LE DEFINIZIONI
Una definizione è essenzialmente una abbreviazione:
“un quadrilatero con i lati opposti paralleli si dice
parallelogramma”
Esercizio: provare ad enunciare teoremi senza ricorrere a
determinate definizioni
Esempio: “le
diagonali di un
parallelogramma si
incontrano nel punto
medio di entrambe”,
provare ad enunciarlo
senza usare le parole:
diagonali,
parallelogrammi e rette
parallele”
“se le rette che contengono i
lati opposti di un quadrilatero
non hanno punti in comune,
allora i due segmenti che
congiungono ciascun vertice
di quel quadrilatero con il
vertice opposto si incontrano
in un punto che divide
ciascuno di essi in due parti
congruenti”
0. Quando / cosa si definisce?
• Oggetti che siano significativi dal punto di
vista matematico.
ALTEZZA
???
Numeri divisibili per 2  NUMERI PARI
Numeri divisibili per 7  ???
La significatività, soprattutto a livello di
scuola di base, è costruita all’interno
dell’ambiente classe.
Esempi di definizioni poco significative dal
punto di vista matematico e didattico:
• Frazioni ‘apparenti’
• Equazioni ‘spurie’
• …
1. Forma linguistica
• Non sempre permette di riconoscere una
definizione
Un quadrilatero è un poligono con 4 lati.
Un numero divisibile per 6 è divisibile per 2 e per 3.
Un poligono con 4 lati si dice quadrilatero.
2. I termini usati devono essere noti
Un quadrilatero è un poligono con 4 lati.
Devo PRIMA aver definito ‘poligono’ e
‘lati’
In particolare non ci dev’essere
circolarità
I numeri naturali sono i numeri interi positivi.
I numeri interi sono i numeri naturali positivi e
negativi.
Nel linguaggio quotidiano la
circolarità è d’obbligo
Azione: il risultato dell’agire
Agire: ciò che risulta in una azione
Esempio di Luciano Coen e Achille
C. Varzi, La Stampa, 5 marzo 2002
In matematica ci sono oggetti ‘non
definiti’ esplicitamente
• Insieme
• Numero naturale
• Punto, Retta, Piano…
Sono definiti implicitamente attraverso gli ASSIOMI
•…
• Per 2 punti passa una e una sola retta
•…
3. Deve individuare univocamente
l’oggetto
La circonferenza è una linea curva chiusa.
Vale in un contesto che spesso
rimane implicito
Tangente a una curva: retta che interseca la curva
in un solo punto
Un numero pari è un numero divisibile per 2
4
3
???
Non deve dipendere da aspetti non
strutturali
• Un numero irrazionale è un numero con la
radice
25
• Un numero pari è un numero che finisce per 0,
2, 4, 6, 8
10 in base tre
4. Non è una descrizione
• Un martello è uno strumento che serve per
piantare i chiodi; ha un manico di legno e
una parte di metallo, che …
• Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati
uguali e paralleli 2 a 2, 4 angoli uguali e retti,
le diagonali uguali che si tagliano a metà e
perpendicolari, …
Dice solo le cose essenziali, e non quelle che si
possono dimostrare come conseguenza
• Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati
uguali e 4 angoli uguali
• Un quadrato è un quadrilatero che ha 4 lati
uguali e paralleli 2 a 2, 4 angoli uguali e retti,
le diagonali uguali che si tagliano a metà e
perpendicolari, …
Dice solo le cose essenziali, e non quelle che si
possono dimostrare come conseguenza
• Si coglie l’importanza di questo quando si ‘fa’
matematica, ad esempio quando si dimostra
• Dal punto di vista didattico può essere
opportuno in alcuni casi non essere così
‘minimali’. Esempio: definireste i rettangoli
come quadrilateri con 3 angoli retti?
• In ogni caso una stessa definizione si può dare in
modi diversi equivalenti. Esempio: un numero si
dice primo se ha esattamente due divisori, oppure
se è diverso da 1 e divisibile solo per 1 e se stesso
Come non dare definizioni…
• L'altezza del triangolo è la distanza di un
vertice dal lato opposto
• Retta: insieme consecutivo e infinito di
punti aventi sempre la stessa direzione.
• Piano: insieme continuo e infinito di rette.
• Un’ equazione non è altro che una forma
abbreviata di annotazione dei dati di un
problema