Rappresentazione
grafica delle equazioni
di I e II grado
Prof.ssa Oriana Pagliarone
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ax=b2
ax=bc
x2=c
x2+bx=c
x2+bx=c
x2+c=bx
x2+c=bx
x2-bx=c
x2-bx=c
(area)
(segmento)
(segmento)
(area)
(area)
(segmento)
x2+10x=39
x2+1400=90x
x2+21=10x
x2-3x=10
ax=b2
b
b2
a
2
2
t
t
ax
X
ax = bc
DE=ML
DO=MN
c
A
ax
a
X
D
E
M
bc
b
o
I triangoli DEO e MNL sono uguali
N
L
G
F
H
I parallelogrammi DELM e DONM sono
equivalenti( DOLM in comune)
Il rettangolo DEFG è equivalente al
parallelogramma DELM (stessa base DE
e stessa altezza DG)
Il rettangolo MNHG è equivalente al
parallelogramma DONM (stessa base
MN e stessa altezza MG)
I rettangoli DEFG e MNHG sono
equivalenti
bc = ab + MNHG = ab + DEFG = ax
x = AE
X2 = C
AH=1 HD = C
B
A
X
1
H
D
C
BH2= AH ∙ HD
D
X2 = 1 ∙ C
X =±√C
x2+bx-c=0
x2+bx=c
esempio
x2+10x-39=0 aggiungo 52
x2+10x + 52 =39+25
(x+5)2= 64
X+5=8 x=8-5=3
X=3
e ora ………
8
5
5
52
5x
8
3
5x
X2
Ora possiamo anche costruire il
rettangolo di area 39
x2+10x = 39
Sapendo che x=3 e che
x(x+10)=39
30
10
39
9
3
Abbiamo costruito il rettangolo di area 39
2
x +bx=c
x2 + bx = c
x2 + bx + b2/4 = b2/4 + c
(x+b/2)2 = b2/4 + c
x = -b/2 ± √(b2/4 + c)
b>0,c>0
(trascurando la soluzione negativa -b/2 - √(b2/4 + c))
x = -b/2 + √(b2/4 + c)
E ora la costruzione geometrica ….
x2+bx = c
---------- √(b2/4+c) --------b/2
x
Costruisci il quadrato di lato √(b2/4+c)
Costruisci il quadrato di lato b/2
L’area in giallo è = b2 /4 +c – b2 /4 = c
x = √(b2/4+c) – b/2
r
r
x2
Sposta il rettangolo r
L’area totale del quadrato
e dei due rettangoli gialli è sempre c
Per cui
c = x(b/2) + x2 + x(b/2) = x(b/2 + x + b/2)=
= x(b+x) = x2 + bx
x 2 + bx = c
x2+c=bx
x2+1400=90x
A
E
70
M
90
D 20
B
AB=90
Scompongo AB in AD=70 e DB=20
in modo che
AD ∙ DB = 1400 e costruisco
DF=√1400
Costruisco M punto medio di AB
F
AM=MB=45 e in M costruisco
C
MC=DF
Quindi :
MD=MB-DB=45-20=25
Costruisco AB=90,il punto medio M,
EM=MD=25 AE=20
costruisco in M perpendicolarmente
EC=√(1400+625)=√2025=45
il segmento MC =√1400
EC=CD=45=AB/2
E e D sono le intersezioni di AB Costruisco la circonferenza
di raggio AB/2 e centro C
con la circonferenza di
Costruisco le intersezioni E e D
raggio AB/2 e centro C
della circonferenza con AB
AD e DB sono le soluzioni
x2+1400=90x
70
20
20
1400 = 20 ∙ 70
X2
x
90
X=20
1° soluzione
x2+1400=90x
70
70
x2
20
1400
70
X=70 2° soluzione
x2+c=bx
Soluzione
b>0, c>0
x2 – bx = -c
x2 – bx +b2/4 = b2/4 –c
(x-b/2)2= b2/4 –c
x-b/2 = ±√(b2/4 –c)
x = b/2 ±√(b2/4 –c)
Costruiamo geometricamente le
soluzione
x2+c=bx
P
T
b/2
H
L
1 --------- c ----------
K
A
---------- c+1 ----------Con centro nel punto medio di HK
tracciare la circonferenza di diametro HK
A distanza unitaria dal punto H tracciare il
segmento LP la cui misura sarà √c
E
M
D
B
b
Costruire AB=b e traslare PL =√c in MT
con M punto medio di AB
Tracciare la circonferenza di raggio b/2
e centro T che interseca in E e D
il segmento AB
EM = √(b2/4-c)
x1 = b/2 - √(b2/4-c) = AM-EM = AE
x2= b-x1 = AB-AE = EB
AE e EB sono le soluzioni
x2+c=bx
x2+21=10x
Soluzione
b>0, c>0
x2 – bx = -c
x2 – bx +b2/4 = b2/4 –c
(x-b/2)2= b2/4 –c
x-b/2 = ±√(b2/4 –c)
x = b/2 ±√(b2/4 –c)
costruiamo geometricamente le soluzione
per b=10 c=21
x2 +21 =10x
x=5±2=3 x1=3 x2 =7
Costruiamo il quadrato di lato 5
Costruzione di x2 +21=10x
Costruiamo il quadrato di lato 2
Togliendo il quadrato di lato 2 al quadrato di lato 5
si ottiene una figura di area 25-4= 21
x
Spostiamo il rettangolo x(5-x)
2
Aggiungiamo il quadrato di x
21
5-x
X2
5
--------10-------X2+21=10X
X
x2+21=10x
10x-x2=21
-10x+x2=-21
25 -10x+x2=25-21
(5-x)2=4
5-x=±2
Vediamo ora
5-x
X
5-x
5-x
x2
5-x=2
x=3
Costruendo il quadrato di
lato 5 e togliendo il
quadrato di lato (5-x),
si ottiene il rettangolo
x(5-x) di lato x cercato
5
10
5-x
E ora la 2a soluzione
x=7
x
x
2
x +21=10x
x
2° soluzione
10x-x2=21
x(10-x)=21
-10x+x2=-21
25 -10x+x2=2521
(x-5)2=4
x-5= 2
x=7
X-5
x
10-x
21
Semplificando ….
X-5
X-5
X-5
5
x
10
10-x
semplificando
Disegniamo il quadrato di area 4 che è
il quadrato di x-5,
aggiungendo il segmento di lunghezza 5
otteniamo x =2+5 =7
4
X-5
5
x
x2+c=bx
Soluzione
b>0, c>0
x2 – bx = -c
x2 – bx +b2/4 = b2/4 –c
(x-b/2)2= b2/4 –c
x-b/2 = ±√(b2/4 –c)
x = b/2 ±√(b2/4 –c)
Costruiamo geometricamente le
soluzione
In generale: costruiamo X=b/2-√((b2/4)-c)
Costruiamo il quadrato di lato b/2
Costruiamo il quadrato di lato √((b2/4)-c)
Togliendo il quadrato di lato √((b2/4)-c) al quadrato di lato b/2
si ottiene una figura di area b 2/4 –(b 2 /4 -c)= c
X=b/2-√((b2/4)-c)
Spostiamo il rettangolo x(b/2-x)
√((b2/4)-c)
x
Aggiungiamo il quadrato di x
b/2-x
C
X2
b/2
b/2-x
x
X
---------b--------X2+c=bX
Costruiamo x=b/2+√(b2/4 –c)
Costruiamo il segmento √(b2/4 –c)
Costruiamo il quadrato di lato b/2
L’area gialla è = b2 /4 –(b2 /4 –c)=c
Costruiamo il quadrato di lato √(b2/4 –c) X= b/2 + √(b2/4 –c)
-------------X------------√(b2/4 –c)
√(b2/4 –c)
C
r1
x
Costruiamo il quadrato di x
Spostiamo c trasformandolo
nel rettangolo r1 + r2
r1
X+b/2 - √(b2/4 –c) =
b/2+b/2=b
r2
r2
b/2
x
X- √(b2/4 –c) =b/2
b/2-√(b2/4 –c)
-----------------b----------------
x2 +c = bx
x2-bx=c
x2-bx=c
con b>0 , c>0
x2-bx+b2/4=b2/4+c
(x-b/2)2 = b2/4+c
x – b/2 = ± √(b2/4+c)
x =b/2 ± √(b2/4+c)
x = b/2 + √(b2/4+c)
essendo √(b2/4+c) > b/2 la soluzione
x = b/2 - √(b2/4+c)
è negativa e la scartiamo per la
rappresentazione grafica
x2-bx=c
-------------- x ---------------b/2
-------- √(b2/4+c) --------x -b
C
b/2
1
Costruisci il quadrato di lato √(b2/4+c)
Costruisci il quadrato di lato b/2
x
Prolunga il lato del primo quadrato di un
segmento lungo b/2
x = b/2 + √(b2/4+c)
b/2
La zona gialla ha area c: infatti
b2/4+c –b2/4 = c
x – b = b/2 + √(b2/4+c) –b/2 –b/2=
= √(b2/4+c) –b/2
Il rettangolo giallo di area x(x-b) =
è quello cercato
c
X2-3x=10
x
----------7/2 ---------3/2
2
r
10
3/2
Ripeti la dimostrazione
precedente nel caso particolare
b=3 c=10
Costruisci il quadrato di lato
√(b2/4+c)= √(32/4+10) = √49/4= 7/2
x
Costruisci il quadrato di lato b/2=3/2
La differenza delle aree dei due quadrati è
49/4 -9/4=40/4 =10 ( l’area della zona gialla)
Aggiungi il segmento b/2=3/2
X = b/2 + √(b2/4+c) =
= 3/2 + √(3 /4+10) =
= 3/2 + 7/2 = 10/2 = 5
x – b = 5-3 = 2
x2 -3x =10
x(x-3)=10
5∙2=10
Una soluzione ingenua…….
x2-3x=10
x(x-3) = 10
x (x-3) = 5∙2
x=5
x
x =5
10
x-3
2
3
x2-3x=10
x2-3x + 9/4=10+9/4
(x-3/2)2=49/4
(x-3/2)2=(7/2)2
costruiamo il quadrato di area 49/4 ,
aggiungiamo al lato 3/2 ,otteniamo x
49/4
7/2
x-3/2
x
3/2
x2-bx=c
x2-bx +b2/4= b2/4 +c
(x-b/2)2 = b2/4 +c
x-b/2 =± √(b2/4 +c)
x=b/2 + √(b2/4 +c) e allora…
La soluzione x= b/2- √(b2/4 +c) è negativa
x2-bx=c
P
H
L
1 --------- c ----------
T
K
---------- c+1 ----------Con centro nel punto medio di HK
tracciare la circonferenza di diametro HK
A distanza unitaria dal punto H tracciare il
segmento LP la cui misura sarà √c
√c
E A
√(b2/4+c)
b/2
b/2
M
b
Costruire AB=b e traslare PL =√c in AT
M punto medio di AB
Tracciare la circonferenza di raggio
TM= √(b2/4+c)
e centro M che interseca in E e D il
prolungamento del segmento AB
TM = √(b2/4+c) = MD
AM= b/2 AD = b/2 + √(b2/4+c)
x1 = b/2 + √(b2/4+c)=AD
AD è la soluzione positiva
B D
2
x +bx=c
x2 + bx = c
x2 + bx + b2/4 = b2/4 + c
(x+b/2)2 = b2/4 + c
x = -b/2 ± √(b2/4 + c)
b>0,c>0
(trascurando la soluzione negativa -b/2 - √(b2/4 + c))
x = -b/2 + √(b2/4 + c)
E ora la costruzione geometrica ….
x2+bx=c
P
H
L
1 --------- c ----------
T
K
---------- c+1 ----------Con centro nel punto medio di HK
tracciare la circonferenza di diametro HK
A distanza unitaria dal punto H tracciare il
segmento LP la cui misura sarà √c
√c
E A
√(b2/4+c)
b/2
b/2
M
b
Costruire AB=b e traslare PL =√c in AT
M punto medio di AB
Tracciare la circonferenza di raggio
TM= √(b2/4+c)
e centro M che interseca in E e D il
prolungamento del segmento AB
TM = √(b2/4+c) = MD
BM= b/2 BD = √(b2/4+c) - b/2
x1 = √(b2/4+c)- b/2 = BD
BD è la soluzione positiva
B D
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Animazione flash ax=b2
Animazione flash ax=bc
Animazione flash x2=c
Animazione flash x2+bx=c
Animazione flash x2+c=bx
Animazione flash x2+21=10x
Animazione flash x2 -3x=10