Corso di Sistemi e Modelli
Prof. Claudio Cobelli – Gianna Maria Toffolo
A.A. 2014-2015
Introduzione al corso
1
Orario
LEZIONI
Mercoledi
Giovedi
Venerdi
14.30-16.30 aula Ke
10.30-12.30 aula Be
10.30-12.30 aula Le
ESERCITAZIONI Tutor
Venerdi
12.30-14.30 aula Ve
ORARIO RICEVIMENTO
durante il corso: Mercoledi ore 16.30 poi su appuntamento tramite mail
Alcune informazioni
• Corso con due canali:
Canale 1 : prof. Gianluigi Pillonetto - Mauro Bisiacco
Canale 2 : prof. Gianna Maria Toffolo - Claudio Cobelli
• Svolgimento lezioni: 45min lezione + 15min pausa + 45min lezione
• Comunicazioni tramite forum del corso https://elearning.dei.unipd.it/
E’ necessario iscriversi!!!
• Modalità d’esame:
prova scritta identica per entrambi i corsi
gli studenti che hanno superato lo scritto possono-su
richiesta-sostenere una prova orale integrativa, su
TUTTO il programma, nello stesso appello dello scritto
2 appelli nella sessione
1 appello nella sessione
1 appello nella sessione
26 gennaio – 28 febbraio 2015
15 giugno - 25 luglio 2015
24 agosto - 23 settembre 2015
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Alcune regole…
• Il compito scritto ha validità un anno, ovvero il voto deve essere
registrato entro un anno dalla data della prova
• La consegna di un compito scritto annulla la validità di un eventuale
voto positivo conseguito dallo studente in un appello precedente, ma
non l’iscrizione ad un appello e la presenza in aula se poi lo studente
si ritira
• La registrazione dell’esame è un atto ufficiale che richiede la
presenza dello studente. Vengono ammesse deleghe solo in caso di
gravi e provati motivi
• Nelle comunicazioni via e-mail, utilizzare il proprio indirizzo
istituzionale [email protected] (messaggi anonimi NON
saranno presi in considerazione)
4
Testi
Testi di riferimento:
•
Mauro Bisiacco, Gianluigi Pillonetto:
Sistemi e Modelli, Progetto Leonardo,
Esculapio, Bologna 2015
•
Claudio Cobelli, Ewart Carson:
Introduzione alla Modellistica in Fisiologia
e Medicina, Patron, Bologna, 2012
Slides sul sito del corso
5
Testi
Testi per consultazione:
•
L Benvenuti, A De Santis, L Farina: Sistemi
Dinamici, Mc Graw Hill, 2009
•
JA Gubner: Probability and Random Processes
for Electrical and Computer Engineers,
Cambridge Univ Press, 2006
•
E Fornasini, G Marchesini: Teoria dei Sistemi,
Libreria Progetto, Padova
•
K Astrom, R Murray : Feedback Systems: An
Introduction for Scientists and Engineers,
Princeton University Press, 2008. Disponibile
online:
http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/
•
G Picci: Metodi Statistici per l’Identificazione di
Sistemi Lineari, 2011. Disponibile online :
http://www.dei.unipd.it/~picci/IdentAnalisiDati.html
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Prerequisiti
•
Fisica Generale 1 e Fisica Generale 2
Equazioni che regolano la dinamica di sistemi meccanici ed elettrici
•
Segnali e Sistemi
Trasformate di Fourier, Laplace e Zeta; Funzioni di trasferimento, a tempo
continuo e discreto
•
Algebra Lineare e Geometria
Autovettori/autovalori, Matrici definite positive e loro diagonalizzazione
•
Analisi dei dati
Variabili aleatorie gaussiane, calcolo di media e varianza di variabili
aleatorie gaussiane condizionate, regressione lineare
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Sistema
Gruppo o insieme di elementi riuniti da qualche interazione regolare o da una
mutua dipendenza per realizzare un determinato fine (Shannon)
“il tutto è maggiore
della somma delle
singole parti”
(Aristotele)
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Modello
Linguaggio comune: MODELLO = OGGETTO, COMPORTAMENTO CHE SI COPIA
Esempio:
- modello in pittura; modello di virtù
Proprietà:
- completo; perfezione ideale
“più ricco e complesso”
Linguaggio scientifico: MODELLO = SCHEMA TEORICO, STRUTTURA ASTRATTA, LUOGO
DI SIMULAZIONE
Esempio:
- modello di un edificio; modello dell’atomo
Proprietà:
- immagine impoverita del “reale”; astrazione, vengono riprodotti
solo aspetti “rilevanti” dal punto di vista adottato
“più povero e schematico”
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Tipi di modelli
• Modelli mentali
(rappresentazione di un fenomeno)
• Modelli verbali
(descrizione a parole di un fenomeno)
• Modelli fisici
(iconici; leggi della similitudine;
leggi dell’analogia)
• Modelli concettuali
diagrammi, schemi
• Modelli matematici…..
(pianta città- flow chart)
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Modelli Matematici
insieme di relazioni matematiche che descrivono i legami tra le grandezze
del sistema reale, quindi una rappresentazione della realtà con un certo
grado di approssimazione
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Sistemi e modelli dinamici
Evolvono nel tempo
Sono causali, cioè le uscite al tempo t dipendono dalla storia passata degli ingressi
Sono tipicamente modellizzati tramite equazioni differenziali
dx(t ) / dt  f ( x(t ), u (t ), t ) x(0)  x0
y(t )  h( x(t ), u (t ), t )
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PROCESSO DI MODELLIZZAZIONE
SISTEMA
SCOPO
Metodologie modellistiche
MODELLO
13
Perché un modello?
SISTEMA
X
???
Quesito Qx
14
Definizione operativa di modello
4
Risposte RX
SISTEMA
X
1
SCOPI
Risposte RM
M è un modello di X, per un
osservatore, se esso può
utilizzare M per rispondere a
domande su X
Quesiti Qx
Quesiti QM
3
MODELLO
M
2
DESCRIVERE
es.Legge di Ohm V = R x I
INTERPRETARE
se si misurano in due dispositivi un diverso legame I-V ,
si deduce che i valori di R sono diversi
PREDIRE
come sarà V se applico un ingresso I sinusoidale?
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Classi di modelli:
Modelli di Sistema
• Descrivono il funzionamento interno del
sistema sulla base di principi fondamentali
della scienza (fisica, biologia, chimica ecc) e
di ipotesi sulla struttura del sistema (livello di
approssimazione dettato da conoscenze a
priori e natura delle ipotesi)
• Danno informazione sui meccanismi interni
del sistema
• Si parla di scatola bianca (trasparente) se
struttura e parametri del modello sono noti
• Si parla di scatola grigia se i parametri non
sono noti-devono essere identificati dai dati
White box/Gray box
Ingresso farmaco
y = concentrazione
del farmaco
k21
1
plasma
k12
eliminazione
k01
2
tessuti
q (t )  (k  k )q (t )  k q (t )  u (t )
q (0)  0
q (t )  k q (t )  k q (t )
q (0)  0
1
01
2
21
21
1
1
12
12
2
2
1
2
y (t )  q (t ) / V
1
1
Parametri p=[k01, k12, k21, V1]T
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PROCESSO DI MODELLIZZAZIONE
Modelli di Sistema
SISTEMA
Conoscenze a priori
Assunzioni
DATI
Metodologie modellistiche
STRUTTURA
STIMA PARAMETRICA
MODELLO
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Classi di modelli:
Modelli di Dati
ingresso-uscita, black box
• Descrivono la relazione
ingresso-uscita del sistema
senza nessuna (minime) ipotesi
sulla struttura
• Utili se non ci sono conoscenze
sul sistema e comunque se
interessa solo il comportamento
ingresso-uscita, da inferire a
partire dai dati sperimentali
CONCENTRAZIONE
• Non danno informazione sui
meccanismi interni del sistema
15
2
y( t,p)   A ie it
10
i1
5
0
0
20
40
60
80
TEMPO
100
120
140
160
PROCESSO DI MODELLIZZAZIONE
Modelli di Dati
SISTEMA
DATI
Metodologie modellistiche
RELAZIONE
INGRESSO-USCITA
STIMA PARAMETRICA
MODELLO
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Identificazione
PROGETTO DELL’
ESPERIMENTO
ESPERIMENTO
INGRESSO
CONOSCENZE A PRIORI
ASSUNZIONI
• Spesso (gray box/black box) è
necessario stimare il valore dei
parametri del modello dai dati
SISTEMA
USCITA
STRUTTURA
DEL MODELLO
STIMA PARAMETRICA
MODELLO
20
Validazione
PROGETTO DELL’
ESPERIMENTO
ESPERIMENTO
INGRESSO
CONOSCENZE A PRIORI
ASSUNZIONI
SISTEMA
USCITA
STRUTTURA
DEL MODELLO
IDENTIFICAZIONE
ANALISI DEI DATI
• Il modello e' adeguato
per lo scopo per cui e'
stato costruito?
• Qual’è il suo dominio di
validità?
STIMA PARAMETRICA
VALIDAZIONE
MODELLO FINALE
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TIPI DI MODELLI
•
Modelli Statici/Dinamici
•
Modelli Deterministici/Stocastici
•
Modelli Tempo-Invarianti/Varianti
•
Modelli a Parametri Concentrati/Distribuiti
•
Modelli Lineari / Non Lineari
•
Modelli a Tempo Continuo / Discreto
Osservazione: Tutte le combinazioni sono possibili, ad es.:
- Modelli dinamici, deterministici, a parametri concentrati, a tempo continuo;
- Modelli dinamici, stocastici, tempo-varianti, a parametri distribuiti, non lineari, a tempo continuo.
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Ricapitolando : i modelli matematici….
• Descrivono in modo non ambiguo gli
aspetti essenziali del sistema
•
Includono semplificazioni
•
Sono riproducibili
•
Soddisfano uno scopo
•
Permettono (spesso) un’analisi
quantitativa del sistema
•
Sono accessibili, quindi è possibile
modificare e testare il modello
•
Sono universali: utilizzati in tutte le aree
della scienza e dell’ingegneria
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…ma: le regole d’oro
Non esiste il modello, tutti i modelli sono approssimazioni della realtà …
Pertanto è necessario:
• definire il dominio di validità di un modello e non forzarne l’uso al di fuori
• confrontare le predizioni del modello con dati indipendenti da quelli usati per
l’identificazione
• progettare il modello in modo “aperto” in modo da potervi includere nuove
conoscenze
• progettare il modello in modo “trasparente” in modo da poter consentire
facilmente la sua falsificazione
• restare critici e flessibili : avere sempre un modello
più semplice ed uno più complesso di quello proposto
In pratica tutti i modelli sono sbagliati, ma alcuni
sono utili (G.Box)
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Programma del corso
• Modelizzazione di sistemi dinamici tramite equazioni matematiche
• Analisi qualitativa e quantitativa di sistemi dinamici regolati da equazioni
differenziali
• Identificazione gray-box dei parametri incogniti di un sistema dinamico a partire
da dati fisici (misure) e identificazione black-box di modelli di dati tramite
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deconvoluzione
Modellizzazione
• Esempi di sistemi dinamici in vari ambiti (ingegneria, biologia, economia,
metereologia, ecc)
• Definizioni di classi di modelli matematici per sistemi dinamici
Analisi - 1
Sistemi Lineari Autonomi a Tempo Continuo
• Soluzione con esponenziale di matrice
• Forma di Jordan
• Analisi modale
• Traiettorie e punti di equilibrio
• Stabilità: metodo di Lyapunov
dx(t ) / dt (t )  Ax(t ) x(0)  xo
y (t )  Cx(t )
Sistemi NON Lineari
• Linearizzazione
• Estensione del metodo di Lyapunov
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Analisi-2
Sistemi non autonomi lineari
• Evoluzione libera e forzata
• Funzioni di trasferimento
• Punti di equilibrio
Sistemi a tempo discreto
• Analisi modale
• Funzione di trasferimento (ZT)
Modelli compartimentali
• Definizioni
• Proprietà fondamentali
dx(t ) / dt (t )  Ax(t )  Bu(t ) x(0)  xo
y (t )  Cx(t )  Du(t )
x(k  1)  Ax(k )  Bu(k ) x(0)  xo
y (k )  Cx(k )  Du(k )
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Identificazione
Identificabilità a priori
L’esperimento è sufficientemente informativo, ovvero
consente di identificare in modo univoco i parametri del
modello ?
Stimatori: definizioni e proprietà
Stima parametrica
• Stima ai minimi quadrati
• Stima a massima verosimiglianza
Sulla base dei dati sperimentali
disponibili, quali sono i valori dei
parametri e qual è la confidenza che
possiamo associare a tali parametri?
Validazione
Il modello (struttura & valore/precisione dei parametri) è
adeguato allo scopo ?
Deconvoluzione
Dato un sistema, descritto dalla sua risposta impulsiva (nota)
determinare l’ingresso (incognito) che ha prodotto una certa uscita
(misurata)
?????
u(t)
SISTEMA
Risp impulsiva g(t) nota
Misura
t
y( t)   g( t  )u()d

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Programma del corso
• Modellizzazione di sistemi dinamici tramite modelli matematici (prof. G.Toffolo)
slides
• Analisi qualitativa e quantitativa di sistemi dinamici descritti da equazioni
differenziali e alle differenze (prof. G. Toffolo)
M. Bisiacco, G. Pillonetto: Sistemi e Modelli
• Identificazione gray-box dei parametri incogniti di un sistema dinamico a partire da
dati fisici (misure) e identificazione black-box di modelli di dati tramite
deconvoluzione (prof. C.Cobelli)
M. Bisiacco, G. Pillonetto: Sistemi e Modelli
C. Cobelli, E. Carson: Introduzione alla Modellistica….
+
• Esercitazioni in orario di lezione + Tutoraggio extra orario di lezione
slides
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