Test 02 - 1 / 61
Lezione 6
i Test
statistici
Test 02 - 2 / 61
Nella parte 1 e 2 …
test sull’ipotesi principale H0:
prestazioni del
criterio decisionale
rischio di errore di 1 specie;
fiducia del criterio decisionale
significatività del test
test sull’ipotesi principale H0
con alternative H1, H2
rischio di errore
di 2 specie;
potenza del test
Test 02 - 3 / 61
i test
sulla
differenza
fra medie:
H0
Test 02 - 4 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità dei campioni;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 , Hj ;
5. scelta dello stimatore campionario e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 5 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
1.
si stabilisce la numerosità n del campione con cui si vuole
condurre il test (nel caso occorrano più campioni si stabilisce
la numerosità di ciascuno di essi).
ricordiamo che se n è grande
si può invocare il teorema
limite centrale per affermare
che la media campionaria è
distribuita in modo normale
qualunque sia la
distribuzione della X
Test 02 - 6 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità dei campioni;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 , Hj ;
5. scelta dello stimatore campionario e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 7 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità dei campioni;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 , Hj ;
5. scelta dello stimatore campionario e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 8 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
3. si individua l’ipotesi H0 (ipotesi principale) che deve essere
sottoposta a test.
esempio:
H0 : m0 - m1 = 0;
oppure:
H0 : m0 - m1 > 1
il test non ci porta a determinare quanto valga la probabilità
che l’ipotesi H0 sia vera oppure falsa, ma ci dice solamente
se possiamo escludere, con il rischio di errore prefissato,
che l’ipotesi H0 sia vera.
Test 02 - 9 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità dei campioni;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 , Hj ;
5. scelta dello stimatore campionario e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 10 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test:
•
le varianze s21 e s22 delle due popolazioni sono note
e i due campioni sono numerosi (n1 > 30 e n2 > 30)
•
le due popolazioni hanno distribuzione normale
con varianze s21 e s22 incognite ma UGUALI
•
le due popolazioni hanno distribuzione normale
con varianze s21 e s22 incognite
e i due campioni sono MOLTO numerosi (n1 > 120 e n2 > 120)
•
i dati sono appaiati
Test 02 - 11 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test:
se le varianze s21 e s22 delle due popolazioni sono note e se i due
campioni sono numerosi (n1 > 30 e n2 > 30)
si può usare la variabile campionaria
X
(
Z=
1n1
- X2n2 ) - ( m1 - m 2 )
s
2
1
n1
+
s
2
2
n2
che ha distribuzione normale standard.
Test 02 - 12 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test:
se le due popolazioni hanno distribuzione normale con varianze
s21 e s22 incognite ma UGUALI si può usare la variabile
X
(
T=
1n1
- X2n2 ) - ( m 0 - m1 )
æ1 1ö
Smp ç + ÷
è n1 n2 ø
2
che ha distribuzione t di Student con (n1 + n2 – 2) gdl
Smp
2
n1 -1) S + ( n2 -1) S
(
=
2
1
n1 + n2 - 2
2
2
Test 02 - 13 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test:
se le due popolazioni hanno distribuzione normale con
varianze s21 e s22 incognite ma UGUALI
e se
n1 >> n2
si può usare la variabile
X
(
T=
1n1
- X2n2 ) - ( m 0 - m1 )
S12
n2
che ha distribuzione t di Student con (n1 + n2 – 2) gdl
Test 02 - 14 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test:
se le due popolazioni hanno distribuzione normale con varianze
s21 e s22 incognite ed i campioni sono MOLTO numerosi
(n1 > 120 e n2 > 120) si può usare la variabile
X
(
Z=
1n1
- X2n2 ) - ( m0 - m1 )
S1 S
+
n1 n2
2
2
2
che ha distribuzione approssimabile con la normale standard
Test 02 - 15 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test:
se la popolazione ha distribuzione normale
ed i due campioni non sono indipendenti, cioè sono costituiti da dati
appaiati, si può usare la variabile
T=
Dx - ( m1 - m2 )
SD
n
2
che ha distribuzione approssimabile con la t di Student a n-1 gdl
Test 02 - 16 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
Di = Xi - Yi
1
1
Dx = å Di = å ( Xi -Yi )
n
n
2
1
S =
( Di _ Dx )
å
n -1
2
d
T=
Dx - ( m1 - m2 )
S 2D
n
Test 02 - 17 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 , Hj ;
5. scelta dello stimatore campionario e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 18 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
6. si stabiliscono i valori
a del rischio di errore di 1ª specie che si è disposti a correre e
1 - a della affidabilità richiesta.
La probabilità a di commettere un errore di 1ª specie viene
chiamata “livello di significatività” al quale si intende condurre il
test.
H0 : m0 – m1 > 0
a
Test 02 - 19 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
6. si stabiliscono i valori
a del rischio di errore di 1ª specie che si è disposti a correre e
1 - a della affidabilità richiesta.
La probabilità a di commettere un errore di 1ª specie viene
chiamata “livello di significatività” al quale si intende condurre il
test.
criterio di scelta:
la scelta del valore di rischio accettabile richiede
considerazioni di vario tipo, non solamente tecniche ma,
molto spesso, economiche, di politica aziendale, di
immagine, ecc.
Test 02 - 20 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 , Hj ;
5. scelta dello stimatore campionario e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 21 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
8. in base a ciò che si è stabilito nei punti precedenti, si identifica il
valore critico (o la coppia di valori critici) della statistica
campionaria che individua nel dominio la “regione di rifiuto”
dell’ipotesi principale H0 .
H0 : m0 – m1 > 0
a
Test 02 - 22 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
8. in base a ciò che si è stabilito nei punti precedenti, si identifica il
valore critico (o la coppia di valori critici) della statistica
campionaria che individua nel dominio la “regione di rifiuto”
dell’ipotesi principale H0 .
H0 : m0 – m1 = 0
a/2
a/2
Test 02 - 23 / 61
formulazione di un test sulla differenza fra le medie
Dopo aver formulato il test:
si procede alla composizione del campione con numerosità
pari a quella stabilita,
si conducono le prove sperimentali,
si determina il valore della variabile campionaria precelta,
H0 : m0 – m1 = 0
a/2
a/2
Test 02 - 24 / 61
parte 4
Test
sulla
varianza
Test 02 - 25 / 61
formulazione di un test con H0 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 26 / 61
formulazione di test con H0 sulla varianza
5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test:
se la variabile casuale X ha distribuzione normale si possono usare
indifferentemente:
- la variabile
 n2  (n  1)
S n2
s 20
che ha distribuzione
chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà.
- la variabile
2
S
Cn2  2n
s0
che ha distribuzione
C2 modificata di chi-quadro
con ( n -1 ) gradi di libertà.
Test 02 - 27 / 61
1° test di ipotesi sulla varianza
rischio di errore di prima specie a
Test 02 - 28 / 61
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
• Un costruttore di resistori vuole scoprire se la sua linea di
produzione necessiti di una revisione in quanto il prodotto
presenta una eccessiva dispersione.
• Il costruttore vuole che la clientela associ alla sua produzione
un concetto di grande qualità pertanto intende rinviare la
manutenzione solamente se è ragionevolmente garantito
che il prodotto è in tolleranza
• Il limite di accettabilità della varianza della X viene fissato al 2% del
valore assunto dalla stessa X in corrispondenza del valore nominale
della resistenza.
1. stabiliamo di operare con un campione di 30 resistori
Test 02 - 29 / 61
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
• Un costruttore di resistori vuole scoprire se la sua linea di
produzione necessiti di una revisione in quanto il prodotto
presenta una eccessiva dispersione.
• Il costruttore vuole che la clientela associ alla sua produzione
un concetto di grande qualità pertanto intende rinviare la
manutenzione solamente se è ragionevolmente garantito
che il prodotto è in tolleranza
• Indicando con 100 il valore della X corrispondente al valore
nominale della resistenza, il limite accettabile per la varianza è 2.
1. stabiliamo di operare con un campione di 30 resistori
Test 02 - 30 / 61
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 31 / 61
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
2.
Il costruttore definisce sulla popolazione dei resistori da 100 W
una variabile casuale X che assume per ciascun resistore un
valore pari quello della resistenza dell’elemento misurata alla
temperatura di 70 °C.
3.
Individuazione
H0 :
H0 : X
s2viene
> s2fissato
Il limite di accettabilità
della varianza della
0 = 2 al 2%
del valore assunto dalla stessa X in corrispondenza del valore
nominale della resistenza.
“Il costruttore vuole che la clientela associ alla sua produzione
un concetto di grande qualità pertanto intende rinviare la
manutenzione solamente se è ragionevolmente garantito
che il prodotto è in tolleranza”
Test 02 - 32 / 61
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 33 / 61
formulazione di test con H0 sulla varianza
5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test:
se la variabile casuale X ha distribuzione normale si possono usare
indifferentemente:
- la variabile
 n2  (n  1)
S n2
s 20
che ha distribuzione
chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà.
- la variabile
2
S
Cn2  2n
s0
che ha distribuzione
C2 modificata di chi-quadro
con ( n -1 ) gradi di libertà.
Test 02 - 34 / 61
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
2.
Il costruttore definisce sulla popolazione dei resistori da 100 W
una variabile casuale X che assume per ciascun resistore un
valore pari quello della resistenza dell’elemento misurata alla
temperatura di 70 °C.
3.
Individuazione H0 :
5.
come variabile campionaria
viene scelta la variabile n² :
se la variabile casuale X ha
H 0 : s 2 > s 20 = 2
 n2  (n  1)
S n2
s 20
distribuzione normale la variabile n² ha distribuzione
chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà.
Test 02 - 35 / 61
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 36 / 61
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
6. fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie:
a = 0,02 ( che comporta un “livello di fiducia” del 98% );
8. calcoliamo il valore critico della statistica campionaria adottata
che individuano le regioni di accettazione e di rifiuto della ipotesi
principale H0 in funzione del valore di a che è stato prestabilito
(0,02);
utilizzeremo il “test unilaterale” (o “distribuzione ad una coda”) in
quanto l’ipotesi principale può essere rifiutata solo se la varianza
della popolazione risulta minore di s20
Test 02 - 37 / 61
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
•
utilizzando le tabella della distribuzione “chi quadro” in
corrispondenza di 29 gdl e di una probabilità (a) dello 0,02
•
oppure utilizzando un foglio elettronico, per esempo MS Excel
per il quale la funzione da invocare è la
INV.CHI(probabilità;gradi_libertà) ,
risulta agevole individuare il valore critico cercato:
inf² = 15,574
Test 02 - 38 / 61
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
•
il valore critico vale:
inf² = 15,574
Test 02 - 39 / 61
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 40 / 61
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
riassumendo:
regione di rifiuto di H0 :
 n2  15,574
Composto il campione si procede con la misurazione della
resistenza di ciascun elemento.
Terminata la campagna sperimentale sul campione
si determinano il valore della varianza campionaria corretta :
S302  1,10
e quello della:

2
n
1,10
 (30  1)
 15,95
2
Test 02 - 41 / 61
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
Dato che  n  15,95 >  inf il risultato del test non ci permette di
rifiutare H0 con la fiducia richiesta (98%)
2
2
H 0: s 2 > s 20 = 2
Test 02 - 42 / 61
Test di ipotesi con H0 sulla varianza
2
Dato che  n2  15,95 >  inf
il risultato del test non ci permette di
rifiutare H0 con la fiducia richiesta (98%)
H 0: s 2 > s 20 = 2
Poiché il test si è concluso indicando che non è possibile
escludere che la varianza sia maggiore di quanto ritenuto
accettabile, il costruttore sarà
… costretto ad intervenire sulla
linea di produzione con un intervento di manutenzione
straordinaria finalizzato alla riduzione della variabilità
dei resistori prodotti.
Test 02 - 43 / 61
Test
sulla
varianza con
H0 e H1
Test 02 - 44 / 61
formulazione di test con H0 e H1 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 45 / 61
2° test di ipotesi sulla varianza: H0 con H1
rischio di errore di seconda specie b
Test 02 - 46 / 61
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
• Si è riprogettato un OpAmp in produzione da tempo e si è realizzata
una preserie del nuovo dispositivo.
• Ci si interroga sulla possibilità che il valore tipico della deviazione
standard della corrente di offset sia passato dal 10% del valore tipico
della corrente del “vecchio” progetto (50 nA) a meno del 8%.
Test 02 - 47 / 61
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 48 / 61
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
1. Stabiliamo di operare con un campione di 25 amplificatori.
2. Costruiamo la variabile casuale X stabilendo che essa assuma
valore uguale a quello della corrente di offset di ciascun elemento
della popolazione misurata in nA.
Con questa variabile il valore tipico della corrente
ha per immagine 50 pertanto i valori di ipotesi
per la deviazione standard risultano 5 (10%) e 4 (8%) da cui:
3. H0 : s² < s0²  16 ;
4. H1 : s² = s1² = 25 ;
Test 02 - 49 / 61
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 50 / 61
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
1. Stabiliamo di operare con un campione di 25 amplificatori.
2. Costruiamo la variabile casuale X stabilendo che essa assuma
valore uguale a quello della corrente di offset di ciascun elemento
della popolazione misurata in nA.
3. H0 : s² < s0²  16 ;
4. H1 : s² = s1² = 25 ;
S n2
5. come variabile campionaria viene scelta la variabile C  2
s0
2
n
Se la variabile X ha distribuzione normale allora la C2n
ha distribuzione C2 modificata di chi-quadro
con ( n -1 ) gradi di libertà: nel nostro caso 24 g.d.l..
Test 02 - 51 / 61
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 52 / 61
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
1. Stabiliamo di operare con un campione di 25 amplificatori.
2. Costruiamo la variabile casuale X stabilendo che essa assuma
valore uguale a quello della corrente di offset di ciascun elemento
della popolazione misurata in nA.
3. H0 : s² < s0²  16 ;
4. H1 : s² = s1² = 25 ;
5. come variabile campionaria viene scelta la variabile
che, se la X è distribuita in modo normale,
ha distribuzione C2 modificata di chi-quadro
con ( n -1 ) gradi di libertà.
Cn2 
S n2
s 20
6. fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie:
a = 0,05 ( che comporta un “livello di fiducia” del 95% );
7. fissiamo il valore minimo della potenza contro H1 a 0,90
(che comporta un valore di b < 0,10 )
Test 02 - 53 / 61
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire
alcuni passi ben precisi:
1. scelta della numerosità del campione;
2. costruzione della variabile casuale X
3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ;
4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 ;
5. scelta della variabile campionaria e
determinazione della sua distribuzione ;
6. definizione della affidabilità richiesta ;
7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ;
8. determinazione del valore del/dei discriminanti ;
9. verifica della potenza ottenuta:
se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio
e si aumenta la numerosità del campione ;
Test 02 - 54 / 61
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
8. calcoliamo il valore critico della variabile campionaria che
individua la regioni di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione
del valore di a prestabilito (0,05);
dalle tabelle troviamo che il quantile 0,95 corrispondente a 24 gdl
vale:
Cn2 = 1,52
Come si valuta il rischio di errore di seconda specie ???
Test 02 - 55 / 61
la determinazione
di a e b
usando la
variabile casuale C2
Test 02 - 56 / 61
la determinazione di a e b con C2
Facciamo due considerazioni generali:
1)
Cn2 
S n2
s
2
•
dal valore di a desiderato si ricava il valore critico C2c
•
dal valore critico C2c si ricava il corrispondente valore critico
per la varianza campionaria corretta:
C02c 
S n2
s 02

S nc2  C02c  s 02
che individua la regione di rifiuto della H0
Test 02 - 57 / 61
la determinazione di a e b con C2
La seconda considerazione generale è la seguente:
2)
C 
2
n
S n2
s
2

 2 S n2
 Cn 0  2
s0



2
S
2
Cn1  n

s 12
il valore assunto da C2n
per uno stesso valore della varianza campionaria corretta
dipende dal valore ipotizzato per la varianza della popolazione.
Test 02 - 58 / 61
la determinazione di a e b con C2
di conseguenza: il valore critico assunto da C2n in corrispondenza
del valore critico S2nc per la varianza campionaria corretta
dipende dal valore ipotizzato per la varianza della popolazione.
Cc2 
S nc2
s
2

 2 S nc2
 C0 c  2
s0



2
S
C12c  nc

s 12
Test 02 - 59 / 61
la determinazione di a e b con C2
dato che :
 2 S nc2
C0c  2
s0


2
 2 S nc
C1c  s 2
1

S nc2  C02c  s 02

 
s 02
2
2
C1c  C0c  2
s1

C  C
2
1c
2
0c
s
s
2
0
2
1
Test 02 - 60 / 61
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
8. calcoliamo il valore critico della variabile campionaria che
individua la regioni di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione
del valore di a prestabilito (0,05);
dalle tabelle troviamo che il quantile 0,95 corrispondente a 24 gdl
vale:
C0c2 = 1,52
Ricaviamo quindi:
C  C
2
1c
2
0c
s
16
 1,52
 0,97
s
25
2
0
2
1
Test 02 - 61 / 61
Test di ipotesi con H0 e H1 sulla varianza
dalle tabelle ricaviamo che il quantile 0,97 corrisponde ad un
rischio di errore di seconda specie b > 0,50 !!!