La geometria delle
Trasformazioni
secondo il modello
di Felix Klein
•Relatore:
•Michelangelo De Lisi
Copyright, 1996 © Dale Carnegie &
Associates, Inc.
1. IMPORTANZA DELL’ INSEGNAMENTO
DELLA GEOMETRIA
- struttura razionale, ma anche per la possibilità
che essa offre di ricorrere al concreto e per
le capacità intuitive che favorisce.
- Fino al 1700 la geometria costituiva il punto
di avvio di tutte le ricerche matematiche.
- Nella seconda metà dell'Ottocento, dopo gli
sviluppi della logica matematica, la
geometria perde il suo posto di regina fra le
scienze matematiche. Non costituisce più lo
studio, sia pure idealizzato, del mondo reale;
non è più nemmeno l'unica disciplina
assiomatizzata.
- Tuttavia la geometria non perde il suo valore
intuitivo, costruttivo, manipolativo che
costituisce il suo maggior pregio didattico.
2. LA GEOMETRIA PER TRASFORMAZIONI
• Dopo la scoperta delle geometrie non
euclidee, sono stati individuati vari altri
sistemi geometrici coerenti che hanno
assunto, come tutti i sistemi
matematici in generale, un aspetto
sempre più chiaramente ipoteticodeduttivo perdendo il loro tradizionale
riferimento a enti geometrici “esterni”.
• Possiamo allora chiederci cosa sia oggi
effettivamente la geometria
• La ricerca di un’unità intrinseca che
consenta una definizione di geometria
abbastanza ampia da comprendere i
sistemi accennati e tuttavia
sufficientemente ristretta da escludere
gli altri sistemi della matematica è
stato l’obiettivo primario di Felix Klein
geometria è lo studio delle proprietà
delle figure, che restano invariate
quando su di esse si opera con un
gruppo di trasformazioni.
• la geometria varia al variare del
gruppo di trasformazioni. Se ci
limitiamo alle trasformazioni lineari,
cioè a quelle che trasformano una
retta in una retta, otteniamo:
•*
la geometria euclidea
•*
la geometria elementare
•*
la geometria affine
•*
la geometria proiettiva
la geometria euclidea
• diventa lo studio delle proprietà
delle figure che restano invariate
quando su di esse si pera col
gruppo delle isometrie, vale a dire
con quelle trasformazioni che
lasciano invariata la distanza
(traslazione, rotazione, simmetria
ortogonale e centrale);
(continua)
la geometria elementare
• diventa lo studio delle proprietà
delle figure che restano invariate,
quando su di esse si opera con il
gruppo delle similitudini, vale a
dire quelle trasformazioni che
mantengono la forma. Affinché sia
mantenuta la forma è sufficiente
che si mantenga il rapporto di tutti
i segmenti corrispondenti;
(continua)
La geometria affine
• diventa lo studio delle proprietà
delle figure che restano invariate
quando su di esse si opera col
gruppo delle affinità cioè con
quelle trasformazioni che
mantengono il parallelismo;
(continua)
la geometria proiettiva
• infine, è lo studio delle proprietà
delle figure che restano invariate
quando su di esse si opera col
gruppo delle proiettività, vale a
dire con quelle trasformazioni che
mantengono le rette (cioè mutano
retta in retta) e di conseguenza nel
piano mantengono l'ordine di una
curva.
La geometria proiettiva è la più generale perché ha
un invariante comune a tutte le altre. Se poi si impone
la condizione di mantenere il parallelismo si ottiene un
sottoinsieme che costituisce la geometria affine, se
ancora si impone di mantenere il rapporto fra segmenti
corrispondenti, si ottiene un sottoinsieme della
geometria affine che costituisce la geometria
elementare e finalmente, se si impone al rapporto
costante di segmenti corrispondenti di assumere il
valore 1, si ottiene un nuovo sottoinsieme che è la
geometria euclidea.
Il procedimento si può invertire
GEGEOMETRIA PROIETTIVA
GEOMETRIA AFFINE
GEOMETRIA ELEMENTARE
GEOMETRIA
EUCLIDEIA
Il punto di vista di Klein ha il pregio di un
appoggio visivo. Traduce infatti la
corrispondenza biunivoca che si
stabilisce fra una “figura piana” e la sua
proiezione su un altro piano, fatta con
raggi paralleli o appartenenti a una stella
propria.
•1. Proiezione con raggi paralleli su piani paralleli
(continua)
2. Proiezione con raggi incidenti su piani
paralleli
(continua)
3.Proiezione con raggi paralleli su piani
incidenti
(continua)
4.Proiezione con raggi incidenti su piani
incidenti
Per sviluppare la geometria delle
trasformazioni si ha bisogno di
un’assiomatica. Gustave Choquet
propone anche un'assiomatica adatta a
sviluppare prima la geometria metrica e
successivamente la geometria affine.
• Assiomi di incidenza
• Assiomi d’ordine
• Assiomi relativi alla distanza
• Assioma del piegamento.
(continua)
Assiomi di incidenza
• a) Per ogni coppia (x, y) di
punti distinti di , esiste una e
una sola retta contenente x e y.
• b) Per ogni retta D, e per ogni
punto x, passa per x una e una
sola retta parallela a D.
– Questo secondo assioma usa la definizione:
due rette sono parallele se non hanno
punti comuni o se coincidono
II Assiomi d'ordine
• a) A ogni retta D sono associate
due strutture d'ordine totale, una
opposta all'altra,
– Questo assioma è espresso in una
forma condensata perché si suppone
noto il concetto di ordine totale su un
insieme.
• (Relazione fra le strutture d'ordine
delle diverse rette). Per ogni coppia
(A, B) di rette parallele, e per tutti i
punti a, b, a', b' tali che a, a'  A e
b, b’  B, ogni parallela a queste
rette che incontra il segmento aa'
incontra anche il segmento bb'
III Assiomi della distanza
• Al piano  è associata
un'applicazione d di  x  in R detta
distanza e tale che:
• 1. d(y,x) =d(x,y) per tutti i punti x,y
• 2. Per ogni retta orientata D, e per ogni
x  D e per ogni numero l  0 esiste in
D un unico punto y tale che x  y e
d (x, y) = l
• Per x  (a,b)  [d (a,x) + d(x,b) =
d(a,b)]
• 4. Per ogni terna (a, x, b) di punti non
allineati, si ha:
• 5. d (a,b) < d (a,x) + d (x,b)
(disuguaglianza triangolare stretta)
Gli assiomi sopra enunciati
consentono di dare la seguente
definizione di isometria:
• Sia X   e f un'applicazione di X
in 
si dice che f è una isometria se
per a,b X[d(a,b)=d{f(a),f(b)}]
– Per enunciare agevolmente l'ultimo assioma,
indicheremo con 1(D) e 2(D) i semipiani
aperti definiti da una retta D e chiameremo
piegamento intorno a D ogni isometria  di
D   1(D) su D  2 (D) tale che per
ogni x  D, si abbia  (x) = x.
– In seguito introduce la simmetria assiale
passando dalla corrispondenza biunivoca fra
due semipiani (piegamento) alla
corrispondenza biunivoca del piano in sé.
• Assioma IV. Per ogni retta D, esiste
almeno un piegamento intorno a D.
Per l'insegnamento della geometria nella scuola
abbiamo due possibilità da seguire:
*la linea euclidea, basandoci sugli assiomi di Hilbert;
*la geometria delle trasformazioni di Klein
Quale scegliere?
• Da un punto di vista didattico, la
geometria di Euclide risulta “statica”
mentre quella di Klein si presenta sotto
un aspetto “dinamico” e ha un
appoggio visivo nelle relazioni che
legano gli oggetti alle loro ombre.
• La geometria delle trasformazioni
lineari, inoltre, ha il pregio di
presentare la geometria in modo
unitario dalle isometrie alle proiettività
• affrontando in classe la geometria
delle trasformazioni, si può procedere
con quella gradualità che è tanto
importante dal punto di vista didattico
Nelle indicazioni didattiche dei nuovi programmi
del biennio si legge:
"Non ci si può illudere di poter partire dalla
disciplina già confezionata, cioè da teorie e da
concetti già elaborati e scritti, senza prendersi
cura dei processi costruttivi che li riguardano."
• Siccome l'insegnamento della geometria
razionale, secondo i programmi vigenti, è
destinato ad allievi di quattordici anni,
riteniamo che non sia il caso, a tale età,
di cominciare con l'enunciare una catena
di assiomi, che per esperienza sappiamo
creare nei giovani una meraviglia sul
perché si insista su fatti evidenti e noti,
perfino banali
• non e’ opportuno iniziare l'insegnamento
della geometria fermando l'attenzione sul
significato
degli
assiomi.
Occorre
preparare il terreno!
Digressione sulle ombre
• Puoi anche tu giocare con le ombre.
Ecco un esperimento interessante.
• Probabilmente avrai una lampada da
tavolo con paralume non trasparente e a
sezione circolare. Di sera, o in una
stanza oscurata anche di giorno, accendi
la lampada e la impugni in modo che il
cerchio sia di fronte alla parete
illuminandola. Vedrai un cerchio, è
l'immagine del bordo del paralume.
Questo cerchio diventa sempre più
grande se ti allontani dalla parete. Ma la
cosa diventa più interessante se muovi il
paralume inclinandolo verso la parete,
lentamente; vedrai curve che si
allungano sempre più fino ad aprirsi
quasi a cercare l'infinito.
La corrispondenza biunivoca
5. LA SIMMETRIA ORTOGONALE
(Ribaltamento)
•Il piano ha due versi, o sensi, uno
positivo (antiorario) e uno negativo
(orario).
Il ribaltamento determina una
corrispondenza biunivoca fra i punti di due
semipiani. La trasformazione lascia
invariata la distanza fra due punti
qualunque.
• Tale corrispondenza biunivoca dà luogo a
una trasformazione che chiameremo
SIMMETRIA ORTOGONALE
• In generale una trasformazione che lascia
invariate le distanze si dice isometria
• La simmetria ortogonale fra due
semipiani è quindi una isometria
– si deduce ancora che :
 A una retta parallela all’asse corrisponde
una retta parallela all’asse.
• A una semiretta incidente l’asse corrisponde una semiretta incidente l’asse.
Da una simmetria ortogonale fra
due semipiani a una simmetria
ortogonale fra due piani
sovrapposti
6. RETTE PERPENDICOLARI
• Considera la figura seguente: A e A’ sono
simmetrici rispetto a r
•Diremo che due rette r e s sono
perpendicolari se la simmetrica di r
rispetto a s è r stessa o, ciò che è lo
stesso, la simmetrica di s rispetto a r
è s stessa.
La simmetria che stiamo studiando si dice
ortogonale perché due punti
corrispondenti si trovano su una
perpendicolare all’asse.
• Fissata una retta r in un piano, viene determinata
una simmetria ortogonale che gode delle
proprietà:
 a un punto A di un semipiano corrisponde un punto
A’ dell’altro semipiano;
 r è perpendicolare alla retta congiungente due punti
corrispondenti A e A’ e taglia AA’ nel suo punto di
mezzo;
 ad ogni punto Pr corrisponde P stesso. Cioè i punti
di r sono, come si dice, uniti per la trasformazione;
 ad una retta incidente l’asse corrisponde una retta
incidente l’asse nello stesso punto;
 ad una retta parallela all’asse corrisponde una retta
anch’essa parallela all’asse.
• Possiamo scrivere che, detta i l’identità e r la
simmetria ortogonale di asse r: r·r  i
7. I PUNTI UNITI DELLE ISOMETRIE
• è possibile decidere quanti punti uniti può avere una
isometria e come possono essere disposti?
• se esiste una isometria che ha un
punto unito, questo si deve trovare
sull’asse di simmetria di ciascuna
coppia di punti corrispondenti.
• Se P e Q sono uniti, la retta PQ
avendo due punti uniti non si può
trasformare in una retta diversa,
cioè è unita per la trasfornmazione.
• Non può esistere una isometria, non
identica, con tre punti uniti non
allineati.
• N.B. Occorre distinguere tra retta di
punti uniti e retta unita come sostegno
• Questo fa pensare che il ragionamento può riuscire là
dove l'intuizione fallisce
8. EQUAZIONI DELLA SIMMETRIA
ORTOGONALE RISPETTO AGLI ASSI
COORDINATI
• Assumendo x come asse di simmetria vogliamo
scrivere le relazioni che legano il punto A (x, y) al suo
trasformato rispetto all'asse x, A'.
Se poi indichiamo con x'; y' le coordinate di A'
possiamo scrivere:
x’ = x
y’= -y
Queste sono le equazioni della simmetria
ortogonale rispetto all'asse x.
Facilmente si introducono anche le equazioni
della simmetria ortogonale rispetto all'asse y.
OSSERVAZIONE
La linea della geometria delle trasformazioni
che stiamo affrontando si fonda, come
abbiamo detto più volte, sul concetto di
gruppo di trasformazioni
• Un gruppo, come è noto, è una
struttura in cui è stata definita una
operazione che gode di certe proprietà.
L’operazione nel nostro caso è il
prodotto operatorio di
trasformazioni.
• Il procedimento che seguiremo è quello
suggerito
da
Bachmann,
cioè
costruiremo tutte le isometrie mediante
il prodotto di simmetrie ortogonali.
• E' importante far riflettere gli allievi sul
fatto che fare il prodotto operatorio r·s
di due simmetrie ortogonali di assi r e s
significa eseguire prima la simmetria di
asse s e successivamente la simmetria
di asse r.
9. PRODOTTO DI DUE SIMMETRIE
AD ASSI PERPENDICOLARI
• Dati due assi fra loro perpendicolari s e
r suggeriamo agli allievi di trasformare il
punto generico A del piano prima con r
(si ottiene B) e successivamente B con s
(si ottiene C)
•
• In questo modo i punti del piano
vengono trasformati col prodotto
delle due simmetrie: s  r
PROPRIETA’
• I Teorema: La retta AD è
trasformata della retta BC
nella simmetria di asse r.
• II Teorema: AD è parallela a r e
perpendicolare a s.
• III Teorema: La simmetria di
asse s trasforma D  A
• IV Teorema: Il prodotto di due
simmetrie ortogonali ad assi
perpendicolari è commutativo.
• V teorema: I punti AOC e BOD
sono allineati.
• Le osservazioni precedenti ci permettono di
definire la simmetria centrale
RIASSUMENDO
• Abbiamo così trovato una nuova
isometria: la simmetria centrale.
• Si tratta di una corrispondenza biunivoca tra i
punti del piano così definita:
• fissato un punto O, il corrispondente
di un qualunque punto A del piano è
il punto B, che si trova sulla retta
AO, dalla parte opposta di A rispetto
a O, ad una distanza tale che
OB=OA
Il punto O si chiama centro di
simmetria.
Proprietà della simmetria centrale
• I Teorema: La simmetria centrale ha
un punto unito
• II Teorema: La simmetria centrale ha
un solo punto unito.
• III Teorema: Applicare la simmetria
centrale due volte equivale ad
applicare l'identità.
• IV teorema: La simmetria centrale
trasforma una retta in una retta
parallela.
10. EQUAZIONI DELLA
SIMMETRIA CENTRALE
• assumiamo gli assi cartesiani come assi della
simmetria.
• Per la simmetria di asse x: P(x;y)P’(x;-y).
Per la simmetria di asse y: P’(x;-y)P”(-x;-y).
La simmetria centrale con centro nell’origine
muta P(x;y) in P”(-x;-y). Se indichiamo con x’ e
y’ le coordinate di P” possiamo scrivere
x’=-x
y’=-y che sono le equazioni della simmetria
centrale.
11. PARALLELOGRAMMI
• Si dice parallelogramma il quadrilatero
convesso determinato da due coppie di
punti, che si corrispondono in una
simmetria centrale
• Il nome parallelogramma deriva dal seguente
• C. N.S. perché il quadrilatero ABCD sia un
parallelogramma è che abbia i lati opposti
paralleli
• C. N. S. perché un quadrilatero sia un
parallelogramma è che abbia i lati opposti
uguali
• Di dice rombo il parallelogramma a
diagonali perpendicolari
• L’introduzione dei parallelogrammi ci induce
ad introdurre la distanza tra due rette
parallele e, quindi, il piccolo teorema di
Talete con le sue applicazioni sui triangoli.
12. PRODOTTO DI DUE SIMMETRIE
ORTOGONALI AD ASSI PARALLELI
• Sono date due simmetrie ad assi paralleli a e b. Si
può proporre agli alunni di trasformare i punti del
piano con il prodotto b a.
• I Teorema: Il prodotto di due simmetrie
ortogonali ad assi paralleli sposta i punti
del piano in direzione perpendicolare agli
assi, di una distanza doppia della
distanza tra i due assi.
PP” = x+x +(a-x)+(a-x) = 2a
Il prodotto di due simmetrie ad assi
paralleli a e b è una isometria cui si dà il
nome di traslazione
• Teorema: Una traslazione muta un
segmento in uno uguale e parallelo.
• Possiamo allora introdurre l’inversa di
una traslazione,
se t = ba sarà
t’ = ab
• Una traslazione non coincide con la
sua inversa
• Le trasformazioni che coincidono con la propria
inversa si dicono involutorie. La traslazione non è
una trasformazione involutoria, mentre la simmetria
ortogonale e la simmetria centrale sono invlutorie.
• Il prodotto di due simmetrie
ortogonali non è generalmente
commutativo.
13. RIFLESSIONI SUI PUNTI UNITI E LE
ISOMETRIE
• abbiamo visto che possono esistere:
• - isometrie senza punti uniti
• - isometrie con un punto unito
• - isometrie con una retta unita
• Teorema: L’isometria con due punti
uniti è la simmetria ortogonale.
Certo non potremo dire agli alunni, a questo
punto, che introducendo la retta all'infinito le
rette perpendicolari all'asse di simmetria sono
rette unite come sostegno perché hanno due
punti uniti uno sull'asse e uno all'infinito. E
neppure possiamo dire che una volta trovato il
modo di costruire una isometria con due punti
uniti P e Q, il fatto che i punti corrispondenti
siano simmetrici rispetto a PQ comporta che a
rette parallele all'asse corrispondono rette
parallele all'asse e quindi l'isometria acquista
anche un terzo punto unito all'infinito che la
rende una retta di punti uniti.
• Abbiamo detto che una traslazione è una
isometria con nessun punto unito. In
realtà questo è vero al finito, e per i
punti impropri? Una traslazione muta
ogni retta in una retta ad essa parallela,
quindi in una traslazione, una direzione è
unita. Ciò significa che la retta all'infinito
è una retta di punti uniti.
Come è la retta impropria nel
caso della simmetria assiale
ortogonale?
• Vi è una retta propria di punti uniti,
l'asse.
• Una retta parallela all'asse si muta in una
retta parallela all'asse.
• Le rette perpendicolari all'asse sono
unite come sostegno
• Una retta incidente l’asse si muta in una
incidente l'asse, ma di diverso
coefficiente angolare
• In altre parole la retta all’infinito è unita
come sostegno.
• La retta all'infinito è unita come sostegno
per tutte le trasformazioni lineari, tranne
che per le proiettività.
14. SEGMENTI EQUIPOLLENTI
• Segmenti uguali, paralleli e diretti nello
stesso verso si dicono equipollenti
• Teorema: L’equipollenza è una
relazione di equivalenza
• Teorema: Proiezioni parallele di
segmenti equipollenti su una stessa
retta (o su rette di uguale
direzione) sono equipollenti.
15. EQUAZIONI DELLA
TRASLAZIONE
Se a e b sono le proiezioni di PP’ sugli assi, per il Teorema
precedente, esse restano inalterate comunque si sostituisca PP’
con un segmento equipollente. Assegnate allora le coordinate x;y
di P si possono determinare quelle di P’.
Vale a dire che stabilita la trasformazione
xx+a
yy+b
Possiamo anche dire che, indicando con x’ e y’ le coordinate di P’, le
equazioni
x’ = x+a
y’ = y+b
sono le equazioni della traslazione di componenti a; b nella direzione
e senso fissato da PP’.
16. VETTORI
• La relazione di equivalenza “segmenti
equipollenti” permette di determinare
una partizione dei segmenti del piano in
sottoinsiemi tali che ciascuno contenga
con un segmento tutti e soli quelli ad
esso equipollenti.
• Ciascuno di questi sottoinsiemi si dice
vettore.
• In altri termini l’insieme dei vettori è
l’insieme quoziente ottenuto dall’insieme
dei segmenti del piano mediante la
relazione di equivalenza “segmenti
equipollenti”.
Abbiamo visto nascere il vettore da una traslazione,
vediamo ora come da un vettore nasce una
traslazione.
• Teorema: Un vettore determina una
traslazione.
• Conduciamo per M la perpendicolare a MN, sia
a; conduciamo poi per il punto di mezzo di MN
la parallela ad a, sia b.
• Il prodotto delle due simmetrie ba è la
traslazione che trasforma M in N.
SOMMA DI VETTORI
• Sono dati nel piano due vettori u e
v. Il vettore u trasforma il punto P
nel punto P'. il vettore v trasforma
il punto P' nel punto P".
• Il vettore u + v trasforma quindi P
in P".
• Dati due vettori u e v tali che u
trasformi P in P' e v trasformi P’ in
P”, la somma u + v è rappresentata
dalla diagonale del
parallelogramma costruito con i
due vettori.
Proprietà delle traslazioni rispetto al
prodotto
• Siano t, t’, . . . delle traslazioni del piano
e T l'insieme di tutte le traslazioni,
l’operazione di prodotto gode delle
seguenti proprietà:
• a. t,t’T : tt’T
chiusura
• b. V t,t'T : t t' = t’t
commutatività
• c. V t, t’, t”  T : (t t') t” = t (t' t")ass
• d.  t1T  t  T : t1t = t
• e. V t  T  t’  T : t t’ = t1
elemento neutro
el. inverso
• Abbiamo indicato Con t1 l'elemento neutro, in
tal caso l'identità, e con t’, la traslazione
inversa.
Proprietà dell'addizione nell'insieme V dei
vettori
• a  u,v V : u+v V
• b.  u,v V : u+v = v+u
chiusura
commutatività
• c.  u,v,w  V : (u+v)+w = u+(v+w)ass
• d.  v1 V  v  V : v+v1 = v
el neutro
• e.  v V  v'  V : v'+v = v1
el. inverso
• Il vettore v1 rappresenta il vettore nullo,
elemento neutro dell'addizione che si usa
anche indicare col simbolo O (zero) e v'
l'elemento inverso (vettore opposto).
• Le traslazioni rispetto al prodotto e i
vettori rispetto alla somma hanno una
struttura di gruppo commutativo. Le due
strutture sono isomorfe.
17. PRODOTTO DI DUE SIMMETRIE
ORTOGONALI AD ASSI INCIDENTI
• Siano date due simmetrie ortogonali i cui assi
a e b si intersecano in un punto O.
Trasformando un punto P prima con a si
ottiene P’, successivamente trasformando P’
con b, si ottiene P".
• OP = OP’ = OP"
• cioè la trasformazione muta OP in OP”.
Definizione: Si dice rotazione
intorno a un punto O il prodotto
di due simmetrie ortogonali i cui
assi passano per O.
• Teorema: La rotazione è una isometria
• Teorema: Il prodotto di due simmetrie ad
assi incidenti non è generalmente
commutativo.
• Affinché ci sia la commutatività occorre che
b sia perpendicolare ad a.
• La simmetria centrale è un caso
particolare di rotazione
• Teorema: Date due semirette a e b della
stessa origine O è sempre possibile
trovare una e una sola rotazione intorno
a O che trasformi a in b.
• Teorema: Il prodotto di due rotazioni con
lo stesso centro è una rotazione con lo
stesso centro.
Teorema: Le rotazioni con lo
stesso centro, rispetto al
prodotto, hanno una struttura
di gruppo commutativo.
• Infatti le rotazioni godono delle proprietà
caratteristiche del gruppo, cioè:
• Il prodotto di due rotazioni è una
rotazione. Cioè l’insieme è chiuso rispetto
all’operazione di prodotto.
• Il prodotto di rotazioni è associativo
perché è dato dal prodotto di simmetrie,
che è associativo.
• Esiste l’elemento neutro: l’identità (aa)
• Per ogni rotazione ba esiste l’inversa
ab, infatti
(ab)(ba) = a(bb)a = aa = i
• Vale anche la proprietà commutativa
OSSERVAZIONE
• Una volta introdotte le rotazioni si può
proporre lo studio della circonferenza
definendola nel modo classico come
luogo dei punti equidistanti da un punto
fisso, detto centro.
• Potremmo mostrare che:
- la circonferenza ha infiniti assi di
simmetria: tutte le rette per O.
• la circonferenza ha infinite rotazioni che
la trasformano in se stessa.
18. GLI ANGOLI
• L’angolo ab di due semirette a e b
con la stessa origine O è la rotazione che
trasforma a in b. Le due semirette a e b
sono i lati dell’angolo
• OSSERVAZIONE
– Le definizioni più utilizzate di angolo sono:
- l’angolo è la regione di piano compresa fra
due semirette aventi la stessa origine;
- l’angolo è l’intersezione di due semipiani
chiusi aventi un punto in comune.
• Ambedue queste definizioni portano al
confronto di regioni illimitate il che comporta
delle difficoltà nel confronto diretto tra angoli.
• Un’altra difficoltà insita in queste due usuali
definizioni di angolo nasce quando si
considerano angoli maggiori di un angolo giro.
Diremo angolo di due rette
orientate l’angolo formato dalle due
semirette positive, nell’orientamento
fissato.
• Definizione: Diremo che due angli ab e
cd, con lo stesso vertice O sono uguali
quando la rotazione che trasforma a in b
trasforma anche c in d.
– La relazione di uguaglianza così definita
determina una partizione nell’insieme degli
angoli di ugual vertice. In questo modo ad
ogni angolo corrisponde una rotazione e
viceversa ad ogni rotazione corrisponde un
angolo
• Definizione: La somma ab + bc
l’angolo
ac,
cui
corrisponde
rotazione che porta a su c.
è
la
• La corrispondenza stabilita è biunivoca e conserva
l’operazione:
•
angoli
rotazioni
• ab + bc = ac  Rab Rbc = Rac
Alla somma di due angoli corrisponde
il prodotto delle rotazioni
corrispondenti. Si ottengono due
strutture isomorfe.
• Abbiamo visto che le rotazioni con lo
stesso centro formano gruppo, quindi
anche l’insieme degli angoli con lo stesso
vertice, rispetto all’addizione, forma
gruppo. Infatti:
– La somma di due angoli con lo stesso
vertice è un angolo con lo stesso vertice.
– Vale la proprietà commutativa
– Vale la proprietà associativa
– Esiste l’elemento neutro: l’angolo nullo
associato alla rotazione nulla o identità.
– Dato l’angolo ab esiste l’inverso ba
(associata alla rotazione che porta b in a),
per cui ab + ba = O
o
equivalentemente
ab = - ba
CONFRONTO TRA ANGOLI
• Se ab e ac sono due angoli con lo stesso vertice
e orientati positivamente diremo che ab < ac
se esiste un angolo bc tale che ab + bc =
ac
• Se mn e pq sono due angoli con lo stesso
vertice e orientati negativamente diremo che mn
> pq se nm < qp (opposti positivi)
• UGUAGLIANZA DI ANGOLI CON VERTICE
DIVERSO
– Definizione: Diremo uguali due angoli
che si corrispondono nella traslazione
definita dal vettore OO’.
• Potremmo introdurre ora la bisettrice
di un angolo come l’asse di simmetria tra
i lati di un angolo e dimostrare che:
Teorema: Il prodotto di due
simmetrie i cui assi formano un
angolo  è una rotazione di un
angolo 2 doppio di quello formato
dai due assi.
• Siano a, b due rette che formano un angolo . Il
prodotto di simmetrie ba è una rotazione nella
quale la retta a si muta nella retta c simmetrica di a
rispetto a b. L’angolo della rotazione è dunque
ac; risulta: ac = ab + bc
ma ab =
bc quindi ab = 2 ab.
• OSSERVAZIONE: A questo punto potremmo
introdurre le proprietà angolari dei poligoni
stando attenti ad angoli maggiori o uguali di
2 in quanto, avendo definito gli angoli
mediante le rotazioni, abbiamo considerato
sempre angoli congrui mod. 2, minori di 2.
19. EQUAZIONI DELLA ROTAZIONE DI
CENTRO L’ORIGINE E AMPIEZZA 
•Consideriamo una rotazione antioraria di ampiezza  e centro
nell’origine degli assi che faccia corrispondere al punto P(x;y)
il punto P’(x’;y’).
•Dalla figura x’ = OR = OP’ cos(+) = OP(coscos - sensen)
quindi x’ = xcos - ysen
Analogamente y’ = RP’ = OP’ sen(+) = OP(sencos +
cossen) Da cui y’ = xsen + ycos
 x'  x cos   y sen 

 y '  x sen   y cos 
•Se invece il centro di rotazione è il punto (x0;y0) le equazioni
diventano
 x'  x0  ( x  x0 ) cos   ( y  y0 ) sen 

 y'  y0  ( x  x0 ) sen   ( y  y0 ) cos 
20. IL GRUPPO DELLE ISOMETRIE
• Non sappiamo ancora cosa accade componendo tra
loro tutte le isometrie trovate.
• La proprietà che afferma che una isometria con tre
punti uniti non allineati è l’identità ci aiuta in questa
ricerca.
• Vediamo come si può trasformare una terna di punti
O,A,B in una terna di punti corrispondenti O’,A’,B’ in
una isometria.
• Teorema: Una qualunque isometria si può
ottenere col prodotto di un massimo di
tre simmetrie ortogonali.
Tutte le isometrie si possono ridurre a:
a) simmetria ortogonale
b) prodotto di due simmetrie ortogonali
c) prodotto di tre simmetrie ortogonali
• Teorema: Il prodotto di tre simmetrie
ortogonali, i cui assi non appartengono
tutti allo stesso fascio, è una isometria,
che si chiama GLISSOSIMMETRIA.
• Una trasformazione prodotto di una traslazione
e di una simmetria avente la stessa direzione
della traslazione si chiama glissosimmetria.
– La parola glissosimmetria deriva dalla lingua
francese ed è l’insieme di due termini, l’uno che si
riferisce alla traslazione (glisser = scivolare),
l’altro alla simmetria.
21. PRODOTTO DI SIMMETRIE I CUI
ASSI FORMANO FASCIO
• Teorema (delle tre simmetrie): Condizione
necessaria e sufficiente perché il
prodotto di tre simmetrie sia una
simmetria è che i tre assi appartengano
allo stesso fascio.
• Teorema: Il prodotto di due rotazioni è
una rotazione o una traslazione
22. ISOMETRIE
DIRETTE E INVERSE
• la simmetria ortogonale è una isometria
inversa perché inverte l’ordine del
piano.
• Le isometrie ottenute dal prodotto di un
numero pari di simmetrie sono isometrie
dirette (rotazione, traslazione).
• La glissosimmetria è una isometria
inversa perché si ottiene dal prodotto di
un numero dispari di simmetrie.
• L’identità è chiaramente una isometria
diretta
23. IL GRUPPO DELLE ISOMETRIE
• Possiamo ridurre le isometrie a quattro tipi diversi:
• .Simmetria ortogonale
• .Traslazione o rotazione (prod. di due simm)
• .Glissosimmetria (prod. di tre simm.)
• Identità
• La composizione di queste isometrie dà
sempre isometrie dei tipi sopra enunciati
• L'insieme dei quattro tipi di isometrie
considerate gode perciò, rispetto al
prodotto di isometrie, delle proprietà di
una struttura di gruppo non
commutativo.
• a. il prodotto di due isometrie è una isometria
• b. il prodotto è associativo
• c. esiste l’elemento neutro, l’identità
• d. per ogni isometria esiste l’isometria inversa
– Abbiamo dimostrato, infatti, che in generale il prodotto di
simmetrie non è commutativo. Ne consegue che, in
generale, il prodotto di isometrie non è commutativo
Il gruppo delle isometrie possiede dei
sottogruppi:
- il sottogruppo delle traslazioni;
- il sottogruppo delle rotazioni intorno a
un punto;
- il sottogruppo delle isometrie dirette
24. UGUAGLIANZA
DI FIGURE PIANE
• Definizione: Due figure si dicono
uguali se si corrispondono in una
isometria
• OSSERVAZIONE
• Con tale definizione si possono
dimostrare tutte le proprietà e i teoremi
riguardanti l’uguaglianza di figure piane,
compresi i criteri i uguaglianza dei
triangoli evitando di dover ricorrere al
movimento rigido.
25. OMOTETIA
• Per rendere il procedimento razionale occorre
aver dimostrato il teorema di Talete nella sua
forma più generale con il suo inverso:
• Un fascio di rette parallele determina su
due trasversali due insiemi di segmenti
in corrispondenza biunivoca e fra loro
proporzionali.
DEFINIZIONE
Dati due piani sovrapposti  e ’, fissato un
punto O e un numero reale nR si stabilisce
una corrispondenza biunivoca fra i punti dei
due piani sovrapposti tale che ad ogni punto
P corrisponda un punto P’’ in modo
che:
•O, P, P’ siano allineati
P' O
n
PO
n R, n  0
•L’omotetia è univocamente determinata non appena si
stabilisca la posizione di O e il numero n.
•Se n > 1 si ha un ingrandimento della figura,
•se n< 1 si ha un rimpicciolimento.
•Se n > 0, P’ si trova dalla stessa parte di P rispetto a O,
•se n < 0, P’ si trova dalla parte opposta di P rispetto a O.
PROPRIETA’ CHE CARATTERIZZANO
UN’OMOTETIA
• A retta corrisponde retta e rette
corrispondenti sono parallele
• Il rapporto fra segmenti
corrispondenti è costante e uguale a
n.
• angoli corrispondenti sono uguali
• Se si trasforma il piano con
l'omotetia di centro O e rapporto n e
successivamente con l'omotetia di
centro O e rapporto n-1 si ottiene
l'identità.
26. EQUAZIONI DELL’OMOTETIA
• Riferendoci ad un piano cartesiano assumiamo
come centro di omotetia l’origine O delle
coordinate, vogliamo determinare le equazioni
dell'omotetia di centro O e rapporto n.
OA' = n 0 cioè OA' = n OA
OA
Se indichiamo con (x, y) le coordinate del punto A e con
(x', y') le coordinate del punto A', la precedente relazione si
traduce nelle:
x' = n x
y' = n y
Sono queste le equazioni della omotetia che ha il centro
nell'origine e rapporto n.
Osserviamo che se n = 1 ritroviamo le equazioni
dell'identità,
se n = -l quelle della simmetria centrale di centro l'origine.
27. IL GRUPPO DELLE OMOTETIE
CON LO STESSO CENTRO
• Teorema: Le omotetie con lo stesso
centro formano gruppo
• l’insieme delle omotetie
proprietà di gruppo cioè:
verifica
le
• è chiuso rispetto all’operazione di prodotto.
• Il prodotto è associativo, come in generale il
prodotto di trasformazioni.
• Sappiamo costruire per ogni omotetia di
centro O e rapporto n la sua inversa di centro
O e rapporto n-1.
• Esiste l’elemento neutro, l’identità.
• Vale anche la proprietà commutativa
• Teorema: Le omotetie con centro
diverso non formano gruppo
omotetie con centro diverso non formano
gruppo. Appartengono ad un gruppo più vasto
che è quello formato dal prodotto delle
omotetie e delle traslazioni detto gruppo
delle dilatazioni
• 28. EQUAZIONI CARTESIANE DELLA
DILATAZIONE
• Abbiamo già trovato le equazioni
dell’omotetia:
x’ = n x
con nR e n  0
y’ = n y
• Possiamo adesso scrivere le equazioni
cartesiane della dilatazione che si ottiene
dal prodotto di una omotetia per una
traslazione, cioè:
x’ = n x + p
n, p, q  R
y’ = n y + q
29. SIMILITUDINE
• Chiameremo SIMILITUDINE quella
trasformazione, fra i punti di due piani
sovrapposti o fra i punti di uno stesso
piano, ottenuta dal prodotto di una
omotetia e di una isometria.
• L'isometria, come sappiamo, può essere
diretta o inversa. Il prodotto di una omotetia e
di una isometria sarà una similitudine diretta o
inversa a seconda che l'isometria considerata
sia diretta o inversa
• Diremo simili le figure che si
corrispondono in una similitudine
PROPRIETA’
• Teorema: Se fra i punti di uno stesso piano (o di
due piani sovrapposti) è stabilita una
corrispondenza biunivoca tale che il rapporto
di ogni coppia di segmenti corrispondenti è
costante, allora i due piani si corrispondono in
una similitudine.
• Teorema: Fissate due coppie di punti
corrispondenti AA’, BB’ esistono due
similitudini una diretta e l’altra inversa.
• Teorema: Fissati su due piani sovrapposti  e ’
due segmenti AB  e A’B’ ’ corrispondenti,
stabilito poi che a un determinato semipiano di
 corrisponda un ben determinato semipiano di
’, viene determinata una e una sola
similitudine fra i punti dei due piani
sovrapposti.
• Teorema: In una similitudine gli angoli
corrispondenti sono uguali.
30. IL GRUPPO DELLE SIMILITUDINI
• Le similitudini rispetto al prodotto
operatorio formano gruppo
• 1) SIMILITUDINI DIRETTE
• a. il prodotto di due similitudini dirette,
rispettivamente di rapporto n e m, è una
similitudine diretta di rapporto nm.
• b.
Il prodotto di similitudini è associativo
• c.
Esiste l'elemento neutro, l'identità
• d. Per ogni similitudine che muta AB in
A"B" esiste la similitudine inversa che muta
A”B” in AB. Se infatti la similitudine S è
uguale al prodotto di una omotetia O per una
isometria I, cioè S = I  O,
S-1 = O-1  I1
Consideriamo ora tutte le similitudini, il loro
prodotto possiede certamente le proprietà b, c,
d del gruppo delle similitudini dirette.
Riflettiamo sulla proprietà di chiusura.
- il prodotto di due similitudini ambedue
dirette o ambedue inverse è una
similitudine diretta;
- il prodotto di due similitudini una diretta
e l’altra inversa è una similitudine
inversa.
• Possiamo concludere che il prodotto di
due similitudini è una similitudine
• Vale a dire che le similitudini formano
un gruppo di cui le similitudini
dirette costituiscono un
sottogruppo.
•
Potremmo a questo punto introdurre il concetto di
figure simili (che si corrispondono in una similitudine)
e quindi i criteri di similitudine.
31. RAPPORTO SEMPLICE DI TRE
PUNTI ALLINEATI
• Definizione: dati tre punti su una retta si
dice rapporto semplice di tre punti
allineati ABC il rapporto AC/BC che si
usa indicare con (ABC)
• Supponiamo che nell’ordinamento della retta A < B.
• Distinguiamo i seguenti casi:
• 1) C < A ,
AC e BC sono entrambi negativi e
quindi (ABC) > 0;
• 2) C = A,
AC = 0 e quindi
• 3) A < C < B,
quindi (ABC) < 0;
• 4) C = B,
(ABC) = 0;
AC è positivo e BC è negativo
BC = 0 e quindi (ABC) è infinito;
• 5) C > B, AC e BC sono entrambi positivi e quindi
(ABC) > 0.
• Analizziamo il caso A < B < C Possiamo scrivere
(ABC) = AC/BC = (AB + BC)/BC = AB/BC + 1
All’allontanarsi di C verso l’infinito (ABC) = 1.
32. QUATERNE
• Dati quattro punti A,B,C,D qualsiasi
allineati si può costruire il loro
birapporto, il cui valore è espresso da:
• (ABCD) =(ABC)/(ABD) =
(AC/BC)/(AD/BD), cioè come rapporto di
rapporti semplici che, quindi, varierà a
seconda della posizione reciproca dei
quattro punti allineati.
• Nel caso particolare in cui tale birapporto
vale -1, allora si chiama anche
armonico.
33. EQUAZIONI DI PARTICOLARI
SIMILITUDINI
O
 x '  nx

 y '  ny
tO
t
 x"  nx  a

 y"  ny  b
 x"  x' a

 y"  y 'b
Ot
 x"  n( x  a)

 y"  n( y  b)
•È evidente che tO  Ot cioè il prodotto di
una omotetia per una traslazione non è,
commutativo; in generale possiamo dire che il
prodotto di una omotetia per una isometria non
è commutativo.
34. EQUAZIONI GENERALI DI UNA
SIMILITUDINE
• Una similitudine trasformando un segmento in
un segmento, trasforma una retta in una retta,
è perciò una trasformazione lineare.
• Le equazioni della trasformazione debbono
quindi essere lineari, cioè del tipo
x’ = ax + by + c
y’= a'x + b' y + c’
o almeno del tipo
• x’= ax + by (1)
y’= a'x + b'y
• Tali equazioni senza alcun vincolo per i
coefficienti a, b, a', b’ non sono le equazioni di
una similitudine. Imponendo che trasformi un
cerchio in un cerchio si ha:
• x’ = ax  by
y’ = bx  ay
• abbiamo ottenuto due similitudini, una
diretta e una inversa.
35. LE ISOMETRIE E LE SIMILITUDINI
TRASFORMANO LE CONICHE
• Le isometrie possono trasformare una retta in una
qualunque altra retta, possiamo perciò affermare che
le rette rispetto alle isometrie sono tutte “uguali”, nel
senso che sono trasformabili tutte l’una nell’altra.
• Per quanto riguarda il cerchio abbiamo visto che la
trasformazione lineare che muta un cerchio in un
cerchio è una similitudine. Possiamo affermare, nel
senso sopra adoperato, che due cerchi sono “uguali”
rispetto a una similitudine
• mediante una similitudine, le parabole sono tutte
trasformabili l’una nell’altra; possiamo dire che sono
tutte “uguali” rispetto alla similitudine.
• Due ellissi sono trasformabili l’una nell’altra con una
similitudine
soltanto
se
hanno
i
semiassi
proporzionali, in questo caso si dice che le ellissi sono
simili.
• due iperboli non si corrispondono in una similitudine.
Perché ciò avvenga occorre che i coefficienti delle
due iperboli siano proporzionali. In quest’ultimo caso
le iperboli sono simili.
36. IL PUNTO UNITO DI UNA
SIMILITUDINE
• Una similitudine che non si riduca a una
isometria non può avere due punti uniti O e P
perché in tal caso si tratterebbe cioè di una
isometria.
• Ci limitiamo al caso particolare della
dilatazione di equazioni
x’ = nx + p
y’ = ny + q
• I punti uniti di una trasformazione si
ottengono quando il punto e il suo trasformato
coincidono, e quindi x’ = x e y’ = y da cui
• x = p/(1-n)
e y = q/(1-n)
Queste sono le
coordinate del punto unito. Esse perdono di valore
per n = 1, nel qual caso la similitudine è una
isometria e più precisamente una traslazione che non
ha quindi punti uniti.
37. LE TRASFORMAZIONI E LA
RETTA ALL’INFINITO
• Per prima cosa occorre introdurre le coordinate
omogenee alle coordinate x, y le coordinate x/z, y/z.
• L'equazione della retta in coordinate cartesiane è
• ax + by + c = 0
ax + by + cz = 0
in coordinate omogenee è
• Una soluzione dell'equazione è costituita da infinite
terne proporzionali che rappresentano lo stesso
punto della retta.
TRASLAZIONE
Equazioni in coordinate
omogenee
 x'  x  az

 y '  y  bz
z'  z

Le intersezioni con la retta all’infinito si ottengono per
z = 0, cioè:
x’ = x e y’ = y che rappresenta l’identità.
Questo vuol dire che tutti i punti all’infinito restano
fermi, cioè la retta all’infinito nella traslazione è una retta
di punti uniti.
SIMMETRIA ORTOGONALE
Equazioni della
simmetria ortogonale in
coordinate omogenee
 x'  x

 y'   y
z'  z

Questa trasformazione muta (1;i;0) in (1;-i;0) cioè
scambia i punti ciclici fra loro e perciò la retta
all’infinito è una retta unita come sostegno.
•Abbiamo visto nel piano delle isometrie che una retta con
due punti uniti è una retta di punti uniti, ma nel piano
completato dalla retta all’infinito una retta deve avere
almeno tre punti uniti per essere luogo di punti uniti.
Cerchiamo i due punti uniti che la simmetria ortogonale
lascia fermi sulla retta all’infinito.
•Un punto unito è il punto all’infinito dell’asse di simmetria,
nel nostro caso (1;0;0).
• L’altro è il punto all’infinito delle rette perpendicolari
all’asse, rette che congiungono coppie di punti
corrispondenti, nel nostro esempio è (0;1;0)
OMOTETIA
L’equazione in coordinate
omogenee della omotetia con
il centro nell’origine è:
 x'  mx

 y '  my
z'  z

L’omotetia trasforma il generico punto
all’infinito (x;y;0) nel punto (mx;my;0).
La seconda terna è proporzionale alla prima,
quindi rappresenta lo stesso punto. Perciò
l’omotetia ha all’infinito una retta di punti uniti.
DILATAZIONE
•L’equazione in coordinate
omogenee è:
 x'  mx  az

 y '  my  bz
z'  z

Sulla retta all’infinito un punto generico (x;y;0) si trasforma
in (mx;my;0) che è ancora lo stesso punto.
Quindi la dilatazione ha nella retta all’infinito una retta di
punti uniti.
SIMILITUDINE DIRETTA
L’equazione in coordinate
omogenee è
 x'  ax  by

 y '  by  ay
z'  z

•Il punto ciclico (1;i;0) si trasforma nel punto (a-ib;b+ia;0)
cheè lo stesso (1;i;0). Analogamente per (1;-i;0). Cioè i
punti ciclici sono uniti.
•Un generico punto all’infinito (1;c;0) si trasforma in
(a-bc;b+ac;0) che in generale sarà diverso da (1;c;0)
Diventa uguale per (b+ac)/(a-bc) = c con a-bc  0.
Da cui
c=i
Abbiamo verificato che i soli punti uniti sono i punti
ciclici. Gli altri punti all’infinito si spostano sulla retta
all’infinito. La stessa cosa accade per la similitudine
inversa.
38. IL PUNTO DI VISTA DEL
PROGRAMMA DI ERLANGEN DI
KLEIN
• Abbiamo costruito, a partire dal prodotto di
simmetrie, il gruppo delle isometrie
• Abbiamo così studiate le proprietà delle figure
che non variano quando su di esse si operi col
gruppo delle isometrie. .
• In questo modo vengono evidenziati gli
invarianti.
• . Non varia l'allineamento dei punti,
parallelismo (cioè rette parallele si mutano
rette parallele), la perpendicolarità,
distanza, l'area, gli angoli, i triangoli,
parallelogrammi, i quadrati, i cerchi,
parabole, le iperboli, le ellissi ……
il
in
la
i
le
• Lo studio di tutto ciò costituisce la geometria
euclidea.
38. IL PUNTO DI VISTA DEL
PROGRAMMA DI ERLANGEN DI
KLEIN
• A
questo
punto
abbiamo
fatto
un
cambiamento: siamo passati da segmenti
corrispondenti
uguali
a
segmenti
corrispondenti proporzionali, mantenendo tutti
gli altri assiomi. Sono state cosi costruite le
similitudini.
• Abbiamo dimostrato che le similitudini
formano gruppo rispetto al prodotto e che le
isometrie sono un sottogruppo del gruppo
delle similitudini.
• Non varia l’allineamento, il parallelismo, la
perpendicolarità, gli angoli, il rapporto fra
segmenti corrispondenti. Nel piano delle
similitudini vi è un triangolo equilatero, un
quadrato, un cerchio, una parabola, infinite
iperboli, infinite ellissi. In questo modo
abbiamo studiato la geometria elementare.
COMPOSIZIONE MEDIANTE
PRODOTTO DELLE
TRASFORMAZIONI STUDIATE
FINO A QUESTO PUNTO
39. OMOLOGIA AFFINE
• Fissiamo sul piano una retta r, una direzione di
proiezione  che non sia parallela a r e un numero
k  R, k  O, stabiliamo una corrispondenza
biunivoca nel seguente modo:
• scelto a caso un punto A, conduciamo per A la retta
di direzione , il punto A', corrispondente di A, deve
appartenere a questa retta e lo sceglieremo in modo
che, detto Q = AA'  r, risulti
A’Q/AQ =k
con k  0
• Ripetiamo l'operazione per un punto B, otterremo il
punto B', se BB'  r = T la relazione che lega B a B'
è
B’T/BT = k
Da cui si deduce
A’Q/AQ =
B’T/BT che si può anche scrivere (A'AQ) = (B'BT)
• Abbiamo costruita una trasformazione del piano con
una retta unita r che chiameremo appunto,
omologia affine.
• Ogni trasformazione del piano con una retta unita si
chiama omologia.
40. PROPRIETA’
DELL’OMOLOGIA AFFINE
• .La corrispondenza
determinata
è
univocamente
• La retta r è effettivamente una retta di
punti uniti
• A retta corrisponde retta e rette
corrispondenti si tagliano sull’asse o
sono parallele all’asse.
• Fra rette corrispondenti è stabilita dalle
rette di direzione  una corrispondenza
di Talete, quindi il rapporto semplice di
tre punti allineati è uguale a quello dei
loro corrispondenti.
• A rette parallele corrispondono rette
parallele.
Riassumiamo:
• l'omologia affine costruita è una
corrispondenza biunivoca fra i punti di due
piani sovrapposti determinata da una retta
unita (asse), da una direzione di proiezione
diversa da quella dell’asse e da un rapporto k
 R, k  0. Questa corrispondenza
• muta retta in retta,
• mantiene il parallelismo, cioè muta un
parallelogramma in un parallelogramma e
quindi muta anche segmenti equipollenti in
segmenti equipollenti,
• mantiene inoltre il rapporto semplice di tre
punti allineati. L'omologia affine inversa di
quella ora costruita è ancora una omologia,
che ha lo stesso asse, la stessa direzione di
proiezione e rapporto k-1.
• L'omologia affine di rapporto = 1 è l'identità.
41. EQUAZIONI DELL’OMOLOGIA
AFFINE IN CASI PARTICOLARI
• Dato un riferimento cartesiano ortogonale,
consideriamo una particolare omologia affine per cui
l’asse di omologia sia l’asse x e la direzione di
proiezione sia quella dell’asse y.
Fissato un rapporto k, il generico punto P(x;y) si
muta nel suo corrispondente P’(x’;y’), dovendo
essere P’H = kPH
Le equazioni di tale
omologia sono pertanto
 x'  x

 y '  ky
•Analogamente, le equazioni dell’omologia di
asse y e direzione di proiezione parallela
all’asse x sono
 x'  kx

 y'  y
OSSERVAZIONE:
La circonferenza, trasformata mediante una omologia affine,
si muta nell’ellisse
42. AFFINITA’
• L'affinità è la trasformazione più generale
che mantiene il parallelismo.
• Teorema I: L'affinità con due punti uniti
ha una retta di punti uniti.
• Teorema: L'affinità con tre punti uniti non
allineati è l'identità
• Teorema: L'omologia affine di cui si
conosca la retta unita e una coppia di
punti corrispondenti A e B, comunque
posti, è unica.
• Teorema IV: La più generale collineazione
che muta un parallelogramma in un
parallelogramma si può ottenere dal
prodotto di una similitudine per una
omologia affine.
• Teorema V: L'affinità che porta A in A', B
in B', O in O' è unica.
Riassumendo:
• ogni affinità muta un parallelogramma in
un parallelogramma. Viceversa, dati due
parallelogrammi ABCD, A’B’C’D’ esiste
una e una sola affinità che muta il primo
nel secondo parallelogramma, purché
muti ordinatamente A in A', B in B’,C in
C', D in D'.
• La trasformazione si ottiene dal prodotto
di una similitudine per un'omologia
affine. E' facilmente comprensibile come
anche le affinità si distinguano in affinità
dirette o inverse a seconda che
mantengano l'orientamento del piano o lo
invertano.
43. IL GRUPPO DELLE AFFINITA’
E LA GEOMETRIA AFFINE
• Le affinità rispetto al prodotto
(composizione di affinità) formano
gruppo, infatti:
• a. Il prodotto di due affinità mantiene il
parallelismo, quindi è ancora una affinità
• b. Il prodotto di affinità, come accade
per tutte le trasformazioni, è associativo
• C. Esiste l'elemento neutro, l'identità, che
si ottiene nel caso particolare quando si
trasforma un triangolo in se stesso.
• d. L'inversa di una affinità è una affinità
Il gruppo delle affinità ha per
sottogruppi il gruppo delle
similitudini e quello delle
isometrie.
Si passa dal gruppo delle similitudini a quello delle
affinità lasciando cadere dei vincoli. Per esempio
l'invarianza degli angoli o la distanza.
44. EQUAZIONI DELL’AFFINITA’
• Una trasformazione che muta retta in retta deve
essere lineare. Se lascia ferma la retta all'infinito
dovrà avere equazioni del tipo:
 x'  ax  by  c

 y '  dx  fy  g
•Se prescindiamo poi dalla eventuale traslazione
 x'  ax  by

 y '  dx  fy
•dove af – bd  0
La condizione posta assicura che la corrispondenza è
biunivoca, cioè che il sistema è risolvibile rispetto a x
e y.
Si dimostra facilmente che tale trasformazione gode
della proprietà ricercata e cioè che muta rette parallele
in rette parallele.
45. LE CURVE DEL SECONDO
ORDINE NEL PIANO AFFINE
• Le iperboli e le ellissi nel piano delle similitudini sono
infinite; anche se dal passaggio dal piano delle
isometrie a quello delle similitudini la loro infinità è
diminuita. Infatti nel piano delle similitudini vanno
considerate "uguali" le infinite ellissi e le infinite
iperboli simili vale a dire quelle che hanno i semiassi
proporzionali.
• ln una trasformazione del piano affine, in cui la retta
all'infinito resta ferma, una iperbole, una parabola,
una ellisse, che tagliano la retta all'infinito
rispettivamente in due punti reali e distinti, in due
punti reali e coincidenti, in due punti immaginari si
trasformeranno sempre in una curva del secondo
ordine che taglierà la retta all'infinito rispettivamente
in due punti reali e distinti, in due punti reali e
coincidenti, in due punti immaginari; vale a dire una
iperbole si trasformerà in una iperbole, una parabola
in una parabola, una ellissi in una ellissi.
• nel piano affine parabola, ellisse e iperbole sono
ancora diverse
• Si può facilmente vedere, che, ad esempio, una
ellisse è sempre affine a un cerchio.
46. L’AFFINITA’ E LA
RETTA IMPROPRIA
• Una affinità muta punti propri in punti propri e
punti impropri in punti impropri.
Dunque la retta all’infinito è unita come
sostegno.
• In una omologia affine il punto all'infinito
dell’asse è unito e per questo motivo rette
parallele all’asse si mutano in rette parallele
all'asse.
• Ma vi è anche un altro punto improprio unito,
la direzione di proiezione. Vi sono dunque due
direzioni unite: quella dell'asse e quella di
proiezione. La retta all'infinito, avendo due
punti uniti è unita come sostegno.
• Nel caso di un'omologia affine avente come
retta unita l'asse x e come direzione di
proiezione quella dell'asse y, sono uniti i punti
all'infinito dell'asse x e dell'asse y.
47. CENNI DI GEOMETRIA
PROIETTIVA
• Abbiamo detto che la Geometria proiettiva è lo
studio delle proprietà delle figure che restano
invariate quando su di esse si opera col gruppo
delle proiettività; vale a dire col gruppo più
generale delle trasformazioni che mantengono
le rette.
• Tali trasformazioni conservano, inoltre, il
birapporto di ogni quaterna di punti allineati.
• Nel piano proiettivo non si mantiene il
parallelismo, quindi se si vuole passare da
trasformazioni affini a quelle proiettive basterà
modificare gli assiomi, ed enunciare, al posto
dell’esistenza e dell’unicità della parallela
l’assioma:
• ogni coppia di rette del piano ha un
punto in comune
Le equazioni della proiettività
kx'  ax  by  pz

ky'  cx  dy  qz
kz'  fz  gy  mz

dove k sta ad indicare un fattore di proporzionalità
che nel piano proiettivo consente di ritrovare le
infinite terne proporzionali che rappresentano un
punto.
•Nel piano proiettivo, la retta all’infinito si
può mutare in una retta al finito e viceversa.
Pertanto le coniche diventano tutte
trasformabili l’una nell’altra cioè, nel gergo
utilizzato, sono tutte “uguali”.