dei manifold di switch o di
impatto (anche tempo varianti).
XXVII Riunione Nazionale dei Ricercatori di Elettrotecnica - Bologna, 15 - 17 giugno 2011
25