La dispersione nei corsi d’acqua:
concetti fondamentali
Come un fenomeno convettivo diventa diffusivo
Diffusione molecolare
(proprietà di sostanza-fluido)
Oscillazioni termiche
valori tipici in acqua ~ 10-5 cm2/s = 10-9 m2/s
in aria ~ 10-5 m2/s
Turbolenza (moto convettivo “caotico”)
Diffusione turbolenta
(proprietà del campo di moto,
e non del fluido)
per tempi sufficientemente lunghi
(maggiori della scala integrale della turbolenza)
Moto convettivo
non uniforme
+ diffusione
ortogonale al moto
Dispersione
(meccanismo combinato)
per tempi sufficientemente lunghi
(maggiori della scala caratteristica della diffusione ortogonale)
Dispersione: descrizione fenomenologica
y
u(y)
moto convettivo
non uniforme
 distorce la
nuvola lungo x
diffusione
ortogonale
 “ricompatta”
la nuvola lungo y
dispersione
 “diffusione”
incrementata
lungo x
x
Modello lagrangiano: segue le particelle
componente deterministica
(campo di moto assegnato)
componente casuale
(turbolenza o oscillazione termica)
Simulazione numerica
concentrazione C(x)
zoom
C(y)
zoom
y
particelle
y
x
particelle nel dominio x,y
x
Fasi del mescolamento
nei corsi d’acqua
Mescolamento in alvei naturali
B
z
Y
y
ip. alveo largo, acqua bassa (B>>Y)
tempi-scala
il mescolamento verticale
è molto più rapido del
mescolamento trasversale
 
2
Y
Tmv  t m* z0*
Dz
2
B
Tmt  t m*  y0* 
Dy
Tmv Y 2 D y Y 2
~ 2
~ 2  1
Tmt B Dz B
Fasi del mescolamento
campo vicino: modello 3D, diffusione turbolenta
scarico
(e molecolare)
mescolamento verticale completato
campo intermedio: modello 2D (mediato sulla verticale),
dispersione e diffusione turbolenta (e molecolare)
mescolamento trasversale completato
campo lontano: modello 1D (mediato sulla sezione),
dispersione (e diffusione turbolenta e molecolare)
Lunghezze caratteristiche:
mix verticale
mix trasversale
 
2
UY
Lmv  xm* z0*
DzT
 
Lmt  xm* y0*
UB 2
D yT  K y
campo vicino
0  x  Lmv
campo intermedio Lmv  x  Lmt

campo lontano
x  Lmt
Modello a coefficienti costanti
Ipotesi: alveo rettangolare largo
corrente monodirezionale
u  u,0,0
B
z
y
Q
U
BY
Y
Medie sulla verticale
u  x, y , t  
1
u x, y, z , t dz

Y
Y
1
c  x, y, t    cx, y, z , t dz
Y Y
Medie sulla sezione
U  x, t  
1
u x, y, z , t dz dy


B
Y
BY
1
C  x, t  
c x, y, z , t dz dy


B
Y
BY
c
c   ~
c 
 u  x , y , z , t    Dx  x , y , z , t   
t
x x 
x 

 ~
c    ~
c 




D
x
,
y
,
z
,
t

D
x
,
y
,
z
,
t
y
z
y 
y  z 
z 
Modello a
coefficienti
costanti
ux, y, z, t   U
~
D  x, y , z , t   D
c
c
 2c
 2c
 2c
U
 Dx 2  Dy 2  Dz 2
t
x
x
y
z
Dispersione: meccanismi fisici
z
longitudinale
Campo intermedio
profilo verticale di velocità u(z)
(logaritmico) +
diffusione turbolenta verticale DzT
u z 
Y
D
T
z
Kx
Kx
x
trasversale
z
profilo verticale di velocità v(z)
Y
(circolazioni secondarie, legate alla
morfologia del corso d’acqua) +
vz 
D
diffusione turbolenta verticale DzT
T
z
Ky
Ky
y
(in realtà lo spostamento convettivo trasversale di solito è trascurabile)
longitudinale
Campo lontano
profilo trasversale di velocità u(y)
(morfologia corso d’acqua) +
diffusione-dispersione
trasversale DyT+Ky
K
y
B
u  y
D  Ky
T
y
K
x
D
Dispersione: coefficienti
mol
~ 10 9 m 2 s 1

longitudinale
Campo intermedio
Dx  DxT  K x
diff. turbolenta:
(dispersione)
Elder (1959):
diff. turbolenta:
Dy  DyT  K y
DxT  DzT  0.067 u* Y
T
K x  5.86 u* Y  D x
~ 1 m 2 s 1
DyT  2DzT  0.13 u* Y
~ 10 2 m 2 s 1
tipologia alvei:
0.13  0.3 u*Y rettilinei

~ 10 2 m 2 s 1

0.3  0.4 u*Y con opere di sponda

0.3  0.9 u*Y meandriformi
DyT  K y  
1 2 1
~
10
m s
2
2

U  B
0.3  0.9     u*Y fortemente
meandriformi

 u*   R 
longitudinale
trasversale
(dispersione)
stime empiriche:
~ 10 2 m 2 s 1
Campo lontano
Dx  D  K x  K
T
x
(dispersione)
Fischer (1975):
U 2B2
K  0.011
u* Y


~ 101 103 m2 s 1
Sintesi delle soluzioni
(modello a coefficienti costanti,
sezione rettangolare)
Modalità di scarico
istantaneo M t  0, x  0
M
t
t 0
z
 x  0  cost
costante M
M
t
puntuale  y0 , z0 
B
z
Y
y
diffusore trasversale
B
 z0 
Y
y
z
diffusore verticale  y0 
B
Y
y
distribuito sulla sezione
B
z
Y
y
Scarico istantaneo puntuale
Campo vicino
M t  0, x  0 in  y0 , z0 
 x  Ut 2  (t ) (t )
M
 y  z
c
exp  
32
4 t  Dx Dy Dz  4Dxt 
Dx  DxT
Dy  DyT
Dz  DzT
Campo intermedio
Dx  D  K x
T
x
T
y
Dy  D  K y
valore
puntuale
 x  Ut 2  (t )
M Y
 y
c
exp  
4 Dxt 
4 t Dx Dy

media sulla
verticale
 x  Ut 2 
M BY 

C
exp  
4 Dx t 
4Dx t

media sulla
sezione
(dispersione)
Campo lontano
Dx  D  K x  K
T
x
(dispersione)

  y  y0  2 jB2  
  y  y0  2 jB2 
   exp  

  exp  




4 Dy t
4 Dy t
j  

 j  



  z  z0  2 jY 2  
  z  z0  2 jY 2 
   exp  

  exp  



4 Dz t
4 Dz t
j  

 j  



(t )
y
tenendo conto delle
sorgenti immagine
 (zt )
Scarico istantaneo con diffusore trasversale M t  0, x  0 in z0  y
Campo vicino
  x  Ut 2  ( t )
M B
 z
c
exp  

4
D
t
4 t Dx Dz
x


Dx  DxT
valore
puntuale
Dz  DzT
Campo intermedio
  x  Ut 2 
M BY 

c
exp  
4 Dx t 
4 Dx t

Dx  DxT  K x
(dispersione)
 x  Ut 2 
M BY 

C
exp  
4 Dx t 
4Dx t

Campo lontano
Dx  D  K x  K
T
x
(dispersione)
tenendo conto delle
sorgenti immagine

media sulla
sezione
  z  z0  2 jY 2  
  z  z0  2 jY 2 
   exp  

  exp  



4 Dz t
4 Dz t
j  

 j  



(t )
z
media sulla
verticale
M t  0, x  0 in  y0  z
Scarico istantaneo con diffusore verticale
Campo vicino
 x  Ut 2  (t )
M Y
 y
c
exp  

4
D
t
4 t Dx Dy
x


Dx  DxT
Dy  DyT
Campo intermedio
Dx  D  K x
T
x
T
y
Dy  D  K y
valore
puntuale
 x  Ut 2  (t )
M Y
 y
c
exp  
4 Dxt 
4 t Dx Dy

media sulla
verticale
 x  Ut 2 
M BY 

C
exp  
4 Dx t 
4Dx t

media sulla
sezione
(dispersione)
Campo lontano
Dx  D  K x  K
T
x
(dispersione)
tenendo conto delle
sorgenti immagine

  y  y0  2 jB2 

  exp  


4 Dy t
j  



(t )
y
  y  y0  2 jB2 

exp  



4 Dy t
j  



Scarico istantaneo con mescolamento sulla sezione M t  0, x  0 y, z
Campo vicino
Dx  D
T
x
Campo intermedio
Dx  DxT  K x
(dispersione)
Campo lontano
Dx  D  K x  K
T
x
(dispersione)
  x  Ut 2 
M BY 

c
exp  

4
D
t
4 Dx t
x


  x  Ut 2 
M BY 

c
exp  
4 Dx t 
4 Dx t

 x  Ut 2 
M BY 

C
exp  
4 Dx t 
4Dx t

valore
puntuale
media sulla
verticale
media sulla
sezione
Scarico costante puntuale
M x  0  cost in  y0 , z0 
Campo vicino
M
c
 (yx )  (zx )
4 x Dy Dz
Dy  DyT
Dz  DzT
valore
puntuale
Campo intermedio
Dy  D  K y
T
y
(dispersione)
Campo lontano
 (yx )
tenendo conto delle
sorgenti immagine
 (zx )
M Y
c
 (yx )
4 DyU x
media sulla
verticale
M
M
C

UBY Q
media sulla
sezione
  y  y0  2 jB2  
  y  y0  2 jB2 
   exp  

  exp  




4 Dy x U
4 Dy x U
j  

 j  



 z  z0  2 jY 2  
  z  z0  2 jY 2 
   exp  

  exp  



4 Dz x U  j  
4 Dz x U
j  




Scarico costante con diffusore trasversale M x  0  cost in z0  y
Campo vicino
M B
c
 (zx )
4 DzUx
Dz  DzT
valore
puntuale
Campo intermedio
Campo lontano
tenendo conto delle
sorgenti immagine

media sulla
verticale
M
M
C

UBY Q
media sulla
sezione
 z  z0  2 jY 2  
  z  z0  2 jY 2 
   exp  

  exp  



4 Dz x U  j  
4 Dz x U
j  




( x)
z
M
M
c

UBY Q
Scarico costante con diffusore verticale
M x  0  cost in  y0  z
Campo vicino
Dy  DyT
M Y
c
 (yx )
4 DyUx
valore
puntuale
M Y
c
 (yx )
4 DyUx
media sulla
verticale
M
M
C

UBY Q
media sulla
sezione
Campo intermedio
Dy  D  K y
T
y
(dispersione)
Campo lontano
tenendo conto delle
sorgenti immagine

  y  y0  2 jB2  
  y  y0  2 jB2 
   exp  

  exp  




4 Dy x U
4 Dy x U
j  

 j  



( x)
y
Scarico costante con mescolamento sulla sezione
M x  0  cost y, z
Campo vicino
M
M
C

UBY Q
valore
puntuale
Campo intermedio
Campo lontano
M
M
C

UBY Q
media sulla
verticale
M
M
C

UBY Q
media sulla
sezione