1. Classificazione dei sistemi e dei modelli
La teoria dei sistemi e del controllo si è sempre
tradizionalmente occupata dei sistemi a variabili
continue modellati da equazioni differenziali o alle
differenze.
Tali modelli sono tuttavia inadeguati nella descrizione
dei sistemi man-made.
Sistemi dinamici i cui stati assumono diversi
valori logici o simbolici in corrispondenza
dell’occorrenza di eventi.
Es: processi produttivi, reti di trasporto, di
comunicazione, etc.
1
Es. di eventi: arrivo o partenza di un cliente,
completamento di una lavorazione, guasto o
riparazione di una macchina, trasmissione o ricezione
di un insieme di dati, etc.
L’evoluzione nel tempo di tali sistemi è
dettata dall’occorrenza degli eventi mentre i
micro-cambiamenti che avvengono
continuamente all’interno del sistema vengono
ignorati.
Sistemi ad eventi discreti
2
Un sistema la cui evoluzione è dettata sia
dall’occorrenza di eventi discreti, sia dal
trascorrere del tempo viene detto ibrido.
Sistemi ibridi
Sist. ad
avanzamento
temporale
Sist. ad eventi
discreti
3
Principi di base della teoria classica
dei sistemi e del controllo
Nozione fondamentale
sistema
Dizionario Webster: Un sistema è un’unità complessa
formata da molte componenti, spesso diverse tra
loro, soggette ad un piano comune o orientate verso
un obiettivo comune.
Dizionario IEEE: Un sistema è una combinazione di
elementi che cooperano per svolgere una funzione
altrimenti impossibile per ciascuno dei singoli
componenti.
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Per procedere ad un’analisi quantitativa di un sistema
è indispensabile la formulazione di un modello
formale che riproduca il comportamento del sistema.
Ogni sistema fisico è caratterizzato da un certo
numero di variabili fisiche che evolvono nel tempo:
• cause esterne al sistema  ingressi del sistema
• effetti  uscite del sistema
u
S
y
S realizza la dipendenza degli effetti dalle cause
esterne al sistema.
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(sist. ad avanzamento
temporale; g. fisiche: f.
continue)
Esempio: pantografo
Kw
y
my   fi  Kw (u  y)  Ky  by
(Kw  K)
Kw
b
y  y 
y u
m
m
m
m
b
u
K
Y: posizione di
equilibrio di m
u: posizione di
equilibrio del punto di
contatto con la
catenaria
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In generale l’uscita ad un dato istante di tempo
dipende anche dalla storia del sistema.
Lo stato di un sistema all’istante di tempo 0 è la
grandezza che contiene l’informazione necessaria in
0 per determinare univocamente l’andamento
dell’uscita y(), per   0, sulla base della
conoscenza dell’andamento dell’ingresso u(),   0
e dello stato in 0.
7
Si definiscono equazioni di stato l’insieme di
equazioni che determinano lo stato x() per
ogni   0 sulla base di x(0 ) e di u() ,   0.
x (t)  f(x(t), u(t), t), x(t0 )  x0
y(t)  g(x(t), u(t), t)

Modello
a tempo
continuo
x0
u
x (t)  f(x(t), u(t), t)
x
y
y(t)  g(x(t), u(t), t)
8
Esempio: pantografo
x1 (t)  y(t)
x (t)  y (t)
 2
 0
A   Kw  K


m
x (t)  Ax(t)  Bu(t)
y(t)  Cx(t)

1 
b
 
m 
0
B  Kw 
 m 
C  1 0
N.B. La scelta del modello in termini
di variabili di stato non è mai unica.
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Se il tempo è discreto, cioè rappresentato
dall’intero k, k=0,1,… , il sistema può venire
descritto mediante un insieme di equazioni alle
differenze:
x(k  1)  f(x(k), u(k), k), x(k0 )  x0
y(k)  g(x(k), u(k), k)

x0
u
x(k  1)  f(x(k), u(k),k)
x
Modello
a tempo
discreto
y(k)  g(x(k), u(k), k)
y
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Esempio: sequenza di
Fibonacci
(sist. ad avanzamento
temporale; g. fisiche: f.
discrete)
Si consideri un allevamento di conigli e si supponga che:
1) i conigli siano immortali
2) dopo un anno raggiungono la maturità dopo di che
generano una coppia di conigli all’anno
tempo(anni)
0
1
2
3
4

coppie di conigli
1
1
2
3
5

11
Y(k+2) = y(k+1) + y(k)
coppie di conigli
esistenti l’anno
precedente
coppie di conigli
presenti 2 anni prima
= coppie di conigli
maturi = coppie di
conigli generati
quest’anno
Se suppongo di vendere un certo numero di
coppie di conigli ogni anno (introduco un
controllo), il modello diviene
Y(k+2) = y(k+1) + y(k)-u(k+2)
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I sistemi ad eventi discreti
La ricerca nell’abito dei sistemi ad eventi discreti
(SED) sta acquistando un ruolo sempre più rilevante
nella comunità scientifica e ciò è una immediata
conseguenza della crescente complessità dei sistemi
creati dall’uomo.
La teoria dei SED si sta evolvendo ora in analogia alla
teoria classica dei sistemi e del controllo  concetti
di stabilità, controllabilità, osservabilità, etc.
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Un sistema ad eventi discreti è un sistema dinamico il
cui comportamento è caratterizzato dall’occorrenza di
eventi istantanei con un cadenzamento irregolare non
necessariamente noto.
Alcuni sistemi sono intrinsecamente ad eventi e
la risoluzione di un problema di controllo in
questo caso consiste nella determinazione di una
politica di gestione e di coordinamento degli
eventi.
L’evoluzione in questo caso è asincrona ossia basata
sui tempi di occorrenza degli eventi e non su una
temporizzazione regolare.
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Definizione formale: Un SED è un sistema il cui
comportamento dinamico è caratterizzato
dall’accadimento asincrono di eventi che individuano lo
svolgimento di attività di durata non necessariamente
nota. Un SED è caratterizzato da:
• insieme degli eventi E
• spazio di stato X (insieme discreto)
• evoluzione dello stato regolata dagli eventi
xk+1=(xk,ek) kN
funzione di transizione di stato
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Esempio: il sistema a coda
Un sistema a coda si basa su 3 componenti
fondamentali:
• le entità che attendono per poter utilizzare le
risorse (clienti)
• le risorse (servitori o serventi)
• lo spazio in cui si attente (coda)
arrivo
clienti
partenza
clienti
coda
servitore
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I clienti possono essere: persone, veicoli di
trasporto, messaggi, etc.
I serventi possono essere: persone, macchine,
semafori, canali di comunicazione, etc.
Insieme degli eventi E={a,p}
a : evento di arrivo di un cliente
p : evento di partenza di un cliente
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Se scegliamo come variabile di stato il numero
di clienti in coda 
Spazio di stato X={0,1,2,…}=N
Il sistema a coda può venire rappresentato
mediante il seguente grafo
a
0
a
1
p
a
2
p
3
p
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Esempio: macchina soggetta a guasti
• X = {F (macchina ferma),
L (macchina che lavora),
G (macchina guasta)}
spazio di stato
• E = {inizio,fine,rottura,riparazione} spazio degli eventi
inizio
F
fine
L
rottura
riparazione
G
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Esempio: circuito elettrico
s
d
l1
L’interruttore può ruotare
a sinistra o a destra di 1/4
di giro.
l2
Ci sono 4 possibili posizioni
s
s
d
d
s
d
s
d
20
Possiamo individuare 3 insiemi:
• X = {x1,x2,x3,x4} posizioni dell’interruttore
• E = {s,d}
rotazioni
• Y = {l1,l2,b}
condizioni delle lampade
Tale sistema può essere rappresentato mediante il
seguente grafo.
x1
x1
x2
x3
x4
s
d
d
d
x2
s
x4
d
s
s
x3
21
Se assumiamo l’insieme Y come spazio di
stato, allora il sistema può essere
rappresentato mediante il seguente grafo
s,d
l1
x4
s,d
l2
b
s,d
x1
x3
s,d
Se poi volessimo addirittura
limitarci a distinguere il buio
dalla luce
x2
l
s,d
x1
x3
x2
x4
s,d
b
22
A tale sistema
possiamo anche
associare una
evoluzione temporale
d
x1
s
d
d
d
s
x2
X
s
x4
x4
s
x3
x3
x2
x1
t1
t2
t3
t4
t5
s
d
s
s
s
t
23
Modellazione di sistemi ad eventi discreti
Un modello ad eventi discreti è un modello matematico
in grado di rappresentare l’insieme delle traiettorie (o
tracce) degli eventi che possono essere generate da un
sistema.
In generale l’insieme delle possibili traiettorie degli
eventi è infinito, mentre il modello deve comunque
essere finito.
A seconda del livello di astrazione con cui le diverse
traiettorie possono venire rappresentate, i modelli
vengono distinti in due diverse categorie:
Modelli logici e Modelli temporizzati
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Modelli logici
La traccia è una sequenza di eventi {e1,e2,e3…} in
ordine di occorrenza. La traiettoria è allora la
sequenza degli stati raggiunti {x0,x1,x2,…}.
Modelli temporizzati
La traccia è una sequenza di coppie
{(e1,t1),(e2,t2),(e3,t3),...} in ordine di occorrenza. La
traiettoria è ancora la sequenza degli stati raggiunti
{x0,x1,x2,…}. In questo caso tuttavia conosciamo
esattamente l’istante di tempo in cui ciascuno stato
viene raggiunto.
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I modelli logici rendono agevole lo studio delle
proprietà qualitative del sistema 
analisi strutturale.
I modelli temporizzati permettono di studiare
l’evoluzione temporale di un sistema 
analisi prestazionale.
I modelli temporizzati possono essere:
• deterministici (gli intervalli tra 2 eventi sono noti)
• stocastici (gli intervalli sono variabili casuali)
Una trattazione analitica diventa
estremamente complessa  simulazione
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Sistemi ibridi
Sistemi ad
eventi discreti
(SED)
Sistemi ad
avanzamento
temporale (SAT)
SAT a
tempo
continuo
SAT a t.
continuo
lineari
SAT a t.
continuo
non lineari
SAT a
tempo
discreto
SAT a t.
discreto
lineari
SAT a t.
discreto
non lineari
SED
temporizzati
SED logici
SED deterministici
SED stocastici