il moto rotatorio di un corpo
rigido
La rotazione piana, o a due
dimensioni
• Quando un corpo si muove, è molto raro che si
muova in linea retta, nella direzione della
forza.
•
Generalmente forza e velocità formano un
angolo, ed il corpo gira attorno a qualche punto.
• Se l’effetto della forza è di muovere il corpo
attorno ad un centro di rotazione,la nostra
esperienza quotidiana ci dice che l’efficacia
rotante della forza aumenta con la distanza
perpendicolare (braccio di leva) dal centro di
rotazione alla linea di azione della forza.
• Questa comune esperienza ha suggerito la
convenienza di definire la quantità fisica:
momento di una forza = forzabraccio di leva
Momento meccanico attorno ad un asse
z
Fz
P
Fx
r
Fy
O
Non basta applicare una forza per ruotare un corpo
Bisogna anche sapere dove bisogna applicarla e in quale
direzione spingere.
Una forza parallela all’asse di rotazione non ha
momento di forza rispetto a quell’asse.
Se l’asse di rotazione intercetta la linea di azione della
forza,(b=0) la forza non ha momento rispetto a
quell’asse.
Per esempio la maniglia di una porta è sempre
posizionata lontana dai cardini. Spingendo più vicino ai
cardini,bisogna applicare una forza maggiore.
Il momento è prorzionale alla componente normale della
forza rispetto all’asse di rotazione moltiplicata per il
braccio di leva
Infatti si spinge in direzione di 90 gradi rispetto
all’asse di rotazione, che è l’asse dei cardini
Quindi si spinge sempre perpendicolarmente al piano
del battente,generalmente.
moto del corpo rigido
Si distinguono due tipi di moto del corpo rigido:
• il moto è una traslazione quando tutte le particelle
descrivono traiettorie parallele, così che il corpo rimane
parallelo alla propria posizione iniziale;
• nella traslazione ogni elemento del corpo ha la stessa
velocità v e la stessa accelerazione a in ogni istante
• il moto è una rotazione quando tutte le particelle descrivono
traiettorie circolari attorno ad un punto detto polo di
rotazione o ad una una retta detta asse di rotazione;
• nel moto rotatorio ad ogni istante ogni elemento del corpo ha
la stessa velocità angolare  e la stessa accelerazione
angolare 
• è possibile dimostrare che il moto più generale di un corpo
rigido può sempre essere considerato come la combinazione
di una traslazione e di una rotazione istantenee
• La posizione di un corpo rigido è definita da tre punti
I tipi di moto del corpo rigido
la traslazione pura è un moto lungo una linea retta: quello che
avete studiato quasi esclusivamente in FISICA I. Negli
esempi che vi hanno proposto, avete essenzialmente visto la
traslazione del CM
una rotazione di tipo tridimensionale: la palla ruota
attorno al suo centro
il rotolamento è una rotazione attorno ad un
asse che trasla
rotazione attorno ad un asse rotante
la rotazione piana del corpo rigido
• Un caso particolare molto importante di moto del
corpo rigido è la rotazione piana attorno ad un asse
di rotazione fisso.
• Nella rotazione piana un punto qualsiasi del corpo
rigido percorre una traiettoria circolare che giace
su un piano perpendicolare all’asse di rotazione, ed
il cui centro si trova sull’asse di rotazione.
• Ecco alcuni esempi di corpo rigido in rotazione
piana:
momento di una forza rispetto a un punto
• In genere una forza che agisce su un corpo rigido tende a
farlo ruotare, oltre che a traslarlo
• La forza stessa è l’effetto traslatorio: il corpo tende a
muoversi in direzione della forza:
• La capacità di traslare il corpo è proporzionale alla
grandezza della forza, in accordo con la II legge di Newton
• La tendenza di una forza a ruotare il corpo è il momento
meccanico della forza rispetto al punto
• Questa grandezza dipende dalla forza e dalla distanza della
linea di azionedella forza dal punto stesso
definizione di momento
meccanico di una forza
applicata ad un corpo rigido
rispetto ad un punto, o polo
 
  r F
  r sin F

  bF
il momento meccanico
rispetto ad un polo dipende
solo dalla forza e dalla
distanza del polo dalla retta
di applicazione della forza
la forza può quindi essere
mossa lungo la linea di
azione senza cambiare il
risultato

F


O

r
b 
questa equazione è comoda solo
quando è facile calcolare il
braccio di leva; inoltre non da la
direzione di 
ogni punto della linea di azione
della forza può essere un punto
di applicazione
A
momento di una forza attorno ad un asse
il momento di una forza rispetto ad un asse, detta asse del
momento si calcola facilmente a partire da un punto O (polo)
dell’asse stesso, preso come polo di rotazione



 
z
 asse   polo cos 
  r F


 asse   polo  u

 polo
polo

F

O

u
 asse
r
b 
A
versore
unitario

 zk 
 polo 

y j y
 xi
le componenti
x
cartesiane
del momento
di una forza attorno
all’origine delle
coordinate sono uguali ai
momenti della forza
attorno agli assi
cartesiani
momento di una forza attorno ad un asse
un caso particolare: se il piano formato dalla linea di
azione della forza ed il vettore r, distanza dal polo di
rotazione sono coplanari allora il momento polare ed il
momento assiale conicidono


r
O

u

F

 polo   asse
significato geometrico di questa
equazione
consideriamo una forza arbitraria e un
asse arbitrario

 asse   polo  u u


u
costruiamo un piano perpendicolare
all’asse, passante per il polo O
 
 polo  r  F


 asse

b è il braccio dileva della forza
F rispetto al polo O


r
o

F
F1
F2
b

      
 asse  r  F  u  r  F1  F2  u

     
 asse  r  F  u  r  F2  u

  
 asse  u  r  F2  bF2
il momento assiale è uguale al
prodotto del braccio di leva per
la componente della forza
perpendicolare all’asse
Il momento  ubbidisce al
principio di sovrapposizione.
La somma di tutti i momenti è il
momento risultante o netto net
rotazione piana
si definisce momento
meccanico della forza
applicata nel punto P il
vettore libero :
 
Ft F
r
P

Fr
sezione trasversa
perpendicolare
all’asse dirotazione
  
  r  F
 
  r  Ft

  rFt
  rF sin 
braccio di forza
linea di azione della
forza


 polo   asse
Rotazione piana di un corpo rigido
• La forza F giace su un piano perpendicolare all’asse di
rotazione
• Il momento meccanico  è sempre diretto come l’asse di
rotazione
• Il verso di  dipende dal verso della rotazione. Fissato
l’origine del piano xy su cui giacciono F ed r sulla retta di
rotazione , che coincide con z :
☺  positivo, se la rotazione avviene in senso antiorario,
☺  negativo, se la rotazione avviene in senso orario
II equazione di Newton per un corpo rigido in
rotazione piana

 
d  r  adm
d  rat dm
d  r dm
d  rrdm
d  dI
2
   d   dI    dI  I
V
V
V
  I
alcuni esempi
ALCUNI
ESEMPI
alcuni
esempi
2
3
4
Diagramma di Corpo Libero
Lavoro e potenza nel moto
rotatorio
lavoro compiuto da una forza esterna su un corpo rigido
rotante intorno ad una asse fisso
un caso particolare: la forza è perpendicolare all’asse di
rotazione, che coincide con l’asse z. La forza è applicata ad un
punto qualsiasi del corpo rigido che si muove su una traiettoria
 
circolare di raggio R


 polo   asse

dr
Ftan
O

R
dW  F  dr
possiamo esprimere questo prodotto
 scalare anche come il prodotto del
F modulo dello spostamento per la
componente della forza nella
direzione dello spostamento
Frad
in questo caso particolare l’unico
spostamento possibile è tangenziale
z
dW  F cosdr  Ftan Rd
  Ftan R

dr  Rd
dW  d
dW  d
lavoro infinitesimo compiuto dal
momento meccanico  per far
ruotare il corpo rigido dell’angolo
infinitesimo , nel caso di una
forza applicata perpendicolare
all’asse di rotazione, coincidente
con l’asse z
questa relazione è stata trovata in un caso particolare
è però sempre vera
la relazione se l’asse
di rotazione xoincide
con l’asse z
dW   z d
Lavoro,rotazione finita piana attorno ad una asse fisso
f
W   dW
se il momento
 è costante
W   d
i
W    d    f  i   
f
i
Potenza,rotazione finita piana attorno ad una asse fisso
dW
P
 
dt
è possibile dimostrare che
la posizione di un corpo rigido è definita da
tre punti
il più generale moto di un corpo rigido può
essere ottenuto dalla combinazione di un
moto traslatorio puro e un moto rotatorio
puro
Moto curvilineo e momento meccanico
è raro che un corpo si
muova in linea retta

F
braccio di leva

v
braccio di leva
braccio di leva
momento di una forza
= forzabraccio di leva
generalmente il corpo si
muove lungo una traiettoria
curva, attorno ad un polo