La Luce
La luce è parte della radiazioni e.m. il cui spettro è molto vasto
La porzione di onde e.m. con ν = 3.8 •1014 – 7.9 •1014 Hz (380 – 790
THz) oppure con: λ = c/ ν (vuoto) = 0.78 •10-6 m – 0.38 •10-6 m. = 0.78
– 0.38 m. L’occhio le vede come colori. La luce bianca è un miscuglio
di (tutte) le frequenze visibili.
Spettro visibile
L’occhio ha max. sensibilità a λ ~ 0.55 μm (verde-giallo)
La velocità della luce nel vuoto: c = 2.99792458 •108 m/s (errore < 1
m/s) per tutte le frequenze.
La velocità c non dipende dal sistema di riferimento (inerziale); è la max
velocità a cui si propaga un segnale fisico. Nessun corpo materiale
raggiunge c.
Prima misura di c: Roemer 1676 con osservazioni astronomiche
Fizeau, Foucault 1850 con esperimenti a terra. Michelson 1927 ecc.
c
c n = indice di rifrazione

Velocità di un’onda e.m.: v 
ke n
n è funzione della lunghezza d’onda: n(λ) = A + B/λ2 : formula Cauchy
Principio di Huygens- Fresnel
Sia O la sorgente di o.e.m. In un punto P distante r da O si ha:
E p (r , t ) 
E0
cos( kr  t )
r
Sia S una superficie d’onda prodotta da O (q):
Ogni elemento dS della superficie d’onda S si
può considerare come sorgente di onde
secondarie sferiche la cui ampiezza è
proporzionale all’ampiezza E0/q dell’onda prima
ria e all’area dS. Il campo elettrico EP(r,t) in un punto P si può ottenere
come sovrapposizione di tutte le onde elementari che raggiungono P.
(Principio introdotto per le onde elastiche; perfezionato da Kirchoff)
Strumento di calcolo molto utile: permette di determinare un nuovo
fronte d’onda ad un certo istante, a partire da quello precedente, sia nel
caso di propagazione libera che con ostacoli impenetrabili all’onda.
Propagazione libera: all’istante t è noto il fronte d’onda S piano o sferico
Il nuovo fronte S’ per t’>t: i punti di S sono sorgenti di onde sferiche
(secondarie) emesse tutte nello stesso istante. Per ogni punto si traccia un
semicerchio di raggio v(t’-t) = vΔt. S’, luogo dei punti di egual fase o di
eguale differenza di fase rispetto a S, è l’inviluppo di queste onde.
Ne segue che il campo si propaga lungo una direzione perpendicolare al
fronte d’onda: introducendo il concetto di raggio il campo si propaga per
raggi rettilinei normali al fronte d’onda.
Propagazione con schermo impenetrabile all’onda su cui è praticata
un’apertura: si eliminano le sorgenti che stanno sullo schermo.
Se l’apertura ha larghezza a >> λ l’onda si propaga
conservando (quasi) la forma dell’onda incidente: la
propagazione è rettilinea.
Se a ≈ λ invece la considerazione delle ondine
elementari porta a vedere che la propagazione avviene
in diverse direzioni: l’onda è diffratta dall’apertura. La
propagazione è rettilinea prima e dopo l’apertura, non
all’apertura. Si vedrà come il principio di HuyghensFresnel sia fondamentale e permette di calcolare
l’ampiezza dell’onda diffratta.
Se lungo la direzione di propagazione poniamo uno
schermo coincidente con un fronte d’onda ed avente n
aperture ciascuna della stessa area ΔS
otteniamo un sistema di n sorgenti S1,…Sn di onde sferiche. Preso un
punto P oltre lo schermo la differenza di fase in P delle due onde emesse
da Si e Sj risulta costante perché Si e Sj appartengono ad un fronte
d’onda. Due onde la cui differenza di fase in P risulti costante si dicono
onde coerenti. Le n sorgenti di figura sono un sistema
di onde coerenti di luce.
Leggi di riflessione e rifrazione
Nell’attraversare una superficie di separazione tra due mezzi la velocità
di un’o.e.m. varia. La frequenza sia ν, la pulsazione ω, la lunghezza
d’onda λ ed il numero d’onde k. Ora ν e ω sono legati alla sorgente che
ha prodotto l’onda e non variano; ne segue che variano λ e k.
Un’onda che passa dal vuoto ( velocità = c, λ0 e k0) ad un mezzo
trasparente con v = c/n si ha:
ω = 2πν λ0ν = c λν = v k0 = ω/c k = ω/v da cui: λ = λ0/n k = n k0
n = indice di rifrazione sempre > 1 per luce visibile. Pertanto la
lunghezza d’onda in un mezzo è sempre < lunghezza d’onda nel vuoto.
Questa discontinuità determina, come vedremo, le
leggi della riflessione e della rifrazione.
Definiamo piano di incidenza il piano che contiene
la direzione dell’onda (piana) incidente e della normale u alla superficie
di separazione dei due mezzi. Sia v1 = c/n1 e v2 = c/n2. I vettori ki, kr e kt
danno direzione e verso delle onde e il loro modulo è il numero d’onde
relativo. Le leggi della riflessione e della rifrazione (sperimentali) dicono
1) Le direzioni di: onda incidente (ki), onda
riflessa (kr) e onda trasmessa (kt)
giacciono sul piano di incidenza.
2) L’angolo di incidenza θi = angolo di
riflessione θr.
3) Il rapporto tra i seni degli angoli di
incidenza θi e rifrazione θt è costante e
sin  i v1 n 2


eguale al rapporto delle velocità di propagazione:
sin  t v 2 n1
o anche n1 sin θ1 = n2 sin θ2. Il rapporto n2,1 = n2 / n1 si chiama indice di
rifrazione relativo del secondo mezzo rispetto al primo. Da cui la legge
di Snell dice che il rapporto dei seni degli angoli di incidenza e rifrazione
è costante ed eguale all’indice di rifrazione relativo tra i due mezzi. In
realtà n2,1 è funzione della frequenza dell’onda.
Se il primo mezzo è il vuoto l’indice di rifrazione relativo coincide con
quello assoluto. La misura di esso può in effetti essere fatta misurando
gli angoli.
Derivazione delle leggi di riflessione e rifrazione dal principio di
Huygens-Fresnel
AB è la traccia del fronte d’onda piana incidente
con angolo θi sulla superficie piana di separazione
di due mezzi con v1 e v2. Sia t=0 quando il punto
A del fronte d’onda si trova alla superficie di
separazione. Il punto B raggiunge la posizione C
della superficie a t = BC/v1. In questo intervallo
di tempo l’onda elementare emessa secondo il principio di H-F, da A nel
primo mezzo compie il percorso AD = v1 t = v1 BC/ v1 = BC, mentre
quella emessa verso il secondo mezzo compie AE = v2 t = v2 BC/ v1. D e
C da una parte ed E e C dall’altra stanno sullo stesso fronte d’onda. I
fronti d’onda sono l’inviluppo delle ondine elementari emesse da tutti i
punti compresi tra A e C raggiunti in istanti successivi dal fronte d’onda
AB.
Ora i triangoli ABC e ACD sono eguali
(rettangoli con ipotenusa comune e due cateti
eguali) per cui θi= θr. Dai triangoli ABC e ACE si
ricava:
sin θi = BC/AC sin θt = AE/AC da cui:
sin θi/sin θt = BC/AE = tv1/tv2 = v1/v2
Derivazione delle leggi di riflessione e rifrazione dal Principio di
Fermat
Il principio di Fermat
Questo fondamentale principio dell’ottica trae la propria origine dalle
osservazioni sperimentali.
In effetti Hero di Alessandria (tra 150 a.c. e 250 d.c) osservò che nel
fenomeno della riflessione: Il percorso della luce da un punto sorgente S
ad un punto P dopo la riflessione è il più corto possibile.
La figura mostra un punto sorgente che emette raggi in tutte le direzioni.
Essi sono riflessi verso P; se ora consideriamo che essi provengano dal
punto S’ (immagine di S rispetto alla superficie riflettente) tutte le
distanze rimangono eguali: SAP = S’AP, SBP = S’BP … La più corta è la
diretta S’BP che corrisponde a θi = θr. Inoltre S, B, P devono stare nello
stesso piano (p. incidenza).
In un colpo abbiamo trovato le due leggi della riflessione!
Fermat propose nel 1657 il suo principio del tempo minimo (includendo
l’osservazione di Hero):
Il tragitto della luce tra due punti è quello percorso nel minimo tempo.
Applichiamolo al fenomeno della rifrazione come indicato in figura.
Minimizziamo il tempo di transito t da S a P rispetto ad x: cambiando x
cambia il punto O e quindi il percorso da S a P. La condizione di minimo
rispecchia il percorso vero.
Si ha:
SO O P
t

vi
vt
Poniamo dt/dx = 0
o:
b 2  (a  x) 2
h2  x2
t

vi
vt
dt
x
 (a  x)


0
2
2
2
2
dx v i h  x
v t b  (a  x)
Dal disegno si ha che:
sin  i sin  t

vi
vt
che è appunto la legge di Snell!
Quando un’onda luminosa piana si propaga da un mezzo con indice n1 ad
un mezzo con n2 > n1 si ha sin θ2 = n1/n2 sin θ1: θ2 < θ1 La direzione di
propagazione (o raggio) si avvicina alla normale.
E’ il caso del passaggio aria (o vuoto: n = 1) –
vetro: sinθ2= sinθ1/n. Nel caso che l’onda passi da
un mezzo con indice n1 ad uno con indice n2 < n1:
sinθ2= n1/n2 sinθ1
θ2 > θ1 la direzione di
propagazione si allontana dalla normale: ciò
avviene ad es. nel passaggio vetro-aria (o vuoto):
sinθ2= n sinθ1. Quest’ultima situazione presenta un
caso limite mostrato in figura
Al crescere di θ1, θ2 che cresce più
rapidamente raggiunge il valore
π/2, per il valore θ0 dell’angolo di
incidenza: sinθ0 = n2/n1. Per valori
θi > θ0 non esistono valori reali
per θ2: non esiste onda rifratta:
si ha riflessione totale. θ0 prende il nome di angolo limite.
Nel vetro con n = 1.5 se il mezzo esterno è l’aria θ0 = sin-1(1/1.5) = 41.8o;
se il mezzo esterno è l’acqua ( n = 1.33) θ0 = sin-1(1.33/1.5) = 62.7o; per
la coppia acqua-aria θ0 = sin-1(1/1.33) = 48.6o.
Un’importante applicazione della riflessione totale si ha nelle guide di
luce e poi nelle fibre ottiche che sono alla base dei sistemi di
comunicazione ottica.
Fibre ottiche
Recentemente si sono sviluppate molto tecniche di trasporto della
radiazione tra due punti distanti, mediante l’uso di mezzi dielettrici
trasparenti. Se il diametro della fibra è grande rispetto alla lunghezza
d’onda della radiazione si possono usare le note proprietà dei raggi e
dell’ottica geometrica. Quando invece il diametro diventa confrontabile
con λ la natura ondulatoria della radiazione è dominante ed il processo di
propagazione si avvicina a quello presente nelle guide d’onda nel campo
delle microonde. Anche se questo regime è molto importante per le
comunicazioni ottiche, qui tratteremo brevemente solo il primo.
Consideriamo il cilindro rigido diritto di vetro di figura, circondato da
aria. La luce che colpisce le pareti all’interno sarà totalmente riflessa se
l’angolo di incidenza ad ogni riflessione è > θc = sin-1 n0/nf con nf indice
di rifrazione della fibra. Come vedremo un raggio meridionale (che giace
sullo stesso piano con l’asse della fibra) subirà moltissime riflessioni per
unità di lunghezza della fibra prima di uscire.
Se la fibra ha diametro D e
lunghezza L il cammino l percorso
dal raggio sarà: l = L / cos θt od
anche per la legge di Snell:
l = nfL(nf2- sin2 θi)-1/2. Il numero di
riflessioni N sarà:
L sin θi
l
N
1 
1
2
2
1/ 2
D / sin  t
D(n f  sin θi )
Il ± 1 che dipende da dove il raggio incontra la superficie terminale può
essere trascurato. Prendiamo D = 50 μm (come un capello) nf = 1.6,
θi = 30o: N ~ 6000 riflessioni per metro. Le fibre sono costruite in vari
diametri da 2 μm ad alcuni mm. Quelle di diametro più grande prendono
anche il nome di guide di luce. Fibre sottili sono assai flessibili e
possono essere avvolte su spolette.
La superficie esterna della fibra di figura deve essere tenuta molto pulita
per non avere perdite via riflessione totale frustrata. Inoltre se si hanno
molte fibre insieme è possibile il passaggio di luce dall’una all’altra:
cross-talk. Per queste ragioni si usa circondare la fibra con un mantello
di materiale trasparente con indice di rifrazione minore. Il mantello deve
avere spessore tale da realizzare l’efficace isolamento ma per il resto il
suo spessore è ininfluente. Ordinariamente il mantello occupa 1/10 della
sezione totale della fibra. E’ stata l’introduzione del mantello che ha reso
le fibre ottiche di uso pratico dal 1953. Tipicamente nf =1.62 e nm = 1.5.
La figura mostra una fibra con mantello (clad in inglese).
Vi è un valore massimo θmax per θi
per cui un raggio incide con l’angolo
critico θc . Raggi che entrano con
angolo >
θmax incontrano la
superficie di separazione fibramantello ad angoli < θc . Essi
saranno riflessi solo parzialmente e
presto si perdono. Per cui θmax
l’angolo di accettazione della fibra
determina il semiangolo del cono di
entrata. Per determinarlo:
sinθc = nm/nf = sin(90 – θt) ; nm/nf = cos θt od anche:
nm/nf = (1- sin2 θt)1/2 . Utilizzando la legge di Snell si ha:
1
sin  max  (n 2f  nm2 )1/ 2
n0
La quantità n0 sin θmax è definita
come l’apertura numerica N.A. della fibra. Il suo quadrato indica la
capacità della fibra di raccogliere luce.
Fasci di fibre con le parti terminali raggruppate assieme (generalmente
incollate e levigate) formano guide di luce flessibili. Se non vi è
corrispondenza tra le posizioni delle varie fibre in entrata ed in uscita la
guida prende il nome di guida di luce incoerente. Tali dispositivi sono
economici e servono principalmente come conduttori di luce per
illuminazione di zone difficilmente accessibili.
Se invece viene mantenuta una corrispondenza tra le posizioni delle varie
fibre in ingresso ed in uscita si ha un fascio di fibre coerenti che può
essere usato per trasportare un’immagine in modo flessibile. La sorgente
può essere un piano a contatto con l’ingresso del fascio oppure a sua
volta un’immagine formata con una lente.
Le guide ottiche coerenti trovano largo impiego nell’ispezione remota sia
industriale che soprattutto in campo medico-diagnostico: in questo caso
il sistema è noto come endoscopio ed è applicato largamente ad es. per
l’indagine dello stomaco, dei bronchi, dell’apparato genitale ecc.
Nell’endoscopio è possibile includere un canale di illuminazione e pure
uno utilizzante ad es. una forte luce laser per piccole operazioni. Gli
endoscopi medici sono di lunghezza < 2 m mentre alcuni industriali
possono raggiungere i 6-7 m. Incorporano da 5000 a 50000 fibre.
I conduttori di immagini flessibili non sono l’unica applicazione di fasci
di fibre ottiche coerenti. Moltissime di tali fibre possono venire fuse
insieme e costituire un conduttore d’immagine rigido. Ad es. è possibile
costruire delle piastre rigide con milioni di fibre fuse insieme. Tali
piastre possono sostituire le facce frontali di tubi televisivi, monitor ecc
con un miglioramento della risoluzione e della brillantezza
dell’immagine. In effetti essi costituiscono una lamina a spessore zero
dal punto di vista ottico.
E’ possibile anche rastremando un’estremità costruire dispositivi in grado
di ingrandire o rimpicciolire l’immagine.
Tuttavia l’applicazione di gran lunga più
importante delle fibre ottiche si ha nel
campo delle comunicazioni. Qui ne diamo
solo brevi cenni.
La capacità di portare informazioni in una
fibra ottica sotto forma di segnali luminosi
è intrinsecamente molto più elevata che in
un cavo elettrico; si ricordi che la banda
passante in un segnale è teoricamente
proporzionale alla frequenza della portante. Andando quindi da alcuni
GHz o decine di GHz delle frequenze elettriche (es. microonde) alle
centinaia di THz della luce si ha una aumento di un fattore 10000. Quindi
in un solo canale ottico (es. fibra) possono essere contenute tutte le
comunicazioni telefoniche di una nazione!
Determinanti per raggiungere nella pratica tali prestazioni sono però
alcune caratteristiche: 1) la capacità di modulare e demodulare in modo
veloce i segnali ottici; 2) la capacità della fibra di portare il segnale ottico
senza attenuazione; 3) la capacità della fibra di non degradare l’elevata
velocità di modulazione del segnale.
Vediamo brevemente gli ultimi due punti. Grandi progressi sono stati
fatti nell’attenuare l’assorbimento del materiale della fibra. Ciò è cruciale
soprattutto per trasmissione a grandi distanze (es. cavi sottomarini)
perché riduce il numero di stazioni di amplificazione lungo il percorso.
Utilizzando vetri ultrapuri e privi di ioni tipo Fe, Ni, Cu oltre che di
acqua responsabile attraverso i radicali OH di assorbimento. Si è così
riusciti ad ottenere fibre con un’attenuazione di 0.2 dB/km.
Il Decibel o dB è una misura del rapporto tra due potenze ad es. Pu e Pi:
si ha: dB = - 10 log(Pu/Pi) : un rapporto di 10 è 10 dB, 100 è 20 dB ecc.
Il terzo problema è anch’esso molto serio. Si consideri una fibra ottica
del tipo visto precedentemente.
A seconda dell’angolo di ingresso
del raggio vi possono essere
centinaia o migliaia di cammini
diversi; i raggi che entrano più
inclinati hanno un percorso più
lungo. Si parla di fibra multimodo.
Tale effetto è negativo per l’invio di
trasmissione ad alta velocità in fibra
L’informazione è generalmente sotto forma di impulsi digitali ma essi
dopo un certo ammontare di percorso si degradano a causa delle
differenze dei tempi di percorso possibili come in figura. L’effetto è
facile da calcolare. Δt = tmax – tmin: tmin corrisponde al percorso in asse e
vale: tmin = L/vf = L nf/c. Il percorso più lungo è quello corrispondente
all’angolo critico visto precedentemente: Si ha quindi:
tmax = l/ vf = (L nf/nm)/(c/nf) = Lnf2/cnm da cui t  Ln f  n f  1
c  nm 
Sia nf = 1.500, nm = 1.495: il valore di Δt è
37 ns/km un valore molto limitante per la trasmissione di impulsi
ultraveloci. Si verifica la situazione di figura.
Per una fibra lunga 1 km gli impulsi per essere distinti devono essere
inviati spaziati di 74 ns: un valore penalizzante.
Per ovviare a ciò sono state studiate altre configurazioni di fibre:
La prima rappresenta la fibra ordinaria detta anche step-index. La
seconda presenta un andamento continuo dell’indice di rifrazione:
graded-index; invece che avere un percorso a zig zag brusco il raggio
compie delle oscillazioni sinusoidali nel suo propagarsi. Al centro
l’indice di rifrazione è più grande e quindi il raggio centrale che ha un
percorso geometrico più corto viene rallentato: vi è una sorta di
compensazione. In questo modo si ottengono degli spread di 2 ns/km.
L’ultima configurazione rappresenta una fibra a singolo modo. In questo
caso il diametro della fibra è confrontabile con la lunghezza d’onda della
radiazione e l’unico modo possibile di propagazione è quello parallelo
all’asse. I diametri variano da 2 a 9 μm.
In tutti i tipi di fibre vi è poi da tenere in considerazione la dispersione
cromatica e cioè il fatto che n è funzione di λ. Bisogna operare con
radiazione monocromatica come quella prodotta con laser per non avere
effetti di spread dell’impulso dovuti a questo effetto.