ANALISI NUMERICA
Introduzione
Importanza
Avvento dei calcolatori
Tecniche:
metodi iterativi (sperimentali)
differenze finite
elementi finiti
gusci finiti (shell)
Numerosi campi di applicazione
Le differenze finite
FORMULAZIONE
Rappresentazione di una derivata come una serie di Taylor troncata
Definita una funzione T(x) (temperatura in funzione dello spazio), si può scrivere il
suo sviluppo nell’intorno di xi
 dT  h
T xi  h   T xi   h
 
 dx i 2
2
 d 2T  h3  d 3T 
h n  d nT 
 2   
  .......  
  ....
n!  dx i
 dx i 6  dx i
Troncando (commettendo un errore) lo sviluppo al 2° termine si ha:
 dT  T xi  h   T xi 
 o( h )

 
h
 dx i
Introducendo la simbologia comune nell’analisi numerica si ha:
 dT  Ti 1  Ti
 ox 

 
x
 dx i
A
T1
T2
T3
T4
Ti-1
Ti
Ti+1
°
i= 1
°
2
°
3
°
4
°
°
°
x
Dx
Dallo sviluppo in serie di Taylor:
 dT 
T x i  h   T x i   h
  .......
 dx i
B
 dT  T xi   T xi  h  Ti  Ti 1


 
h
x
 dx i
Sia la relazione A che la relazione B rappresentano la derivata su xi:
A
Forward Difference Form
B
Backward Difference Form
Sottraendo le espressioni
 dT 
T x i  h   T x i   h
  ......
 dx i
 dT 
T x i  h   T x i   h
  ......
 dx i
e trascurando i termini di grado superiore si ha:
 dT  T xi  h   T xi  h 
 o h2

 
2h
 dx i
 
Ti-1
Ti
Ti+1
 dT  Ti 1  Ti 1
 o h2

 
2x
 dx i
 
Differenza finita centrale
C
In tutte le forme
A
B
C
è presente un errore di troncamento:
o(h) o(h) o(h2)
proporzionale a
x
x
(x)2
Sommando le espressioni:
 dT  h
T xi  h   T xi   h
 
 dx i 2
2
 d 2T 
 2   .....
 dx i
 dT  h
T xi  h   T xi   h
 
 dx i 2
 d 2T 
 2   .....
 dx i
2
si ottiene:
derivata seconda
 d 2T x   T x  h   T x  h   2T x 
2




o
h
2
2

dx
h

i
 
In notazione di analisi numerica:
 dT 2  Ti 1  Ti 1  2Ti
2
 2  

o

x
2
dx

x

i
 
x
Ti-1
Ti
Ti+1
Si riesce quindi ad esprimere la derivata prima e seconda della temperatura in un
punto del dominio in funzione dei valori di temperatura nel punto e nel suo intorno.
L’analisi alle differenze finite consiste nel sostituire le equazioni differenziali con le
espressioni approssimate appena introdotte, complete delle condizioni al contorno.
x=y
y
j
x
i
Scriviamo le equazioni in base alla forma A (forward):
T Ti 1, j  Ti , j
dT Ti 1  Ti



x
x
dx
x
Ti
T

2
x
2
Ti 1, j  Ti 1, j  2Tij
x 2
T Ti , j  1  Ti , j

y
y
dT 2 Ti 1  Ti 1  2Ti

2
dx
x 2
T 2 Ti , j 1  Ti , j 1  2Tij

y 2
y 2
Si possono sostituire le equazioni differenziali con le forme approssimate o si
può analizzare il bilancio termico; ciò consente un migliore controllo sul
fenomeno fisico (si applica alle condizioni al contorno).
Bilancio termico rispetto all’area tratteggiata
Ti,j
L’equazione che regola la distribuzione di temperatura (nel caso stazionario) è:
.
T T q
 2  0
2
x
y
k
2
2
sostituendo, si ottiene:
T i  1, j   T i  1; j   2T ij  T i , j  1  T i , j  1  2T ij  q

 0
2
2
k
x 
y 
.
Risolvendo rispetto a T(j,i) e ponendo
 x 

  
 y 
2
.
si ottiene:
21   Tij  Ti 1 j  Ti 1; j  Ti , j 1  Tij 1 
q 2
x
k
.  2
Ti 1 j  Ti 1 j  Tij 1  Tij 1   q/ k  x


Tij 
21   
Applicando l’ultima equazione a tutti i nodi (N) si ottengono N equazioni in N incognite.
In forma classica si può scrivere, supponendo che  = 1 (x = y) e che non vi sia
generazione di calore:
1
Tij  Tij 1  Tij 1  Ti 1 j  Ti 1 j 
4
ovvero, la temperatura nel nodo i,j rappresenta la
Ti,j+1
Ti,-1j
Ti,j
media aritmetica dei nodi più vicini.
Ti,j-1
Ti,-1j
SIMMETRIA CILINDRICA
r  z
i
j=0
.
 T 1 T  T q

 2  0
2
r
2 r Z
k
2
i=0
2
j
REGIME STAZIONARIO
L’equazione si può riscrivere, ponendo i = r e j = z
ri = i r e zi = j z
Ti 1, j  Ti 1 j  2Tij
r 2
.
1 Ti 1, j  Ti 1 j Tij1  Tij 1  2Tij q


 0
2
ri
2z
z
k
e risolvendo rispetto a Tij si ottiene:
.

 r 
r 
q
  Ti 1 j  1 
   ' Ti , j 1   ' Tij 1  r 2
2Tij 1     T j 1 j  1 
k
 2ri 
 2ri 
'
con
 r 
'   
 z 
2
 '  1  r  z
Nei casi più comuni:
Ti , j

1 
r
 Ti 1, j  1 
4
2ri

.
q 0


r
  Ti 1, j  1 

 2ri
quindi:


  Ti , j 1  Ti , j 1 



CONDIZIONI AL CONTORNO
Esempio
Bilancio sull’area tratteggiata in regime stazionario
Schematizzazione:
1
T2
q  hT  T 
T
 k
A
x
4
To
h
T1
T
2
3
T3
BILANCIO
1 + 2 + 3 = 4
x/2
T T
kX T2  TO
Kx T3  T0
 Kx 1 O 
 hxT0  T 
2
x
x
2
x
Risolvendo rispetto a T0
1
T0 
2  Bi
1


T1  2 T2  T3   BiT 
hx
k
Bi 
Numero di Biot
discretizzato
DOMINIO DI N NODI
N=E+I
E
E = n° nodi esterni
Equazioni contorno
I
I = n° nodi interni
Equazioni interne
ESEMPIO BIDIMENSIONALE (ALETTA)
1
TC
7
8
9
6
5
4
1
2
3
Fluido T
T5  T8  T4  TC  T6 
T1 = T6 = T7 = TC
4
(unico interno)
T4
T9
condizioni al
T3
contorno
T8
T2
CONDUZIONE REGIME VARIABILE
Schema esplicito (monodimensionale)
T
 2T
a 2

x
Reticolo monodimensionale
a

c
Tmj
Temperatura nodo m al tempo j
La derivata temporale rispetto al tempo si scrive in forma approssimata:
Tmj 1  Tmj
 T 

 

   m
Per lo spazio:
 T 2  Tmj 1  Tmj 1  2Tmj
 2  
x 2
 x 
La a 

c
si scrive:
Tmj 1  Tmj
Tmj 1  Tmj 1  2Tmj
a

x 2
Risolvendo rispetto alla
Tmj  1 (temperatura dell’istante successivo) si ottiene:

Tmj 1  1  2FoTmj  Fo Tmj1  Tmj1
dove:
Fo  a

x 2

è il numero di Fourier discreto
Con questo metodo il valore della temperatura degli istanti successivi si trova senza
metodi iterativi ma direttamente dai valori precedenti (esplicito)
m=1 2 3 4 5 6 …
cond. iniz.
j=0
m = 1 2 3 …… m
j=1
CONDIZIONE STABILITA’ NODI INTERNI
Si dimostra che per evitare oscillazioni divergenti di temperatura i coefficienti
ΔFo e 1  2Fo
Fo  0
devono essere positivi
1  2Fo  0
sempre
Fo 
a
 0,5
2
x
Tale condizione produce limitazioni sulla scelta di 
Esempio
Istante j
j
m 1
T
T
j
m 1
T
j
m
se introduco
Fo  0,5
(1  2Fo)  0
T
j
m-1
m
termodinamicamente impossibile
j+1
m
Tmj1  Tmj11 e Tmj11
m+1
T
m-1
ottengo
m+1
CASO BIDIMENSIONALE
x = y
T
 a 2T

m, n
Tmnj 1  Tmnj

i
Tmj1,n  Tmj1,n  Tmnj 1  Tmnj 1  4Tmn
a
x 2
risolvendo rispetto a

j 1
Tmn
Tmj,n1  Tmnj 1  4 Fo  Fo Tmj1,n  Tmj1,n  Tmj.n 1  Tmj,n 1
con
Fo 
a
x 2
Condizione di stabilità
1  4Fo  0
Fo  0
0  Fo 
1
4

CONDIZIONI AL CONTORNO (CASO MONODIMENSIONALE)
Fluido
2
h,T
1
3
T2
T1
x
Bilancio energetico
1- 2 = 3
da cui:
T2j  T1 j
T1 j 1  T1 j x
j
k
 h T1  T  c
x

2




T1j 1  2Fo T2j  BiTj  T1j 1  2Fo  2FoBi 
Condizione di stabilità
1  2Fo  2FoBi  0
Fo 
1
21  Bi 
(ulteriore limitazione sui nodi interni)
SCHEMA IMPLICITO
Limitazioni per la stabilità talvolta impongono l’uso schema implicito (stabilità illimitata)
T
 2T
a 2

x
j 1
m
T
Tmj 1  Tmj

Tmj11  Tmj11  2Tmj 1
a
x 2
FoTmj11  Tmj11   Tmj

1  2Fo
Viene fatta all’istante j+i
Sistema di equazioni algebriche simultanee
con tre incognite (metodi iterativi)
Condizioni al contorno

h Tj 1  T1 j 1
T1
T2

j 1
j
K j

x
T

T
1
1

T2  T1 j  c
x
2
x


T, h
x


j 1
j 1
j
2

Fo
T

BiT

T
2

1
T1 j 1 
1  2FoBi  2Fo