Appraisal value e modellizzazione stocastica:
un percorso obbligato?
Fulvio Gismondi
Università di Roma La Sapienza
Bologna, 19 gennaio 2004
VI Congresso Nazionale di Scienza e Tecnica delle Assicurazioni - Bologna 18-20 gennaio 2004
La domanda
 Da un tradizionale approccio di tipo classico, deterministico, da
tempo sono stati prodotti contributi verso una modellizzazione
stocastica del processo valutativo: le applicazioni condotte (e
pubblicate) dai principali gruppi assicurativi rimangono ancorate,
sebbene con maggiori capacità informativa sviluppata nel tempo,
all’approccio tradizionale.
 Siamo in presenza del materiale gap temporale tra contributi
scientifici e metodologia applicata o esistono fattori che influenzano
in modo rilevante l’evoluzione dell’approccio metodologico?
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La domanda
 Valutazione se l’approccio stocastico risulta un percorso obbligato.
 Non sempre l’evoluzione dei processi valutativi risulta allineata nel
tempo allo sviluppo scientifico sull’argomento; spesso la
congiunzione avviene solo in presenza di elementi costrittivi, che
rendono necessario tale allineamento.
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L’articolazione dell’analisi
 Viene affrontata l’evoluzione e lo stato dell’arte relativo al processo
valutativo di tipo appraisal value attraverso l’analisi, sotto il profilo
metodologico, delle esperienze maturate; sono trattate la view e le
azioni degli agenti esterni, sono espresse alcune riflessioni di sintesi.
 L’analisi non ha previsto applicazioni a portafogli assicurativi ed ha
richiesto chiarimenti sull’etimologia riferita alla tematica.
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Chiarimenti etimologici
 Appraisal value
 Embedded value
 Adjusted net asset value
 Value business in-force
 Goodwill
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Evoluzione e stato dell’arte
 La genesi: capacità informativa e azione difensiva.
 Lo stato dell’arte: Europa continentale, Australia, Sud Africa,
Canada, USA.
 La metodologia: i reporting pubblicati, sebbene con capacità
informative differenziate, sono riconducibili all’approccio
tradizionale di tipo deterministico; alcune realtà assicurative
determinano, per uso interno e non pubblicistico, l’AV/EV con
metodologie stocastiche.
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L’approccio metodologico
 La valutazione del goodwill può essere ricondotta, sotto il profilo
matematico, alla valutazione del value business in-force in quanto la
prassi valutativa adotta generalmente tre criteri; in particolare:
a. ipotesi di nuova produzione per un definito numero di anni e
valorizzazione della produzione;
b. valore della produzione dell’ultimo anno moltiplicato un
coefficiente;
c. valore dell’embedded value moltiplicato un’aliquota.
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Metodo deterministico per il value business in-force
 Introdotto U t , M t , vt , it e V (t ) risulta
¥
V (t ) =
å
k= 1
- k
U k (1 + vk ) -
¥
å
- k
M k - 1 (vk - ik )(1 + vk )
k= 1
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Metodo deterministico per il value business in-force
 Fasi operative:
Step 1
Step 2
Step 3
Step 4
Step 5
si fissa uno scenario best estimate;
si definisce la curva dei tassi di sconto;
si determinano gli utili periodali;
si calcola il costo del margine di solvibilità;
si effettua l’analisi di sensitività.
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Step 1: ipotesi best estimate
 Funzioni di sopravvivenza e di eliminazioni per rescissione, riscatto
e riduzione.
 Curve di rendimento per gli attivi a copertura della riserva e del
margine di solvibilità; in particolare:
rt j = r + a tj
 Dinamica delle spese di acquisizione, gestione e liquidazione
 Evoluzione dell’aliquota di tassazione degli utili
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Step 2: definizione dei tassi di sconto
 La struttura dei tassi fa riferimento, nell’impianto deterministico, al
tasso free-risk maggiorato di uno spread costante o variabile
rappresentato dal premio di rischio
 Un’applicazione semplificata del CAPM mostra:
vt = r + b ×rmt
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Step 3, 4 e 5: utili, costo del margine e sensitività
 Gli step 3 e 4 non presentano difficoltà applicative; le procedure di
calcolo sono caratterizzate da formule finanziarie ed attuariali
rivenienti dalle condizioni tecniche specifiche dei contratti in
portafoglio.
 Lo step 5 prevede la misurazione della variazione del valore dovuta
a variazione delle ipotesi (in prima istanza della curva dei tassi di
sconto) e l’analisi di variazione tra due periodi.
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Metodo stocastico per il value business in-force
 Gli approcci stocastici vengono suggeriti nella letteratura per la
criticità degli steps 1 e 2; fattori quali i rendimenti, la mortalità e i
riscatti non possono che considerarsi variabili aleatorie.
 La soluzione prospettata, è l’adozione di modelli stocastici di
governo dell’incertezza dei tassi finanziari e della mortalità.
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Metodo stocastico per il value business in-force
 La modellizzazione stocastica dei fattori finanziari è stata realizzata
con riferimento a processi di evoluzione dei tassi e dei prezzi
azionari di tipo browniano: si ipotizza una distribuzione log-normale
del prezzo a scadenza dell’opzione e dell’intensità istantanea di
interesse.
 L’incertezza dei mercati azionari è gestita con il modello di Black e
Scholes, l’incertezza dei tassi di interesse è trattata con il modello
CIR; la modellizzazione stocastica dell’impianto finanziario
definisce la riserva stocastica della polizza.
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Metodo stocastico per il value business in-force
 Un esempio
 Introdotto
qt ,k = prob(x + t + k - 1 £ Tx < x + t + k Tx > x + t )
T- t
CT = Ct Z t ,T = Ct Õ (1 + r t + h )
T = 1, 2,K
h= 1
risulta
¥
R (t ) = Ct å qt ,k (1 + i ) = Ct
- k
k= 1
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Metodo stocastico per il value business in-force
 La definizione delle riserva stocastica può avvenire con le seguenti
posizioni:
 utilizzo del modello CIR
drt = a (g - rt )dt + r rt dWt r
 il prezzo di mercato del rischio obbligazionario
q (t , rt ) = p
(
r (t ) r
)
 dinamica neutrale al rischio
drt = a%(g%- rt )dt + r rt dW%t r
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Metodo stocastico per il value business in-force
 utilizzo, per la componente azionaria del fondo S, del modello di
Black e Scholes
dSt = mSt dt + s St dWt S
 dinamica neutrale al rischio è utilizzata nella forma
dSt = rt St dt + s St dW%t S
 fonti di incertezza rt e St sono considerate stocasticamente
dipendenti
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Metodo stocastico per il value business in-force
 applicazione standard del principio di arbitraggio
æ - T r du ö÷
çç
òu ÷
%
ç
V (t , YT )= Et çYt e t ÷
÷
÷
çç
÷
çè
ø÷
 con riferimento alla prestazione della polizza
V (t , YT )= prob* (eT )a eT CtV (t , Z tT )
 posto con z (t , T )= V (t , Z t
T
¥
) la riserva stocastica V%(t ) risulta
¥
V%(t ) = Ct å q z (t , t + k )+ Ct å st*,k b t + k z (t , t + k )
*
t ,k
k= 1
k= 1
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Metodo stocastico per il value business in-force
 Con riferimento all’approccio introdotto risulta
V (t ) = R(t ) - V%(t )
ove V%(t ) è modellata con riferimento alle ipotesi tecniche,
demografiche e finanziarie previste: le prime, considerate
indipendenti dalle seconde, vengono impiegate come nello scenario
deterministico, le seconde sono modellizzate con la metodologia
stocastica descritta
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Metodo stocastico per il value business in-force
 L’approccio stocastico alla mortalità
 Un esempio: il modello mean reverting brownian gompertz
consente la trattazione della sopravvivenza in termini stocastici
utilizzando mx+ t:t intensità istantanea di mortalità stocastica; in
particolare risulta
mx+ t:t = mx:0e
g x ,n ×+
t s xYt
dYt = - bYt dt + dWt
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Metodo stocastico per il value business in-force
 Lo sviluppo dei contributi scientifici in ambito stocastico ha
mostrato la capacità di governo dell’aleatorietà dei tassi finanziari e
della mortalità, con particolare riferimento alla determinazione del
fair value di un contratto assicurativo, ma, all’attualità, nell’ambito
della valutazione dell’appraisal value, non appare delineato, per
l’approccio stocastico, un quadro di riferimento standardizzato come
in campo deterministico, in grado di definire la specifica trattazione
di tutte le componenti necessarie alla valorizzazione dell’impresa.
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Gli agenti esterni
 Condizionamenti da fattori che definiamo agenti esterni; in
particolare intendiamo:
 gli analisti finanziari,
 i reporting americani,
 l’evoluzione IAS nel settore assicurativo.
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Analisti finanziari
 Gli analisti, lamentano una non elevata efficienza informativa (poor
segmental disclosure).
 La view è fortemente condizionata dai fattori consistency e
comparability.
 L’approccio stocastico può soddisfare maggiormente la consistency
ma sconta un difficile passaggio nell’ambito comparability; inoltre le
metodologie stocastiche introducono fattori di elevato incremento di
complexity.
 Il mercato può accettare, per una più efficiente consistency, una più
elevata complexity?
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Reporting americani
 L’approccio di tipo AV/EV negli USA non ha, all’attualità, rilevanza
in campo assicurativo; gli analisti finanziari non lo considerano
essenziale.
 Presenza del sistema US GAAP e della reportistica di riferimento:
efficienza informativa per il mercato.
 L’approccio insito nelle metodologie US GAAP sostanzialmente
pervase da formule standard, non appare omogeneo con quello di
riferimento alle metodologie AV/EV, fondate su ipotesi specifiche
dell’impresa (company judgment).
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Evoluzione IAS nel settore assicurativo
 ED 5 Insurance contracts e fair value: approccio stocastico come via
naturale alla modellistica di riferimento.
 Esiste una intersezione/sovrapposizione dei concetti di embedded
value e fair value; ipotizzata l’affermazione del fair value,
l’approccio stocastico nell’AV/EV risulterebbe avvantaggiato ma è
pur vero che l’intera metodologia AV/EV potrebbe essere messa in
discussione.
 E’ razionale, ad esempio, ipotizzare negli USA quattro sistemi di
reporting (statutory, gaap, appraisal value, fair value)?
 Lo stesso futuro dell’approccio fair value risulta incerto.
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Alcune conclusioni
 L’approccio stocastico alla valutazione del contratto assicurativo e in
generale del portafoglio polizze, stante l’aleatorietà dei principali
parametri coinvolti, appare la via naturale capace di esprimere
efficiente informativa di riferimento; l’elemento di maggiore criticità
dell’approccio deterministico è il paradigma della linearità su cui
trova fondamento.
 L’evoluzione del fair value nell’ambito assicurativo appare un
propulsore all’approccio stocastico ma non necessariamente alla
metodologia stocastica per la valutazione dell’Appraisal value: il
futuro (peraltro incerto) di un’eventuale reportistica di tipo fair value
potrebbe, in linea teorica, portare alla dismissione della metodologia
AV/EV.
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Alcune conclusioni
 L’approccio deterministico ha oggi raggiunto, nelle applicazioni
riferite ai principali gruppi assicurativi, un grado medio di capacità
informativa e di omogeneità; la consistency rimane di livello più
basso, ancorata alla debolezza dello scenario best estimate; l’analisi
per differenti scenari supporta unicamente il posizionamento
soggettivo dell’analista con riferimento alla propria valutazione del
rischio.
 L’approccio stocastico soddisfa maggiormente l’efficienza della
capacità informativa ma comporta elevata complessità; in un ambito
costi/benefici, sia per l’impresa, sia per il mercato, può esistere un
razionale compromesso tra consistency e complexity
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Alcune conclusioni
 Il compromesso può discendere anche da una corretta
interpretazione del concetto di modello matematico.
Per modello s’intende un costrutto matematico che, con l’aggiunta
di certe interpretazioni verbali, descrive dei fenomeni osservati. La
giustificazione di un siffatto costrutto matematico è soltanto e
precisamente che ci si aspetta che funzioni – cioè descriva
correttamente i fenomeni in un’area ragionevolmente ampia. Inoltre
esso deve soddisfare certi criteri estetici – cioè, in relazione con la
quantità di descrizione che fornisce, deve essere piuttosto semplice.
 Soddisfare i criteri estetici può interpretarsi come soddisfare un
buon rapporto costi/benefici fra l’esigenza della semplicità e quella
nell’efficacia nella descrizione; spetta al modellizzatore individuare
un ragionevole trade-off.
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Alcune conclusioni
 Un equo compromesso può risultare limitando il riferimento ai
processi stocastici ai rendimenti, mortalità e riscatti, gestendo in
modo deterministico le altre componenti della metodologia appraisal
value (in particolare le spese, l’imposizione fiscale, la dinamica del
margine di solvibilità).
 Appare inoltre razionale perseguire lo sviluppo della metodologia
stocastica mantenendo, con le opportune modifiche, lo schema
utilizzato nell’approccio deterministico; attualizzazione degli utili
futuri al netto del costo del margine di solvibilità.
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Alcune conclusioni
 La risposta alla domanda
 L’appraisal value è un processo di valutazione dal futuro
incerto, dipendenti da fattori esogeni la cui evoluzione non è ad
oggi definita; nell’ipotesi di una consolidata affermazione del
principio valutativo, l’approccio stocastico appare un percorso
obbligato nella condizione in cui riesce a limitare la complessità
e a sviluppare la capacità di confronto omogeneo: è razionale
considerare processi aleatori parte delle variabili in gioco, è utile
mantenere (con le opportune variazioni) lo schema d’impianto
del modello deterministico.
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