Misura di diffusività termica
Si misura l’andamento temporale della temperatura in un punto a distanza d dal
riscaldatore in seguito ad un impulso di calore inviato all’estremità del campione.
In pratica si misura come si propaga il flusso di calore nella sbarretta.
Termocoppia differenziale (DT)
riscaldatore
Serbatoio
di calore
d
Termometro al platino
Impulso di calore
Equazione di diffusione
Consideriamo una lamina unidimensionale.
La temperatura di un punto x del campione è funzione del tempo e della distanza d
dal riscaldatore a cui si trova il punto analizzato.
Il suo valore nel tempo e nello spazio è regolato dall’equazione della diffusione del
calore
d 2T (x ,t ) dT (x ,t )
D

2
dx
dt
T = temperatura
La soluzione dell’equazione nel caso di un impulso di durata infinitesima fornito ad
una estremità di un campione di lunghezza infinita mantenuto a temperatura
costante è data da:
 x2 


 4Dt 
A

T (x ,t ) 
e
Dt
Con D coefficiente di diffusione (espresso in m2/s in MKS)
Q
T (x ,t ) 
e
2Sdc Dt
 x2

 4Dt





con Q calore fornito al sistema al tempo t=0 nel punto x=0, S sezione della sbarretta,
d·c calore specifico per unità di volume
1.715
2
1.716
1.5
2
1.5
T( .5 t )
T( .5 t )
T( 1  t )
T( 1  t )
1
T( 1.5 t )
T( 1.5 t )
0.5
0
1
0
0.5
0
0.11
20
40
60
t
80
100
100
0.016
0
0
0.02
5
10
15
t
Tempi caratteristici dipendenti dal materiale e dalla distanza di misura 1-10 secondi
20
20
Come posso ricavare il coefficiente di diffusione del materiale?
x2
1) dall’espressione per T(x,t) il massimo si trova a t 
2D
2) Se moltiplico T(x,t) per
1
t
t
x2

4D
la cui pendenza è
2.971
T( .5 t )  t
T( 1  t )  t
e ne faccio il logaritmo ottengo una retta in funzione di
10
.5
.5
T( 1.5 t)  t
1
0.5
.1 0.1
0
0.1
0.5
1
1.5
1
t
2
2.5
2.267
Progetto di misura
L’esperienza può essere affrontata assemblando tre parti diverse che sono:
• Stesura del programma in labview che determina la forzante del sistema e
acquisisce nel tempo la temperatura del serbatoio di calore e il segnale dalla
termocoppia differenziale
• Realizzazione di alcuni circuiti elettronici:
1) amplificatore differenziale che legge il termometro al platino
(temperatura del serbatoio di calore)
2) amplificatore differenziale che legge la termocoppia differenziale
(già presente nella scatola di interfaccia criostato-utente)
3) Convertitore tensione-corrente che trasforma l’impulso di tensione
mandato da labview in un segnale di potenza
• Analisi dati
1) Il vettore dati relativo alla temperatura del serbatoio di calore va
analizzato per vedere se l’impulso al riscaldatore sul campione ha
cambiato la temperatura di tutto il sistema.
Se no va convertito nella temperatura media del campione.
2) Il vettore dati relativo alla termocoppia differenziale contiene tutte le
informazioni necessarie a ricavare la diffusività
Programma di acquisizione
Input
LABVIEW
Output
Alimentazione
Platino
Input: Temperatura Serbatoio di Calore, Termocoppia differenziale
Output: Impulso al riscaldatore
Il programma deve fornire un impulso di tensione di durata variabile (tipicamente
500 ms - 1 s) e acquisire due canali in ingresso; in uno si acquisirà l’uscita
dell’amplificatore differenziale che legge il termometro al platino, nell’altro l’uscita
dell’amplificatore differenziale che legge la termocoppia differenziale.
Rate di acquisizione: ~100 Hz
Hardware:
Alimentazione termometro al platino:
Rpt = 20÷120 Ohm
corrente max  1mA
V1
Lettura termometro al platino
(temperatura del serbatoio di calore) :
Amplificatore strumentale Guadagno??
Rf
R1
+
R2
-
V out
R3
+

R 2  Rf 
Vout  1  2
 V 2  V 1
R3  R1 

R2
+
V2
Alimentazione riscaldatore (impulso):
Segnale in uscita da Labview non è un segnale di potenza.
Convertitore tensione-corrente
Lettura termocoppia differenziale (già costruito)
R1
Rf
Analisi Dati
Il programma di analisi dati può essere fatto in tempo reale con labview o a posteriori
con programmi scelti da voi (consigliato) .
Passi necessari:
1) Lettura dati salvati programma acquisizione
2) Filtro passa basso (segnale lentamente variabile nel tempo – vanno rimossi tutti i
segnali spuri come 50Hz etc) può essere messo nel programma di acquisizione
3) Il tempo deve essere scalato all’inizio dell’impulso al riscaldatore (t-t0)
4) Primo metodo ricerca del massimo della curva e calcolo di D
5) Rimossi eventuali drift del segnale si moltiplica la curva per t e se ne fa il
logaritmo. Si grafica in funzione di 1 e si fa il best fit della retta.
t
Dall’intercetta della retta trovata con il metodo precedente è anche possibile ricavare
il calore specifico per unità di volume.
Per fare questo calcolo però bisogna conoscere la quantità di calore fornita
attraverso il riscaldatore e assumere che tutto il calore fornito vada nella sbarretta e
non si disperda per convezione, irraggiamento etc.
Diffusivit à 
conducibil ità
calore specifico
Q
T (x ,t ) 
e
2Sdc Dt
 x2

 4Dt





Conducibiltà termica
dQ
P
dt
J / s  W 
T1
potenza termica
T1> T2
T2
S
P
Se il materiale è omogeneo e la sezione
costante il gradiente di temperatura è
costante
L
(T1  T2 ) P

L
S
P
JQ 
(W/m 2 )
S
La differenza di temperatura che si instaura attraverso la sbarra per
unità di lunghezza è proporzionale alla potenza fornita per unità di
superficie
Densità di corrente termica o flusso termico
 T1  T2 
JQ    

 L 
 (W/mK)
conducibilità termica del materiale
P
 S
T T 
T1  T2    T1  T2 
   1 2   P 
S
L
 L 
 S
 
(W/K) conduttanza termica del materiale
L
W  1/ (K/W) resistenza termica del materiale
Queste relazioni possono essere
applicate nel caso di una sbarra
di materiale omogeneo a sezione
costante. Altrimenti è necessario
scrivere una equazione
equivalente che dipenda dalle
proprietà puntuali.
dx
JQ=P/S
JQ
L  dx
S
x
T1=T(x)
JQ
x+dx
T2=T(x+dx)=T(x)+(dT/dx)dx
 T T 
  (dT / dx)dx 
JQ     1 2     

dx
 L 


dT I legge di Fourier nel caso unidimensionale
J Q   
dx

J Q  k  T
T1-T2  -(dT/dx)dx
I legge di Fourier in forma vettoriale
La I legge di Fourier
descrive le
situazioni di flusso
stazionario
JQ(x)= cost
II legge di Fourier : trasporto di calore in condizioni non stazionarie
J Q  J Q ( x)
Dx
DS
JQ1
J Q   
JQ2
dT
dx
I legge di Fourier
Dx DS=DV
x
x+dx
JQ1=JQ(x)
JQ2=JQ(x+dx)=JQ(x)+(dJQ /dx)dx
JQ1-JQ2=- (dJQ /dx)dx


 T
 2T
1) DP  J Q1DS  J Q 2 DS   J Q( x)DxDS  
J Q ( x)DV  
DV   2 DV
x
x
x x
x
dQ CdT
dT

 Cvol  DV
2) DP 
dt
dt
dt
Eguagliando l’equazione 1) all’equazione 2) e dividendo per DV
T
T
D 2
t
x
2
dove
D
k 

Cvol
diffusività termica
2
 W   J  m 
D 

 
3


Cvol   K  m   K  m   s 