Nella lezione precedente:




Abbiamo analizzato nel dettaglio il dipolo ripiegato
Introdotto le schiere, a partire da due dipoli
Introdotto il fattore di schiera ed il principio di
moltiplicazione dei diagrammi di radiazione
Analizzato le schiere lineari: in particolare
abbiamo introdotto il concetto di polinomio associato
 il concetto di spazio visibile


Considerato una sottoclasse importanti: le schiere uniformi
(ovvero correnti con la stessa ampiezza)
verificato che in questa sottoclasse occorre uno sfasamento
progressivo nullo per avere schiere broadside
 sfasamento invece pari a kd per avere schiere endfire

Nella lezione precedente:


Valutato espressioni esatte ed approssimate per le rispettive
direttività
Nella classe delle lineari equispaziate non uniformi
abbiamo analizzato la schiera binomiale: niente lobi
secondari ma lobo principale più largo
Array “Parassiti”
Una schiera in cui non tutti gli elementi sono alimentati si dice
schiera parassita
Gli elementi non alimentati sono eccitati per effetto
dell’accoppiamento con quelli alimentati e con gli altri parassiti
Gli elementi parassiti si distinguono in
direttori: nella direzione del lobo principale
 riflettori: in direzione opposta

L’esempio più noto è la Yagi-Uda, usatissima in HF (330MHz), VHF (30-300MHz) ed UHF (300MHz-3 GHz)
Nella Yagi-Uda un solo elemento è alimentato
Array “Parassiti”: Yagi-Uda
consideriamo inizialmente un array di 2 elementi: uno
alimentato e l’altro no
f
1
2
Se V2 ed I2 sono tensioni e correnti al morsetto alimentato,
possiamo pensare che il riflettore abbia i morsetti
cortocircuitati (V1=0; I1) ed ottenere una relazione tra I1 ed I2
sfruttando la matrice di impedenza
 0   Z11
V    Z
 2   12
Z12   I1 
Z12V2
Z11V2
 I1  
; I2 



2
Z 22   I 2 
Z11Z 22  Z12
Z11Z 22  Z12 2
Array “Parassiti”: Yagi-Uda
f
1
2
I1
Z12
Z12 j



e
I2
Z11
Z11
Il fattore di schiera risulta quindi
Z12 j   kd cosf 
f (f )  1 
e
Z11
Ora: l’impedenza mutua può essere variata variando la
distanza d, mentre Z11 variando la lunghezza del riflettore
Se l’elemento è più piccolo della lunghezza di risonanza, ha
impedenza capacitiva, altrimenti induttiva
Nella pratica si trova:
un valore ottimale di d è circa 0.15l
 il primo elemento, per fungere da riflettore deve essere
induttivo (altrimenti funge da direttore)

Array “Parassiti”: Yagi-Uda
Se si inserisce sia un riflettore che un direttore, la direttività
aumenta
Lobo principale
riflettore direttore
Si trova che aggiungere ulteriori riflettori non migliora le
prestazioni di molto
Aggiungere ulteriori direttori sì; di solito si hanno tra 6-12
direttori (anche se ne esistono con 30-40 elementi)
Man mano che si aggiungono direttori il loro effetto
ovviamente diminuisce perché diminuisce l’entità delle
correnti indotte
Il guadagno tipico è di 14 dB (con 8-10 elementi in totale)
Inconveniente: bassa resistenza di radiazione; di solito si
usa come elemento alimentato un dipolo ripiegato
Introduzione alla Sintesi di array
E’ possibile approssimare un desiderato fattore di schiera
scegliendo opportunamente ampiezze e fasi delle correnti
Supponiamo di avere una schiera lineare simmetrica, con
un numero dispari di elementi equispaziati
N  2m  1
Sappiamo che il fattore di schiera può essere scritto per
mezzo del polinomio associato
f ( z)  A0  A1 z  ...Am z m  ...A2m z 2m
j
ze
 e j ( kd cosf  )
Introduzione alla Sintesi di array
Poiché z ha modulo unitario, anche le sue potenze hanno
modulo unitario e se dividiamo per zm f(z), il suo modulo
non cambia
f ( z )  A0 z  m  A1 z  m1  ...  A2m z m
Ora supponiamo che le correnti di alimentazione degli
elementi simmetrici rispetto a quello centrale siano complesse
coniugate, ovvero che elementi simmetrici siano alimentati
con correnti di ugual ampiezza ma deviazione rispetto allo
sfasamento progressivo opposta
Introduzione alla Sintesi di array
In tal caso potremo scrivere
Am  a0
Am  k  ak  jb k
Am  k  ak  jb k
E la somma di due termini simmetrici rispetto a quello centrale
diventa

 


 jb e   e  
Amk z k  Amk z k  ak z k  z k  jbk z k  z k

 ak e jk  e  jk
jk
k
 2ak cosk   2bk sink 
 jk
Introduzione alla Sintesi di array
Quindi
a0 m
f ( )  2
  ak cos(k )  (bk ) sin(k )
2 k 1
Ovvero: il fattore di schiera per una schiera a 2m+1
elementi equispaziati ed alimentati simmetricamente, si
presenta nella forma di una serie di Fourier troncata ai
primi 2m+1 termini, in cui ak sono i coefficienti dei termini
coseno e -bk quelli dei termini seno
Quindi un qualsiasi fattore di schiera specificato come
f(Y) può essere espanso in serie di Fourier con un
numero infinito di termini, ed approssimato con la
precisione voluta da una serie troncata come quella
introdotta
Introduzione alla Sintesi di array
Allora per la sintesi basta espandere in serie di Fourier il
diagramma desiderato ed ottenere le correnti di
alimentazione ricordando le relazioni tra i coefficienti e le
correnti Am  a0
Am  k  ak  jb k
Am  k  ak  jb k
Notate che, per una spaziatura minore di mezza
lunghezza d’onda, il range di visibilità non sarà l’intero
angolo 2p essendo
kd      kd  
Introduzione alla Sintesi di array
Quindi in tal caso, mentre f(f) è ovviamente specificato in
tutto l’intervallo, f(Y) è solo specificato in una parte
dell’intervallo necessario all’espansione, e può essere
completata a piacimento
Ovviamente converrebbe completarla in modo che la
serie di Fourier sia la più rapidamente convergente
Se la spaziatura è esattamente mezza lunghezza d’onda
il problema non esiste, visto che entrambe le funzioni
sono definite in [0,2p].
Per spaziature maggiori di mezza lunghezza d’onda,
l’intervallo di definizione eccede [0,2p] e questo metodo
non può più essere usato
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
Abbiamo visto che un elevato grado di rastremazione
(Tapering) della distribuzione di corrente dal centro verso i
bordi della schiera produce bassi livelli dei lobi laterali a
scapito del lobo principale, più largo
Talvolta può essere richiesto di avere
contemporaneamente un lobo principale più stretto e dei
lobi laterali più bassi
Si capisce come il miglior compromesso si ha quando si
hanno quanti più lobi laterali possibili, e con lo stesso
livello
Infatti, per una data larghezza del lobo principale, il primo
secondario può essere abbassato spostando il secondo
nullo più vicino al primo
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
Questo comporta un incremento del livello del secondo
lobo laterale, ma è possibile finché il livello di questo non
raggiunge il livello del primo lobo laterale
Quindi il diagramma ottimo si ottiene quando tutti i lobi
laterali hanno lo stesso livello
Polinomi che ben si adattano a descrivere una simile
situazione sono i polinomi di Tchebyscheff definiti come


(1) m cosh m cosh1 x x  1

Tm x   
cos m cos 1 x x  1

cosh m cosh1 x x  1





Schiere di Dolph-Tchebyscheff


Si vede che
T0  1


(1) m cosh m cosh1 x x  1

Tm x   
cos m cos 1 x x  1

cosh m cosh1 x x  1



T1  x
ed i polinomi di ordine superiore si possono ottenere con
la formula di ricorrenza
Tm1 ( x)  2 xTm ( x)  Tm1 ( x)
Inoltre si ottiene che i polinomi di ordine pari sono pari e
quelli di ordine dispari sono dispari
che passano tutti per il punto (1,1)
Tutti gli zeri si hanno nel range -1<x<1
dove tutti oscillano tra -1 ed 1
20
15
10
T( x 0)
5
T( x 1)
T( x 2)
0
T( x 3)
T( x 4)
5
10
15
20
2
1
0
x
1
2
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
quindi se x varia da un valore c (<1 in modulo) ad un valore
x0 (>1 in modulo), il polinomio di Tchebyscheff descrive una
serie di lobi laterali uguali (altezza 1) ed un lobo principale
(altezza>1); questa proprietà li rende adeguati al nostro
compito
Immaginiamo di avere una schiera a 2m elementi
f ( z )  A0  A1 z  ...  A2m1 z 2m1

dividiamo per
e
j 2 m 1
2
ed il modulo ovviamente non cambia quindi
m
f ( )   Am 1 k e
k 1

j ( 2 k 1)
2

 Am  k e
 j ( 2 k 1)
2
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
Se abbiamo elementi simmetrici rispetto a quello centrale
Amk  Am1 k
avremo
m
f ( )  2  Am 1 k
k 1


cos (2k  1) 
2

Analogamente per 2m+1 elementi otterremo
m
f ( )  Am  2  Am k cosk 
k 1
In pratica si dimostra che il fattore di schiera in queste
condizioni è somma di termini cos(kY/2) con k fino a N-1
Ma cos(kY/2) è un polinomio di grado k in cos(Y/2) (per
dimostrarlo si può partire dalla identità di Eulero ed
eseguire le potenze)
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
Quindi: il fattore di schiera di una schiera lineare con N
elementi equispaziati ed alimenttati con correnti con
sfasamento progressivo ed ampiezze simmetriche rispetto
all’elemento centrale è un polinomio di grando N-1 nella
variabile reale cos(Y/2)
Si può quindi imporre che tale polinomio coincida con il
polinomio di T. di ordine N-1
Chiaramente non possiamo semplicemente porre

x  cos
2
o x varierebbe solo tra -1 ed 1, dove i polinomi di T.
variano tra -1 ed 1 e non si avrebbero lobi principali…..
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
Possiamo invece porre
x  x0 cos

con x0  1
2
Allora il lobo principale, corrispondente al massimo, sarà
semplicemente
b  T x 
N 1
0
Posto quindi N-1=m avremo

b  TN 1 x0   cosh m cosh1 x0
Se poi definiamo anche
1

m cosh x0  

Schiere di Dolph-Tchebyscheff
avremo
  cosh1 b
x0  cosh / m
resta da trovare la distribuzione di correnti della schiera. Il
modo migliore è trovare gli zeri
z k  e j k
del polinomio associato, legarli agli zeri xk del polinomio
TN-1(x) mediante la relazione
 k 
xk  x0 cos

 2 
e trovare le ampiezze delle correnti, recuperando il
polinomio come

N 1
f ( z )   z  e j k
k 1

Schiere di Dolph-Tchebyscheff
Per trovare i nulli, poniamo m=N-1 e consideriamo il
polinomio di T di grado m, e poniamo
x  cos
così che
Tm x  cos m cos1 x  cosm

I nulli sono per
ovvero

cos m  0
2k  1
k 
p
2m
e, ovviamente
xk  cos k
k  1,2,..m
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
Gli zeri del polinomio di T sono relazionati a quelli del
polinomio caratteristico, come detto da
 k 
xk  x0 cos

 2 
ovvero
1 
xk
 k  2 cos 
 x0




Schiere di Dolph-Tchebyscheff






E’ dato il rapporto b tra il lobo principale ed il lobo laterale, ed
il numero di elementi da usare N
Si pone m=N-1
1
x0  cosh / m


cosh
b
Si calcolano
Si determinano i nulli del polinomio di T di grado m
2k  1
xk  cos k
k 
p k  1,2,..m
2m
Si relazionano con i nulli del polinomio caratteristico
1  xk 
 k  2 cos  
 x0 
Si calcola il polinomio caratteristico e quindi l’ampiezza delle
N 1
correnti
f ( z )   z  e j k
k 1


Antenne ad apertura: sorgente di Huygens
Elemento bidimensionale di corrente
In pratica una dimensione in più rispetto al dipolo Hertziano
che era un elementino monodimensionale
Consideriamo tuttavia sia un elementino di corrente elettrica
che magnetica: in pratica sono correnti equivalenti
corrispondenti ad elemento di onda piana che si propaga in z
z
Sfruttando il teorema di
equivalenza, possiamo sostituire i
Hy Ex
campi elettrici e magnetici con
y
dx
sorgenti magnetiche ed elettriche
dy
che irradiano su una superficie
x
infinita (z=0)
Ex
J s  u n  H S  u z  H y u y   H y u x   u x A / m
J ms

 M s  E S  u n  u n  E S  u z  Exu x  Ex u y [V / m]
Antenne ad apertura: sorgente di Huygens
Per calcolare i campi useremo sia i potenziali elettrici che
magnetici
 e  jkr
jkr 'u r
A  Ax u x 
J
u
e
dx' dy'

s x
r  4p
r S
Approssimazione introdotta
nella 3a lezione
per una sorgente infinitesima (r’->0)
 e  jkr
A
J s dxdyu x
4p r
Il duale per la sorgente magnetica
 e  jkr
F
M s dxdyu y
4p r
Antenne ad apertura: sorgente di Huygens
dai potenziali elettrici il campo lontano è
E   jA   jAx cos cosf
e
Ef   jAf  jAx sinf
e
(per ricavarci le relazioni
da coordinate
rettangolari a sferiche
possiamo usare la
matrice M che abbiamo
introdotto)
per i potenziali magnetici possiamo ricavare le espressioni
per dualità
E  H' , H  E'
  , J  J m
  m
E  H f
m
m
Ef  H 
m
m



   jFf    jFy cosf


   jF     jFy cossinf

Antenne ad apertura: sorgente di Huygens
Quindi sovrapponendo i contributi
E  Ee  Em   jAx cos cosf  j Fy cosf
Ef  Ef  Ef  jAx sinf  j Fy cossinf
e
m
 jkr
jk
e
E 
Ex
4p
r
dxdycos  1cosf
jk
e  jkr
Ef  
Ex
dxdycos  1sinf
4p
r
Antenne ad apertura: sorgente di Huygens
Il diagramma di radiazione risulta
cos  1
f ( , f  0) 
2
z
ff ( , f  0)  0
x
cardioide
f ( , f  90)  0
cos  1
ff ( , f  90 ) 
2
Apertura rettangolare su piano metallico
infinito
y
x
Applichiamo il principio di
equivalenza+quello delle
immagini+sovrapposizione degli
effetti
Eoy
H ox
z
b
a
n̂  ẑ
E oy
=
Principio di
equivalenza
M s   n̂  E oy
=
Ms
Principio
dell'immagine
Ms
=
Sovrapposizione
degli effetti
2M s
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
Ma qual è il campo sull’apertura?
Ha la distribuzione di campo del modo fondamentale della
guida d’onda (TE10)
In una guida d’onda i modi possibili si ottengono risolvendo
per separazione di variabili l’equazione d’onda ed
imponendo le condizioni al contorno (annullamento campi
tangenziali alla guida)
In pratica si ottiene una (doppia) infinità di soluzioni di tipo
seno/coseno (caratterizzati da indici n,m), ciascuno avente
costante di propagazione reale solo per frequenze maggiori
di una frequenza propria: frequenza di taglio
Il modo con frequenza di taglio più in basso (modo
fondamentale) è il TE di indici 1,0, che ha come campi non
nulli solo Ey, Hx ed Hz
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
y
E yo
p 
 E o cos x u y
a 
a
b
x 
y 
2
2
b2
a

2
b 2
Quindi la sorgente magnetica è
M eq  2M s  2

 u n  E yo

x
a
2
p
 2 Eo cos
a

x u x

y
b2
a

2
M eq
b 2
a
2
x
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
ed il potenziale magnetico vale, per dualità rispetto
all’espressione del il potenziale “lontano” ricavato alla
lezione 3
 e  jkr
jk r 'u 
A
4p
 J(r' )e
r V'
r
dV '
 e  jkr
jk (u r r ')
F
M
(
r
'
)
e
dV '

eq
4p r V '
ora, nel nostro caso in realtà r’ va integrato solo sulla
superficie z=0 cioè
r'  x' u x  y' u y
u r  sin cosf , sinsinf , cos 
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
per cui avremo
 e  jkr  
jksin cosf x ' jksinsinf y '
F
M
(
x
'
,
y
'
)
e
e
dx' dy'


eq
4p r  
 e  jkr  
jkx x ' jk y y '

M eq ( x' , y' )e
e
dx' dy'


4p r  
avendo definito
k x  ksin cosf
k y  ksinsinf
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
Inserendo la corrente magnetica si ha
Fx  2 Eo

4p
a
e  jkr 2
r
b
2
 p  jkx x '
jk y y '
cos
x
'
e
dx
'
e
dy'
 a 



a
b


2
2
 e  j r
 2 Eo
4p r
  Eo
 e  jkr
4
r
 a
cos k x 
 2
 b
sin k y 
p
 2
a
b
b
2  a 2  p 2
k
y
 kx    
2
 2  2
 a
cos k x 
 2
 b
sin k y 
 2
ab
2
2
b
 a  p 
k
y
 kx    
2
 2  2
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
noto il potenziale, abbiamo i campi lontani

E   j  Fx sinfu  Fx cos cosfuf
jk e  jkr
E   Eo
4 r
jk e  jkr
Ef   Eo
4 r
 a
cos k x 
 2
 b
sin k y 
2

absinf
2
2
b
a
p

  
ky
 kx    
2
 2  2 
 a
cos k x 
 2
 b
sin k y 
2

ab cos cosf
2
2
b
 a  p 
ky
 kx    
2
 2  2

Apertura rettangolare su piano metallico infinito
Analizziamo le caratteristiche di tale campo piano per piano
Prima il piano E (YZ)
f
p
y
2
x
Eoy
H ox
kx  0
jk e  jkr
E  Eo 2
r
p
 b
sin k y 
2
ab 
b
ky
2
z
b
k y  ksin
a
Ef  0
Analizziamo il lobo principale: il primo nullo si ha quando si
annulla il seno
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
Quindi
y
 b
sin k y   0
 2
b
 ky  p
2
b
l
 ksin1  p  sin1 
b
2
x
Eoy
H ox
z
b
a
nel caso di b molto maggiore di l l’angolo è approssimabile
direttamente con il rapporto a destra
Chiaramente la larghezza del lobo in tale piano dipende
dall’altezza della fessura b
vediamo il primo lobo secondario, analizzando i massimi; si
tratta di una funzione tipo sinc
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
Calcoliamo quindi i massimi del numeratore
 b
sin k y   1
 2
b 3
 ky  p
2 2
b 3
3l
 ksin1  p  sin1 
2b
2 2
y
x
Eoy
H ox
z
b
a
Notate che abbiamo preso il primo massimo DOPO il primo
zero, visto che siamo interessati al lobo secondario
Possiamo valutare il campo relativo a tale max e confrontarlo
con quello del lobo principale. Per tale valore avremo
jk e  jkr
E (1m )  Eo 2
r
p
 b
sin k y 
 jkr
jk
e
1
2
E
ab 
ab
o
2
b
3
r
p
ky
p
2
2
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
e calcolando il rapporto per valori grandi di b si ha
Emax (  0)
E (1m )
3
 p  13 .5dB
2
notate che vale quanto il rapporto trovato per schiere
uniformi di grandi dimensioni
notate anche che la distribuzione di campo in questo piano
dipende dalla distribuzione della corrente equivalente in y,
dove essa risulta uniforme
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
Prima il piano H (XZ)
f 0
y
x
Eoy
H ox
k x  ksin
z
b
ky  0
 a
cos k x 
 2
jk e  jkr
Ef   Eo
ab cos
2
2
4 r
 a  p 
 kx    
 2  2
a
E  0
Analizziamo il lobo principale: il primo nullo si ha quando si
annulla il coseno
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
Quindi
y
 a
cos k x   0
 2
a 3
 kx  p
2 2
a 3
3l
 ksin1  p  sin1 
2a
2 2
x
Eoy
H ox
z
b
a
nel caso di a molto maggiore di l l’angolo è approssimabile
direttamente con il rapporto a destra
Chiaramente la larghezza del lobo in tale piano dipende
dalla larghezza della fessura a
vediamo il primo lobo secondario, analizzando i massimi
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
Calcoliamo quindi i massimi del numeratore
a
k x  2p
2
a
l
 ksin1  2p  sin1  2
a
2
y
x
Eoy
H ox
z
b
a
Possiamo valutare il campo relativo a tale max e confrontarlo
con quello del lobo principale. Per tale valore avremo
jk e  jkr
l

Ef   Eo
ab cos arcsin2 
4 r
a

1
2p 
2
p 
 
2
2
jk e  jkr
  Eo
ab
4 r
Se a>>l
1
2p 
2
p 
 
2
2
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
Invece il valore del lobo principale è (=0)
 a
cos k x 
 2
jk e  jkr
jk e  jkr
1
Ef   Eo
ab
 Eo
ab
2
2
2
4 r
4
r
 a  p 
p 
k

 x   
 
 2  2
2
ed il rapporto risulta
Emax (  0)
E (1m )
 15  23 .5dB
notate che in questo piano la distribuzione di campo dipende
dalla distribuzione della corrente magnetica in x, che risulta
sinusoidale e non uniforme; quindi più “rastremata”, dolce;
come ci aspettavamo i lobi secondari sono più bassi
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
Diagramma di radiazione per un’apertura con a=3l e b =2l
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
Al variare delle dimensioni sul piano E:

All’aumentare della dimensione b, la larghezza del lobo
principale diminuisce

Ma il rapporto SSL non diviene migliore di 13 dB, anche
aumentando la larghezza b dell’apertura
Al variare delle dimensioni sul piano H:

Simile comportamento con a, anche se con SSL migliori
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
Direttività
La massima densità di potenza si ha per =0 dove si ha
1 
P(r , max , fmax ) 
 E
2 


1 
k ab

E
 o
2  4r  p  2
 

2

2



2
2
 cos f  sin f





2
2
 Ef  



1 
k ab

E
 o
2  4r  p  2
 

2








2
Ora, essendo la direttività per definizione
P(r , max , fmax ) P(r , max , fmax )
D

Wr
Pis
4pr 2
Ci occorre ancora
la potenza
irradiata totale
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
La potenza totale è calcolata come quella che transita
attraverso l’apertura


1
*
Wr   Pap  dS  
Eap  H ap
 dS
Sap
Sap 2
Se si tratta effettivamente di una guida d’onda
rettangolare, e se trascuriamo il coefficiente di
riflessione di tale guida all’apertura, campo elettrico e
campo magnetico trasverso (quindi nel nostro caso Ey ed
Hx) sono legati da una impedenza caratteristica modale
H
0
Ey
Z TE
dove
ux
2
 m, n
ZTE
 mp   np 
 k2 
 

 a   b 



2
1,0
p 
 k2  
a
2
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
Se l’apertura è molto grande avverrà che
2
1,0
p 
 k2    k
a
ZTE




In tali condizioni, sull’apertura
Wr 

1
*
 2 Eap  H ap
Sap
Per cui
a
2
b
2
1 2

2 p
1 Eap

E
cos
x
'

dx' dy'
o  
 dS  
dS
2
a 
a b

Sap 2


2
1 ab 2

 2 2

Eo


2 2
1 
k ab 

P(r , max , fmax )
D
Wr
4pr 2
2
 Eo
2  4r  p  2
 

2


1 ab 2
Eo
2 2
4pr 2





4p 8
l p
2
2
ab
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
Per l’area efficace, useremo l’identità
2
l
8
A
D  2 ab
4p
p
  ap Ageom
Dove abbiamo introdotto un nuovo parametro di efficienza
(tra 0 ed 1) che nel nostro caso è circa 0.81 e sarebbe
stato unitario con correnti uniformi