fine
Quanto vale
la somma degli angoli interni di
un poligono convesso?
fine
Quanto vale
la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
triangolo
fine
Quanto
Quanto vale
vale
la
la somma
somma degli
degli angoli
angoli interni
interni di
di un
un poligono
poligono
convesso?
convesso?
triangolo
S = 180°
fine
Quanto
Quantovale
vale
la
lasomma
sommadegli
degliangoli
angoliinterni
internidi
diun
unpoligono
poligono
convesso?
convesso?
triangolo
S = 180°
quadrangolo
fine
Quanto
Quantovale
vale
la
lasomma
sommadegli
degliangoli
angoliinterni
internidi
diun
unpoligono
poligono
convesso?
convesso?
triangolo
S = 180°
quadrangolo
S = 180° x 2
fine
Quanto
Quantovale
vale
la
lasomma
sommadegli
degliangoli
angoliinterni
internidi
diun
unpoligono
poligono
convesso?
convesso?
triangolo
S = 180°
quadrangolo
S = 180° x 2
pentagono
fine
Quanto
Quantovale
vale
la
lasomma
sommadegli
degliangoli
angoliinterni
internidi
diun
unpoligono
poligono
convesso?
convesso?
triangolo
S = 180°
quadrangolo
S = 180° x 2
pentagono
S = 180° x 3
fine
Quanto
Quantovale
vale
la
lasomma
sommadegli
degliangoli
angoliinterni
internidi
diun
unpoligono
poligono
convesso?
convesso?
triangolo
S = 180°
quadrangolo
S = 180° x 2
pentagono
S = 180° x 3
esagono
fine
Quanto
Quantovale
vale
la
lasomma
sommadegli
degliangoli
angoliinterni
internidi
diun
unpoligono
poligono
convesso?
convesso?
triangolo
S = 180°
quadrangolo
S = 180° x 2
pentagono
S = 180° x 3
esagono
S = 180° x 4
fine
E in generale?
Se il poligono ha M vertici?
triangolo
S = 180°
quadrangolo
S = 180° x 2
pentagono
S = 180° x 3
esagono
S = 180° x 4
fine
Congettura:
In un poligono convesso con M vertici la somma degli
angoli interni è S = 180° x (M - 2)
triangolo
S = 180°
quadrangolo
S = 180° x 2
pentagono
S = 180° x 3
esagono
S = 180° x 4
fine
Quanto vale
la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
Un’altra strategia
per generare la stessa congettura
fine
Quanto vale
la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
Triangolo
S = 180°
fine
Quanto vale
la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
Triangolo
quadrangolo
S = 180°
S = 180° x 4
- 180° x 2
fine
Quanto vale
la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
Triangolo
quadrangolo
pentagono
S = 180°
S = 180° x 4
- 180° x 2
S = 180° x 5
- 180° x 2
fine
Quanto vale
la somma degli angoli interni di un poligono
convesso?
E quindi:
Triangolo
quadrangolo
pentagono
M-gono
S = 180°
S = 180° x 4
- 180° x 2
S = 180° x 5
- 180° x 2
S = 180° x M
- 180° x 2
= 180° x (M-2)
fine
Congettura:
In un poligono convesso con M vertici la somma degli
angoli interni è S = 180° x (M - 2)
Come possiamo dimostrare che
la congettura vale per ogni M?
fine
COMMENTO
C’è differenza tra le due strategie?
(in vista della dimostrazione)
“vertice”
uso asimmetrico dei
vertici
il ‘nuovo’ vertice deve
essere ‘ben’ collocato
l’esempio ‘generico’ è
dinamico su M
(suggerisce il
passaggio da M a M+1
vertici)
“punto interno”
uso simmetrico dei
vertici
il ‘nuovo’ vertice può
essere ‘ovunque’
l’esempio ‘generico’ è
statico su M
fine
Peano ci aiuta con il
Principio (o Metodo) di Induzione
Matematica
(Assioma dell’Induzione)
Il metodo si compone di due passi:
1. Verifica che la proprietà vale per un numero
naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1)
2. Dimostra che se la proprietà vale per un
numero naturale m allora la proprietà vale per il
successivo di m, cioè m+1
L’assioma afferma che:
Se sono soddisfatte queste due condizioni,
allora la proprietà vale per ogni numero naturale
(a partire dal primo per cui è stata verificata, di
solito 0 o 1 ).
fine
Applico nel nostro caso il
Principio (o Metodo) di Induzione
Matematica
1. Verifico che la proprietà vale per il numero
naturale 3 (il primo della tabella)
nel triangolo la somma degli angoli interni è
S = 180° x (3 - 2) = 180° OK
E ora,
il secondo passo!
fine
2. Dimostro che se la proprietà vale per un
numero naturale m allora la proprietà vale per il
successivo di m, cioè m+1.
Questo è un
poligono con m
vertici.
La somma S degli
angoli interni è:
S = 180° x (m - 2)
(per ipotesi)
fine
2. Dimostro che se la proprietà vale per un
numero naturale m allora la proprietà vale per il
successivo di m, cioè m+1.
Questo è un
poligono con m
vertici.
La somma S degli
angoli interni è:
S = 180° x (m - 2)
(per ipotesi)
S = 180° x (m - 2)
Aggiungo un vertice
(m + 1).
fine
2. Dimostro che se la proprietà vale per un
numero naturale m allora la proprietà vale per il
successivo di m, cioè m+1.
Questo è un
poligono con m+1
vertici.
S = 180° x (m - 2)
fine
2. Dimostro che se la proprietà vale per un
numero naturale m allora la proprietà vale per il
successivo di m, cioè m+1.
Questo è un
poligono con m+1
vertici.
Posso ritagliare un
triangolo.
S = 180° x (m - 2)
fine
2. Dimostro che se la proprietà vale per un
numero naturale m allora la proprietà vale per il
successivo di m, cioè m+1.
Questo è un
poligono con m+1
vertici.
Posso ritagliare un
triangolo.
S = 180° x (m - 2)
fine
2. Dimostro che se la proprietà vale per un
numero naturale m allora la proprietà vale per il
successivo di m, cioè m+1.
Questo è un
poligono con m+1
vertici.
180° + 180° x (m - 2)
= 180° x (m - 1)
= 180° x [(m + 1) - 2]
S = 180° x (m - 2)
fine
2. Dimostro che se la proprietà vale per un
numero naturale m allora la proprietà vale per il
successivo di m, cioè m+1.
Questo è un
poligono con m+1
vertici.
180° + 180° x (m - 2)
= 180° x (m - 1)
= 180° x [(m + 1) - 2]
S = 180° x (m - 2)
E’ fatto anche
il secondo passo!
fine
Allora l’assioma garantisce che la formula per la
somma degli angoli interni
S = 180° x (M - 2)
vale per un poligono con un numero M qualsiasi
di vertici
………………...
180° x (M - 2)