Analisi spettrale nel dominio delle
frequenze
“Modelli e strumenti
per l’analisi delle caratteristiche
dei segnali elettrici informativi e
dei sistemi elettronici di elaborazione dell’informazione”
Prima di continuare, rifletti
attentamente sulle parole
chiave evidenziate!!! A quali
concetti fisici e matematici ti
rimandano
1
Perché ?
… non accontentarsi dell’analisi nel dominio del tempo
(usando strumenti quali ampiezza, periodo, forma d’onda, funzione matematica del
tempo, frequenza, valor medio, Thevenin, Kirchhof…)?





Qualsiasi informazione ha carattere aleatorio, cioè variabile nel tempo in modo non facilmente
predicibile a priori.
Quindi i segnali elettrici associati all’informazione, pure variabili nel tempo in modo altrettanto
impredicibile, analizzati nel dominio del tempo sono di difficile comprensione (cioè non è sempre
possibile pre-determinare un modello matematico – funzione nel dominio del tempo - che descriva il
segnale elettrico).
Come posso allora studiare i meccanismi di elaborazione di un segnale informativo, da parte di un
qualsiasi sistema elettronico noto o in fase di progettazione, se non posso formalmente descrivere le
caratteristiche stesse del segnale da elaborare?
Altresì l’analisi nel dominio delle frequenze dei segnali informativi permette deduzioni difficilmente
ricavabili da una analisi nel dominio del tempo.
Anche lo studio del comportamento dei sistemi di elaborazione dell’informazione è semplificato se
operato nel dominio delle frequenze.
2
Concetti preliminari








Cosa si intende per Segnale elettrico informativo?
Cosa è un Quadripolo elettrico?
Quando un quadripolo si dice lineare?
Cosa afferma il principio della Sovrapposizione degli effetti? Quale è la sua utilità?
Ricordi il significato dei termini ampiezza, pulsazione e fase di un segnale
sinusoidale?
Sai usare i numeri complessi?
Ricordi come si studia un circuito elettrico in Regime Alternato Sinusoidale?
Cosa scatena nella tua mente il termine Fasore?
Insisto!
Prima di continuare devi aver
chiari in testa i concetti
preliminari sopra elencati !!!
3
Sono sconvolto !!!
Ho bisogno di riflettere un po’ su
tutte queste domande !!!
Mi ci vorrà una vita!?
Mah vedremo alla prossima!
FINE PRIMA PUNTATA
4
Serie ed Integrale di FOURIER
Un generico segnale s(t), periodico, sotto ipotesi facilmente verificabili, è scrivibile come una somma
infinita di sinusoidi, ciascuna di opportuna ampiezza, frequenza e fase:
s (t ) 

A
n 
cos( 2fn  t  n )
n 0
Se il segnale s(t) non è periodico la sommatoria di cui sopra prende i connotati di un integrale:

s (t ) 
Fermi tutti !!!
E’ solo una formula matematica che
Fourier ha già provveduto a
dimostrare!!!
Cerchiamo solo di carpirne i significati.
Ecco un esempio

A( f )e
j 2ft
df

5
Esempio di "Scomposizione
Armonica"
Grafico tridimensionale che illustra la
scomposizione di un segnale ad onda
quadra:

Asse x  tempo

Asse y  ampiezze

Asse z  frequenza
6
alcune definizioni:
Spettri delle ampiezze …


An è l’ampiezza della n-esima componete sinusoidale (detta anche armonica) del
segnale s(t).
φn è la fase della n-esima componete sinusoidale (o armonica) del segnale s(t).
-----
s(t) è periodico di periodo T; fo = 1/T è la frequenza del segnale s(t) ed è anche detta frequenza o armonica
fondamentale di s(t).
fn è la frequenza della n-esima componete sinusoidale (o armonica) del segnale s(t) che è n volte multipla
della frequenza fondamentale di s(t).
----

An e φn sono funzioni dell’indice n ma anche della variabile fn così definita:
fn=n*fo. Il loro valore dipende dalla “forma” di s(t).
Le funzioni An(fn) e φn(fn) definiscono rispettivamente lo spettro delle ampiezze e
lo spettro delle fasi del segnale s(t). Esse sono funzioni discrete nel dominio di f,
cioè non sono definite per tutti i valori di f ma solo per i valori fn multipli della
fondamentale fo.
7
… e delle fasi

Se il segnale s(t) non è periodico esso è ancora esprimibile come una “somma” di
componenti armoniche a frequenza variabile.

Tuttavia la somma non è più discreta ma continua sul dominio delle frequenze:

Si ricordi la formula valida nell’insieme dei numeri complessi:
e



j
 cos   j sin 
A(f) è una funzione complessa della frequenza e dipende dalla “forma” del segnale
s(t).
Il modulo di A(f) definisce una funzione reale della frequenza detta spettro delle
ampiezze di s(t).
L’argomento di A(f) definisce una funzione reale della frequenza detta spettro delle
fasi di s(t).
8
In conclusione !!!

Esiste una relazione bi-univoca che mette in relazione il dominio del tempo con il dominio delle
frequenze.

Il generico segnale s(t) nel dominio del tempo è univocamente identificabile con le sue funzioni spettro
delle ampiezze e delle fasi nel dominio delle frequenze (discreto o continuo) e viceversa.
Dominio del tempo
Dominio delle frequenze
s(t)
A(f)
OK resta sempre la domanda
fondamentale!
Che vantaggio ne ricavo?
Tanto aleatoria è s(t) tanto lo è A(f) direte
voi!
Proviamo a fare alcune osservazioni
9
Sono sempre più sconvolto !!!
Vado a distrarre un po’ la mente con un
bel giro in Scooter e magari approfitto
della iper-ossigenazione da velocità e ci
rifletto un po’ sopra!
Speriamo che qualche autotreno non mi
riduca ad una fis-armonica !!!
FINE SECONDA PUNTATA
10
Esempio

Si supponga s(t) un segnale periodico: un onda quadra di periodo T, duty cicle pari a α/T,
positiva con valore minimo 0 e valore massimo 1/α.

Lo spettro delle ampiezze del segnale s(t) sarà una funzione positiva e discreta nel
dominio delle frequenze. Essa è rappresentata nel grafico di seguito riportato.

La differenza in ascissa fra punti attigui della funzione spettro vale 1/T (Hz).

L’ascissa dei punti di zero della curva di interpolazione vale 1/α, 2/α, 3/α, 4/ α, … (Hz).
OK! Proviamo a riassumere gli ultimi concetti
con un esempio concreto!!
Vi ricordo, carissimi che il nostro obiettivo non è
matematico (imparare a memoria il teorema di Fourier e
saperlo dimostrare), ma capire come utilizzare gli
strumenti matematici offertici da Fourier stesso per
semplificare il nostro lavoro di analisi dei segnali elettrici
informativi
11
am piezza
Spettro delle ampiezze del segnale "Onda quadra"
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
5
10
15
20
25
30
frequenza
(NB nel grafico la funzione è stata rappresentata con continuità sul dominio delle frequenze ma questa è una
semplificazione puramente estetica: la linea continua deve essere interpretata come l’interpolazione dei punti del piano
che definiscono la funzione stessa).
12
Osservazioni


Lo spettro mostra una componente armonica a “frequenza nulla” corrispondente
all’indice n=0: essa rende conto del valor medio nel tempo dell’onda quadra, che
nel caso specifico vale 1.
L’ampiezza delle armoniche
asintoticamente a 0.
con
indice
n
crescente
sembra
tendere

Se così fosse potremmo affermare che il contributo alla composizione del
segnale dato dalle singole armoniche, diventa sempre più trascurabile al
crescere della frequenza dell’armonica stessa.

Accettando un errore di approssimazione piccolo a piacere sarebbe possibile
approssimare lo spettro delle ampiezze ad una funzione nulla al di fuori di un
certo intervallo di frequenze, ovvero affermare che le armoniche componenti
esistono solo in un intervallo di frequenze limitato.
13
Potenza del segnale

La potenza media del segnale informativo, per resistenza unitaria vale:
 1
Pm  lim t  
 t 2  t1



Watt 
s
(
t
)
dt
t

1

t2
2
Sfruttando l’equivalenza dimostrata da Fourier la stessa potenza può essere
calcolata come segue:

Ve lo avevo detto di
ripassare il RAS !!!
Pm  A  
2
0
n 1
An2
Watt 
2
14
Ma la potenza del segnale non può
essere infinita!!!

La potenza di un segnale informativo non può, ragionevolmente parlando,
essere infinita.

Essendo esprimibile come una somma infinita di termini positivi, perché Pm sia
finita, deve essere limitato l’insieme degli addendi diversi da zero nella
sommatoria.

Allora si può dedurre che qualsiasi segnale informativo realistico, abbia uno
spettro delle ampiezze che tende asintoticamente a zero al di fuori di un certo
intervallo di frequenze.
Calma ragazzi con le
domande: uno alla volta!!!
15
Sto sclerando, me lo sento !!!
Il mio volto e pieno di bruffoli da
ipertensione!!!
Di notte non dormo più!!! Devo tenere la
luce accesa per non vedere gli spettri …
delle fasi e delle ampiezze!!!
La mia ragazza mi ha fatto una romanzina
dell’ n-esimo ordine e le facoltà celebrali
tendono asintoticamente a zero!!!
FINE TERZA PUNTATA
16
Banda del segnale
Si definisce BANDA del segnale informativo, quell’intervallo finito di
frequenze al di fuori del quale è approssimabile a zero lo spettro delle
ampiezze del segnale stesso.
Qualsiasi segnale informativo in natura, è esprimibile attraverso la somma di componenti
armoniche, ciascuna di opportuna ampiezza e fase, di frequenze comprese in un intervallo
limitato di valori detto banda del segnale.
Per analizzare il comportamento dei sistemi di elaborazione dell’informazione è sufficiente
conoscerne il comportamento in presenza di semplici segnali di tipo sinusoidale, al variare
della frequenza di questi ultimi.
Infatti sfruttando la linearità del sistema e la sovrapponibilità degli effetti, il comportamento
del sistema può essere caratterizzato come “comportamento in frequenza” per segnali
armonici, svincolandoci dalle specificità del segnale informativo di volta in volta applicato al
sistema.
17
Sistemi di Elaborazione Lineari
Di seguito è riportata la schematizzazione funzionale di un particolare
sistema di elaborazione di segnali informativi: un sistema di
telecomunicazioni.
Sorgente
dell’Informazio
ne
CODIFICA
di
SORGENTE
CODIFICA
di
CANALE
CODIFICA
di
LINEA
Canale di comunicazione
DECODIFICA
di
LINEA
DECODIFICA
di
CANALE
DECODIFICA
di
SORGENTE
Destinazione
dell’informazion
e
18
Quadripoli

L’elaborazione dell’informazione nel suo complesso è ottenuta dalla cascata di
più blocchi funzionali, ciascuno dei quali riceve in ingresso un segnale
informativo, lo elabora secondo le proprie specifiche e lo restituisce in uscita
per il blocco successivo.

Quando il blocco funzionale è un sottosistema elettrico esso può essere
rappresentato matematicamente come un quadripolo elettrico.

Il quadripolo è caratterizzato da una coppia di morsetti di ingresso ai quali è
applicato il segnale informativo di ingresso e da una coppia di morsetti di uscita
dai quali è prelevato il segnale elaborato.
19
Caratteristiche dei Quadripoli
Si(t)
Quadripolo
So(t)

Si considerano i quadripoli lineari.

Per essi è applicabile il principio di Sovrapposizione degli effetti.

Se il segnale elettrico di ingresso è sinusoidale, allora anche quello di uscita
dovrà essere tale, alla stessa frequenza di quello di ingresso, ma con differente
ampiezza e fase.
20
Deduzioni

Secondo Fourier il segnale di ingresso è scomponibile come somma di segnali sinusoidali
ciascuno di opportuna ampiezza, frequenza e fase.

Il quadripolo elettrico formato da bipoli reattivi, cioè la cui impedenza varia al variare della
frequenza delle grandezze elettriche in gioco, modifica ciascuna componente armonica di
ingresso in ampiezza e fase, in funzione della frequenza dell’armonica di ingresso stessa.

Il segnale di uscita può essere determinato attraverso la sovrapposizione degli effetti sulle
singole componenti armoniche di ingresso, essendo il quadripolo lineare.

…
21
Il quadripolo modifica lo spettro delle ampiezze e
delle fasi del segnale di ingresso, cioè modifica in
funzione della frequenza, ampiezza e fase delle
armoniche del segnale informativo di ingresso.
si (t ) 

A
n 
cos( 2fn  t  n )
n 0

so (t )   G ( f ) An  cos( 2fn  t  n   ( f ))
n 0
22
Funzione di Trasferimento
DEFINIZIONE
“Il rapporto fra la trasformata di Fourier del segnale di uscita So(t) e la
trasformata di Fourier del segnale di ingresso Si(t) è una funzione
complessa, indipendente dalla forma dei segnali Si(t) ed So(t), caratteristica
del quadripolo, detta Funzione di Trasferimento.”
Nota la FdT di un quadripolo e la trasformata di Fourier del segnale Si(t) è possibile risalire alla trasformata
di Fourier del segnale So(t).
La FdT di un quadripolo rende conto delle modifiche degli spettri del segnale Si(t), che determinano gli
spettri del segnale So(t).
23
Modulo e fase della FdT
“Le funzioni G(f) e θ(f) rappresentano la variazione in ampiezza e fase
rispettivamente, introdotte dal quadripolo sul segnale si ingresso.”
VALE:
G( f )  FdT
 ( f )  ( FdT )
Si ricordi che dato il numero complesso Z=a+jb vale:
Z  a b
2
2

b
 Z  arctg  
a
24
Banda di un Quadripolo
DEFINIZIONE
“Si definisce banda di un quadripolo, l’intervallo di frequenze
entro il quale rimane costante il modulo della FdT (G(f)) del
quadripolo stesso.”
25
Tutto chiaro adesso?
Non rispondete, avete perso la favella?
1.
2.
3.
4.
Il risultato di questa chiaccherata è semplice:
Ogni segnale informativo può essere decritto equivalentemente nel
dominio del tempo o nel dominio delle frequenze
Tuttavia non mi interessa più conoscere a priori la forma del segnale
informativo per sapere come sarà elaborato dal mio sistema
elettronico
Potrò invece studiare il funzionamento del sistema di elaborazione
con ingressi informativi “sinusoidali”, sempre che il sistema sia
lineare
Mi basta conoscere quindi la funzione di trasferimento del sistema la
quale non dipende dal segnale informativo ma solo dalle
caratteristiche dei componenti con cui è realizzato il sistema di
elaborazione
26
Fourier, Fourier, Fourier …….. Fourier,
Fourier, Fourier , Fourier, Fourier, Fourier ,
Fourier, Fourier, Fourier ,……… Fourier,
Fourier, Fourier , Fourier, Fourier, Fourier
,…..
27