Giovanni Della Lunga
Modelli Finanziari nel Tempo
Continuo
4
Il Modello di Black & Scholes
Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006
1
Il modello di Black e Scholes
Il modello di Black & Scholes
Greek Letters
Dividendi
2
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Il modello di Black & Scholes

Alcuni calcoli preliminari

Indichiamo con f(x) una densità di probabilità con dominio su tutto
l’asse reale (ad esempio una gaussiana). Vale la seguente
relazione
K



K
K
 f ( x)dx   f ( x)dx  1   f ( x)dx  1  N ( K )
Funzione cumulata

Inoltre per una normale standard vale anche
N ( K )  1  N ( K )
-K
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K
3
Il modello di Black & Scholes

Alcuni calcoli preliminari

Vediamo quale relazione intercorre fra la distribuzione cumulata di
una normale a media m e standard deviation s e la cumulata
standard…
x
 z  m 2 
1
dz
N ( x; m, s ) 
exp  
2


2s
2 s  


…poniamo
y
zm
1
 dy  dz  dz  sdy
s
s
x
 z  m 2 
1
1


N ( x; m, s) 
exp

dz

2s 2 
2 s  
2
( xm) / s


 y2 
exp   dy
 2 
 xm
 N

 s 
4
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Il modello di Black & Scholes

Alcuni calcoli preliminari

Ricordiamo che se una variabile x è distribuita normalmente con media m e deviazione
standard s, la variabile z = ex ha distribuzione log-normale.

La densità di probabilità è data da

 log z  m 2 
1
 z  
exp 

2
2s
2 sz


Nel corso della dimostrazione avremo bisogno del valore dei
seguenti integrali

 ln z  m 2 
1
1
exp 
 dz ,
2

2s
2 s K z



 ln z  m 2 
1
1
z exp 
 dz
2

2s
2 s K z


5
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Il modello di Black & Scholes

Alcuni calcoli preliminari

 ln z  m 2 
1
1
exp 
 dz ,
2

2s
2 s K z






 ln z  m 2 
1
1
z exp 
 dz
2

2s
2 s K z


Il primo non è altro che l’area fra k e infinito della densità di
probabilità lognormale,
Il secondo sarà utile per calcolo del valore atteso di una variabile
distribuita secondo una lognormale.
Per il calcolo di entrambi gli integrali consideriamo la seguente
sostituzione di variabile
1
x
x  ln z  dx  dz  dz  zdx  e dx
z
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Il modello di Black & Scholes

Calcolo del primo integrale
x  ln z  dx 

 ln z  m 2 
1
1
exp 
 dz 
2

2s
2 s K z


1
dz  dz  zdx  e x dx
z

  x  m 2 
1
exp 
 dx
2

2s 
2 s ln K

Ci siamo ricondotti al calcolo dell’integrale di una gaussiana. Applicando a
questo punto quanto ricordato nelle slides precedenti, possiamo scrivere

ln K
 x  m 2 
 x  m 2 
1
1
exp 
exp 
 dx  1 
 dx 
2
2


2s 
2s 
2 s ln K
2 s 


 1  N (ln K ; m, s )
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Il modello di Black & Scholes

Calcolo del primo integrale

  x  m 2 
1
exp 
 dx  1  N (ln K ; m, s ) 
2

2s 
2 s ln K

 ln K  m 
 m  ln K 
 1 N

N



s
s




dove abbiamo utilizzato la proprietà della distribuzione normale standard
per cui 1 – N(a) = N(– a).
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Il modello di Black & Scholes

Calcolo del secondo integrale



 ln z  m 2 
 x  m 2 
 2 xs2  x 2  2mx  m 2 
1
1
1
1
x
z exp 
e exp 
exp 
 dz 
 dx 
 dx 
2
2
2


2
s
2
s
2
s
2 s K z
2

s
2

s


ln K
ln K




Termini a somma zero

 2 x(m  s 2 )  x 2  m 2  s 4  s 4  2ms 2  2ms 2 
1

exp 
 dx 
2
2
s
2 s lnK


Termine indipendente da x

 2ms 2  s 4 
 x 2  2 x(m  s 2 )  m 2  s 4  2ms 2 
1

exp 
 exp 
 dx
2
2
2
s
2
s
2 s lnK




Riscrivibile come
quadrato binomiale
Nell’ultimo passaggio
vengono usati i risultati
precedentemente visti a
proposito della
“manipolazione” della
normale cumulata!


 x  (m  s 2 )

s2  1
 exp m  
exp 

2
2s 2

 2 s ln K

  dx 
2


 ln K  (m  s 2 ) 

s2 
s 2   m  s 2  ln K 
  exp m   N 

 exp m   1  N 
2
s
2
s





 

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Il modello di Black & Scholes

Alcuni calcoli preliminari: riassunto

 ln z  m 2 
1
1
 ln K  m 
 m  ln K 
exp 
  N

 dz  1  N 
2

2s
s
s
2 s K z







 ln z  m 2 

 ln K  (m  s 2 ) 
1
1
s2 

z exp 
 dz  exp m   1  N 
2

2s
2 
s
2 s K z






s 2   m  s 2  ln K 

 exp m   N 
2 
s


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Il modello di Black & Scholes
dS  Sdt  Sdt
Ricordiamo che l’ipotesi di moto
geometrico browniano per il
sottostante unitamente al lemma
di Ito ci conduceva ai seguenti
risultati…
Lemma di Ito
2

 
dt  dz
d ln( S )    
2 

2

S
 
t  z t
 ln( S )  ln( S )  ln( S0 )  ln
   
S0 
2 
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Il modello di Black & Scholes

Riscriviamo l’ultima equazione in una forma che evidenzi
chiaramente il termine di drift e quello stocastico…

 
 2 
(T  t )     (T  t )
ln( S (T ))   ln( S (t ))   r 

2



 


 z

Poiché z è una normale standard è evidente che ln[S(T)] segue
un processo normale del tipo:


1 2

2
ln S T   N ln S t    r   T  t ,  T  t 
2 



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Il modello di Black & Scholes

Quindi S(T) (condizionale al valore S(t)) segue un processo lognormale. Usando la precedente notazione possiamo scrivere:
z  S T 

s 2   2 T  t 
e la densità condizionale di S(T) è
 S T  S t  

x  ln S T 
 2 
T  t 
m  ln S t    r 
2 

S T 
2
2


1
ln S T   ln S t   r   / 2T  t  
exp 

2
2
2 T  t 
2 T  t 


Notiamo che, come prima applicazione dei precedenti calcoli, il
valore atteso del prezzo a scadenza S(T) è il prezzo forward
2


 2 


  S t  exp r T  t   F t 


















S
T

S
T
S
t
dS
T

exp
ln
S
t

r

T

t

T

t
0




2 
2




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Il modello di Black & Scholes

Quest’ultimo risultato si ottiene ricordando che

 ln z  m 2 

1
1
s 2   m  s 2  ln K 

z exp 
 dz  exp m   N 
2

2s
2 
s
2 s K z





Osserviamo che il valore atteso si ottiene nel limite in cui K tende a
0. Ma in tale limite ln(K) tende a meno infinito e quindi il valore della
cumulata standard (attenzione al segno meno davanti al logaritmo)
tende a 1:

 ln z  m 2 

1
1
s2 
z exp 
 dz  exp m  
2

2s
2
2 s 0 z




Da cui sostituendo i valori di m ed s si ottiene il risultato desiderato.
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Il modello di Black & Scholes

Notare che quest’ultimo risultato ci permette anche di
scrivere

 ln z  m 2 

1
1
s 2   m  s 2  ln K 
 
z exp 
 dz  exp m   N 
2

2s
2 
s
2 s K z




 m  s 2  ln K 

 E z N 
s



Questa formulazione ci sarà utile fra breve.
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Il modello di Black & Scholes

Valutazione di un’opzione call europea con strike pari a K e
data di esercizio T.
La funzione di pay-off è V(S(T),T) = max[S(T) – K,0]

call S , t ; K , T   e  r T t  EQ max S T   K ,0

 e r T t   S T   K  S T  S t dS T 
K
L’integrale può essere scomposto in due parti



K
K

 ln z  m 2 
1
1
z
exp

 dz
2s 2
2 s K z


 S T   K  S T  S t dS T    S T  S T  S t dS T 
Notare che questi sono proprio i due
integrali che abbiamo
precedentemente calcolato (gli
increduli pongano S(T) = z) !!!

 K  S T  S t dS T 
K

 ln z  m 2 
1
1
exp

 dz
2s 2
2 s K z


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Il modello di Black & Scholes


 ln S t   r   2 / 2 T  t    2 T  t   ln K 

K S T  S T  S t dS T   EQ S T N 
 T t




 ln S t  / K   r   2 / 2 T  t  

K S T  S T  S t dS T   EQ S T N 
 T t




2





ln
S
t
/
K

r


/ 2 T  t  
 r T t 

call S , t ; K , T   e
EQ S T N 
 T t


 ln S t  / K   r   2 / 2 T  t  
 r T t 

e
KN 
 T t





 ln z  m 2 
1
1
 ln K  m 
 m  ln K 
exp
  N


 dz  1  N 
2

2s
s
s
2 s K z






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Il modello di Black & Scholes

Utilizzando la notazione con la quale il modello di Black e
Scholes è divenuto famoso nel mondo otteniamo infine
call S , t; K , T   S t N d1   e  r T t  KN d 2 
dove
1 2
 S t   
ln 
   r   T  t 
K  
2 

d1 
,
 T t
d 2  d1   T  t
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Il modello di Black & Scholes


Non resta che determinare il valore di un’opzione put.
Tutto quello di cui abbiamo bisogno è la relazione di parità put-call per ottenere
put S , t ; K , T   call S , t ; K , T   S t   e  r T t  K
 S t N d1   1  e  r T t  K N d 2   1
  S t 1  N d1   e  r T t  K 1  N d 2 
  S t N  d1   e  r T t  KN  d 2 


dove abbiamo ancora utilizzato la proprietà 1 – N(a) = N(– a).
Le formule ottenute sono valide qualora il titolo sottostante abbia convenience yield nullo (che per
un titolo azionario equivale a dire che il titolo non deve pagare dividendi durante il periodo di vita
dell’opzione).
Il modello è comunque facilmente generalizzabile al caso in cui il convenience yield sia diverso da
zero, per questo rinviamo al testo di Hull citato in bibliografia.
19
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Il modello di Black e Scholes
Il modello di Black & Scholes
Greek Letters
Dividendi
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Analisi di sensitività: “greek letters”

L’interesse della formula di Black e Scholes è che
suggerisce direttamente un portafoglio di replica per le
opzioni call e put.

Il portafoglio di replica dell’opzione call è dato da
call S , t ; K , T    S t N d1 
 e r T t  KN d 2 


una posizione di debito per un valore nominale pari a
KN(d2) e scadenza al tempo T
una posizione lunga di N(d1) unità del titolo sottostante Y
21
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Analisi di sensitività: “greek letters”

Nello stesso modo la formula di valutazione di
un’opzione put suggerisce un portafoglio di replica
costituito da
put S , t ; K , T    S t N  d1 
 r T t 
e
KN  d 2 


una posizione di investimento nel titolo privo di rischio per un
ammontare nominale pari a K(1– N(d2)) e scadenza al tempo T.
una posizione corta di 1 – N(d1) unità del titolo sottostante Y
22
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Analisi di sensitività: “greek letters”

Se confrontiamo questi portafogli di replica con quelli
già introdotti è immediato concludere che i delta per le
opzioni call e put sono determinati da
C  N d1 

P  1  N (d1)  N (d1)
Ricordiamo che il delta è uguale alla derivata del prezzo
del contratto derivato rispetto al prezzo del titolo
sottostante.
call S , t; K , T 

 N d1 
S t 
23
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Analisi di sensitività: “greek letters”

DIMOSTRAZIONE
call Y , t; K , T 
d
d
 N d1   Y t nd1  1  e T t Knd2  2
Y t 
Y t 
Y t 
dove n(di) = exp(– di2/2)/, i = 1,2, è la funzione di densità di probabilità della
distribuzione normale standard.
d1
d2

Y t  Y t 

d2 = d1 –  questo implica che

Utilizzando la funzione di densità possiamo calcolare
e
 T  t 
 d12  d 22 
nd 2 
 d  d 2 d1  d 2  
 T  t 
 T  t 
K
e
K exp 
K exp  1
e

nd1 
2


 2 

 T  t d1  d 2  
 T  t 2d1   T  t
 T  t 
 e  T  t K exp 
K exp 
e
2
2



 


 2 T  t 
2 
 T  t 




e
K exp  T  t d1 

K
exp



T

t
 
 exp 


2
2



 




T  t d1

 




2 
2 












 exp ln K  exp    
T

t
exp
ln
Y
t

ln
K



T

t


  exp ln Y t   Y t 



2
2








24
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Analisi di sensitività: “greek letters”

Vale la pena sottolineare il fatto che il delta di un’opzione coincide con la derivata
del prezzo dell’opzione rispetto al sottostante, è un risultato di validità più
generale rispetto al modello di Black e Scholes.

In questo modello,
comunque, la
forma della
funzione di delta è
particolarmente
semplice e
coincide con
quella di una
distribuzione
normale standard.
Nella figura
riportiamo il delta
di un’opzione call,
nella linea intera, e
di un’opzione put,
nella linea
tratteggiata.
25
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Analisi di sensitività: “greek letters”

Il delta cambia al variare del valore del sottostante.

La derivata del delta rispetto al sottostante, che corrisponde alla derivata
seconda del prezzo dell’opzione rispetto al sottostante, è nota nella
letteratura come gamma ().

E’ interessante notare che il gamma assume lo stesso valore per opzioni
call e put. Il risultato segue dalla relazione di parità tra opzioni call e put
per la quale


C
C  1  P


Y t 
Y t 
Y t 
Nel modello di Black e Scholes calcoliamo
N d1 
d1
nd1 

 nd1 

Y t 
Y t  Y t  T  t
26
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Analisi di sensitività: “greek letters”

La forma della funzione gamma è riportata nella figura.

Notiamo che il valore del gamma è rilevante per opzioni con strike sono
vicini al prezzo del sottostante (opzioni at-the-money).

Il valore del gamma tende a zero per opzioni out-of-the money, per le quali
il valore del delta tende a zero, e per opzioni in-the-money, che come
sappiamo approssimano contratti lineari.
27
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Analisi di sensitività: “greek letters”

E’ importante notare che le tecniche di copertura basate sul delta, che
abbiamo utilizzato finora per la determinazione del prezzo dei contratti
derivati, sono valide per variazioni infinitesime del prezzo del sottostante.

Per variazioni rilevanti del prezzo del sottostante l’effetto di secondo ordine
legato al fattore gamma può essere sostanziale.

In altri termini, in posizioni con elevato gamma variazioni del sottostante
hanno un effetto rilevante sulle strategie di delta hedging, e anche variazioni
limitate del sottostante portano alla necessità di modificare il delta di
copertura.

Questo aspetto è particolarmente rilevante per posizioni con gamma
negativo, come ad esempio posizioni corte in opzioni. In questo caso, infatti,
variazioni rilevanti del prezzo del sottostante in un senso o nell’altro portano
a perdite.

In realtà la politica di delta hedging deve essere definita e rivista anche a
prescindere da variazioni del sottostante. Anche nell’ipotesi che il prezzo del
sottostante resti costante, infatti, il delta di copertura, così come il valore del
contratto derivato, cambia al passare del tempo.
28
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Analisi di sensitività: “greek letters”

Anche l’effetto del passare del tempo sul valore di un
contratto derivato è rappresentato con una lettera greca: il
theta ().

Notiamo che la derivata del contratto derivato rispetto al
tempo, il theta, compare nell’equazione differenziale alle
derivate parziali
che abbiamo costruito sulla base
dell’esclusione di possibilità di arbitraggio, insieme alla
derivata prima e seconda del valore del contratto rispetto al
prezzo del sottostante.

Quell’equazione può infatti essere scritta nella notazione
delle “greek letters” come
1 2 2
   S   rS t   rV t   0
2
29
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Analisi di sensitività: “greek letters”

Nel caso del modello di Black e Scholes, possiamo quindi calcolare
il theta di un’opzione call come
1
Ynd1 
C   call Y , t; K , T   CY t    2Y 2  Ke T t N d 2  
2
2 T t

Utilizzando l’equazione di valutazione dell’opzione put, otteniamo
per theta:
1
Ynd1 
 P    put Y , t; K , T    PY t    2Y 2  Ke T t N  d 2  
2
2 T t
30
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Analisi di sensitività: “greek letters”

L’andamento del theta è il seguente
31
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Analisi di sensitività: “greek letters”

Siamo quindi in grado di descrivere il valore di
un prodotto derivato con un’espansione di
Taylor del tipo
1
V S (t  dt ), t  dt   V S (t ), t   dt  dS  dS 2
2
32
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Analisi di sensitività: “greek letters”

Nell’utilizzo che viene fatto del modello di Black e Scholes
nelle sale cambi è diffusa l’abitudine di valutare la sensitività
del prezzo a variazioni dei parametri del modello stesso, e
cioè la volatilità  ed il rendimento r.

La sensitività del modello a variazioni nel parametro di
volatilità è nota come vega, mentre la sensitività a variazioni
nel rendimento è nota come rho.

Se parlate con qualsiasi operatore che utilizzi questo
modello, vi dirà che è importante tenere sotto controllo
queste sensitività perché sia la volatilità che i tassi
d’interesse variano nel corso del tempo e queste variazioni
hanno il loro effetto sul valore dei contratti derivati.
33
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Analisi di sensitività: “greek letters”

Deve essere chiaro che c’è una profonda incoerenza di tipo
logico in questo ragionamento.

Nel modello di Black e Scholes, infatti, il valore di qualsiasi
prodotto derivato è funzione del prezzo del sottostante e del
tempo, e di nessun altro fattore di rischio.

Tenere conto di ulteriori fattori di rischio, come cambiamenti
della volatilità e fluttuazioni nei tassi, conduce a modelli di
valutazione diversi, e molto più complessi.

Perché allora ci soffermiamo ad approfondire un’analisi che
ha il solo scopo di mostrare la sensitività dei risultati alla
variazione di parametri che il modello richiede siano costanti?
34
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Analisi di sensitività: “greek letters”

Una prima risposta è che questi parametri, ed in particolare
quello che rappresenta la volatilità, non sono osservati
direttamente sul mercato, e sono soggetti a rischio di stima.

Può quindi essere utile conoscere la sensitività del modello
che utilizziamo rispetto a questa fonte di rischio. D’altra
parte, esistono anche modelli che tengono conto di variazioni
della volatilità e sotto i quali questo approccio rappresenta
una buona approssimazione.

La seconda risposta è che questo tipo di analisi è largamente
utilizzato nell’operatività dei mercati, l’utilizzo di questi
strumenti, ed in particolare il vega, è talmente diffuso che
anche le autorità di controllo del mercato ne richiedono la
comunicazione nelle segnalazioni a fini di vigilanza.
35
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Analisi di sensitività: “greek letters”

Dopo avere quindi ricordato ancora una volta che sia la
volatilità che il tasso di interesse sono costanti nella formula
di Black e Scholes, definiamo il parametro di sensitività alla
volatilità, o vega, come
call (Y , t ; K , T ) put (Y , t ; K , T )
vega 



 Y t  T  t nd1 
36
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Analisi di sensitività: “greek letters”

Concludiamo con la sensitività del prezzo dell’opzione
a variazioni nel rendimento del titolo privo di rischio,
denominata rho.
call (Y , t ; K , T )
rhoC 
 T  t KN d 2 

put (Y , t ; K , T )
rhoP 
 T  t KN d 2 

per opzioni call e put.

Il risultato è molto semplice ed ha il contenuto
economico che ci saremmo attesi: la sensitività al
tasso di un’opzione è proporzionale alla dimensione
della posizione nel titolo privo di rischio che compare
nel portafoglio di replica ed al tempo che ci separa
dalla data di esercizio.
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Riassunto degli Indici di Sensitività






Delta è il tasso di variazione del prezzo
dell’opzione rispetto al prezzo dell’attività sottostate.

Gamma è il tasso di variazione del Delta
dell’opzione rispetto al prezzo dell’attività sottostante.

Vega è il tasso di variazione del prezzo
dell’opzione rispetto alla volatilità dell’attività sottostante.

Theta è il tasso di
dell’opzione rispetto al tempo.
variazione
del
prezzo

Rho
è il tasso di variazione del
dell’opzione rispetto al tasso privo di rischio.
prezzo
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Analisi di Sensitività con le greek letters : 
f

S
0    N (d1 )  1
per una call
 1    [ N (d1 )  1]  0
per una put
Analisi di Sensitività con le greek letters : 
  f

 2
S S
2
N (d1 )

S T
39
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Analisi di Sensitività con le greek letters : 
f

 S t N (d1 )  S t

1 d12 / 2
e
2
Analisi di Sensitività con le greek letters : 
call
f Te EN (d 2 )
  
 rT
r  TEe N (d 2 ) put
 rT
40
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Analisi di Sensitività con le greek letters : 
CALL
1 2 2
C   call Y , t ; K , T    CY t    Y 
2
Ynd1 
 T t 
 Ke
N d 2  
2 T t
PUT
1 2 2
 P    put Y , t ; K , T    PY t    Y 
2
Ynd1 
 T t 
 Ke
N  d 2  
2 T t
41
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Esempio
Programmazione
VBA
Calcolo Greek Letters in VBA
42
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Il modello di Black e Scholes
Il modello di Black & Scholes
Greek Letters
Dividendi
43
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Dividendi




Finora si è assunto che l’azione su cui è scritta
l’opzione non paghi dividendi;
In pratica questa circostanza non si verifica quasi mai;
Vediamo come estendere i risultati del modello di Black
& Scholes al caso di titoli che pagano dividendi
assumendo che il dividendo sia noto con esattezza;
In pratica questa assunzione non è troppo irragionevole
visto che la maggior parte delle opzioni trattate in borsa
hanno durata di pochi mesi e quasi sempre comunque
inferiore all’anno;
44
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Dividendi


Alle date di stacco dei dividendi il prezzo dell’azione subisce
una brusca decurtazione pari all’importo del dividendo
unitario;
Per quanto riguarda la valutazione di un’opzione europea
possiamo immaginare che il prezzo di un’azione sia
composto da due elementi



Una componente priva di rischio che viene uilizzata per pagare i
dividendi distribuiti durante la vita dell’opzione...
... Ed una componente rischiosa che rappresenta il complemento al
prezzo di mercato.
La componente “priva di rischio” è pari in ogni momento alla
somma dei dividendi che verranno pagati durante la vita
dell’opzione attualizzati dalle date di stacco in base al tasso
di interesse privo di rischio.
45
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Dividendi

Alla data di scadenza dell’opzione i dividendi saranno
già stati pagati e la componente priva di rischio è così
nulla;

La formula di B&S è quindi corretta se S0 è uguale alla
componente rischiosa e  è la volatilità della sola
componente rischiosa;

La formula di B&S può quindi essere utilizzata a patto
di detrarre dal prezzo dell’opzione la componente
priva di rischio ovvero i dividendi che verranno
distribuiti durante la vita dell’opzione attualizzati in
base al tasso di interesse privo di rischio.
46
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Dividendi

In pratica spesso si fa ricorso all’approssimazione del
dividend yield, in altre parole si ipotizza che i dividendi
vengano pagati in modo continuo come se fossero un
deposito privo di rischio che cresce ad un dato tasso di
interesse q il dividend yield appunto;

Per quello che abbiamo detto poc’anzi è del tutto
equivalente prezzare un titolo che ha un prezzo iniziale
S0 e paga un dividend yield continuo pari a q oppure
prezzare un titolo con un prezzo iniziale pari a
S0e
 qT
che non paga dividendi
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Dividendi

Si ricavano così immediatamente le formule di Black &
Scholes modificate per un’opzione europea scritta su
un titolo che paga un dividend yield continuo pari a q
call S , t ; K , T   S t e  q (T t ) N d1 
 e r T t  KN d 2 
put S , t ; K , T   e  r T t  KN  d 2 
 S t e q (T t ) N  d1 
48
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Esempio
Programmazione
VBA
Estendiamo il Programma al caso di Dividend Yield non nullo
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Bibliografia

S. Benninga “Modelli Finanziari – La finanza con
Excel” McGraw-Hill (2001)

U. Cherubini, G. Della Lunga “Matematica
Finanziaria – Applicazioni con VBA per Excel”
McGraw-Hill (2001)

U. Cherubini, G. Della Lunga
Finanziario” McGraw-Hill (2000)

E. Gaarder Haug “The Complete Guide to Option
Pricing Formulas” McGraw-Hill (1998)

M. Jackson, M. Staunton “Advanced Modelling in
Finance using Excel and VBA” Wiley Finance
(2001)
“Il
Rischio
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