Diagrammi TS
l’entropia e’ funzione di stato e puo’ essere usata, come coordinata termodinamica
insieme ad un’altra variabile indipendente, per descrivere lo stato di un sistema
spesso al posto delle variabili P e V si utilizza la coppia di variabili T ed S
l’utilita’ e’ che nel piano T S il calore scambiato dal sistema durante
una trasformazione reversibile e’ fornito dall’area sottesa dalla curva T(S)
dQrev  TdS
B
Qrev   TdS
A
T
TB
il calore e’ assorbito dal sistema, Q > 0, se si va da A a B TA
e’ ceduto dal sistema , ossia Q < 0 , se si va da B ad A
se un sistema compisse un ciclo reversibile operando in
T
senso orario l’area compresa tra le due curve che
TB
rappresentano la trasformazione fornirebbe il lavoro
TA
T
compiuto dal sistema durante il ciclo infatti
B
TB
dal primo principio della termodinamica
L
TA
Qass  Qced  L
A
SA
SB
S
B
Qass
A
SA
SB
S
B
A
SA
Qced
SB
S
se si opera in modo isotermo reversibile la variazione di entropia del sistema
B
e’ S sist  S B  S A  A
Q
dQ

dove Q e’ il calore scambiato alla temperatura T
T Rev T
nel piano T S una trasformazione isoterma reversibile
e’ rappresentata da una linea orizzontale T  cost
T
T
A
B
Q
se si opera in modo adiabatico reversibile
poiche’ in ogni adiabatica dQ = 0 e visto l’enunciato
del teorema di Clausius per le trasformazioni reversibili
la variazione di entropia del sistema sara’ S sist  0
nel piano T S una trasformazione adiabatica reversibile
e’ rappresentata da una linea verticale S  cost
SA
SB
S
T
TB
B
TA
A
SA= SB
S
se si opera in modo ciclico, qualunque siano le trasformazioni effettuate dal
sistema, la variazione di entropia del sistema che compie il ciclo sara’ sempre
nulla dato che l’entropia e’ funzione di stato
dunque durante una qualsiasi trasformazione ciclica, reversibile o irreversibile,
di un sistema termodinamico S sist  0
nel piano T S il ciclo di Carnot assume la forma di un rettangolo
ed e’ immediato calcolarne il rendimento
Qass  TB (S B  S A )
Qced  TA ( S A  SB )  TA (SB  S A )
Qced
TA ( S B  S A )
TA
  1
 1
 1
Qass
TB ( S B  S A )
TB
T
TB
TA
SA
SB
S
Esempi di variazioni di entropia
Trasformazioni adiabatiche non cicliche
un sistema che compia trasformazioni adiabatiche e’ isolato termicamente dallo
ambiente circostante e dato che l’ambiente non scambia calore ma solo lavoro
Samb  0
quindi
Ssist  Suniv  0
percio’
se la trasformazione adiabatica e’ reversibile
Ssist  0
e dato che Ssist  Suniv si ha
Suniv  0
se la trasformazione adiabatica e’ irreversibile
Ssist  0 e dato che
Ssist  Suniv si ha
Suniv  0
Sorgenti di calore
una sorgente di calore e’ per definizione un corpo che puo’ scambiare una
qualsiasi quantita’ di calore senza modificare la propria temperatura percio’ gli
gli scambi di calore di una sorgente avvengono sempre in modo isotermo
B  dQ 
quindi la variazione di entropia
dalla definizione di entropia S  A  
 T rev
di una sorgente a seguito dell’assorbimento di calore Q a temperatura T risulta
S 
 dQ 

T
1
B
A
rev

Q
T
Scambio di calore tra due sorgenti
supponiamo di scambiare la quantita’ Q di calore tra due sorgenti poste a
temperature T1 e T2 con T2 > T1
la sorgente S1 a temperatura T1 acquista il calore + Q e presentera’ una variazione
Q
di entropia pari a S1 
la sorgente S2 a temperatura T2 cede il calore  Q
T1
Q
e presentera’ una variazione di entropia pari a S 2  
T2
l’universo termodinamico e’ in questo caso costituito dalle due sole sorgenti quindi
 1
Q Q
1 
Suniv  S1  S2  
 Q    e dato che T1 < T2
T1 T2
 T1 T2 
Suniv  0 come atteso in quanto il processo e’ irreversibile
Scambio di calore tra un corpo ed una sorgente
supponiamo di scambiare calore tra un corpo di massa m, calore specifico c
costante e temperatura T1 ed una sorgente posta a temperatura T2 con T2 > T1
il processo e’ irreversibile ma per calcolare la variazione di entropia dovremo
utilizzare trasformazioni reversibili
immaginiamo un processo in cui il corpo scambi calore con un’ infinita’
di sorgenti a temperature via via crescenti
T1  dT
T1  2dT
T1  3dT
etc.
con ciascuna sorgente viene scambiata reversibilmente la quantita’
infinitesima di calore dQ  mcdT
T2
dT
 dQ 
T2
S   

mc
 mc ln
 T1
A
T
 T rev
T1
B
la quantita’ totale di calore scambiato dal corpo e’
T2
Q  mc  dT  mc(T2  T1 )
T1
la quantita’ totale di calore ceduta dalla sorgente conseguentemente e’ pari a  Q
la variazione di entropia della sorgente e’ S sorg  
e quella dell’ universo sara’ Suniv
mc(T2  T1 ) mc(T1  T2 )

T2
T2
T2 mc(T1  T2 )
 mc ln 
T1
T2
la variazione di entropia dell’ universo riesce sempre maggiore di zero,
sia che T2 > T1 sia che T1 > T2
Scambi di calore tra due corpi
dati due corpi, il primo di massa m1, calore specifico costante c1 e temperatura T1
ed il secondo di massa m2, calore specifico costante c2 e temperatura T2
con T2 > T1 supponiamo di metterli in contatto tra loro in un ambiente
isolato termicamente ( calorimetro)
dopo un certo tempo si raggiungera’ l’equilibrio termico ed i due corpi
raggiungeranno una temperatura di equilibrio Te intermedia tra con T1 e T2
il primo corpo acquistera’ la quantita’ di calore Q  m1c1 (Te  T1 )
il secondo corpo cedera’ la medesima quantita’ di calore ma
poiche’ il secondo corpo cede calore il segno del calore scambiato sara’ negativo
dunque
Q  m2c2 (T2  Te )
m1c1T1  m2 c2T2
uguagliando i moduli dei calori scambiati si ottiene Te 
m1c1  m2 c2
le variazioni di entropia sono
S1  
Te
T1
Te
 dQ 

  m1c1 ln
T1
 T rev
0
Te
 dQ 
e S2   
  m2 c2 ln T
T2
 T rev
2
Te
0
l’intero processo e’ complessivamente adiabatico irreversibile quindi
Suniv  S1  S2
e si ha sempre:
Suniv  0
Transizioni di fase
durante i cambiamenti di fase avvengono scambi di calore la quantita’ di calore
Q
scambiata per unita’ di massa e’ detta “calore latente”  
m
i cambiamenti di fase sono processi isotermi per cui S  Q in conclusione
T
la variazione di entropia di m chiligrammi di una sostanza che cambia
m
fase alla temperatura T e’ S 
T
Entropia del gas perfetto
date n moli di un gas perfetto che passano dallo stato A (PA,VA,TA) allo stato B
(PB,VB,TB) per calcolare la variazione di entropia del gas si dovra’
utilizzare una trasformazione  reversibile  che colleghi lo stato A a quello B
utilizzando il primo principio della termodinamica
U  Q  L
si ha che la quantita’ infinitesima di calore scambiato nella trasformazione
e’ pari a dQ  ncV dT  dL
per una trasformazione reversibile il lavoro termodinamico sara’ dL  pdV
nRT
pV  nRT si ha p 
V
infine dall’ equazione di stato del gas perfetto
nRT
dL

dV assumendo cV costante ed integrando si ottiene
quindi
V
B dQ
B
B
dT
dV
SB  S A  
 nc
  nR
A T Rev A
A
V T
V
T
V
in conclusione S  S B  S A  ncV ln B  nR ln B
TA
VA
TB
VB
da S  S B  S A  ncV ln
riutilizzando l’equazione di stato
 nR ln
TA
VA
e la relazione di Mayer si ottengono le espressioni alternative
PB
VB
S B  S A  ncV ln  nc p ln
PA
VA
e
TB
PB
S B  S A  ncP ln  nR ln
TA
PA
in particolare se la trasformazione reversibile utilizzata fosse :
isoterma TA = TB
VB
S B  S A  nR ln
VA
PB
o anche S B  S A   nR ln
PA
isocora VA = VB
TB
S B  S A  ncV ln
TA
o anche S B  S A  ncV ln
isobara PA = PB
VB
S B  S A  nc p ln
VA
TB
o anche S B  S A  nc p ln
TA
PB
PA
se la trasformazione effettuata dal gas perfetto fosse adiabatica reversibile
dQ  0
e
B
S  S B  S A  A
dQ
0
T Rev
quindi
SB  S A
le trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas perfetto sono isoentropiche
in generale un sistema che compia trasformazioni adiabatiche e’ per assunzione
termicamente isolato dall’ambiente circostante
quindi l’ambiente non scambia calore ma soltanto lavoro percio’
Samb  0
e dato che Suniv  Ssist  Samb riesce
Ssist  Suniv
e’ da notare come la variazione di entropia dipenda da due sole coordinate
termodinamiche e come la variazione di entropia di un gas ideale si possa
determinare utilizzando una qualsiasi delle precedenti espressioni
indipendentemente dalla trasformazione realmente avvenuta tra A e B
Vai all’esercizio 10
Vai all’esercizio 11
Trasformazioni adiabatiche irreversibili
una particolare trasformazione adiabatica irreversibile e’ l’espansione libera del
gas perfetto che e’ una trasformazione adiabatica ed e’ allo stesso tempo isoterma
durante questa trasformazione non c’e’ equilibrio meccanico ed il gas e’ isolato
dall’ambiente quindi non produce lavoro ne’ scambia calore con l’ambiente
VB
nel caso di trasformazioni isoterme si ha : S B  S A  nR ln
VA
e visto che VB > VA risulta S B  S A ossia S  0
ma nelle trasformazioni adiabiatiche si ha Ssist  Suniv dunque Suniv  0
come effettivamente deve essere per qualunque trasformazione irreversibile
Entropia ed energia inutilizzabile
l’irreversibilita’ dei processi naturali, e quindi l’aumento di entropia dell’universo,
e’ collegata alla “degradazione dell’energia” intesa come perdita di disponibilita’
a fornire lavoro quale esempio consideriamo il passaggio spontaneo di calore Q
da una sorgente calda a temperatura T2 ad una fredda a temperatura T1
per la sorgente a temperatura T1 che riceve il calore Q si ha una variazione
di entropia pari a : S1 

B
A
dQ
1

T1
T1

B
A
Q
dQ 
T1
per la sorgente a temperatura T2 che cede il calore –Q si ha una variazione
Q
di entropia pari a S 2  
T2
l’universo termodinamico e’ costituito solo dalle due sorgenti quindi
la variazione di entropia SU complessiva dell’universo sara’
T1
Q
Q Q
T2  T1
1 1
SU     Q (  )  Q(
)
SU  (1  )
T1T2
T2 T1
T1 T2
T1
T2
la variazione di entropia dell’universo e’positiva dato che T2 > T1
il passaggio spontaneo del calore dalla sorgente calda a quella fredda
e’ un processo irreversibile ed il lavoro LIR prodotto in corrispondenza
del passaggio spontaneo del calore e’ nullo
se invece avessimo utilizzato una macchina reversibile operante tra le due
sorgenti alle stesse temperature avremmo potuto trasferire la stessa quantita’
di calore Q ottenendo anche una quantita’ di lavoro pari a:
T1
Lrev  Q  Q(1  )  T1SU
T2
quindi la differenza tra il lavoro LR che avremmo potuto ottenere operando
in modo reversibile ed il lavoro LIR effettivamente ottenuto operando in modo
irreversibile e’ data da L  LR  LI  LR  0  T1SU
Entropia e freccia del tempo
in un sistema termodinamico isolato le
trasformazioni devono sempre determinare un
aumento dell’entropia
Entropia ed irreversibilita
la variazione di entropia di un sistema isolato
misura il grado di irreversibilità delle
trasformazioni che avvengono al suo interno
Entropia e secondo
principio della
termodinamica
imporre che dS > 0 equivale ad imporre il
secondo principio della termodinamica
Entropia ed energia
inutilizzabile (degrado
dell’energia)
la differenza tra il lavoro potenzialmente ottenibile
operando in modo reversibile ed il lavoro ottenuto
operando in modo irreversibile e’ proporzionale
alla variazione di entropia dell’universo
Entropia e “ disordine”
teoria cinetica dei gas e meccanica statistica
Entropia e informazione
entropia di Shannon