Dipartimento
di Meccanica
Progressi della Ricerca Italiana sui Sistemi di Giunzione
Reggio Emilia, 16-17/4/2009
Attività svolta al Politecnico di
Torino - periodo 2008/09
Luca Goglio
Dipartimento di Meccanica
Politecnico di Torino
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Attività recenti – periodo 2008/09
ARGOMENTI


Valutazione del campo di
tensione singolare all’apice
dell’interfaccia incollata
Adesivo


Aderendo
Collasso statico e a impatto di
un nodo strutturale incollato
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2
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Singolarità: considerazioni
Conseguenze concettuali e pratiche della singolarità
del campo di tensione elastica negli incollaggi
• risultati FE dipendenti dalla mesh, non convergenti
• senso dell’ottimizzazione per la riduzione delle tensioni?
• il cedimento dell’adesivo di solito parte dal vertice,
anche, se in pratica, la plasticità auto-limita le tensioni;
• situazione più complessa rispetto alla meccanica della
frattura lineare elastica
• senso e utilità dei risultati forniti dalle teorie classiche
monodimensionali (es. Goland-Reissner)?
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3
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Singolarità: obiettivi del lavoro svolto
Riconsiderare lo studio del campo singolare,
mirando a:
• valutare gli effetti dei parametri geometrici del
giunto
• determinare lo “Stress Intensity Factor” (SIF)
senza ricorrere alla modellazione FE
• discutere la definizione del SIF rispetto alla
tensione considerata come nominale
• legare il campo di tensione singolare a quella
strutturale (cioè data dalle teorie
monodimensionali)
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Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Singolarità: proprietà
Capisaldi teorici
• Geometria (vertice)
Williams. J Appl Mech, 1952
• Materiali (aderendo/adesivo)
Bogy. J of Appl Mech, 1971
Adesivo (2)



r
rr
r

 ij 
K
r
l
f ij ()  ...
Aderendo (1)
• l’ordine della singolarità l dipende solo dalle costanti
elastiche dei due materiali (G, n) e dagli angoli (1,2)
• l’intensità del campo dipende anche dalle caratteristiche
macroscopiche del giunto e dal carico
• la determinazione del SIF K non è immediata, di solito
richiede modelli FE
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5
Proprietà dei materiali riassunte dalle costanti di Dundurs
G1 1  n 2   G2 1  n1 

G1 1  n 2   G2 1  n1 

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Singolarità: effetto dei materiali
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5

1 G1 1  2n 2   G2 1  2n1 
2 G1 1  n 2   G2 1  n1 
Epoxy (Hysol9466) - Al
Epoxy (Hysol9466) - Fe
Acrylic (Loctite330) - Al
Acrylic (Loctite330) - Fe
-1
-0.8
-0.6
-0.4
G 1=G 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

in caso di aderendo metallico, Gaderendo>> Gadesivo: punti alle
estremità del diagramma ( ≈ 1), inoltre  ≈ nadesivo
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Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Singolarità: impostazione analitica
Equazioni del problema
Bogy. J of Appl Mech, 1971
Lazzarin, Quaresimin and Ferro. J Strain Analysis, 2002
equilibrio
compatibilità
elasticità
(def. piana)
 rr 1  r  rr   
1    r 2 r


0 ;


0
r
r 
r
r 
r
r
 rr 
u r
r
;   
u r 1 u 

r r 
 rr

1  n 

 
1  n 

2
1, 2
2
1, 2
rr
1  1 u r u  u  

 

2  r 
r
r 
 n1, 2 1  n1,2  
E1, 2

;  r 
 n1, 2 1  n1, 2  rr
 r 
(1  n1, 2 ) r
E1, 2
E1,2
Determinante di Bogy
D1 ,  2 , , ; p   a 2  2b  c 2  2d  2e  f  0
Le radici p del determinante stabiliscono se la soluzione è singolare
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7
Fissati i materiali, l’ordine della singolarità è fortemente
influenzata dall’inclinazione del bordo libero dell’adesivo
Esempio: 1=180°, valori di 2=90°, 75°, 60°, 45°: radice → 1
3.5
3.0
Adesivo
90 deg
75 deg
60 deg
45 deg
2.5
2.0
D (p )
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Singolarità: effetto dell’angolo
1.5


Aderendo
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
p
Al diminuire dell’angolo del raccordo la singolarità tende a svanire
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Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Singolarità: definizione del SIF
Possibili definizioni dello “Stress Intensity Factor” (SIF)
• Assunzione più comune:
K =  tl f(,)
Van Tooren, Gleich, Beukers. J Adh Sci Tech, 2004; Lazzarin, Quaresimin, Ferro. J Strain An, 2002


 tensione nominale nell’aderendo (in pratica tensione di trazione)
t spessore dell’adesivo
• Altra definizione: K = [* A(n) + t* B(n)] tl
Wang, Rose. Int J Adh Adh, 2000

*, t* tensioni nell’adesivo fornite da una teoria monodimensionale
(tensioni strutturali)

A, B coefficienti di combinazione (ricavati da modelli FEM)
Criterio di cedimento basato sul SIF
• Assunzione: cedimento quando il SIF supera un valore critico
• Condizioni di applicabilità
Akisanya, Meng. J Mech Phys Sol, 2003
 zona plastica “piccola” circondata dalla zona elastica
 spessore dell’adesivo t maggiore di una soglia minima
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Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Singolarità: determinazione del campo di tensione
Procedura numerica per ottenere il SIF
Lazzarin, Quaresimin, Ferro. J Str An, 2002
• Separazione delle variabili r, 
u r r ,   r 1lU r  ; u r ,   r 1lU  
 rr r ,   r l Frr  ;   r ,   r l F  ;  r r ,   r l Fr 
• Set di equazioni nelle funzioni incognite U, Frr, F, Fr
(Ur eliminata)
• Condizioni al contorno:
 bordi a tensione nulla
 continuità all’interfaccia
 spostamenti al bordo ottenuti da
soluzione FEM
Adesivo
Aderendo
Tentativo di eliminare questa necessità
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Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Singolarità: uso di soluzioni strutturali
Studio del giunto basato su modello a piastre
• Variazione della tensione nello spessore trascurata
 y  A1 cosh( m1 x)  A2 sinh( m1 x)  A3 cosh( n1 x) cos( n2 x) 
 A4 cosh( n1 x) sin( n2 x)  A5 sinh( n1 x) cos( n2 x)  A6 sinh( n1 x) sin( n2 x)
t xy  B1 cosh( m1 x)  B2 sinh( m1 x)  B3 cosh( n1 x) cos( n2 x) 
 B4 cosh( n1 x) sin( n2 x)  B5 sinh( n1 x) cos( n2 x)  B6 sinh( n1 x) sin( n2 x)  B7
Bigwood, Crocombe. Int J Adh Adh, 1989
Spostamento al bordo dell’adesivo senza FE (caso 2=p/2)
1) valore approssimato dalla tensione di taglio uU  u L  t xy
2) estrapolazione della formula
del campo singolare
u  t , p / 2  t
uU-uL
1l
 t xy
U p / 2
x 0
t / Ga
L. Goglio Attività al Politecnico di Torino - periodo 2008/09
t
Ga
Upper adherend
Adhesive
Lower adherend
x
h
t
h
L
12
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Singolarità: procedura numerica modificata
bordi
scarichi
p/
Adesivo
0
-p
Aderendo
Problema a valori al contorno risolto come
due problemi a valori iniziali in cascata,
verificando al bordo finale la condizione di
tensione nulla
Adattamento da Lazzarin, Quaresimin, Ferro. J Strain An, 2002
1. valori di tentativo per la tensione radiale al bordo libero
Frr(p/2) (singolarità l dal determinante di Bogy);
2. input dello spostamento del bordo libero di adesivo U(p/2) a
partire dalla soluzione strutturale;
3. soluzione numerica del sistema differenziale per l’adesivo
→ U(0), Frr(0), F(0), Fr(0) (interfaccia);
4. soluzione numerica del sistema differenziale per l’aderendo
→ U(-p), Frr(-p), F(-p), Fr(-p) (bordo libero aderendo);
5. al bordo libero dell’aderendo deve verificarsi  = r = 0 (in
pratica <tolleranza); altrimenti si re-itera da 1.
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13
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Singolarità: esempio applicativo
Lap joint in trazione
L
L'
tensione nominale  = 25 MPa
L'
t
F
h
Parametri geometrici
 L = 8, 12, 20 mm
 t = 0.25, 0.5, 0.75, 1 mm
 h = 1, 2 mm
h
Materiali
 acciaio (E=2.06·105 MPa, n=0.3)
 epoxy Hysol9466 (E=1.96·103
MPa, n=0.42)
Parametri di singolarità
  = 0.9792  = 0.1335
 l = 0.3646 (dal det. di Bogy)
Modellazione FE preliminare
  3000 elementi 8 nodi plane
strain
 dimensione minima 5.5·105 mm
→ Risultati di riferimento
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14
Singolarità: risultati FE di riferimento
1000
Peel stress (MPa)
Regressione delle
tensioni di interfaccia
(=0) per valutare la
singolarità
L=8 mm
 = 3.9549 r -0.3643
L=12 mm
 = 3.5235 r -0.3648
L=20 mm
 = 3.0801 r -0.3646
100
esempi
10
1E-05
1E-04
Stress along the interface / adherend 1 mm / adhesive 0.75 mm
1E-03
1E-02
1E-01
Distance from corner (mm)
1000
Peel stress (MPa)
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Stress along the interface / adherend 1 mm / adhesive 0.25 mm
L=8 mm
 = 5.0821 r -0.3646
L=12 mm
 = 4.3426 r -0.3643
L=20 mm
 = 3.7023 r -0.3644
 K r l
100
10
1E-05
  r ,0  F 0 r l
1E-04
1E-03
Distance from corner (mm)
1E-02
L. Goglio Attività al Politecnico di Torino - periodo 2008/09
1E-01
15
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Singolarità: confronto procedura approssimata / FE
Geometrical data
h
L
t
Case
No
(mm)
(mm)
(mm)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
8
8
8
12
12
12
12
20
20
20
20
8
8
8
8
12
12
12
12
20
20
20
20
0.25
0.5
0.75
1.
0.25
0.5
0.75
1.
0.25
0.5
0.75
1.
0.25
0.5
0.75
1.
0.25
0.5
0.75
1.
0.25
0.5
0.75
1.
l
FE results
K
0.3643
0.3647
0.3646
0.3642
0.3648
0.3644
0.3643
0.3642
0.3646
0.3644
0.3644
0.3643
0.3643
0.3642
0.3643
0.3645
0.3646
0.3646
0.3644
0.3643
0.3644
0.3643
0.3641
0.3642
(MPamml)
3.955
4.494
5.082
5.658
3.524
3.913
4.343
4.777
3.080
3.364
3.702
4.055
5.914
6.612
7.130
7.564
5.013
5.480
5.990
6.457
4.222
4.415
4.699
4.950
Approx. proced.
K
K
l
(MPamm )
(%)
3.970
4.449
4.886
5.272
3.417
3.609
3.844
4.072
2.982
3.010
3.107
3.220
6.620
7.797
8.749
9.554
5.254
5.827
6.368
6.852
4.310
4.431
4.647
4.862
L. Goglio Attività al Politecnico di Torino - periodo 2008/09
0.4
-1.0
-3.9
-6.8
-3.0
-7.8
-11.5
-14.8
-3.2
-10.5
-16.1
-20.6
11.9
17.9
22.7
26.3
4.8
6.3
6.3
6.1
2.1
0.3
-1.1
-1.8
Il SIF (K):
• cresce all’aumentare
dello spessore ader. h;
tens. nominale costante,
aumenta il carico
• cresce all’aumentare
dello spessore ades. t;
gradiente nello spessore
• decresce all’aumentare
della sovrapposizione L
riduzione generale delle
tensioni
Approssimazione:
• migliore per ades. sottile
• peggiore per ades. spesso
e L /h basso (casi 13-16)
16
La definizione del SIF più usata K =  t l f(,)
dipende dai parametri del giunto (h, L)
 valori relativi a giunti differenti non confrontabili
Adherend thickness h = 1 mm
K / (Ct t xy + C  y)
t = 0.25 mm
t = 0.5 mm
t = 0.75 mm
t = 1 mm
1.4
1.2
Rapporto
1.0
0.8
K / ( Cttxy + Cy) = t l
0.6
0.4
Ct, C coefficienti di combin.
0.2
0.0
8
12
20
Caso di valori di K ottenuti a
partire da risultati FE:
Overlap lenght L (mm)
Adherend thickness h = 2 mm
t = 0.25 mm
K / (Ct t xy + C  y)
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Singolarità: definizione alternativa SIF (I)
t = 0.5 mm
t = 0.75 mm
t = 1 mm
1.4
1.2
1.0
0.8
• buona approssimazione dei
valori esatti (0.603, 0.777,
0.900, 1)
0.6
• indipendenza da h, L
0.4
0.2
0.0
8
12
20
L. Goglio Attività al
Politecnico
di LTorino
Overlap
lenght
(mm) - periodo 2008/09
17
Valori di K dalla procedura approssimata:
• minore precisione (errore max 26%, caso N°16)
• dipendenza dalla lunghezza di sovrapposizione
Adherend thickness h = 1 mm
K / (Ct t xy + C  y)
t = 0.25 mm
t = 0.5 mm
t = 0.75 mm
t = 1 mm
1.4
1.2
1.0
0.8
0.2
0.0
12
• risultati peggiori nei casi
(precedentemente notati) di
peggiore approssimazione di K
• comunque accettabili, anche
considerando la semplicità
d’uso
0.6
0.4
8
20
Overlap lenght L (mm)
Adherend thickness h = 2 mm
t = 0.25 mm
K / (Ct t xy + C  y)
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Singolarità: definizione alternativa SIF (II)
t = 0.5 mm
t = 0.75 mm
t = 1 mm
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
8
12
20
Overlap
lenght
(mm) - periodo 2008/09
L. Goglio Attività al
Politecnico
di LTorino
Osservazione:
• i risultati sarebbero perfetti se
C=0 e Ct fosse ottenuto dalla
condizione di eguaglianza a tl
• la ragione è che la procedura
approssimata considera solo
l’effetto di t
18
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Singolarità: considerazioni finali
• Importanza della definizione del SIF
 la definizione dovrebbe tener conto delle caratteristiche del
giunto, senza introdurre dipendenze non necessarie (es.
lunghezza di sovrapposizione)
 riferimento alla sola tensione nominale non soddisfacente
• Procedura in due stadi senza uso del FEM:
 una soluzione strutturale fornisce gli spostamenti
approssimati …
 … usati come input dalla soluz. numerica per ottenere il SIF
• Riconsiderazione delle soluzioni classiche
 rappresentative dello stato di tensione sul piano medio …
 ….non dove di solito inizia il cedimento
 ma il SIF è comunque proporzionale a esse
L. Goglio Attività al Politecnico di Torino - periodo 2008/09
19
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Collasso statico/impatto nodo strutturale incollato
Osservazione di partenza
• la maggior parte dei risultati pubblicati riguarda provini;
• lavori su componenti relativamente rari.
Scopi del lavoro
• ottenere sperimentalmente il collasso di una giunzione, in
condizioni statiche e di impatto;
• valutare la possibilità di riprodurre il fenomeno con simulazione
FEM, mediante un codice general purpose.
Impostazione
• giunto dimensionato per
ottenere il collasso nell’adesivo;
• criterio di cedimento, valori
limite.
L. Goglio Attività al Politecnico di Torino - periodo 2008/09
20
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Collasso nodo incollato: caratteristiche
Travi
• Sezione quadrata cava, lato 50
mm, spess. 2 mm;
• acciaio strutturale e lega di Al
6060.
Giunti
• coprigiunti largh. 40 mm, spess.
3 mm, lungh. incollata 25 mm;
• adesivo epossidico (Hysol3425),
spess. strato 0.5 mm.
Due repliche di ogni caso
L. Goglio Attività al Politecnico di Torino - periodo 2008/09
21
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Collasso nodo incollato: condizioni di prova
Configurazione
P
• flessione su tre punti (nodo
non in mezzeria);
• punzone raccordato per
evitare collasso al contatto.
M1/3=Pc/6
M1/2=Pc/4
c/3=100
c=300
Velocità di caricamento
• statica (0.0001 mm/s) → macchina elettroidraulica;
• impatto (0.1, 1, 10 m/s) → dispositivo pneumatico.
L. Goglio Attività al Politecnico di Torino - periodo 2008/09
22
Esempio di rottura sotto impatto
• acciaio, 1 m/s
tempo
stato finale
Curve forza-freccia
• registrazione da cella di carico e misura ottica
30
10
20
Force (kN)
15
Statica
Steel 1
Steel 2
Aluminium 1
Aluminium 2
20
15
10
20
15
10
5
5
5
0
0
0
-5
-5
0
1
2
3
4
5
6
Deflection (mm)
7
8
9
10
Steel 1
Steel 2
Aluminium 1
Aluminium 2
25
Force (kN)
25
1 m/s
25
30
Steel 1
Steel 2
Aluminium 1
Aluminium 2
10 m/s
30
Force (kN)
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Collasso nodo incollato: risultati sperimentali
-5
0
1
2
3
4
5
6
7
Deflection (mm)
L. Goglio Attività al Politecnico di Torino - periodo 2008/09
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Deflection (mm)
23
Modellazione FEM (LS-DYNA)
• Risposta meccanica dei materiali
1400
Adesivo
 sperimentazione in bulk (Uni. GE)
 modello esponenziale
1200
1000
Force (kN)
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Collasso nodo incollato: simulazione
C  
C  


  0  Qr11  e r1 pl   Qr 2 1  e r 2 pl 




800
600
 criterio rottura max (=0.075)
400
200
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Stroke (mm)
• Modalità di collasso progressivo riprodotta correttamente
L. Goglio Attività al Politecnico di Torino - periodo 2008/09
24
 simulazione
 sper. acciaio
 sper. alluminio
Primi risultati
• caso statico;
• caso 0.1 m/s;
cerniera
plastica
30
 simulazione
 sper. acciaio
 sper. alluminio
30
25
Forza (kN)
25
20
15 alluminio
acciaio
10
20
forza (kN)
Progressi della Ricerca Ital. sui Sistemi di Giunzione – RE 16,17/04/09
Collasso nodo incollato: risultati simulazione
5
15
0
0
0.5
1
1.5
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Corsa (mm)
10
5
0
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
corsa (mm)
3.5
4
4.5
L. Goglio Attività al Politecnico di Torino - periodo 2008/09
5
• collezione casi in corso di
completamento;
• modello Cowper-Symonds
per effetto strain-rate ades.
25