Modellizzare le decisioni razionali
con la teoria dei giochi.
Gian Italo Bischi
DESP - Dipartimento di Economia, Società e Politica
Università di Urbino “Carlo Bo”
[email protected]
http://www.mdef.it/gian-italo-bischi/
Caldè 27 Luglio 2013
Galileo, da “ Il Saggiatore”
Galileo Galilei 1564-1642
La filosofia è scritta in questo
grandissimo libro che continuamente
ci sta aperto innanzi agli occhi (io
dico l’Universo), ma non si può
intendere se prima non si impara a
intender la lingua, e conoscer i
caratteri, ne’ quali è scritto.
Egli è scritto in lingua matematica, e i
caratteri son triangoli, cerchi ed altre
figure geometriche, senza i quali
mezi è impossibile a intenderne
umanamente parola; senza questi è
un aggirarsi vanamente per un
oscuro laberinto.
The unreasonable effectiveness of
mathematics in the natural sciences
(Eugene P. Wigner, Nobel per la Fisica nel 1963)
Capacità di descrivere e prevedere i fenomeni naturali:
una mela, un pianeta, una particella elementare, un
fluido, un gas …
Una sfida: Può la matematica aiutare anche a descrivere,
prescrivere, prevedere i comportamenti umani?
(Hari Seldon, Parker Pyne …).
Ma il problema del bar di Santa Fe...
Vito Volterra (1860-1940)
Il matematico si trova in possesso di uno strumento
mirabile e prezioso, creato dagli sforzi accumulati
per lungo andare di secoli dagli ingegni più acuti
e dalle menti più sublimi che siano mai vissute.
Egli ha, per così dire, la chiave che può aprire il
varco a molti oscuri misteri dell’universo, ed un
mezzo per riassumere in pochi simboli una sintesi
che abbraccia e collega vasti e disparati risultati di
scienze diverse
Vito Volterra (1860-1940)
[…]
Ma è intorno a quelle scienze nelle quali le matematiche solo da poco tempo
hanno tentato d’introdursi, le scienze biologiche e sociali, che è più intensa
la curiosità, giacché è forte il desiderio di assicurarsi se i metodi classici, i
quali hanno dato così grandi risultati nelle scienze meccanico-fisiche, sono
suscettibili di essere trasportati con pari successo nei nuovi ed inesplorati
campi che si dischiudono loro dinanzi.
dal discorso inaugurale per l’anno accademico 1901-1902 dell’Università di Roma
Problema del monopolista: Più produco e più guadagno?
q = quantità prodotta
p = prezzo unitario di vendita
c = costo unitario di produzione
Profitto = Ricavo – Costo = p q – c q = (p – c) q
Teorema.
Se p > c allora il profitto cresce ogniqualvolta cresce la produzione
Ma ci sono sempre dei consumatori disposti a comprare ciò che si
produce al prezzo imposto dal monopolista ?
q (quantità venduta) e p (prezzo di vendita) non sono indipendenti
Il prezzo decresce al crescere della quantità
ovvero
la quantità acquistata è funzione decrescente del prezzo
Esempio: Funzione di domanda lineare
p
p= A–B q
q
profitto del monopolista = p q – c q = (A – B q) q – cq
P = f (q) = – B q2 + (A – c) q
è una parabola!
Profitto
Ac
2B
Ac
B
quantità prodotta
Problema del duopolio
A. Cournot, Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse, 1838.
Due produttori, 1 e 2, vendono lo stesso prodotto
Il produttore 1 produce e immette nel mercato q1 con costi c1q1
Il produttore 2 produce e immette nel mercato q2 con costi c2q2
prezzo: p = A – B QTOT = A – B ( q1 + q2)
Profitto produttore 1: P1 = pq1 – c1q1 = [ A – B ( q1 + q2 )]q1 – c1q1
Profitto produttore 2: P2 = pq2 – c2q2 = [ A – B ( q1 + q2 )]q2 – c2q2
P1 = [ A – B ( q1 + q2)]q1 – c1q1 = – Bq12 + (A – c1 –Bq2 )q1
A  c1  Bq 2
Max per q1  r1 (q2 ) 
2B
P2 = [ A – B ( q1 + q2)]q2 – c2q2 = – Bq22 + (A – c2 Bq1 )q2
A  c2  Bq1
Max per q2  r2 (q1 ) 
2B
 q1  r1 (q2 )
Equilibrio:
q2  r2 (q1 )
A  2c1  c2
q 
3B
*
1
q2
Equilibrio di Cournot-Nash
A  2c2  c1
q 
3B
*
2
q1
Non basta semplicemente adattare i metodi e
i ragionamenti della fisica alla
modellizzazione dell’economia perché
l’economia è una scienza morale.
Essa ha a che vedere con motivazioni,
aspettative, incertezze psicologiche.
È come se la caduta della mela al suolo
dipendesse dalle aspirazioni della mela, se
per lei sia conveniente o meno cadere a
terra, se il suolo vuole che essa cada, e se vi
sono stati errori di calcolo da parte della
mela sulla sua reale distanza dal centro del John Maynard Keynes (1883–1946)
pianeta”
Aggiungiamo:
come e quanto la mela si fa condizionare dal comportamento delle
altre mele dello stesso albero o di alberi vicini, le aspirazioni e
aspettative dellac mela, le informazioni che la mela ha, ecc.
Verso una “Matematica per le decisioni”.
Occorre introdurre una descrizione formale di azioni possibili,
informazioni sugli esiti, preferenze, razionalità.
Parte oggettiva:
A= insieme di azioni {a1, a2, …, am}
E = insieme di eventi {e1, e2, …, em} con ei= h(ai), i=1,…m
Parte soggettiva:
L’insieme E sia dotato di una relazione di preferenza: simbolo   …
ei ;-)) ej
significa: ei preferito o indifferente a ej, ovvero ej non peggio di ei
Preferenze razionali: transitività
arancia ;-)) pera
e
pera ;-)) mela, allora arancia ;-)) mela
Perché individui non transitivi non ci sono?
Una possibile spiegazione evolutiva (money pump)
E = {x1=mela, x2=pera, x3=arancia}
Supponiamo che un individuo abbia preferenze non transitive (o cicliche)
Preferenze x1 ;-) x2 , x2 ;-) x3 ,
x3 ;-) x1
Gli regalo una mela.
Poi gli offro in cambio un’arancia e gli chiedo 1 cent in aggiunta.
Poi gli offro una pera e gli chiedo 1 cent in aggiunta.
Poi gli offro una mela e gli chiedo 1 cent in aggiunta.
Poi…
Un esempio: da transitività individuale a non transitività collettiva
Il paradosso di Condorcet
1°
2°
3°
1
A
B
C
2
B
C
A
3
C
A
B
Cioè per l’elettore 1
A ;-) B ;-) C
ecc.
Con un unico turno non c’è vincitore
Due turni: I) A contro B ….vince A
II) A contro C …. vince C
Quindi per la collettività dei 3 elettori A ;-) B e C;-) A
Proviamo a cambiare il primo turno
I) B contro C …. vince B
II) B contro A … vince A (come sapevamo)
Quindi: B ;-) C e A ;-) B
Riassumendo: A ;-) B , B ;-) C , C ;-) A
preferenze cicliche!!
Funzione di utilità: un valore numerico (una misura) alle preferenze
e1 ;-)) e2  u(e1)  u(e2)
Es. u(mela) = 10, u(pera) = 15 , u(arancia) = 20
Azioni
x1
x2
.
.
.
xn
utilità (funzione di preferenza)
u(x1)
u(x4)
u(x2)
.
.
.
u(xn)
x* : max u( xk ) k=1,…,n
u(x1)
u(x3)
x1
x2
x3
x4
x5
Se x è una variabile continua (cioè x [a,b] ) allora u:[a,b]→
abbiamo un tipico problema di ricerca di un massimo assoluto
in un compatto, detto spazio delle azioni
x
Interazione strategica
John (János) von Neumann
Budapest (Ungheria) 1903
Washington (USA) 1957
Princeton, 1947
Oskar Morgenstern
Görlitz (Germania) 1902
Princeton (USA) 1977
DECISIONI IN PRESENZA DI INTERAZIONE STRATEGICA
Dall'oroscopo di Linda Wolf del 3 dicembre 2009
Ariete.
Anche se siete sicuri del fatto vostro
fate molta attenzione alle decisioni degli altri
Interazione strategica, uA = uA (xA ,yB) : matrici dei payoffs aij= u(xi,yj)
b1
b2
...
bm
a1
a11
a12
...
a1m
a2
a21
a22
a2m
B
A
.
.
.
an
...
an2
anm
Payoff giocatore A in presenza di B
A
b2
...
bm
a1
b11
b12
...
b1m
a2
b21
b22
an
bn1
.
.
.
..
.
an1
b1
A
B
B
b1
b2
a1
(a11,b11) (a12,b12)
a2
(a21,b21) (a21,b21)
.
.
.
an
..
.
bn2
...
bnm
Payoff giocatore B in presenza di A
...
...
bm
(a1m,b1m)
(a2m,b2m)
..
.
(an1,bn1) (an1,bn1)
b2m
Bimatrice dei payoffs
...
(anm,bnm)
Principio di razionalità.
Un giocatore non sceglie l’azione x se ha a disposizione una scelta y che gli
permetta di ottenere di più qualunque siano le scelte dell’altro (o degli altri)
giocatori
Esempio:
b1
b2
b3
a1 (0,1)
(1,0)
(-1,2)
a2
(2,2)
(3,2)
(0,1)
b1
b2
b3
(1,0)
(-1,2*)
B
A
B
A
a1 (0,1)
a2
(2*,2*) (3*,2*) (0*,1)
Metodo dell’eliminazione
delle strategie dominate
Metodo del best reply
(risposta ottima)
Preferisci che dia 5 euro a te oppure 10 al tuo amico?
Giocatore A: a1: 5 a me
a2: 10 a B
Giocatore B: b1: 5 a me
b2: 10 ad A
A
B
b1
b2
a1
(5*,5*)
(15*,0)
a2
(0,15*)
(10,10)
Dilemma del prigioniero
Se denunci il tuo complice ti lasceremo libero (legge sui collaboratori) e il tuo complice
starà in prigione per 10 anni. Ma se il tuo complice fa altrettanto allora sarete dichiarati
entrambi colpevoli e, pur usufruendo dello sconto per aver collaboratori, rimarrete in
carcere 5 anni ciascuno. Se entrambi tacete, 1 anno di prigione ciascuno per guida
pericolosa e detenzione di armi.
A
Tace
Accusa
B
Tace
Accusa
(-1,-1)
(-10,0*)
(0*,-10)
(-5*,-5*)
Gioco proposto da Merrill Flood e Melvin Dresher, Rand Corporation 1950,
per le possibili applicazioni ad una strategia nucleare globale.
La versione "il dilemma di prigioniero" si deve ad Albert Tucker che volle rendere più
accessibili le idee di Flood e Dresher a un pubblico di psicologi di Stanford.
Dilemma del Pescatore
Fisherman
Fisherman C
R
Moderate
Intensive
exploitaton exploitation
(cooperative) (competitive)
Moderate
exploitaton
(cooperative)
(3, 3)
Intensive
exploitation
(competitive)
(4, 1)
(1, 4)
E la mano invisibile
di Adam Smith?
(2, 2)
Un tipico dilemma sociale
Hardin, G. “The tragedy of the commons”, Science (1968).
In generale …
A
a1
a2
B
b1
b2
(a,a)
(b,c)
(c,b)
con c > a > d > b
(d,d)
Altre situazioni :
 Scambio a scatola chiusa
 Corsa agli armamenti e politiche di disarmo
 Parlare a voce alta in pizzeria
Inquinare o no?
Porto il casco per correre in bici?
E’ meglio il più o il meno?
u(x)
Singolo decisore
x
Interazione strategica
A
a1
B
a2
A
a1
a2
B
b1
b2
(10,10)
(3,15*)
(15*,3)
(5*,5*)
b1
b2
(8*,8*)
(2*,7)
(7,2*)
(0,0)
E’ meglio avere più possibilità di scelta?
u(x)
Singolo decisore
x2
x1
Interazione strategica
A
a1
B
b1
x3
b2
(1,1)
(5,3*)
(3*,5)
(10*,10*)
b1
b2
(1,1)
(5,3)
(0,4*)
a2
(3,5)
(10,10)
(0,11*)
a3
(4*,0)
(11*,0)
(1*,1*)
a2
A
a1
B
b3
x
B
A
b1
b2
a1
0,4*
4*,0
b3
5,3
Non ha strategie dominate da eliminare
Comunque ha un unico equilibrio di Nash
a2
4*,0
a3
3,5
3,5
B
A
b1
b2
b3
b4
a1
1,4
-1,6*
3,0
2*,2
a2
2*,0
4,0
6*,0
2*,1*
a3
0,4
5*,6*
0,-2
-1,1
0,4*
5,3
6*,6*
Si poteva eliminare al prima riga, poi
la terza colonna e poi la prima
colonna
Un equilibrio di Nash sopravvive all’eliminazione iterata di strategie dominate, ma
nessuno mi garantisce che l’eliminazione iterata sia in grado di rimuovere tutto
tranne gli equilibri di Nash
B
b1
b2
a1
(1,1)
(0,0)
a2
(0,0)
(0,0)
A
B
b1
b2
a1
(1,1)
(0,0)
a2
(0,0)
(1,1)
A
tenere la destra o la sinistra?
B
b1
b2
a1
(1,2)
(0,0)
a2
(0,0)
(2,1)
A
battaglia dei sessi:
shopping o partita?
Facile se ciascuno conosce la matrice dei
payoff e sa che l’altro è razionale e sa
che l’altro sa…
Gioco di puro coordinamento.
Se giochiamo la stressa strategia va bene per
entrambi, se giochiamo diverso male per
entrambi. Occorre comunicazione preliminare,
(poi non c’è pericolo di defezione)
Anche qui due equilibri di Nash, ma difficile
accordo preliminare. Se ciascuno persegue il
proprio Nash preferito si finisce in (0,0). E
anche un eccesso di altruismo da parte di
entrambi…
B
A
b1
b2
a1
(0,0)
(1,1)
a2
(1,1)
(0,0)
B
b1
b2
a1
(0,0)
(1,2)
a2
(2,1)
(0,0)
A
A
B
Accelera
Apriamo un negozio dello stesso tipo o di
tipo diverso?
E se uno dei due articoli offre maggiori
profitti?
Frena
Accelera
(-1,-1)
(2*,0*)
Frena
(0*,2*)
(1,1)
Gioco del Chicken
(Gioventù bruciata)
Attacco nucleare (guerra fredda USA URSS)
Giochi a somma zero
non ci sono equilibri di Nash inefficienti
b1
b2
b3
B
A
minimo guadagno
su ogni riga
a1
9 ,-9
3 ,-3
0 ,0
0
a2
6,-6
5 ,-5
7,-7
5
a3
-1 ,1
4,-4
9 ,-9
-1
9
5
9
max fra i min guadagni
(maxmin)
massima perdita su ogni colonna
min fra le max perdite
(minmax)
Equilibrio: maxmin = minmax = sella della matrice
Gioco a somma zero
- non ci sono equilibri di Nash inefficienti (interessi contrapposti)
- vale la proprietà di rettangolarità: se ci sono più strategie di Nash ciascuno può
scegliere le proprie Nash senza preoccuparsi di quale sceglie l’altro (purché razionale)
b1
B
b2
b3
b4
b5
0
4
7
3
2
0
a2
5
8
9
5
6
5
a3
1
5
3
2
1
1
a4
5
10
8
5
9
a5
0
9
6
1
7
5
10
5
9
A
a1
massime perdite
minmax
9
minmax
minimi guadagni
5
0
maxmin
maxmin
Giochi senza equilibrio di Nash (in strategie pure)
B
A
P
D
B
A
P
D
-1,1*
1*, -1
1*, -1
-1,1*
S
S
0,0
F
C
Morra (pari-dispari)
Matching pennies
Due luoghi, due ex fidanzati con interessi opposti
C
F
1*, -1
-1, 1*
-1, 1*
0,0
1*,-1
1*,-1
-1,1*
Morra cinese: Sasso, Forbici, Carta
0,0
Idea delle strategie miste e loro interpretazioni 
Matching pennies a strategie miste
A
p
a1
(1- p) a2
B
q
b1
-1,1
1,-1
Funzioni di reazione
(1- q)
b2
1

1
se
0

q


2

1
p  RA ( q)   [0,1] se q 
2

0 se 1  q  1

2
1,-1
-1,1
1

0
se
0

p


2

1
q  RB ( p )   [0,1] se p 
2

1
1 se  p  1

2
Payoff attesi da A in base alle scelte attese da parte di B
payoff atteso VA(a1) = -1q + 1(1- q) = 1−2q
payoff atteso da VA(a2) = 1q −1(1- q) = 2q - 1
Quindi VA(a1)> VA(a2) se q<1/2
p
1
Analogamente per il giocatore B
payoff atteso VB(b1) 1p − 1(1- p) = 2p − 1
1
2
payoff atteso da VB(b2) -1p + 1(1-p) = 1 − 2p
Quindi VB(b1)> VB(b2) se p>1/2
1
2
1
q
Battaglia dei sessi con strategie miste
A
p
a1
(1- p) a2
B
q
b1
2,1
0,0
Funzioni di reazione
(1- q)
b2
1

 0 se 0  q  3

1
p  RA ( q)   [0,1] se q 
3

01 se 1  q  1

3
0,0
1,2
2

0
se
0

p


3

2
q  RB ( p )   [0,1] se p 
3

2
1 se  p  1

3
Payoff attesi da A in base alle scelte attese da parte di B
payoff atteso VA(a1) = 2q
payoff atteso da VA(a2) = 1- q
Quindi VA(a1)> VA(a2) se q>1/3  p=1
Analogamente per il giocatore B
payoff atteso VB(b1) = p
p
1
2
3
payoff atteso da VB(b2) = 2(1-p) = 1 − 2p
Quindi VB(b1)> VB(b2) se p>2/3  q=1
1
3
1
q
Gioco degli aiuti umanitari
Due paesi ricchi hanno sovrabbondanza di beni rapidamente deteriorabili (es.
alimentari) e decidono di regalarli a paesi poveri per ottenere un’influenza politica
o alleanza in caso di conflitto.
Due i paesi beneficiari, I e II; 4 e 3 le unità di beni a disposizione di A e B risp.
Se un paese ricco dà a uno povero più unità del bene se ne assicura il controllo (+1)
se meno perde il controllo (-1) se uguale neutralità (0).
Può A sfruttare il vantaggio (4 contro 3) per controllarli entrambi?
A
a1:4,0
B
b1
3,0
b2
2,1
b3
1,2
b4
0,3
1
0
0
0
0
Payoff di A:
somma algebrica
dei controlli
a2:3,1
1
1
0
gioco a somma 0
a3 :2,2
0
1
1
0
a4 :1,3
0
0
1
1
a5 :0,4
0
0
0
1
b1
3,0
b2
2,1
b3
1,2
b4
0,3
1
0
0
0
a2:3,1
1
1
0
0
a3 :2,2
0
1
1
0
a4 :1,3
0
0
1
1
a5 :0,4
0
0
0
1
A
B
a1:4,0
A
p
B
q
b1
a2
1
(1- p) a4
0
(1- q)
b4
0
1
Soluzione
p=q=1/2
Mosse successive con informazione completa.
Giochi in forma estesa e induzione a ritroso.
I
Ci aumentiamo lo stipendio?
Passa se votato da almeno due su tre.
S
Si vota a turno e in modo palese
II
a: voto no e passa
b: voto sì e passa
c: voto no e non passa
d: voto sì e non passa
III
preferenze
S
a>b>c>d
N
S
S
N
N
S
N
S
S
N
S
(b,b)
N
N
(b,b,b) (b,b,a) (b,a,b) (d,c,c) (a,b,b) (c,d,c) (c,c,d) (c,c,c)
S
S
N
N
(b,a)
S
(a,b)
N
N
(c,c)
b
a
Forma estesa e strategica. Un esempio
Due “giocatori”, scimmia grande S e scimmia piccola s.
Per mangiare almeno una deve salite sull’albero delle noci di cocco, e scuotere i rami
per farle cadere. Ciascuna ha due strategie c = climb w = wait
(c,c) S spende due per salire e poi mangia 7, s mangia 3:
(c,w) s mangia 4 prima che S arrivi, poi S mangia 6:
(w,c) S mangia 9 e s mangia 1 che è rimasto:
(w,w) :
(5,3)
(4,4)
(9,1)
(0,0)
Mosse simultanee (ovvero senza sapere cosa fa l’altro)
S
c
w
s
c
5,3
9*, 1*
S
w
c
4*, 4*
s
0,0
c
Due equilibri di Nash, scelta difficile perché
entrambi presentano il pericolo di restare a
digiuno se l’altro defeziona.
Non è facile un accordo preventivo
w
(5,3)
w
c
(4,4) (9,1)
w
(0,0)
Passiamo a mosse consecutive a informazione completa. S decide per primo e poi s
S
c
Potatura della scelta di s
(considerato razionale)
w
S
s
c
w
c
w
c
(4,4)
(4,4)
(5,3)
(9,1)
w
(9,1)
(0,0)
Unica soluzione: (w,c)
S ha due strategie: c,w
S ne ha 4: cc (arrampica cmq), cw (imita), wc (fa l’opposto), ww (attende cmq)
s
cc
cw
wc
c
5,3
5*,3
4,4*
w
9*,1*
S
0,0
9*,1*
ww
4*,4*
0,0
3 Eq. Nash, ma solo (w,cc) e (w,wc)
sono perfetti nei sottogiochi, ma
(w,wc) è preferibile per s (perché un
errore di S gli dà 4 invece di 3). La
minaccia di s do giocare w potrebbe
essere credibile perché perde solo 1
Ultimatum game.
Due giocatori. Il primo (proponente) può ottenere un premio di E euro a patto
che ne ceda una parte X al secondo giocatore (ricevente).
Se questi accetta ciascuno prende la propria parte, E-X il primo, X il secondo.
Se questi rifiuta non prende niente nessuno dei due.
Unico equilibrio di Nash:
X > 0 più piccolo possibile
(E-X,X)
(0,0)
Le evidenze sperimentali sono molto diverse: il proponente offre tra il 30% e il 40%
della somma totale, il 50% dei riceventi rifiutano se l’offerta è minore del 20% di E
Dictator Game (o di puro altruismo)
Il proponente ha la possibilità (non l’obbligo) di donare una parte
al ricevente, senza avere ritorsioni.
Le evidenze sperimentali mostrano che X è tra il 10% e il 25% se i
due giocatori si conoscono.
Invece in caso di doppio anonimato il 70% circa non lascia nulla e
il rimanente tra il 10% e il 20%
Behavioral economics (Economia comportamentale)
Asta da un dollaro
Si mettono all’asta 100 euro, partendo da un’offerta iniziale di 1 € .
Chi offre di più si aggiudica i 100 euro, ma anche chi fa la seconda
offerta paga, senza però vincere nulla.
…proviamo…
all’inizio sembra una buona opportunità…
ai 50 euro ci si rende conto che il banditore ha fatto un affare …
ai 99 euro si vorrebbe smettere ma…
conviene offrire 100 e poi 101… se non vogliamo perdere tutto…
aste realmente effettuare sono arrivate a 300-350 euro, con un guadagno del
700% da parte del banditore !!!
Si tratta della tipica situazione in cui il vincitore paga un prezzo
sproporzionato rispetto al premio che ottiene, lo sconfitto paga un
alto prezzo per una battaglia che non frutta nulla.
Morale: era meglio non iniziare
Premio Nobel, 1994 "for their pioneering analysis of equilibria in the
theory of non-cooperative games"
Harsanyi
Nash
Selten
Premio Nobel, 2005 "for having enhanced our understanding of conflict
and cooperation through game-theory analysis"
Aumann
Schelling
Premio Nobel Economia, 2007 "for having laid the foundations of
mechanism design theory"
Myerson
Maskin
Hurwicz
Nobel 2012 “per le loro ricerche sulla teoria dei giochi applicata al funzionamento dei
mercati.
Shapley
Roth
Alcune letture
Roberto Lucchetti “Scacchi e scimpanzé” Bruno Mondadori 2012
Pierluigi Argoneto “I Radiohead, l’arcobaleno e il piede sinistro di Dio”,
Armando Editore 2009
Roberto Lucchetti “Passione per Trilli” Springer Italia 2007
Fioravante Patrone “Decisori (razionali) interagenti”, Plus edizioni 2006
Tom Siegfried “E’ la matematica, bellezza!”, Bollati Boringhieri 2006