Infe 02 - 1 / 34
Lezione 5
Inferenza
statistica
Infe 02 - 2 / 34
parte 2
Stime
per punti e
per intervalli della varianza
Infe 02 - 3 / 34
la varianza
Infe 02 - 4 / 34
la tolleranza
1
0
1
10
+ 5%
Infe 02 - 5 / 34
la varianza , la tolleranza e lo scarto …
95
100
105
Infe 02 - 6 / 34
Varianza campionaria corretta
e stima puntuale di s 2
• estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile
casuale X avente densità f (x) qualsiasi con media m e
varianza s2 un campione di n elementi a cui corrisponde
l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si può usare la
varianza campionaria corretta per stimare
il valore del parametro s 2 relativo all’intera popolazione.
1
s S 
n 1
2
2
n
 X
n
j
 Xn 
2
j 1
• il valore ottenuto viene indicato come “stima puntuale di s
2
”
Infe 02 - 7 / 34
Varianza campionaria corretta
e stima puntuale di s 2
• estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile
casuale X avente densità f (x) qualsiasi con media m e
varianza s2 un campione di n elementi a cui corrisponde
l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si può usare la
varianza campionaria corretta per stimare
il valore del parametro s 2 relativo all’intera popolazione.
• come tutti gli strumenti di misura, anche gli stimatori
sono imperfetti e la loro stima del parametro presenta
un’incertezza che deve essere quantificata.
s 2  S n2   v
Infe 02 - 8 / 34
Incertezza dello stimatore Sn2
Ricordiamo che:
“ Estraendo da una popolazione infinita per cui è definita la
variabile casuale X avente distribuzione normale con
media m e varianza s2
un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di
variabili casuali { X1, X2, …, Xn },
la varianza campionaria corretta divisa per s2
 X j  Xn 
S
1






s
n  1 j 1 
s

2
n
2
n
2
n  1
fornisce una variabile casuale che segue una distribuzione
“modificata di chi-quadro” con n - 1 gradi di libertà ”
Infe 02 - 9 / 34
Incertezza dello stimatore Sn2
f ( C² )
C²
Infe 02 - 10 / 34
Incertezza dello stimatore Sn2
Chiediamoci ora:
“ Qual è la probabilità che, estraendo a caso un campione
di n elementi da una popolazione su cui è stata definita una X
con distribuzione normale, il rapporto fra la varianza campionaria
corretta e la varianza relativa all’intera popolazione
 X j  Xn 
S
1






s
n  1 j 1 
s

2
n
2
n
sia compreso nell’intervallo
P
2
1  v , 1  v 
2


Sn
1   v  2  1   v 


s


n  1
?”
Infe 02 - 11 / 34
Incertezza dello stimatore Sn2
P
2


Sn
1   v  2  1   v 


s


C2 
P 1  
v
 C 2  1  v

Sn
2
s2
Infe 02 - 12 / 34
Incertezza dello stimatore Sn2
P
2


Sn
1   v  2  1   v 


s


C2 
P C
2


Sn
2
s2
 1   v P C 2  1   v

Infe 02 - 13 / 34
Incertezza dello stimatore Sn2
2


Sn
1   v  2  1   v 


s


P
P  1    s
v
P C
2


2
 Sn  1   v  s 2
2
 1   v P C 2  1   v


Infe 02 - 14 / 34
Incertezza dello stimatore Sn2
• partendo dall’espressione della probabilità dell’evento:
P
2


Sn
1   v  2  1   v 


s


• si sono ottenute le due espressioni equivalenti:
P 1  
 C 2  1 v
v
P 1    s
v
2

 S n  1   v  s 2
2
• che giustificano la seguente affermazione:

Infe 02 - 15 / 34
Incertezza dello stimatore Sn2
Estraendo a caso un campione di n elementi da una
popolazione infinita per cui è definita una variabile casuale
X con distribuzione normale, media m e varianza s 2,
c’è una probabilità pari a:
P C
2


 1  v  P C 2  1  v

che il valore ottenuto della varianza campionaria corretta
1
S 
n 1
2
n
 X
n
j
 Xn 
2
j 1
sia compreso nell’intervallo
1    s
v
2
, 1   v  s 2

Infe 02 - 16 / 34
Intervallo di confidenza
per la varianza campionaria corretta Sn2
• Per il nostro scopo, cioè per individuare l’intervallo di
confidenza della varianza, conviene sviluppare l’espressione
dell’evento in modo diverso:
P
2


Sn
1   v  2  1   v 


s


si può scrivere la forma equivalente:
P
1 v
1 1 v 
 2  2

2
 S

s
S
n
 n

Infe 02 - 17 / 34
Intervallo di confidenza
per la varianza campionaria corretta Sn2
P
ricordando che:
P
1 v
1 1 v 
 2  2

2 
 S
s
Sn 
 n
1 1
ab 

a b
2
 Sn 2

S
2
n



s

1 

1


v
v 

Infe 02 - 18 / 34
Intervallo di confidenza
per la varianza campionaria corretta Sn2
dalla:
P
2
 Sn 2

S
2
n



s

1 

1


v
v 

si può scrivere la forma equivalente:
P
2
 Sn 2

S
2
n



s

1 

1


v
v 

Infe 02 - 19 / 34
Intervallo di confidenza
per la varianza campionaria corretta Sn2
• si è quindi ricavato che
P
• è uguale a
P
2
 Sn 2
Sn 
2



s

1 

1


v
v


2


Sn
1   v  2  1   v 


s


• o, in modo equivalente, è uguale a:
P 1  
v
 C 2  1  v

• è quindi possibile fare la seguente affermazione:
Infe 02 - 20 / 34
Intervallo di confidenza
per la varianza campionaria corretta Sn2
Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione
infinita per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione
normale, media m e varianza s2, c’è una probabilità p pari a:
p = 1-a = P (C
2
£1+ ev ) - P
2
C
( £1- ev )
che l’intervallo casuale:
I1-a
é Sn2
Sn2 ù
=ê
,
ú
ë1+ ev 1- ev û
contenga il valore della varianza s2 per l’intera popolazione.
Infe 02 - 21 / 34
Intervallo di confidenza
per la varianza campionaria corretta Sn2
Gli estremi dell’intervallo
I1-a
é Sn2
Sn2 ù
=ê
,
ú
ë1+ ev 1- ev û
possono essere scritti nella forma equivalente
I1-a
é Sn2 1- e v
Sn2 1+ e v ù
=ê
,
ú=
ë1+ ev 1- e v 1- e v 1+ e v û
é Sn2
ù
Sn2
= ê
(1- e v ) ,
(1+ e v )ú
2
2
1- ev
ë1- e v
û
pertanto l’intervallo di confidenza non è centrato su Sn2
Infe 02 - 22 / 34
Intervallo di confidenza allo ... ?
• per bassi valori di n la f (C 2 )
non è simmetrica
pertanto non è agevole individuare
il valore di v da cui si ottiene
un intervallo simmetrico
con una prestabilita confidenza
– esempio:
0,05
0,10
gdl = 10
C2 0,05 = 0,394 da cui:
v  0,6
da cui 1 - a = 0,85 e non 0,90 !!!
Infe 02 - 23 / 34
Intervallo di confidenza allo 0,90
• per bassi valori di n la f (C 2 )
non è simmetrica:
si preferisce pertanto definire
un intervallo asimmetrico
individuato dai due quantili
C 2a / 2
e
C 21- a / 2
– esempio:
0,05
0,05
gdl = 10
a = 0,10
Infe 02 - 24 / 34
Intervallo di confidenza
• varianza campionaria
corretta:
n
1
2
2
X j  X n 
Sn 

n  1 j 1
• Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera
popolazione corrispondente ai due quantili
corrispondenti alla confidenza scelta?
P
æ 2
ö
Sn2
2
ç Ca /2 £ 2 £ C1-a /2 ÷ =
s
è
ø
corrisponde alla:
=P
2 ö
æ Sn2
S
2
ç 2 £ s £ 2n ÷
Ca /2 ø
è C1-a /2
C 2a/2 e C 21 - a/2
Infe 02 - 25 / 34
Intervallo di confidenza
• varianza campionaria
corretta:
n
1
2
2
X j  X n 
Sn 

n  1 j 1
• Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera
popolazione corrispondente ai due quantili
corrispondenti alla confidenza scelta?
C 2a/2 e C 21 - a/2
l’intervallo cercato è:
I1-a
é Sn2
Sn2 ù
=ê 2
, 2 ú
ë C1-a /2 Ca /2 û
I1-a è chiamato intervallo di confidenza allo 1-a per la varianza
Infe 02 - 26 / 34
Stima intervallo di confidenza con c2
• varianza campionaria:
n
2
1
2
Sn =
Xi - X n )
(
å
n -1 i=1
• avendo introdotto la distribuzione “chi-quadro”
è stato possibile affermare che la variabile aleatoria c2
segue tale distribuzione con n - 1 g.d.l..
Infe 02 - 27 / 34
Stima intervallo di confidenza con c2
n
2
1
2
Sn =
Xi - X n )
(
å
n -1 i=1
• varianza campionaria:
• se dispongo dei valori della c2
χ
S
2
n
χ n1,Q sup
2
2
n 1
n  1
 n  1
s 
2
S
s
S
2
n
2
2
n
χ n1,Q inf
2
n  1
Infe 02 - 28 / 34
Intervallo di confidenza
per la varianza campionaria corretta Sn2
Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione
infinita per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione
normale, media m e varianza s2, c’è una probabilità p pari a:
p = 1-a = P ( c
che l’intervallo casuale:
I1-a
2
)
2
£ c n-1,Qsup
-P
(
c2 £ c2
n-1,Qinf
)
é S2
ù
2
S
= ê 2 n ( n -1) , 2 n ( n -1)ú
c n-1,Qinf
êë c n-1,Qsup
úû
contenga il valore della varianza s2 per l’intera popolazione.
I1-a è chiamato intervallo di confidenza allo 1-a per la varianza
Infe 02 - 29 / 34
Riassumendo:
Stime
per intervalli
della media e della varianza
Infe 02 - 30 / 34
Intervalli di confidenza a (1 – a ) :
media campionaria standardizzata
possiamo quindi sostenere che:
estraendo a caso un campione di n elementi (con n sufficientemente elevato) da una popolazione per cui è definita una variabile
casuale X con distribuzione qualsiasi, media m e varianza s2, c’è
una probabilità pari a 1 - a che l’intervallo casuale
I1a
s
s


 X n 
 z1a / 2 , X n 
 z1a / 2 
n
n


con Z variabile normale standard
e con z1-a/2 il valore del suo quantile (1 - a/2)
contenga il valore della media m per l’intera popolazione.
I1-a è l’intervallo di confidenza allo 1 - a per la media
Infe 02 - 31 / 34
Intervalli di confidenza: media
campionaria standardizzata con n finito
possiamo quindi sostenere che:
estraendo a caso un campione con n finito da una popolazione
per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione
normale, media m e varianza s2, c’è una probabilità pari a 1 - a
che l’intervallo casuale
I1-a
æ
ö
s
= çXn ±
× z1-a/2 ÷
è
ø
n
in cui z1-a/2 è il valore del quantile (1 - a/2) di una variabile Z
normale standardizzata contenga il valore della media m della
popolazione.
Infe 02 - 32 / 34
Intervalli di confidenza per media campionaria
standardizzata con n finito e s 2 sconosciuta
E’ possibile sostenere che:
estraendo a caso un campione { X1, X2, …, Xn } con n finito da
una popolazione su cui è definita una variabile casuale X con
distribuzione normale, media m e varianza s2 incognite, c’è una
probabilità pari a 1 - a che l’intervallo casuale
I1 a
Sn


 Xn 
 t1 a / 2 
n


con T variabile distribuita secondo la t di Student con n -1 g.d.l.
e con t1-a/2 il valore del suo quantile (1 - a/2)
contenga il valore della media m della popolazione.
I1-a è l’intervallo di confidenza allo 1 - a per la media m
Infe 02 - 33 / 34
Intervallo di confidenza
per la varianza campionaria corretta Sn2
Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione
infinita per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione
normale, media m e varianza s2, c’è una probabilità p pari a:
p = 1-a = P (C
2
£1+ ev ) - P
2
C
( £1- ev )
che l’intervallo casuale:
I1-a
é Sn2
Sn2 ù
=ê
,
ú
ë1+ ev 1- ev û
contenga il valore della varianza s2 per l’intera popolazione.
Infe 02 - 34 / 34
Intervallo di confidenza
per la varianza campionaria corretta Sn2
Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione
infinita per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione
normale, media m e varianza s2, c’è una probabilità p pari a:
p = 1 -a = P ( C
2
£ C1-2 a /2 ) - P
2
2
C
£
C
(
a /2 )
che l’intervallo casuale:
I1-a
é Sn2
Sn2 ù
=ê 2
, 2 ú
ë C1-a /2 Ca /2 û
contenga il valore della varianza s2 per l’intera popolazione.
I1-a è chiamato intervallo di confidenza allo 1 - a per la varianza
Infe 02 - 35 / 34
Intervallo di confidenza
per la varianza campionaria corretta Sn2
Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione
infinita per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione
normale, media m e varianza s2, c’è una probabilità p pari a:
p = 1 - a = P (c
2
)
2
£ c n-1,Qsup
-P
(
c2 £ c2
n-1,Qinf
che l’intervallo casuale:
I1-a
é S2
ù
2
S
= ê 2 n ( n -1) , 2 n ( n -1)ú
c n-1,Qinf
êë c n-1,Qsup
úû
contenga il valore della varianza s2 per l’intera popolazione.
I1-a è chiamato intervallo di confidenza allo 1-a per la varianza
)
Infe 02 - 36 / 34
parte 3
scopo della inferenza:
modellazione
Infe 02 - 37 / 34
Strumenti di misura e strumenti di inferenza
1
m = Xn =
n
n
åX
j =1
j
Infe 02 - 38 / 34
dalla caratteristica comune di una popolazione
al suo modello probabilistico:
la distribuzione di probabilità
Infe 02 - 39 / 34
i modelli matematici della probabilità
Waloddi Weibull
(1887 – 1979)
Infe 02 - 40 / 34
i modelli matematici della probabilità
Carl Friedrich Gauss
(1777 – 1855)
é 1
1
f X ( x )=
exp ê2p s
êë 2
æ x -m ö
ç
÷
è s ø
2
ù
ú
úû
Infe 02 - 41 / 34
dalla caratteristica comune di una popolazione
al suo modello probabilistico …
Infe 02 - 42 / 34
Riassunto stimatori campionari
1 n
Xn = å X j
n j =1
• estraendo da una popolazione per cui è definita la
variabile casuale X avente densità f (x) qualsiasi,
media m e varianza s2,
un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di
variabili casuali { X1, X2, …, Xn },
se n è sufficientemente grande la media campionaria
1 n
Xn = å X j
n j =1
fornisce una variabile casuale
distribuita in modo normale,
con media m e varianza s2 / n
Infe 02 - 43 / 34
intervallo di confidenza allo ( 1 – a ) per la media
con una confidenza pari a 1 – a possiamo affermare che

μ  I   xn

a
2
, xn
1
a
2



Infe 02 - 44 / 34
Riassunto stimatori campionari
n
1
2
2
X j  X n 
Sn 

n  1 j 1
• varianza campionaria
corretta:
• se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile
casuale X avente distribuzione normale un campione di n
elementi con immagini { X1, X2, …, Xn } (con n > 1) ,
• allora la variabile casuale C 2 :
 X j  Xn 
1


C 



s
n  1 j 1  s

2
S
2
n
2
n
2
n  1
segue una distribuzione di tipo “modificata di chi-quadro”
con n -1 gradi di libertà.
Infe 02 - 45 / 34
Intervallo di confidenza
• varianza campionaria
corretta:
n
1
2
2
X j  X n 
Sn 

n  1 j 1
• Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera
popolazione corrispondente ai due quantili
corrispondenti alla confidenza scelta?
C 2a/2 e C 21 - a/2
l’intervallo cercato è:
é Sn2
Sn2 ù
Ia = ê 2
, 2 ú
ë C1-a /2 Ca /2 û
Ia è chiamato intervallo di confidenza allo a per la varianza
Infe 02 - 46 / 34
Riassunto stimatori campionari
n
1
2
2
X j  X n 
Sn 

n  1 j 1
• varianza campionaria
corretta:
• se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile
casuale X avente distribuzione normale un campione di n
elementi con immagini { X1, X2, …, Xn } (con n > 1) ,
• allora la variabile casuale c 2 :
 X j  Xn 

c  n  1
  

s
s
j 1 

2
S
2
n
2
n
2
n  1
segue una distribuzione di tipo “chi-quadro” con n -1 gdl.