Ottica geometrica 2
13 gennaio 2014
Specchio convesso
Immagine di punti fuori asse
Raggi principali
Convenzione dei segni
Ingrandimento
Specchio piano
Punti fuori asse all’infinito
Specchio convesso
• Le relazioni angolari sono ora
i  
 ' r  
• Sommando membro a membro e semplificando
   ' 2
• Come nei casi precedenti approssimiamo l’angolo con la
 ottenendo
tangente,
1 1
2
 
o i
R
r
i

P
N
’
V H

Q
C

2
Specchio convesso
• Anche in questo caso se P tende all’infinito ( o  ) il
punto immagine è detto fuoco (i = f), che in questo caso
è virtuale
R
f 
2

r
i

V
N
F
C
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Simboli degli specchi
• Specchio concavo
• Specchio convesso
• Specchio piano
4
Immagine di punti fuori asse
• Sia P un punto fuori asse, è sempre possibile
tracciare una retta passante per P e il centro C
della superficie sferica e ripetere le costruzioni
fatte per punti sull’asse, sostituendo quest’ultimo
con la retta PC
P
Q
V
P
C
Q
C
V
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Immagine di punti fuori asse
• Tracciamo due superfici sferiche, una di raggio CP e
l’altra di raggio CQ e siano P’ e Q’ le intersezioni con
l’asse (P’C=PC, Q’C=QC)
• La relazione oggetto-immagine tra P e Q è la medesima
che tra P’ e Q’
• Quindi lo specchio trasforma una superficie sferica
oggetto PP’ in una superficie sferica immagine QQ’
P
Q
P
P’
P’
Q’
C
Q
V
Q’
C
V
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Immagine di punti fuori asse
• Grazie all’approssimazione parassiale, le
porzioni di superfici sferiche sono così piccole
da poter essere considerate piane
• Gli specchi trasformano quindi superfici oggetto
piane perpendicolari all’asse in superfici
immagine piane perpendicolari all’asse
P
Q
P
P’
Q’
P’
C
Q
V
Q’
C
V
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Tracciamento dell’immagine
• Per quanto appena detto, per determinare l’immagine di
un oggetto PP’ esteso trasversalmente all’asse basta
trovare l’immagine Q, Q’ dei punti oggetto estremi P e P’
• Convenzionalmente un oggetto esteso viene indicato
con una freccia
P
Q’
P’
C
Q
V
• Per strumenti stigmatici la
determinazione di un punto
immagine Q necessita di soli due
raggi
• Q è l’intersezione dei due raggi
riflessi
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Raggi principali
• Esistono alcuni raggi che permettono il tracciamento
dell’immagine in modo molto semplice, essi sono:
– Il raggio parallelo all’asse, che viene riflesso nel fuoco
– Il raggio passante per il fuoco, che viene riflesso
parallelamente all’asse
– Il raggio passante per il centro dello specchio, che
viene riflesso all’indietro sovrapposto al raggio
d’incidenza
– Il raggio passanti per il vertice dello specchio che
viene riflesso simmetricamente rispetto all’asse
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Eqq. degli specchi
• Abbiamo fin qui trovato due eqq. per lo specchio
concavo
1 1 2
1 1 2
 
 
o i R
o i R
• e una per lo specchio convesso 1 1
2
 
o i
R
• Per economia di pensiero
è stata concepita una

convenzione che attribuisce un segno alle
lunghezze o, i, R

• Questo permette di usare una sola eq. in tutti i
casi
10
Convenzione dei segni
• La luce proviene da sinistra (spazio d’incidenza)
• La distanza oggetto o=PV e` positiva se P sta nello spazio di
incidenza, negativa se sta da parte opposta (oggetto virtuale)
P
o>0 V
V
o<0
P
• La distanza immagine i=QV e` positiva se Q sta nello spazio di
riflessione (uguale allo spazio d’incidenza), negativa se sta da
parte opposta
Q
i>0
V
V
i<0
Q
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Convenzione dei segni
• Il raggio di curvatura e` positivo se C sta nello spazio di
riflessione, negativo se sta da parte opposta
R>0
C
R<0
V
V
C
• La distanza y dall’asse di un punto oggetto o immagine e`
positiva se sta sopra l’asse, negativa se sta sotto
y>0
y<0
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Equazione degli specchi
• Le eqq. degli specchi si potrebbero ora riscrivere
1 1 2
1 1 2
1 1
2
 
 
 
o i R
o i R
o i
R
• E grazie alla convenzione, divengono una sola
eq.
1 1 2

  

o i R
• Usando la distanza focale si può scrivere l’eq.
dello specchio anche nelle due forme
1 1 1
f f
 
 1
o i f
o i
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Ingrandimento trasversale (G)
• Per oggetti estesi, è il rapporto tra la dimensione
trasversale dell’immagine e dell’oggetto
G
QQ' I

PP' O
• In dipendenza del segno di I e O l’ingrandimento
può essere positivo o negativo

• È positivo quando immagine e oggetto hanno lo
stesso verso (immagine dritta)
• È negativo quando immagine e oggetto hanno verso
opposto (immagine capovolta)
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G per specchi concavi
• Usiamo il raggio incidente nel vertice: per la similitudine
dei triangoli PP’V e QQ’V, abbiamo
QQ' Q'V

PP' P'V
• Ovvero, tenendo conto della convenzione dei segni
G

I
i
 0
O
o
P

Q’
P’
C
V
Q
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G per specchi convessi
• Usiamo il raggio incidente nel vertice: per la similitudine
dei triangoli PP’V e QQ’V, abbiamo
QQ' Q'V

PP' P'V
• Ovvero, tenendo conto della convenzione dei segni

G
I
i
 0
O
o
P
Q

P’
V
Q’
C
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Specchio piano
• Per uno specchio piano R è infinito, di conseguenza
i  o
• L’immagine è oltre lo specchio (è virtuale) e posta
simmetricamente all’oggetto rispetto allo specchio
• Lo specchio
piano è rigorosamente stigmatico per

tutti i punti dello spazio oggetto
• Infatti scelto un raggio
arbitrario PN, i triangoli
rettangoli PHN, QHN sono
uguali e quindi PH=QH,
qualunque sia N
r
N
i
P
Q
H
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Specchio piano
• Qualunque retta P’H perpendicolare allo specchio può
essere considerata un asse
• Si dimostra facilmente che l’oggetto PP’ perpendicolare a
P’H ha come immagine QQ’, pure perpendicolare P’H
P
Q’
P’
Q
H
I
i
• Per l’ingrandimento abbiamo G     1
O
o
• cioè l’immagine è dritta e della stessa dimensione
dell’oggetto

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Immagine di punti all’infinito
• Immaginiamo un fascio di luce parallelo che formi un’angolo 
con l’asse

C
V
• Questo accade, p.e., per oggetti molto lontani come le stelle
• Per trovare l’immagine Q usiamo i raggi passanti per V e C
C
Q
V
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Immagine di punti all’infinito
Piano focale
• E` il piano perpendicolare
all’asse passante per il fuoco

F
C
V
Q
• Il punto Q, indipendentemente da , giace sul piano focale e
la sua posizione e` definita dall’intersezione con uno dei raggi
seguenti
– raggio riflesso passante per il centro
– raggio riflesso parallelo all’asse (incidente nel fuoco)
– Raggio riflesso nel vertice
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