Il progetto dei regolatori
Ing. Giuseppe Fedele
Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica
Università degli Studi della Calabria
Email: [email protected]
R(s)
E(s)
+
U(s)
C(s)
Y(s)
G(s)
-
H(s)
Un sistema di controllo ad anello chiuso deve soddisfare
delle specifiche assegnate nel dominio del tempo e della frequenza:
precisione
stabilità
velocità di risposta
precisione
• errori a regime in risposta ai segnali tipici
• sensibilità ai disturbi additivi e parametrici
stabilità
Intesa in senso lato di “comportamento dinamico
soddisfacente” in quanto la stabilità in senso stretto
è sempre sottintesa
• massima sovraelongazione nella risposta al gradino
• picco di risonanza
• margini di ampiezza e di fase
• coefficiente di smorzamento dei poli dominanti
velocità di risposta
• tempo di ritardo
• tempo di salita
• tempo di assestamento
• banda passante
Alcune specifiche sono relative
alla risposta a segnali tipici, altri
alla risposta armonica; molti dell’uno
e dell’altro sono, grosso modo,
equivalenti.
L’unico modo per porre in relazione, sia pure in modo
approssimato, i parametri che riguardano la risposta
armonica e quelli che riguardano la risposta a un
segnale tipico è ipotizzare che il sistema in retroazione
si comporti approssimativamente come un sistema del
secondo ordine o comunque abbia un numero limitato
di poli dominanti.
E’ un indice di quanto la risposta a regime
si discosta dal valore desiderato.
Errore a regime
R(s)
E(s)
+
U(s)
K
Y(s)
G(s)
-
H(s)
E ( s )  R( s )  H ( s )Y ( s)
Ma:
Y ( s)  KG( s) E ( s)
E ( s) 
R( s)
1  KG( s) H ( s)
E ( s)  R( s)  KG( s) H ( s) E ( s)
E(s)1  KG(s) H (s)  R(s)
E  lim sE ( s )
s 0
R(s)
E(s)
+
Errore a regime
Y(s)
G(s)
-
Da un punto di vista teorico l’obiettivo non
può essere mai raggiunto.
Infatti se per assurdo
E(s)=0,
allora
Y(s)=G(s)E(s)=0
e
H(s)Y(s)=0.
Per cui
E(s)=R(s)-H(s)Y(s)=R(s)
contro l’ipotesi che E(s)=0.
H(s)
Margini di stabilità
Più il diagramma di Nyquist di un sistema stabile ad anello
aperto si mantiene distante dal punto critico (-1,0), tanto più
grande risulterà il margine di sicurezza per la stabilità del
sistema ad anello chiuso.
Si introducono pertanto due parametri detti margine di
guadagno e margine di fase, atti a misurare la stabilità
relativa di un sistema di controllo retroazionato.
Rappresenta il massimo aumento di sfasamento in ritardo
che può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima
che si raggiunga la condizione di instabilità.
Margine di fase
R(s)
E(s)
+
Y(s)
G(s)
-
H(s)
c : L(ic )  1
m    arg L(ic )
L’angolo che manca alla fase della funzione
d’anello per raggiungere π in corrispondenza
della pulsazione di cross-over, cioè della
pulsazione in cui il modulo di L(iω) è unitario.
m  0
Il diagramma polare di L(iω) passa per il punto critico
m  0
Il diagramma polare di L(iω) contiene il punto critico
Margine di guadagno
R(s)
E(s)
+
Rappresenta il massimo aumento di guadagno che può
tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si
raggiunga la condizione di instabilità.
Y(s)
G(s)
-
H(s)
 : arg L(iωc )  
1
gm 
L(i )
Rappresenta di quanto l’ordinata sul
diagramma di Bode del modulo di L(iω)
sta al di sotto dell’asse ω in corrispondenza
della pulsazione  .
L(i )  1 
Il sistema è stabile
Criterio di stabilità di Bode

gm


3
 
2
m
CNES affinché un sistema retroazionato sia
asintoticamente stabile è che il modulo della fdt
ad anello aperto L(s), valutato alla pulsazione
 sia minore dell’unità, ovvero, ragionando in
db, minore di 0.
CNES affinché un sistema retroazionato sia
asintoticamente stabile è che la fase della fdt
ad anello aperto L(s), valutata alla pulsazione di
cross over c , per cui il modulo di L(s) risulta
unitario, cioè nullo in db, e misurata in senso
antiorario, sia in valore assoluto minore di π.
Criterio di stabilità di Bode
c
c

m

Coefficienti di sensibilità
Variazioni parametriche su G
Coefficienti di sensibilità
Variazioni parametriche su H
Funzione di sensibilità
Banda passante
Dai diagrammi di Bode dei moduli, abbiamo visto tipologie di sistemi come:
1
2
0
1
3
2
1
2
1
Sistama PASSA-BASSO
Attenua tutte le sinusoidi con   0; lascia invariate quelle con   0 .
2
Sistama PASSA-BANDA
Attenua tutte le sinusoidi con   1 e   2 .
3
Sistama ARRESTA-BANDA
Attenua tutte le sinusoidi con   1 , 2  .
Banda passante
Si definisce LARGHEZZA DI BANDA
l’intervallo di frequenze in cui il modulo della funzione di
trasferimento ad anello chiuso non è mai inferiore a 3db del
valore che esso assume quando ω=0 rad/sec.
La retroazione aumenta la larghezza di banda (ma
diminuisce il guadagno a centro banda).
Osservazione:
G( s) 
K
1  s
t 
1

K
K
G( s)
K
W ( s) 
 1  s 
 K 1
1  G( s) 1  K
1  s  K 1  s 
1  s
K 1
t 
K 1

Banda passante e coefficiente di smorzamento
1
G (i ) 
 2 

1  2   i 2
  
n
n 

G (i ) 
20 log 10 K  3db
1
2
   

1  2    2

  
 n 
n 

2
2

K
1
2
1
2
4
2
2
1  4  2 2  4 2  2
n
n
n
2
4

2


4

 2 2  1  0
4
n
n
2
2
4
2



1

2


4


4

2
2
n
L’unica soluzione accettabile è quella positiva.
Banda passante e coefficiente di smorzamento
t  n 1  2 2   4 4  4 2  2
La banda passante è dunque proporzionale alla pulsazione naturale
ed è funzione del coefficiente di smorzamento.
Diminuisce all’aumentare del coefficiente di smorzamento.
1

2
t
1
n
Banda passante e tempo di salita
Abbiamo già visto che il tempo di salita aumenta all’aumentare del
coefficiente di smorzamento:
Tr 
  arctan
1 
n 1  
50
2
n  1
40

30
2
lim Tr 
 0

2n
20
10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Esiste quindi un certo legame tra la banda passante e la
prontezza del sistema (intesa come tempo di salita).
Più la banda passante del sistema è grande, più il sistema
è pronto (cioè i tempi di salita sono piccoli).
Esiste una relazione empirica tra tempo
di salita e banda passante:
0.45
t 
Tr
Correlazione tra coefficiente di smorzamento e
margini di stabilità
R(s)
E(s)
+
n 2
G ( s) 
s s  2n 
Y(s)
G(s)
-
n
Y ( s)
 2
R( s) s  2n s  n 2
2
Abbiamo visto che:

  0,

1 
2 
r  n 1  2 2
Mr 
Pulsazione di risonanza
1
2 1   2
Picco di risonanza
Un picco di risonanza elevato, indica la presenza di una coppia
di poli dominanti, a ciclo chiuso, con un basso coefficiente di
smorzamento, che potrebbero generare una risposta transitoria
non desiderata.
Correlazione tra coefficiente di smorzamento e
margini di stabilità
 : arg G(iωc )  
c : G(ic )  1
gm 

1
G(i )
c
G (i ) 
1
gm
G (i )  
1
gm
m    arg G(ic )
G(ic )  G(ic ) ei arg G (ic )
G (ic )  e i  m  
Correlazione tra coefficiente di smorzamento e
margini di stabilità
W i  
G i 
1  Gi 
W i  
G i 
1  G i 
lim W i   
g m 1
W i0  1
Altrimenti non inseguirei
il segnale di ingresso.
1
gm
1


gm 1
1
1
gm
Un buon margine di ampiezza assicura un buon
coefficiente di smorzamento.
Correlazione tra coefficiente di smorzamento e
margini di stabilità
W ic  



G ic 
1  G ic 
1
1  cos  m  i sin  m
1
cosm     cos m cos   sin m sin    cos m
sin m     sin m cos   cos m sin    sin m
1  2 cos  m  cos 2  m  sin 2  m
1
21  cos  m 
lim W ic   
 m 0
1

1  cos m     i sin  m   
Un buon margine di fase assicura un buon
coefficiente di smorzamento.
Correlazione tra coefficiente di smorzamento e
margini di stabilità
Margini di stabilità
piccoli

1
2
W i   1
W ic   1
W(iω)
ha un massimo
Correlazione tra risposta transitoria al gradino e
risposta in frequenza per un sistema del
secondo ordine
R(s)
E(s)
+
G(s)
-
La funzione di trasferimento G(s) assume modulo
unitario in corrispondenza della pulsazione
  n
Y(s)
n 2
G ( s) 
s s  2n 
1  4 4  2 2
In corrispondenza di tale pulsazione, la fase vale
arg Gi   

2
1  4 4  2 2
2
 arctan
Quindi il margine di fase del sistema è
 m    arg G i  


2
 arctan
 arctan
1  4 4  2 2
2
2
1  4 4  2 2
Correlazione tra risposta transitoria al gradino e
risposta in frequenza per un sistema del
secondo ordine
m  arctan
 m  100
2
1  4 4  2 2
0    0.6
Cancellazione SI/NO?
G( s) 
1
( s  10)( s  1)
C ( s) 
s  (1   )
s 1
s  (1   )
Aˆ
Bˆ
Cˆ
C ( s )G ( s ) 



( s  10)( s  1)( s  1) s  10 s  1 s  1
s  (1   )

Cˆ  lim

 ˆ
s 1 ( s  10)( s  1)
22
y (t )  Aˆ e
10t
 t
 Be  ˆ et
Non si può mai cancellare
un polo instabile!!!
Reti correttrici
Quando il progettista deve soddisfare le specifiche
assegnate, deve modificare la configurazione del sistema
introducendo, in punti opportuni della catena, reti elettriche
di tipo passivo o attivo al fine di migliorare le prestazioni
statiche e dinamiche del sistema.
Rete ritardatrice
Condensato re :
Rete ritardatrice
dvC (t )
dt
I C ( s )  sCVC ( s )  Cv(0)
iC (t )  C
1 

Vi ( s )  R1 I ( s )   R2 
 I (s)  0
sC 

V (s)
I (s)  u
1
R2 
sC
R1
Vi ( s ) 
Vu ( s )  Vu ( s )  0
1
R2 
sC
1
R1  R2 
sC V ( s )
Vi ( s ) 
u
1
R2 
sC
VC ( s ) 1

I C ( s ) sC
Rete ritardatrice
Vu ( s )
1  sR2C
G(s) 

Vi ( s ) 1  sR1  R2 C
Posto:

R2
1
R1  R2
  R1  R2 C
 o  
 p 
1  s
G ( s) 
1  s
  
1


1

Viene prima il polo e poi lo zero.
o

p
Rete ritardatrice
G (i ) 
1  i
1  i
G(i ) 
Effetto utile:
1   2 2 2
1 
2
2
lim G(i )  1, lim G(i)  
 0
 
Attenuazione alle alte frequenze con
sfasamento, praticamente trascurabile
Rete ritardatrice
Per simmetria  m è centrale rispetto a
è logaritmica:
log m 
log
1

 log
2
1
1
1
e
, ma poiché la scala
 
1
2
  1 log 1  log  1   log 1
2
2
 2
 
  
m 
1
 
G(im )  
Rete ritardatrice
Il diagramma di Nyquist di
1  i 1
G (i ) 
1  i 2
Rete ritardatrice
G (i ) 
1  
è una circonfere nza di centro c  1  1 
2  2 
1  i
1  i
e raggio r 
1

1 1
2
2
1
1   
2
1
1
r  1 
, poichè 0    1
2
2
c

1
c
r

m

Il massimo ritardo di fase che si può ottenere
dalla rete è l’angolo che la tangente al cerchio
forma con l’asse reale:
r
c
sin 
1
  arcsin
1 
Rete ritardatrice
Lo stesso risultato si ottiene anche per via analitica:
arg G i   arctan   arctan  
d arg G i 




0
2 2 2
2 2
d
1    1 
 1   2 2    1   2 2 2   0
   2 2  1   2 2 2  0
  1    1 2 2  0
 2 2  1  0
m  
1
 
Rete ritardatrice
Tuning pratico della rete
Il progetto della rete ritardatrice può praticamente
essere eseguito imponendo l’attraversamento ad una
pulsazione desiderata senza alterare di troppo la fase.
1) Dai diagrammi di Bode della fdt di anello L(iω) si calcola la pulsazione ω* a
cui corrisponde un margine di fase pari al margine di fase desiderato (φm*),
aumentato di un margine di sicurezza (5-10°) per compensare le
approssimazioni
* : arg Li*     m*  5 10
2) La rete deve far sì che a questa pulsazione il guadagno d’anello diventi
unitario e quindi si impone che il fattore di attenuazione introdotto sia
o
o
1
1
 
oppure
20log

p
 p Li * 
Li * 
db
3) Affinché lo sfasamento della rete non influenzi in modo apprezzabile la
pulsazione di attraversamento, si pone 1
4) Si ricava
p 
o

o
 0.1 *
Rete ritardatrice
Osservazioni:
Se mettessi lo zero della rete proprio nel punto in
cui voglio avere la nuova intersezione, lo
sfasamento introdotto dalla rete peggiorerebbe il
margine di fase. Posso però spostare lo zero una
decade prima del punto che ho scelto in modo che
lo sfasamento intervenga prima.
1
1
p
o
Rete ritardatrice
Osservazioni:
L’inconveniente della rete è la riduzione del
guadagno alle alte frequenze, cioè della larghezza
di banda che si traduce in una risposta transitoria
meno pronta.
Rete ritardatrice
Formule di inversione
L’obiettivo è identificare delle formule per il progetto dei
gradi di libertà al fine di assegnare una certa pulsazione
di attraversamento e un certo margine di fase desiderati.
Dati valori desiderati
M
*
,  * , c
*

con
0  M * 1


2
 *  0
identificare delle formule per trovare i parametri (α,τ) della rete che alla
pulsazione ω= ωc* attenui di M* e sfasi di φ*.
Rete ritardatrice
Formule di inversione
1  ic
* i *
*
*
*
C (ic ) 

M
e

M
cos


i
sin

*
1  ic

*
*



M * cos  *  i sin  * 1  ic  1  ic
 M * sin  *

  M * cos  *

*
*
0  c *   M * cos  *  1



*
*
*




1  c   M sin  
1
 c *   M * sin  *
0   M * cos  *  1


 

*
*
*
*
*




  

M
cos

1
M
sin


 

c 

1
*
cos   *
*
*
M

cos

M

 
*
*
c sin 
c * sin  *

Rete ritardatrice
1
cos   *
M

c * sin  *
*
Formule di inversione
M *  cos  *
 
c * sin  *
M *  cos  *

1
*
cos   *
M
Mentre è facile verificare che il range dei parametri garantisce α<1 e τ>0, per
avere α>0, occorre che M* <cos φ*, infatti:
M *  cos  *  0
cos  * 
1
0
*
M
1
*
*

cos


M
M*
impossibil e M *  1


M *  cos  *  0
1
cos  *  *  0
M
1
M *  cos  *  *
M
Rete ritardatrice
Formule di inversione
Rete ritardatrice
Formule di inversione
Dati del problema
• funzione d’anello L(s)
• pulsazione di attraversamento desiderata ωc* e margine di fase desiderato φm*
Algoritmo per il progetto della rete ritardatrice
Step1:
Calcolare
 
arg Li 
L i c
*
*
c
 
 L ic*
db
Step2:
Calcolare
M  10 20
 *     m*  arg L ic*
verificando
 M * 1

 
*
    0
 2*
*
 M  cos 

*
 
 Li 
*
c
db
0

arg Li      
*
c
Step3:
Calcolare (α,τ) mediante le formule di inversione.
*
m
Esempio
(Rete ritardatrice)
R(s)
G( s) 
10 K
(0.1s  1) 2
Determinare il valore di K ed i parametri di una rete
ritardatrice da inserire in modo da soddisfare le
seguenti specifiche:
- Errore a regime al gradino unitario minore del 1%
- Margine di fase di circa 45°
E(s)
+
Y(s)
G(s)
-
Esempio
(Rete ritardatrice)
R(s)
E(s)
+
G( s) 
10 K
(0.1s  1) 2
G(s)
-
10 K
E (s)
2
(0.1s  1)
R( s)
E ( s) 
10 K
1
(0.1s  1) 2
E ( s)  R( s) 
1

10 K
1
(0.1s  1) 2
1

 0.01
1  10 K
e  lim e(t )  lim sR ( s )
t 
s 0
1
s 0
10 K
1
(0.1s  1) 2
1  10 K  100
 lim
K  9.9  10
Y(s)
Esempio
(Rete ritardatrice)
Verifichiamo la stabilità al variare di K
10 K
10 K
(0.1s  1) 2
W (s) 

2
10 K
0
.
01
s
 0.2 s  1  10 K
1
(0.1s  1) 2
1  10 K  0
1
K 
10
Esempio
(Rete ritardatrice)
100
0.01s 2  0.2 s  1
100
L(i ) 
1  0.01 2   i0.2
100
L(i ) 
1  0.01 2 2  0.04 2
L( s ) 
c : L(ic )  1
c  99.4987
arg L(ic )  -2.9413
 -168
 m  11.5
arg L(i )  2 arctan 0.1 
Esempio
(Rete ritardatrice)
Calcoliamo la pulsazione ωc* in cui la fase vale -135°
 c * 
3
 
 2 arctan 

10
4


c *
3
 tan 
10
8
3
c  10 tan   24.14 rad/sec
8
*
In corrispondenza di ωc* il modulo della funzione di anello vale
L(ic )  14.65
*
Si impone quindi che il fattore di attenuazione della rete sia
M 
*
1
L(ic )
*
 0.068
Esempio
(Rete ritardatrice)
o
1
 
 0.068
*
p
Li 
o 
1
 0.4142
*
0.1c
Si ricava
C ( s) 
p 
0
 6.09

0.4142 s  1
6.09 s  1
Esempio
(Rete ritardatrice)
Sistema non compensato
Esempio
(Rete ritardatrice)
Sistema compensato
Esempio
(Rete ritardatrice)
Rete ritardatrice
(mfile 1)
Rete ritardatrice
(mfile 1)
Rete ritardatrice
(mfile 1)
Rete ritardatrice
(mfile 1)
Rete ritardatrice
(mfile 1)
Rete ritardatrice
(mfile 1)
Rete ritardatrice
(mfile 2)
Rete ritardatrice
(mfile 2)
Rete anticipatrice
Rete anticipatrice
G ( s) 

Vu ( s )
R2
R2



1
R1
Vi ( s ) R 
R

2
2
1
1  sR1C
 sC
R1
R2 1  sR1C 

R1  R2  sR1 R2C
R2
1  sR1C

R1  R2 1  s R1 R2 C
R1  R2
R
G(s)  
1  s
1  s
o 1

p 
2


1
Posto:
R1  R2
  R1C
o 
 p  
  
1


1

Viene prima lo zero e poi il polo.
Rete anticipatrice
G (i ) 
1  i
1  i
Si è introdotta una
correzione di guadagno
pari a 1/α.
G(i ) 
Effetto utile:
1   2 2
1   2 2 2
lim G (i )  1, lim G (i ) 
 0
 
Sfasamento positivo; purtroppo il
picco di fase è associato ad una
amplificazione
1

Rete anticipatrice
Per simmetria  m è centrale rispetto a
è logaritmica:
log m 
log
1

 log
2
1
1
e
, ma poiché la scala
 
1
1
2
  1 log 1  log  1   log 1
2
2
 2
 
  
m 
1
 
G (im ) 
1

Rete anticipatrice
Rete anticipatrice
La rete anticipatrice ha l’effetto di aumentare il guadagno alle alte
frequenze e quindi la larghezza di banda del sistema in retroazione.
Produce, cioè, uno sfasamento in anticipo che fa sì che il diagramma di
Nyquist della funzione d’anello si allontani dal punto critico. Maggiore
guadagno complessivo che tende a destabilizzare il sistema anche se
consente di ottenere risposte più pronte.
Il diagramma di Nyquist di
1  i 1
G (i ) 
1  i 2
Rete anticipatrice
G (i ) 
1  
è una circonfere nza di centro c  1  1 
2  2 
1  i
1  i
e raggio r 
1

1 1
2
2
1
1   
2
1
1
r  1 
, poichè 0    1
2
2
c

m
r
c

 1
Il massimo anticipo di fase che si può ottenere
dalla rete è l’angolo che la tangente al cerchio
forma con l’asse reale:
r
c
sin 
1
  arcsin
1 
Rete anticipatrice
Vediamo come si effettua la compensazione mediante
rete anticipatrice.
R(s)
Tuning pratico della rete
10 K
G( s) 
(0.1s  1) 2
Consideriamo il sistema già visto in precedenza,
dove si è posto K=10 per soddisfare la specifica
relativa al grado di precisione.
E(s)
+
Y(s)
G(s)
-
Rete anticipatrice
Tuning pratico della rete
Si aumenta la pendenza di L(iω) da -40dB/dec a 20dB/dec in prossimità di una pulsazione ω1 situata
sufficientemente a sinistra di ωc, in modo da poter
prevedere che alla nuova pulsazione di cross-over
ωc’, a cui il diagramma del modulo così modificato
taglierà l’asse 0dB, la fase si aumentata della quantità
sufficiente a garantire il margine di fase richiesto.
1
c
c '
2
Rete anticipatrice
Tuning pratico della rete
1) Dai diagrammi di Bode della fdt di anello L(iω) si calcola la pulsazione ωc di
cross-over ed il margine di fase corrispondente Mφ.
2) Si calcola l’anticipo di fase φm necessario per avere un margine di fase pari a
quello desiderato più una quantità di sicurezza:
 m  M F  M   5  10
Specifica
φm viene sommata alla fase di L(s) in corrispondenza
della nuova pulsazione di cross-over ωc’ del sistema
compensato e tale fase risulta inferiore a quella valutata
in ωc, essendo ωc’ > ωc.
Rete anticipatrice
Tuning pratico della rete
3) Si calcola il valore del parametro α della rete:
 m  arcsin
1
1 
1
1 
sin  m   sin  m  1  
sin  m 
 1  sin  m   1  sin  m

1  sin  m
1  sin  m
Rete anticipatrice
Tuning pratico della rete
4) Dal diagramma si determina la nuova pulsazione di cross-over
c ' :
 
L ic
'

5) Si ricavano le costanti di tempo della rete
o 
 p  
p

o
1
o 
c '  m 
0 
p

o
1
c ' 
 p   o 

c '
Rete anticipatrice
Tuning pratico della rete
Per la fdt L(s) scelta come esempio, essendo il margine di fase circa 11° e volendo
aumentarlo a 45°, si deve scegliere per α un valore da garantire un anticipo di fase
di 45°-11°=34°.
 m  40  
1  sin  m
 0.22
1  sin  m
Si calcola quindi la pulsazione ωc’ imponendo che il modulo di L(iω) in ωc’ valga 
100
 0.22
2
1  0.1
 
1  0.1   213
2
  c ' 
212
 146 rad/sec
0.1
Rete anticipatrice
Tuning pratico della rete
Si ricavano quindi le costanti di tempo della rete
o 
 p  
c '  m 
1
0 
p

o

p
o
o 
1
c 
'
 p   o 
 0.0146

 0.0032
'
c
Rete anticipatrice
(mfile 1)
Rete anticipatrice
(mfile 1)
Rete anticipatrice
(mfile 1)
Rete anticipatrice
(mfile 1)
Rete anticipatrice
(mfile 1)
Rete anticipatrice
(mfile 1)
Rete anticipatrice
(mfile 1)