PAS A059
a.a. 2013/14
DIDATTICA
DELLA MATEMATICA
Dalle regole ai perché
Lezione 1: 18 marzo 2014
Rosetta Zan
Dipartimento di Matematica, Pisa
[email protected]
DIDATTICA DELLA MATEMATICA (6CFU, 36 ore)
Docente: Rosetta Zan
Tutor: Lucia Stelli
Obiettivi:
Il corso vuole essere un approfondimento di alcune problematiche relative all'apprendimento e
insegnamento della matematica. A partire dal modello di apprendimento come attività
costruttiva e da altre teorie che evidenziano la complessità del processo di apprendimento e
quindi di insegnamento, verranno analizzate le implicazioni che ne derivano per
l’insegnamento della matematica, sottolineandone i legami con le Indicazioni Nazionali.
Argomenti:
Dalle regole ai perché
La parola ‘regola’ nella pratica didattica. Visione strumentale e relazionale della matematica.
Assiomi, teoremi, definizioni, convenzioni, algoritmi: il punto di vista matematico e il punto di
vista didattico.
L’apprendimento come attività costruttiva e implicazioni
L’interpretazione dell’errore: misconcetti, linguaggio matematico e linguaggio quotidiano,
razionalità diverse, convinzioni, emozioni, atteggiamenti. L’errore come risorsa didattica.
L’attività di risoluzione di problemi
Che cos'è un problema. Le scelte dell'insegnante nell'attività di risoluzione di problemi: gli
obiettivi, le modalità d'uso, la struttura dei problemi. Comportamenti 'patologici' nella
risoluzione di problemi e loro interpretazione. I processi di rappresentazione e soluzione. La
comprensione di un problema. La formulazione del testo di un problema.
Metodologia:
All’interno del corso sono previsti momenti di attività laboratoriali, in cui gli strumenti
teorici di didattica introdotti verranno approfonditi nel contesto degli obiettivi di
apprendimento delle Indicazioni Nazionali e dei quattro Ambiti (Numeri, Spazio e
figure, Relazioni e funzioni, Dati e previsioni).
Valutazione finale:
L’esame si svolgerà in forma scritta e orale.
Testi di riferimento:
Indicazioni Nazionali per il curricolo della scuola dell’infanzia e del primo ciclo di
istruzione.
Materiali sul sito: http://www.umi-ciim.it/materiali-umi-ciim/primo-ciclo/
Quaderno: Geometria e multimedialità (contributo di Mario Ferrari).
Quaderno: Aritmetica (contributi di Mario Ferrari e Pierluigi Ferrari).
Quaderno: I temi ‘nuovi’ nei programmi di matematica (probabilità, statistica,
logica,…) e il loro inserimento nel curriculum (contributi di Maria Sciolis Marino e
Roberto Tortora)
Zan R. (2007). Difficoltà in matematica: osservare, interpretare, intervenire. Springer,
Milano (Capitoli 1, 2, 3, 4, 6,7)
Per le lezioni di Didattica della matematica
• Portate ogni volta il vostro libro di testo (è
sufficiente un volume)
• Portate le Indicazioni Nazionali
• Compito per casa:
Ogni volta alla fine della lezione scrivete in 2-3
righe cosa vi ha colpito di più e perché  Note
Attività 1 (individuale)
• Fai l’esempio di una regola di matematica
che in genere insegni.
Indicazioni Nazionali (p.60)
Di estrema importanza è lo sviluppo di
un’adeguata visione della matematica, non
ridotta a un insieme di regole da
memorizzare e applicare, ma riconosciuta e
apprezzata come contesto per affrontare e
porsi problemi significativi e per esplorare e
percepire relazioni e strutture che si
ritrovano e ricorrono in natura e nelle
creazioni dell’uomo.
La parola ‘regola’…
• Non appartiene al linguaggio della
matematica, che ha altre parole:
– Teorema
– Definizione
– Algoritmo
– Convenzione
–…
• Ma appartiene al linguaggio quotidiano, e
anche a quello della pratica didattica
Le nostre domande
• Cosa vuol dire “visione della matematica ridotta a un
insieme di regole da memorizzare e applicare”?
• Cosa si intende per ‘regole’?
• Perché nelle I.N. una “visione della matematica
ridotta a un insieme di regole da memorizzare e
applicare” è considerata negativa?
• Da cosa proviene una visione di quel tipo? Da quali
esperienze? Da quali pratiche?
• Come si può prevenire / scardinare tale visione?
Regola (dizionario Hoepli)
1. Norma dell'agire che prescrive il modo in
cui comportarsi in determinate
circostanze: trasgredire, violare, rispettare
FARE
la r.; le regole del gioco; le regole della
buona educazione
DOVERE
2. Nei vari campi di attività e discipline
scientifiche, precetto a cui attenersi per
raggiungere un determinato scopo o per
risolvere correttamente un problema: le
regole della matematica
Nell’insegnamento della matematica…
…possiamo distinguere 2 tipi di regole:
•Regole ‘socio-matematiche’
Regole che l’insegnante (o il libro di testo) fa seguire
all’allievo nel contesto della matematica.
Ad esempio: quando si introduce il sistema posizionale
far colorare di colori diversi le cifre che sono in posizioni
diverse
•…altre regole
Attività 2 (a coppie)
• Ognuno fa l’esempio di una regola di tipo
socio-matematico che utilizza in classe, e
la motiva, cioè spiega perché ritiene
opportuno farla seguire dagli allievi.
• Quindi l’altro dà una valutazione di tale
scelta (adeguata / non adeguata),
motivandola (vantaggi, svantaggi, rischi).
DISCUSSIONE
Le regole socio-matematiche
nei libri di testo
DATI
OPERAZIONI
I problemi sono un po’ noiosi
perché metti più tempo a disegnare
la figura, a scrivere i dati che a
risolvere il problema stesso.
(Marco, 5a primaria)
Passi
(INVALSI 2008, 5a primaria)
Maria, Renato e Fabio misurano a passi la
lunghezza della loro aula.
Maria conta 26 passi, Renata ne conta 30 e
Fabio 28.
Chi ha il passo più lungo?
DATI?
OPERAZIONE?
Nell’insegnamento della matematica…
…possiamo distinguere 2 tipi di regole:
•Regole ‘socio-matematiche’
Regole che l’insegnante (o il libro di testo) fa seguire
all’allievo nel contesto della matematica.
Ad esempio: quando si introduce il sistema posizionale
far colorare di colori diversi le cifre che sono in posizioni
diverse
•…altre regole
Attività 3 (a gruppi)
1) Nella tabella sono riportate risposte date da docenti
di primaria e secondaria di 1° grado alla richiesta:
Fai l’esempio di una regola di matematica che in
genere insegni.
•Compilate la tabella.
•Cercate di classificare le risposte date dagli insegnanti
in base a criteri che considerate significativi.
•Annotate le vostre riflessioni.
DISCUSSIONE
- Norma dell'agire che prescrive il modo in
cui comportarsi in determinate circostanze
Esempi:
•Calcolo letterale: ‘sviluppo’, ‘metto in evidenza’
•Sistema: trovo (cerco di trovare) le soluzioni
•…
- Precetto a cui attenersi per raggiungere un
determinato scopo
Esempi:
•Algoritmi
•Procedura per risolvere un problema (che diventa quindi un esercizio)
•…
- Norma dell'agire che prescrive il modo in
cui comportarsi in determinate circostanze
Se, quando…
+ descrizione di come procedere
- Precetto a cui attenersi per raggiungere un
determinato scopo
Per …
trovare (calcolare, …) bisogna (si deve, …)…
INDICATORI LINGUISTICI
Nelle risposte che abbiamo esaminato
Compaiono le 2 accezioni:
• come comportarsi in certe circostanze
(caso particolare: le convenzioni)
• come comportarsi per raggiungere uno scopo
Ma compare anche:
•‘regola’ per descrivere una proprietà, qualcosa
che succede con ‘regolarità’ (e, nel linguaggio
quotidiano, prevede eccezioni!)
• ‘regola’ come etichetta per qualsiasi enunciato
della matematica, anche definizioni
Nelle risposte che abbiamo esaminato
Compaiono le 2 accezioni:
• come comportarsi in certe circostanze
(caso particolare: le convenzioni)
• come comportarsi per raggiungere uno scopo
Ma compare anche:
•‘regola’ per descrivere una proprietà, qualcosa
che succede con ‘regolarità’ (e, nel linguaggio
quotidiano, prevede eccezioni!)
• ‘regola’ come etichetta per qualsiasi enunciato
della matematica, anche definizioni
Nelle risposte che abbiamo esaminato
Compaiono le 2 accezioni:
• come comportarsi in certe circostanze
(caso particolare: le convenzioni)
Nelle risposte che abbiamo esaminato
• come comportarsi per raggiungere uno scopo
Nelle risposte che abbiamo esaminato
Ma compare anche:
•‘regola’ per descrivere una proprietà, qualcosa
che succede con ‘regolarità’ (e, nel linguaggio
quotidiano, prevede eccezioni!)
P7. Un gruppo da 10 si chiama DECINA e si scrive DA.
Non è una ‘proprietà’
Ma in mancanza di INDICATORI LINGUISTICI
può non esser chiaro se un enunciato è una
‘proprietà’ o una ’definizione’
P4. Il perimetro è la misura del contorno.
S9. La somma degli angoli interni di un triangolo è
180°.
Nelle risposte che abbiamo esaminato
• ‘regola’ come etichetta per qualsiasi enunciato
della matematica, anche definizioni
Riassumendo
0. Regole socio-matematiche
1. ‘regola’ come etichetta per tutto quello che
riguarda la matematica
2. ‘regola’ come proprietà
3. ‘regola’ come modo di comportarsi in una
certa situazione
4. ‘regola’ come modo di comportarsi per
raggiungere uno scopo
CONSEGUENZE?
0. Regole socio-matematiche
1. ‘regola’ come etichetta per tutto quello che
riguarda la matematica
2. ‘regola’ come proprietà
3. ‘regola’ come modo di comportarsi in una
certa situazione
4. ‘regola’ come modo di comportarsi per
raggiungere uno scopo
CONSEGUENZE?
0. Regole socio-matematiche
1. ‘regola’ come etichetta per tutto quello che
riguarda la matematica
2. ‘regola’ come proprietà
3. ‘regola’ come modo di comportarsi in una
certa situazione
4. ‘regola’ come modo di comportarsi per
raggiungere uno scopo
Un numero è divisibile per 3 se e solo se
la somma delle sue cifre è divisibile per 3.
“FATTO”
MATEMATICO
diventa
Per vedere se un numero è divisibile per
3 bisogna sommare le sue cifre: se
questa somma è divisibile per 3, lo è
anche il numero di partenza.
comportamento da seguire
REGOLA
PESO LORDO = PESO NETTO + TARA
Per trovare il peso lordo si
deve fare:
PESO NETTO + TARA
Per trovare il peso netto si
deve fare:
PESO LORDO - TARA
…tante e diverse, a seconda dell’obiettivo
“FATTO”
MATEMATICO
REGOLA
…REGOLE
Per trovare la tara si deve fare:
PESO LORDO – PESO NETTO
In un triangolo rettangolo la somma delle
aree dei quadrati costruiti sui cateti AB e
AC è uguale all'area del quadrato
costruito sull'ipotenusa BC.
2
2
a = b +c
B
A
C
“FATTO”
MATEMATICO
diventa
Per trovare l’ipotenusa BC di un
triangolo rettangolo conoscendo i
cateti AB e AC bisogna…
2
2
a = b +c
Per trovare il cateto AC
conoscendo l’ipotenusa BC e
l’altro cateto AB bisogna…
2
2
b = a -c
REGOLE
Per trovare il cateto AB
conoscendo l’ipotenusa BC e
l’altro cateto AC bisogna…
2
2
c = a -b
I ‘FATTI’ DELLA
MATEMATICA
Teorema di
Pitagora
Proprietà
delle potenze
…..
Area del rettangolo:
A=bxh
Criterio di
divisibilità per 3
DIVENTANO
REGOLE
- dovere
- fare
…
Due approcci diversi
INSEGNARE LE REGOLE
• sorvolando sui fatti che le
originano
• ignorando i perché di tali
fatti
• spesso ignorando anche le
relazioni:
INSEGNARE I ‘FATTI’…
… e come utilizzarli in vista di
un obiettivo
 competenze
– fra regole e fatti
– fra le regole
Conseguenze:
-enfasi sul ricordare, invece che sul riflettere, ragionare
-la regola enfatizza il ’dover fare’, nei 2aspetti: agire e dovere
-la matematica è percepita come insieme di regole scollegate,
una disciplina normativa e compulsiva